清华大学材料力学范钦珊主讲---第三章--弹性杆件横截面上的-正应力分析.ppt

1、2024202420242024年年年年3 3 3 3月月月月20202020日日日日材料力学材料力学(I)返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录弹性杆件横截面上的弹性杆件横截面上的正应力分析正应力分析第第 3 章章第第3 3章章 引引 言言 正应力分析方法正应力分析方法 正应力公式的应用正应力公式的应用 结论与讨论结论与讨论弹性杆件横截面弹性杆件横截面上的正应力分析上的正应力分析 引引 言言第第3 3章章弹性杆件横截面弹性杆件横截面上的正应力分析上的正应力分析1 1 若干概念和定义若干概念和定义2 2 正应力分析的超静定性质正应力分析的超静定性质3 3 线弹性材料的物性关系线弹性材料的物性

2、关系 引引 言言1.1.若干概念和定义若干概念和定义 应力应力分布内力在一点的集度分布内力在一点的集度F1FnF3F2 引引 言言 工工程程构构件件，大大多多数数情情形形下下，内内力力并并非非均均匀匀分分布布，集集度度的的定定义义不不仅仅准准确确而而且且重重要要，因因为为“破破坏坏”或或“失失效效”往往往往从内力集度最大处开始。从内力集度最大处开始。应力就是单位面积上的内力应力就是单位面积上的内力若干概念和定义若干概念和定义若干概念和定义若干概念和定义 引引 言言 正应力和切应力正应力和切应力 位于截面内的应力称为位于截面内的应力称为“切应力切应力”(Shearing Stress).(She

3、aring Stress).垂直于截面的应力称为垂直于截面的应力称为“正应力正应力”(Normal Stress)(Normal Stress)；若干概念和定义若干概念和定义若干概念和定义若干概念和定义 引引 言言lim=FND DD DAD DA A0 lim t t=FQD DAD DD D A0y yx xz zP P1 1 P P2 2 A AD D D DF FR R F FQyQy F FQzQz F FNN若干概念和定义若干概念和定义若干概念和定义若干概念和定义 引引 言言 线变形与剪切变形，这两种变形线变形与剪切变形，这两种变形程度的度量分别称为程度的度量分别称为“正应变正应变

4、”(Normal Strain)(Normal Strain)和和“切应变切应变”(Shearing Strain),(Shearing Strain),分别用分别用 和和 表示。表示。正应变与切应变正应变与切应变若干概念和定义若干概念和定义若干概念和定义若干概念和定义 引引 言言s s问题问题问题问题：“正应变是单位长度的线变形量正应变是单位长度的线变形量正应变是单位长度的线变形量正应变是单位长度的线变形量”？xxdxxxdxuu+du)(直角改变量直角改变量b ba a+=dxdux xe若干概念和定义若干概念和定义若干概念和定义若干概念和定义 引引 言言2 2 正应力分析的超静定性质正应

5、力分析的超静定性质 当当外外力力已已知知时时，可可由由平平衡衡方方程程求求得得内内力力 分量分量静定问题静定问题。当当内内力力分分量量已已知知时时，只只能能确确定定应应力力与与相相 关关内内力力分分量量之之间间的的关关系系，却却无无法法求求得得各各 点应力点应力超静定问题超静定问题。引引 言言正应力分析的超静定性质正应力分析的超静定性质xyz 一般情形下，应力与相应内力分量关系如下：一般情形下，应力与相应内力分量关系如下：一般情形下，应力与相应内力分量关系如下：一般情形下，应力与相应内力分量关系如下：MyMMzzFN-=A Az zx xMyA)d(s=A Ay yx xMzA)d(s=A A

6、x xx xFNAds 引引 言言正应力分析的超静定性质正应力分析的超静定性质xxyxzdAxyzMMx xF FQyQyF FQzQz A AA(xzxzd dA A)y y MMx x +-A AA(xyxyd dA A)z z A AA xzxzd dA A F FQ Qz z A AA xyxyd dA A F FQ Qy yxxyxzdA 引引 言言正应力分析的超静定性质正应力分析的超静定性质3.3.线弹性材料的物性关系线弹性材料的物性关系 e ex xx xE=xe exE=t tg=Gxxg gt t=G线弹性材料的物性关系线弹性材料的物性关系线弹性材料的物性关系线弹性材料的物性

7、关系 引引 言言胡克定律胡克定律 正应力分析方法正应力分析方法第第3 3章章弹性杆件横截面弹性杆件横截面上的正应力分析上的正应力分析 正应力分析方法正应力分析方法1.1.平面假定与变形协调方程平面假定与变形协调方程2.2.应变分布与应力分布应变分布与应力分布4.4.正应力表达式正应力表达式3.3.应用静力学方程确定待定常数应用静力学方程确定待定常数 平平平平面面面面假假假假定定定定 变变 形形 物物物物性性性性关关关关系系系系 静静静静 力力力力 方方方方 程程程程 正应力分析方法正应力分析方法应变分布应变分布应变分布应变分布应力分布应力分布应力分布应力分布应力公式应力公式应力公式应力公式1.

8、1.平面假定与变形协调方程平面假定与变形协调方程 考察产生正应力考察产生正应力的最一般情形，即的最一般情形，即FN、My、Mz同时作同时作用的情形。用的情形。正应力分析方法正应力分析方法平面假定与变形协调方程平面假定与变形协调方程平面假定平面假定 正应力分析方法正应力分析方法三种位移三种位移d dx x平面假定与变形协调方程平面假定与变形协调方程 正应力分析方法正应力分析方法d dx xu u0 0+d+du u0 0u u0 0F FN Nx xF FN Nx xF FN Nx xF FN Nx x平面假定与变形协调方程平面假定与变形协调方程 正应力分析方法正应力分析方法平面假定与变形协调方

9、程平面假定与变形协调方程 正应力分析方法正应力分析方法l l 轴向位移轴向位移轴向位移轴向位移 d d u u 0 0l l 绕绕绕绕 y y 轴转动轴转动轴转动轴转动 对于对于对于对于d d d dx x 微段，在三个内力分量作用下，两截微段，在三个内力分量作用下，两截微段，在三个内力分量作用下，两截微段，在三个内力分量作用下，两截面将保持平面，但发生三种相对位移：面将保持平面，但发生三种相对位移：面将保持平面，但发生三种相对位移：面将保持平面，但发生三种相对位移：l l 绕绕绕绕 z z 轴转动轴转动轴转动轴转动d d y yd d z z 平面假定与变形协调方程平面假定与变形协调方程 正

10、应力分析方法正应力分析方法d dx xu u0 0+d+du u0 0u u0 0F FN Nx xF FN Nx x平面假定与变形协调方程平面假定与变形协调方程 正应力分析方法正应力分析方法ud0 0ud=-y(dz)+z(dy)xyzdu0MyFNMz-y(d z z)z(d y)平面假定与变形协调方程平面假定与变形协调方程 正应力分析方法正应力分析方法uudd0 0zy yd+yz zd-=变形协调方程变形协调方程 根据叠加原理，横截面上任意一点根据叠加原理，横截面上任意一点根据叠加原理，横截面上任意一点根据叠加原理，横截面上任意一点(y y y y,z z z z)的位的位的位的位移，

11、可表示为：移，可表示为：移，可表示为：移，可表示为：此即变形协调方程此即变形协调方程此即变形协调方程此即变形协调方程(Compatibility Equation of (Compatibility Equation of (Compatibility Equation of (Compatibility Equation of Deformation)Deformation)Deformation)Deformation)。平面假定与变形协调方程平面假定与变形协调方程 正应力分析方法正应力分析方法2.2.应变分布与应力分布应变分布与应力分布=udxd=x 0 zy-r rz+yr r 微段横

12、截面的相对位移，亦即微微段横截面的相对位移，亦即微段各处的变形。于是横截面上任意段各处的变形。于是横截面上任意点处的正应变为点处的正应变为应变分布与应力分布应变分布与应力分布 正应力分析方法正应力分析方法均均均均为为为为待待待待定定定定常常常常数数数数。0 0=d dd du ux x0 0=d dd dx xy yy y,r r r r=d dd dx xz zz z 此即横截面上各点正应变分布方程。此即横截面上各点正应变分布方程。此即横截面上各点正应变分布方程。此即横截面上各点正应变分布方程。其中其中其中其中应变分布应变分布应变分布与应力分布应变分布与应力分布 正应力分析方法正应力分析方法

13、 x xx xE=r rr rz zy yEEyEz=-+0 0 应应 力力 分分 布布此即横截面上各点正应力分布方程。此即横截面上各点正应力分布方程。胡克定律，由应变分布得到横上胡克定律，由应变分布得到横上一点处的正应力为一点处的正应力为应变分布与应力分布应变分布与应力分布 正应力分析方法正应力分析方法3.3.应用静力学方程应用静力学方程 确定待定常数确定待定常数 x xN NA AAFd=x xz zA AA yMd=-()x xy yA AA zMd=()将带有待定常数的应力公式代入将带有待定常数的应力公式代入与正应力有关的三个静力方程：与正应力有关的三个静力方程：正应力分析方法正应力分

14、析方法应用静力学方程应用静力学方程 确定待定常数确定待定常数整整理理后后得得到到EAEAESESESESF Fz zz zy yy yNN()()()r r r rr r r r0 01 11 1-+=ESESEIEIEIEIMMz zz zz zyzyzy yz z()()()r r r rr r r r0 01 11 1-+-=1 11 1ESESEIEIEIEIMMy yyzyzz zy yy yy y()()()r r r rr r r r0 0-+=正应力分析方法正应力分析方法应用静力学方程应用静力学方程 确定待定常数确定待定常数其其中中 S Sz zA A S Sy yA Ay y

15、A Az zA A=d dd d,静静 矩矩I Iz zA A I Iy yA Ay yA Az zA A=2 22 2d dd d,惯性矩惯性矩I IyzyzA AyzyzA A=d d 惯性积惯性积zyEAESESFzyN()()()r rr r011-+=ESEIEIMzzzyzyz()()()r rr r011-+-=ESEIEIMyyzzyyy()()()r rr r011-+=正应力分析方法正应力分析方法应用静力学方程应用静力学方程 确定待定常数确定待定常数zyEAESESFNzy()()()r rr r011-+=ESEIEIMzzzyzyz()()()r rr r011-+-=

16、ESEIEIMyyzzyyy()()()r rr r011-+=Sy=Sz=0 ,Iyz=0 若将坐标原点选在形心处，若将坐标原点选在形心处，且且y轴和轴和z轴均为主轴，则有轴均为主轴，则有 正应力分析方法正应力分析方法应用静力学方程应用静力学方程 确定待定常数确定待定常数zyEAESESFNzy()()()r rr r011-+=ESEIEIMzzzyzyz()()()r rr r011-+-=ESEIEIMyyzzyyy()()()r rr r011-+=于于于于是是是是，得得得得到到到到待待待待定定定定常常常常数数数数 1 1=MMEIEIy yy yy y,r r r r 1 1=MM

17、EIEIz zz zz zr r r r 这三个常数分别表示这三个常数分别表示这三个常数分别表示这三个常数分别表示 F FN N、MMy y、MMz z 引起的微段变形程度引起的微段变形程度引起的微段变形程度引起的微段变形程度0 0=EAEA,F FN N 正应力分析方法正应力分析方法应用静力学方程应用静力学方程 确定待定常数确定待定常数4.4.正应力表达式正应力表达式sxFNA=yyM zI+zzM yI-正应力分析方法正应力分析方法正应力表达式正应力表达式 正应力公式的正应力公式的 应用应用第第3 3章章弹性杆件横截面弹性杆件横截面上的正应力分析上的正应力分析 正应力公式的应用正应力公式的

18、应用4.4.关于中性轴的概念关于中性轴的概念3.3.应用举例应用举例2.2.几种特例几种特例1.1.公式中各项正负号的确定公式中各项正负号的确定第一种办法第一种办法：由由由由F FN N、MMy y、MMz z 的正负号确定。的正负号确定。的正负号确定。的正负号确定。第二种办法第二种办法：根据根据根据根据F FN N、MMy y、MMz z 的实际的实际的实际的实际方向及其在所求应力点引方向及其在所求应力点引方向及其在所求应力点引方向及其在所求应力点引起的正应力之拉、压性质起的正应力之拉、压性质起的正应力之拉、压性质起的正应力之拉、压性质确定确定确定确定。xyzMMy y+_ _MMz z+_

19、NNx x_ _ _1.1.公式中各项正负号确定公式中各项正负号确定 正应力公式的应用正应力公式的应用公式中各项正负号确定公式中各项正负号确定公式中各项正负号确定公式中各项正负号确定2.2.几种特例几种特例MMy yz z=0FNx 0,x xF FN Nx xA A 轴轴向向拉拉伸伸或或压压缩缩 正应力公式的应用正应力公式的应用几种特例几种特例 平平面面弯弯曲曲My=0 ,FN=0 ，Mz=0zMzW,x max=xzM yzI=-，正应力公式的应用正应力公式的应用几种特例几种特例 平平面面弯弯曲曲Mz=0 ,FN=0 ，My=0yMyW,x max=yM zyI=x，正应力公式的应用正应力

20、公式的应用几种特例几种特例 y yMM z zy yI I=x x x xz zMM y yz zI I=-z zMMz zWW,x x maxmax=y yMMy yWW,x x maxmax=其中其中Wy和和Wz 分别称为横截面对于分别称为横截面对于y轴和轴和z轴的轴的“弯曲截面系数弯曲截面系数”（Section Modulus in Bending)平平面面弯弯曲曲 正应力公式的应用正应力公式的应用几种特例几种特例 斜斜弯弯曲曲FN=0 ，My=0Mz0 ,=x xy yy yM zI=-=-x,max=WyMyWzMz)(z zz zMyI+，正应力公式的应用正应力公式的应用几种特例几

21、种特例几种特例几种特例 偏偏心心载载荷荷 纵向载荷作用线平行于杆件的轴线，纵向载荷作用线平行于杆件的轴线，但不重合，这种载荷称为偏心载荷。但不重合，这种载荷称为偏心载荷。正应力公式的应用正应力公式的应用几种特例几种特例应用举例应用举例应用举例应用举例例例 题题 一一已知：已知：已知：已知：矩形截面梁截面宽度矩形截面梁截面宽度矩形截面梁截面宽度矩形截面梁截面宽度b b、高度高度高度高度h h、长度长度长度长度l l，外载荷外载荷外载荷外载荷F FP1P1和和和和F FP2P2求：求：求：求：根部截面上的最大正应力根部截面上的最大正应力根部截面上的最大正应力根部截面上的最大正应力3.3.应用举例应

22、用举例 正应力公式的应用正应力公式的应用应用举例应用举例应用举例应用举例例例 题题 一一A A、B B 二点应力最大二点应力最大二点应力最大二点应力最大MMMM maxmax+=+WWWWy yy yz zz z)maxmax(-=-+MMWWMMWWy yy yz zz z 正应力公式的应用正应力公式的应用？应用举例应用举例应用举例应用举例例例 题题 一一 对于圆截面，上对于圆截面，上述公式是否正确述公式是否正确 正应力公式的应用正应力公式的应用应用举例应用举例应用举例应用举例例例 题题二二已知：已知：已知：已知：外加载荷外加载荷外加载荷外加载荷F FP P以及横截面尺寸以及横截面尺寸以及横

23、截面尺寸以及横截面尺寸 求：求：求：求：ABEDABED截面截面截面截面 上四个角点上的上四个角点上的上四个角点上的上四个角点上的 正应力正应力正应力正应力 正应力公式的应用正应力公式的应用应用举例应用举例应用举例应用举例例例 题题二二确定截面上的确定截面上的确定截面上的确定截面上的内力分量内力分量内力分量内力分量两种方法两种方法 正应力公式的应用正应力公式的应用应用举例应用举例应用举例应用举例例例 题题二二sx=yM zyI+zM yzI-应力平面应力平面FNA-正应力公式的应用正应力公式的应用3.3.关于中性轴的概念关于中性轴的概念关于中性轴的概念关于中性轴的概念中中性性轴轴横横横横截截截

24、截面面面面上上上上正正正正应应应应力力力力为为为为零零零零的的的的点点点点连连连连成成成成的的的的直直直直线线线线 正应力公式的应用正应力公式的应用中中性性轴轴的的位位置置关于中性轴的概念关于中性轴的概念 正应力公式的应用正应力公式的应用 平面弯曲：平面弯曲：平面弯曲：平面弯曲：中性层、中性轴；加载方向中性层、中性轴；加载方向中性层、中性轴；加载方向中性层、中性轴；加载方向与中性轴之间的关系。与中性轴之间的关系。与中性轴之间的关系。与中性轴之间的关系。关于中性轴的概念关于中性轴的概念关于中性轴的概念关于中性轴的概念 正应力公式的应用正应力公式的应用关于中性轴的概念关于中性轴的概念关于中性轴的概

25、念关于中性轴的概念斜弯曲：斜弯曲：中性轴位置；加载方向中性轴位置；加载方向与中性轴之间的关系。与中性轴之间的关系。正应力公式的应用正应力公式的应用 偏偏心心载载荷荷：有有没没有有中中性性轴轴；是是否否通通过过截截面形心。面形心。关于中性轴的概念关于中性轴的概念 正应力公式的应用正应力公式的应用 结论与讨论结论与讨论第第3 3章章弹性杆件横截面弹性杆件横截面上的正应力分析上的正应力分析 关于应力分析的结论关于应力分析的结论 应力的概念，确定应力的超静定性应力的概念，确定应力的超静定性质，以及由此而产生的分析应力的基本质，以及由此而产生的分析应力的基本方法。方法。结论与讨论结论与讨论结结 论论 应

26、力分析中，重要的是要确定应力应力分析中，重要的是要确定应力 分布规律，在此基础上即可由静力学分布规律，在此基础上即可由静力学 平衡方程确定各点的应力表达式。平衡方程确定各点的应力表达式。1 1几点结论几点结论结结 论论 为了确定横截面上的内力分量，可为了确定横截面上的内力分量，可以有两种方法：以有两种方法：关于外力的简化与关于外力的简化与内力分量的确定内力分量的确定 结论与讨论结论与讨论在在截截面面的的形形心心和和形形心心主主轴轴处处建建立立Oxyz 坐坐标标系系，然然后后 将将 一一 般般 外外力力 向向 坐坐 标标 轴轴投投影影、取取矩矩，进进而而由由平平衡衡求求得得内内力力分分量量。Oy

27、)先先在在指指定定截截面面处处截截开开(假假想想的的，并并建建立立 x z坐坐标标，再再将将作作用用在在截截面面一一侧侧的的外外力力，向向另另一一侧侧面面上上的的坐坐标标分分别别投投影影或或取取矩矩，即即得得该该截截面面上上的的内内力力分分量量。结结结结 论论论论 结论与讨论结论与讨论2.2.几点讨论几点讨论 关于公式的适用范围关于公式的适用范围 直直杆杆与与曲曲杆杆的的变变形形、应应变变和和应应力力分分布布的的差差异异。几点讨论几点讨论 结论与讨论结论与讨论几点讨论几点讨论 关于公式的适用范围关于公式的适用范围 弹性范围弹性范围弹性范围弹性范围非弹性范围非弹性范围非弹性范围非弹性范围，超超过

28、过弹弹性性范范围围后后 微微段段变变形形、应应变变和和应应力力分分布布会会发发生生什什么么变变化化。结论与讨论结论与讨论几点讨论几点讨论 加加力力点点附附近近区区域域。关于公式的适用范围关于公式的适用范围圣维南原理圣维南原理 结论与讨论结论与讨论 关于复合材料杆与复合材料梁关于复合材料杆与复合材料梁E E1 1E E2 2E E1 1E E2 2E E2 2E E1 1几点讨论几点讨论 结论与讨论结论与讨论关于关于“平面假定平面假定”正确性的讨论正确性的讨论对对称称性性分分析析的的结结论论几点讨论几点讨论 结论与讨论结论与讨论几点讨论几点讨论 结论与讨论结论与讨论关于关于“平面假定平面假定”正

29、确性的讨论正确性的讨论对对称称性性分分析析的的结结论论几点讨论几点讨论 由此引出对加力方式的要求，由此引出对加力方式的要求，圣维南原理。圣维南原理。结论与讨论结论与讨论关于关于“平面假定平面假定”正确性的讨论正确性的讨论对对称称性性分分析析的的结结论论几点讨论几点讨论 结论与讨论结论与讨论关于截面几何性质的讨论关于截面几何性质的讨论怎样判断主轴？怎样判断主轴？几点讨论几点讨论 结论与讨论结论与讨论关于截面几何性质的讨论关于截面几何性质的讨论怎样判断主轴？怎样判断主轴？aa几点讨论几点讨论 结论与讨论结论与讨论关于截面几何性质的讨论关于截面几何性质的讨论怎样判断主轴？怎样判断主轴？aax xy y几点讨论几点讨论 结论与讨论结论与讨论关于截面几何性质的讨论关于截面几何性质的讨论怎样判断主轴？怎样判断主轴？本本 章章 作作 业业第一次第一次 31，32，36第二次第二次 37，310，313谢谢 谢谢 大大 家家 ！返回主目录返回主目录返回主目录返回主目录返回本章第一页返回本章第一页返回本章第一页返回本章第一页