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    卡尔曼滤波算法(含详细推导).ppt

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    卡尔曼滤波算法(含详细推导).ppt

    1、 卡尔曼滤波算法及推导1、kalman滤波问题考虑一离散时间的动态系统,它由描述状态向量的过程方程和描述观测向量的观测方程共同表示。(1)、过程方程 式中,M 1向量x(n)表示系统在离散时间n的状态向量,它是不可观测的;M M矩阵F(n+1,n)成为状态转移矩阵,描述动态系统在时间n的状态到n+1的状态之间的转移,应为已知。而M 1向量 为过程噪声向量,它描述状态转移中间的加性噪声或误差。1、kalman滤波问题(1)、观测方程 式中,N 1向量y(n)表示动态系统在时间n的观测向量;N M矩阵C(n)称为观测矩阵(描述状态经过其作用,变成可预测的),要求也是已知的;v2(n)表示观测噪声向

    2、量,其维数与观测向量的相同。过程方程也称为状态方程,为了分析的方便,通常假定过程噪声v1(n)和观测噪声v2(n)均为零均值的白噪声过程,它们的相关矩阵分别为:1、kalman滤波问题1、kalman滤波问题还假设状态的初始值x(0)与v1(n)、v2(n),n 0均不相关,并且噪声向量v1(n)与v2(n)也不相关,既有:2、新息过程考虑一步预测问题,给定观测值y(1),.,y(n-1),求观测向量y(n)的最小二乘估计,记作(1)、新息过程的性质 y(n)的新息过程定义为:式中,N 1向量 表示观测数据y(n)的新的信息,简称新息。2、新息过程新息 具有以下性质:性质1 n时刻的新息 与所

    3、有过去的观测数据y(1),.,y(n-1)正交,即:性质2 新息过程由彼此正交的随机向量序列 组成,即有 2、新息过程性质3 表示观测数据的随机向量序列y(1),y(n)与表示新息过程的随机向量序列a(1),a(n)一一对应,即以上性质表明:n时刻的新息a(n)是一个与n上课之前的观测数据y(1),.,y(n-1)不相关,并具有白噪声性质的随机过程,但它却能够提供有关y(n)的新息,这就上信息的内在物理含义。2、新息过程(2)、新息过程的计算 下面分析新息过程的相关矩阵 在kalman滤波中,并不直接估计观测数据向量的进一步预测 ,而是先计算状态向量的一步预测然后再用到下式得到 :2、新息过程

    4、将上式代入新息过程的定义式(6),可得到:这就是新息过程的实际计算公式,条件是:一步预测的状态向量估计 业已求出。定义向量的一步预测误差:2、新息过程将此式代入式(13),则有在新息过程的相关矩阵定义式(10)中代入式(14),并注意到观测矩阵C(n)是一已知的确定矩阵,故有式中Q2(n)是观测噪声v2(n)的相关矩阵,而表示(一步)预测状态误差的相关矩阵3、kalman滤波算法由上一节的的新息过程的相关知识和信息后,即可转入kalman滤波算法的核心问题的讨论:如何利用新息过程估计状态向量的预测?最自然的方法是用新息过程序列a(1),a(n)的线性组合直接构造状态向量的一布预测:式中W1(k

    5、)表示与一步预测项对应的权矩阵,且k为离散时间。现在的问题是如何确定这个权矩阵?(1)、状态向量的一布预测 根据正交性原理,最优预测的估计误差3、kalman滤波算法应该与已知值正交,故有将式(18)代入(19),并利用新息过程的正交性,得到由此可以求出权矩阵的表达式:3、kalman滤波算法 将式(20)代入式(18),状态向量的一步预测的最小均方估计可表示为注意到 并利用状态方程(1),易知下式对k=0,1,n成立:3、kalman滤波算法将式(22)代入式(21)右边第一项(求和项),可将其化简为:3、kalman滤波算法若定义 并将式(23)和式(24)代入式(21),则得到状态向量一

    6、步预测的更新公式:式(25)在kalman滤波算法中起着关键的作用,因为它表明,n+1时刻的状态向量的一步预测分为非自适应(即确定)部分 和自适应(即校正)部分G(n)a(n)。从这个意义上讲,G(n)称为kalman增益(矩阵)是合适的。3、kalman滤波算法(2)、kalman增益的计算 为了完成kalman自适应滤波算法,需要进一步推导kalman增益的实际计算公式。由定义式(24)知,只需要推导期望项 的具体计算公式即可。将新息过程的计算公式(13)代入式(22),不难得出:这里使用了状态向量与观测噪声不相关的事实。进一步地,由正交原理引理知,在最小均方误差准则下求得的一步预测估 与

    7、预测误差e(n,n-1)彼此正交,即3、kalman滤波算法因此,由式(26)及式(27)易得:将式(27)代入式(24),便得到kalman增益的计算公式如下:式中R(n)是信息过程的相关矩阵,由式(10)定义。3、kalman滤波算法(3)、Riccati方程 由式(28)表示的kalman增益与预测状态误差的相关矩阵K(n,n-1)有关,为了最后完成kalman自适应滤波算法,还需要再推导K(n,n-1)的递推公式。考察状态向量的预测误差:将状态方程(1)和状态向量的一步预测更新公式(25)代入式(29)中,有:将观测方程(2)代入上式,并代入 ,则有:3、kalman滤波算法求式(3)

    8、所示状态向量的一步预测误差向量的相关矩阵,容易证明:式中使用了e(n+1,n),v1(n),v2(n)彼此不相关的事实,以及和 等关系式。对式(31)的右边进行展开,然后代入式(28)和(29),可以证明:状态向量预测误差的相关矩阵的递推公式为:式中 式(32)称为Riccati差分方程。3、kalman滤波算法若定义 是利用已知的y(1),y(n)求得的状态向量的滤波估计,则定义滤波状态向量的误差向量,可以证明:因此,Riccati差分方程中的矩阵P(n)事实上是滤波误差状态向量的相关矩阵。(4)、kalman滤波算法 将上面推导得到的式(28)、(16)、(13)、(25)、(33)和(32)依次加以归纳,得到基于一步预测的kalman自适应滤波算法如下。初始条件:3、kalman滤波算法输入观测向量过程:观测向量=y(1),y(n)已知参数:状态转移矩阵F(n+1,n)观测矩阵C(n)过程噪声向量的相关矩阵Q1(n)观测噪声向量的相关矩阵Q2(n)计算:n=1,2,3,3、kalman滤波算法 Kalman滤波器是一种线性的离散时间有限维系统。Kalman滤波器的估计性能是:它使滤波后的状态估计误差的相关矩阵P(n)的迹最小化。这意味着,kalman滤波器是状态向量x(n)的线性最小差估计。由前面的公式可以得出kalman滤波算法的结构图,如下:3、kalman滤波算法


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