土木工程结构力学讲义.PDF

1、 第一部分 力法一基本概念1 超静定结构的基本概念 由静力平衡方面分析:静定结构通过静力平衡条件能求出结构的全部反力及内力的结构。超静定结构通过静力平衡条件不能求出结构的全部反力及内力的结构(需增加变形协调条件)。由几何组成方面分析:静定结构无多余约束的几何不变体。超静定结构具有多余约束的几何不变体。2 判定超静定次数的方法去掉多余约束使之成为静定结构。超静定次数=多余约束的个数 去掉多余联系的个数及方法掌握 去掉一根链杆支座或切开一根链杆=去掉一个约束。去掉一个铰支座或单铰=去掉二个约束。去掉一个固定端或切断连续杆=去掉三个约束。去掉一个定向支座=去掉二个约束。把刚性联接或固定端换成一个铰联

2、接=去掉一个约束。静定结构的基本形式简支梁式悬臂梁式三铰刚架式 3 力法典型方程的形式力法方程的物理意义各符号的含义。)0()0(2222212111212111=+=+ppxxxx)0(11111=+px一次超静定结构两次超静定结构 力法方程的物理意义 基本结构在荷载和多余约束力共同作用下在多余约束处的变形和原结构在多余约束处的变形是相等的。实质是多余约束处的变形协调条件位移条件应明确以下几点 基本未知量x i是广义多余力每个方程是与多余约束相应的位移条件。力法的基本结构是去掉多余约束后的静定结构。力法方程中 基本结构单独承受外荷载作用时在xi作用点沿xi方向的位移。(自由项iiPij 与多

3、余约束相应的原结构的已知位移一般为零。基本结构由于xj=1作用在xi作用点沿xi方向的位移。柔度影响系数 4 在外荷载作用下超静定梁和刚架的内力与各杆的 EI 的相对值有关而与其绝对值无关。的分母中都有 EI 计算未知力时EI 可约简ijiP5.求iPij实质上是计算静定结构的位移对梁和刚架可采用“图乘法”计算。图乘法计算公式=EIy0iM图自乘恒为正。iM图与jM图图乘有正、负、零的可能。iM图与PM图图乘有正、负、零的可能。jiij=应掌握图乘法的注意事项 一个弯矩图的面积。y0 与取面积的图形形心对应的另一个弯矩图的纵标值。两个弯矩图中至少有一个是直线图形。y0取自直线图形。折线应分段

4、必须是等截面的直杆。变截面应分段 常用的图乘结果=dsEIMiii2主系数=dsEIMMjiij副系数基线同侧图乘为正反之为负。=dsEIMMPiiP自由项 基线同侧积为正反之为负。记住几种常用图形的形心位置、面积计算公式。hlhl32=2ll83l85hhl32=hl43l41hl31=hl32l31hl21=cldb281qlh=a)22(60bcadbdacly+=两个梯形图乘:albcld曲线图形与直线图形图乘:)22(60bcadbdacly+=allballb两个三角形图乘:ably310=ably610=(1/3 高高底(1/6 高高底(1/6 杆长乘 2 倍同侧积加 1 倍异侧

5、积)(2132dchl+举例 1.指出以下结构的超静定次数。静定结构的内力计算可不考虑变形条件。复铰2.判断或选择 力法典型方程的物理意义是 A.结构的平衡条件 B.结点的平衡条件 C.结构的变形协调条件 D.结构的平衡条件及变形协调条件 力法只能用于线形变形体系。通过静力平衡条件能求出静定结构的全部反力及内力。dxEIMMjiij=由力法方程的系数可知 EI 应为常数且不能均为无穷大。只有线性变形体满足此条。4次6次4次 C 组合结构举例杆 1、杆 2、杆 3、杆4、杆 5 均为只有轴力的二力杆仅考虑轴向变形。杆 6 为梁式杆件应主要考虑弯曲变形。123456A.梁B.桁架C.横梁刚度为无限

6、大的排架 D.组合结构 在超静定结构计算中一部份杆件考虑弯曲变形另一部份杆件考虑轴向变形 则此结构为()。D 3.分别说出下面几种基本结构中力法方程的具体意义及11P1的具体含义并用图形表示。原结构PP1xP1x1x1x基本结构基本结构基本结构ABC01111=+px Px基本结构Px基本结构xx基本结构=+px基本结构在竖向力x1和荷载 P 共同作用下在 C 处的竖向线位移原结构在 C 处的竖向线位移11=x11PP101111=+px基本结构在力偶 x1和荷载 P 共同作用下在 A 处的转角位移原结构在 A处的角位移11=x1101111=+px基本结构在一对力偶 x1和荷载 P 共同作用

7、下在 B 处的相对角位移原结构在 B 处的相对角位移11=x11=x11=+PPP1P1PABCABCABC 用力法计算并绘图示结构的M 图ABC0MEIEI2ll解:1)取基本结构确定基本未知量 3)绘和pM图1M01111=+px2)列力法方程EIllllEIlllEI65)(21)31(1311=+=EIlMllMEIP2)(212001=4)求系数和自由项11=xlll图1M0M0M0M图pM5)把系数和自由项代入力法方程求未知量lMlEIEIlMxp5356203201111=6)作结构的 M 图。将解得的基本未知量直接作用于 B 支座处利用截面法计算即可0M520M530M0=CM

8、BAC0MEIEI21x基本结构1x图M二.力法解超静定结构的计算步骤 以 02 级试题为例 25 分 原结构520M530M520MlMx5301=0M 三.对称性的利用 重点掌握半刚架法1。对称结构的概念几何尺寸、支座、刚度均对称2EIEIL/2L/2EIEILLEI2EI2EIEIL/2L/22EIEIEI2EI2EI对称结构非对称结构非对称结构 b.偶数跨 取半边结构时对称轴截面处视为固定端。L/2L/2L/2简化为2。简化方法 对称结构在对称荷载作用下特点 M、N 图对称 Q 图反对称a.奇数跨 取半边结构时对称轴截面处视为定向支座。M0M0M0简化为 对称结构在反对称荷载作用下特点

9、 M、N 图为反对称 Q 图为对称M0M0a.奇数跨 取半边结构时对称轴截面处视为与杆件垂直的可动铰支座。M0简化为b.偶数跨 取半边结构时对称轴通过的杆件弯曲刚度取一半。L/2L/2简化为L/2EIEIEIEIEI/2 对称结构上作用一般荷载时可将荷载分解为正对称与反对称两种情况之后在于以简化。例如作业 1 第四题略另简化时应充分利用局部平衡的特殊性以简化计算。反对称荷载P/2P/2 b P/2简化例如PP/2P/2P/2P/2 a b 对称荷载反对称荷载局部平衡各杆弯矩为 0 03 级试题 15 分用力法求图示结构 M 图,EI=常数 M0=45kN.m。M0M02.5m 2.5m3m3m

10、4mM0MP 图45X1M0基本结构X1=1M1 图2.5M02.5m3m简化的半结构EIEIp5.112)33455.2(11=EIEI.).(=+=解 1.利用对称结构在反对称荷载作用下取左半跨结构进行计算 取基本结构,列力法方程01111=+PX3.求X182.91111=Px4.绘 M 图。2.绘 M1 MP 图求系数和自由项PMxMM+=11MkNMBA=45.204582.95.2MkNMBD=.082.90=BCM20.4524.5520.4524.55M 图 kN.m ABCD往届试题举例:ABCD请思考若此题若改为对称荷载结构又应该如何简化 20 分图 b 为图 a 的基本体

11、系。已知 7lEI=012=EI4322lEI=1621PlEIP=求结构的 M 图.(EI=常数)02=PEI3lx1x1Px2 说 明 也可不画单位弯矩图和荷载弯矩图求出基本未知量后直接利用 AC 段弯矩图是斜直线的特点由比例关系求出 A 截面的弯矩值PlllPlMAC563323283=P2/lABl2/lC图 a图 bPPl5611图MPl283Pl563解:列力法方程将已知条件代入方程求基本未知量 利用叠加法求图002222211212111=+=+pipxxxx02=x外侧受拉即283(283121621111PlMMpllPlxCBCAP=PACMXMXMM+=221156321

12、283plpl=右侧受拉10.5X1=111MX2=111.52MP4/PlPM 01 级试题此方法简便 用力法计算图示结构并绘出 M 图。EI=常数。20 分 EIEI364)44431(111=EIEI)(=+=EIEI)(=EIEIP3200232222021(11=+=EIEIP)(=4)求系数和自由项002222211212111=+=+pipxxxx3)绘2M和pM图1M2)列力法方程解:1)选 取基本结构确定基本未知量 x1、x2。10KN4m2m2m 01 级试题同作业 1 第三题3 5)把系数代入方程求基本未知量032003236421=+XX08032563221=+XX9

13、3.314551=X536.028152=X 6)利用叠加法 绘 M 图6.422.142.145.71M 图(kN.m)PikMXMXMM+=2211mkNMCB.42.6)20()536.0(493.34=+=如右侧受拉102010KNpM11=X41M12=X442M1X2X10KN基本结构2 15 分图 b 为图 a 的基本体系求 1P。E=常数。X130kN图 b 02 级试题2010MP 图2.求系数 1P(提示变截面杆应分段图乘EIEIEIp2140)2311031(1)323131(42021311=+=解 1.绘 M1 MP 图X1=111/3M1 图5/9EIEIEIp21

14、40)2311031(1)12031202(64311=+=或554m2m3II30kN图 a 15 分用力法计算并绘图示结构 M 图。EI=常数。A=3I/2l2llq基本结构qx11=x M1图l4.求系数和自由项。EIqlllqlEIp=EIl311=5.求X188321111qllEIEIqlxP=6.绘 M 图。解 1.选取基本结构确定基本未知量1x01111=+Px2.列出力法方程3.绘 M1 MP 图。22qlMP图828222qlqllqlMAB=0=BAM832qlM 图82qlAB8qlNBC=C 03 级试题 第二部分 位移法一基本概念判断位移法基本未知量数目的方法 刚结

15、点数目=角位移数目 不含固定端 用直观法或换铰法确定独立结点线位移的数目。直观法由两个不动点引出的两个不共线直杆的交点也为不动点。换铰法将结构所有的刚性联结均变为铰接后含固定端组成的可变铰接体系的自由度数目即为独立线位移数目。注意角位移、线位移图形符号与约束力、力矩图形符号的区别。注意角位移、线位移正、负方向的规定。2.位移法的基本结构 由若干个单个超静定杆件构成的组合体。为使结构中各杆变为超静定直杆 BAB BABABAB1.位移法的基本未知量 刚结点的角位移与独立的结点线位移(1、2、)结点的角位移符号结点的线位移符号图示方向为正 在结构上需施加附加约束:(1)附加刚臂(在刚结点处增设),

16、符号 ,其作用是只限制结点的转动不限制结点的移动。(2)附加链杆(在结点线位移方向增设)符号为 其作用是只限制结点的线位移。1.梁和刚架一般均忽略杆件的轴向变形。2.位移法的基本结构一般应是固定形式。3.位移法既用于计算超静定结构也能计算静定结构。注意 1.2.举例判断下列结构位移法的基本未知量的个数 n 并画出基本结构图。作业 2 第一题铰结体系有一个自由度可判断有 1 个独立线位移原结构无刚结点故没有角位移。用换铰法分析线位移一个独立线位移1n=1基本结构图 6 个独立角位移和2 个独立线位移12345678n=6+28基本结构图铰结体系有两个自由度可判断有 2 个独立线位移原结构有 6

17、个刚结点故有 6 个角位移。用换铰法分析线位移 3.12345n=3+2 3 个独立角位移和 2 个独立线位移基本结构图n=2+1 2 个独立角位移和 1 个独立线位移123基本结构图可简化铰结体系有两个自由度静定部分 举例 03 级试题=EI1注意当横梁刚度为时,右图无角位移 只有线位移。解取基本结构如下图所示基本未知量 n=7=1EIaEAbEA=1EI=1EI123465=1EIaEAEA=EI=EIb2EI4EI2EI4EIEIEI2EI4EI原结构12是独立结点角位移3至是独立结点线位移是附加刚臂是附加链杆统称附加约束1.试确定图示结构位移法的基本未知量和基本结构链杆 a,b 需考虑

18、轴向变形。15 分 3.位移法基本方程的形式及其物理意义。=+=+PPFkkFkk一个结点位移01111=+PFk两个结点位移 位移法方程的物理意义 基本结构在基本未知量 1、2及荷载共同作用下每个附加约束处的反力之和等于零。实质是静力平衡条件 2111kk、刚度系数分别表示基本结构在结点位移 1=1 单独作用(2=0)时,其附加约束 1 和附加约束 2 中产生的约束力(或力矩)。在 M1图之中2212kk、刚度系数分别表示基本结构在结点位移 2=1 单独作用(1=0)时,其附加约束 1 和附加约束 2 中产生的约束力(或力矩)。在 M2图之中PPFF、自由项分别表示基本结构在荷载单独作用时,

19、其附加约束 1 和附加约束 2 中产生的约束力(或力矩)。在 MP图之中4.附加刚臂处的约束力矩与附加链杆处的约束力的计算方法 计算附加刚臂处的约束力矩应取相应刚结点为隔离体由力矩平衡条件求出 计算附加链杆处的约束力应用截面切取附加链杆所在的结构一部分为隔离体由截面剪力平衡条件求出。01111=+PRZr=+=+0022221211212111PPRZrZrRZrZr旧版本 5.单跨梁的形常数(是位移法绘 图的依据,是力矩分配法中计算转动刚度的依据)BBBi2Bi42 一端固定另一端铰支的单跨梁AAAABiM3=B3 一端固定另一端定向支座的单跨梁 ABAAABiM=ABAiM=AABiM=A

20、当 A 端产生角位移 时有ABAiM=BA=liMAB6=liMBA6+=liiiMBAAB624+=liiiMABBA624当 A 端产生角位移 ,B 端产生角位移 且 AB 杆的 B 端产生竖向位移 时有ABBABABAi4Ai2=liMAB3ABiM=liiMAAB33当 A 端产生角位移 ,且 AB 杆的 B 端产生竖向位移 时有A1)两端固定的单跨梁 (图中虚线为变形曲线0=BAM 6.单跨梁的载常数(固端弯矩)可直接查表 3-2,是位移法绘 图的依据.(考试时一般给出)(查表时,应注意灵活运用)fAbMfBAMPM附:杆端力正负号的规定:梁端弯矩 对杆端而言弯矩绕杆端顺时针方向为正

21、,逆时针方向为负;对结点或支座而言,则顺时针方向为负,逆时针方向为正.如图 梁端剪力使杆件有顺时针方向转的趋势为正,反之为负.(与前面规定相同)BABABM0M0杆端结点或支座 杆端位移(结点位移)正负号的规定 角位移 设顺时针方向为正,反之为负。杆端相对线位移 设使杆件沿顺时针方向转时为正,反之为负。7.掌握对称性的利用半刚架法同力法复习部分.例如作业 2 第三题8.会由已知的结点位移,求结构的 M 图利用转角位移方程9.复习位移法与力法的比较表见教材第 65 页表 3-3 ABq122qlMfAB=qlMfBA=ABp8plMfAB=8plMfBA=ABq82qlMfAB=0=fBAMAB

22、pplMfAB=0=fBAM 本题 15 分用位移法计算图示对称刚架并作 M 图。各杆 EI 常数。ABCDEFl2qll1M11k i iiPF1pMql62qlq1l基本结构半刚架iiiik3311=+=321qlFP=求基本未知量iqliql2113221=pikMMM+=11利用叠加法求图3 作图求系数和自由项。1MpM利用对称性按半刚架法简化并取基本结构如上图解01111=+pFk2.列位移法方程11k i iiPF132qlECEAMqliqliM=213222222321qlqliqliMEF=二.位移法解题步骤 (以 01 级试题为例)M 2 3.5211)(2ql11 三.小

23、结注意事项1.确定基本未知量时不要忽视组合结点处的角位移。而杆件自由端和滑动支承端的线位移铰结端的角位移不作为基本未知量。2.在有侧移的刚架中注意分清无侧移杆与有侧移杆列截面剪力平衡条件时所取截面应截断相应的有侧移杆。3.计算固端弯矩时注意杆件的铰结端或滑动端所在的方位以判断固端弯矩的正负号。4.列结点平衡条件时注意杆端弯矩反作用与结点上应以逆时针为正。结点上的力偶荷载及约束力矩则应以顺时针为正。计算图示结构位移法典型方程式中系数 r11和自由项 R p。EI 常数。18 分lllpZ1Z2plm=DACB2EI2EIEIlEIiiir=+=解.确定各杆线刚度设ilEIiBA=则ilEIiiC

24、BCD=DACBi8i 2 Z1图1Mi 411r12r1M图中由结点 C 的力矩平衡条件可得到在2.作 图PM1MplRP22=在PM图中由结点 B 的力矩平衡条件可得到3.求系数PR211rAplm2=pPR1PR2图PM2Pl2PlB四.往届试题举例:01 级试题 用位移法作图示结构的 M 图。20 分1q=EAEIEI2lll4 求系数和自由项22211963lililiK=+=取基本结构确定基本未知量 1解831qlFp=ilEI=令3 作图1MpM01111=+pFk2.列位移法方程1基本结构qli 6li 3截面 1-1图1M11k11k26li23liqlQfAB85=AqB2

25、81qlMfAB=0=fBAMqlQfBA83=pF1截面 2-2图PM82qlpF183ql0ABCD283ql281ql图MABCD5 求基本未知量iqlilql24983321=pikMMM+=116 利用叠加法求 M 图083912=qlli2238381246qlqliqlliMAB=+=左侧受拉2381 243qliqlliMDC=左侧受拉 02 级试题 用位移法计算图示结构并作 M 图。AB、BC 杆弯矩图不画。20 分=1EI10kNABCEIEIEI=EI8m8m6m1基本结构10kNk11 6EIEIEIEIEIEI1MF1P00010kN101010101010M 图 K

26、N.m)AB解 1)取基本结构确定基本未知量 1。2)列位移法方程 3)绘出 图 4)计算系数和自由项.5)代入方程求未知量 6)绘 M 图。1MPM6362311EIEIk=101=PFEIkFP=01111=+PFkmkNEIEIMMBAAB=1060)6(k11 662EI662EI662EI 03 级试题 F1P10kNPM 第三部分 力矩分配法一。基本概念1.应用范围仅有结点角位移的刚架和连续梁。2.正负号规定同位移法。3.基本参数 转动刚度 S 使杆端发生单位转角时其他位移分量为 0 需在该端近端施加的杆端力矩。其值与杆件的线刚度、远端支承情况有关BABA=1BABABiS4=i

27、AB B BABi 4ABi 2AABi 3BAA=1ABABiS3=B0ABABiABiABABABiS=A=1i远端固定远端铰支远端定向滑动远端自由0=ABSBA=1 传递系数 C 当杆端近端有转角时远端弯矩与近端弯矩之比 远端固定远端铰支远端定向滑动C=1/2C=0C=1 力矩分配系数=)(iikikikSS 其值为小于 1 的正数而 1)(=iikik 杆的转动刚度汇交于 i 结点处各杆转动刚度之和ik 杆分配系数4。结点的不平衡力矩及其“反号分配”的概念 不平衡力矩是指将刚结点视为固定端后产生的约束力矩。其等于汇交于该结点的所有杆端的固端弯矩之和。而它在实际结构中是不存在的。为了消除

28、这个不平衡力矩需在该结点处再施加一个与它等值反向的外力偶并按分配系数将其分配到各杆端即“反号分配”。1.判断 01 级试题 用力矩分配法计算结构时汇交于每一个结点各杆端力矩分配系数总和为 1 则表明力矩分配系数的计算绝对无错误。()ACADAB=+=31141414142.选择 01 级试题 图示结构 E=常数正确的杆端弯矩顺时针为正是(。1=lEIiAB=lEIiAD122=lEIiAC24MMMMMACADAB=MMMMMACADAB2.04.0=MMMMMACADAB=MMMMACADAB=A.B.C.D.ABCDI l I2l 2I l M分析=)(iikikikSS计算除满足1)(=

29、iik外还必须保证转动刚度计算正确。概念举例:X B CDABII2I8KN6m3m3m3mA 结点解 1.求各杆的转动刚度设 EI=13.计算固端弯矩21313211=+=+=ADACABABABSSSS1623=EISAB2.计算分配系数3264=EISAC313=EISAD313132132=+=+=ADACABACACSSSS613132131=+=+=ADACABADADSSSSmkNPlMAB=916683163二.力矩分配法的计算步骤1.单结点力矩分配(一次分配、传递即可结束运算举例 02 级试题(15 分用力矩分配法计算并做出图示结构 M 图。EI=常数ABP163Pl8KNA

30、B9kN.m CDB4.51.531.512A弯矩图 kN.m-4.5-1.5-3-1.51.50分配传递ik1/21/61/3fikM4.5-1.51.5-3-1.5最后弯矩0AADBC计算框图8kN900000 01 级试题用力矩分配法求图给出分配系数和固端弯矩值。10 分1 分配与传递见框图2 叠加计算最后杆端弯矩2.多结点力矩分配多轮分配与传递,一般 2 3 轮举例说明图 kN.m)30.97 A B C D E61.9456.1314.32 100 904019.1结点25.04246464=+=EIEIEIBA5.0424624424=+=EIEIEIBC结点5.032342442

31、4=+=EIEIEICB5.0323424323=+=EIEIEICD3.绘图。0.25 0.75 0.5 0.5-60 60 -26.67 26.67 50 100 -100 -19.17 -38.34 -38.34 0-1.77 -3.54 -10.62 -5.31 1.33 2.66 2.66 0-0.17 -0.33 -1.0 -61.94 56.13 -56.13 -14.32 14.32 100 -100 分配系数最后弯矩固端弯矩分配传递 A EI B 2EI C 2EI D Eq=20kN/m100kN.m6m4m3m2m100kN.m 三.注意事项 1.力矩分配应从不平衡力矩最

32、大的结点开始递减快分配时一定要反号传递不变号。2.刚结点处,最后一轮分配时,只向支座传递,不再向远端的刚结点传递。(否则结点处不平衡)3.计算精确度一般进行 2 3 轮即可。4.结点处的已知外力偶以顺时针为正其处理方法有方法 求出固点反力矩后与杆端的固端弯矩相加再反号分配到各杆端。注意固点反力矩与外力偶方向相反(见教材 74 页例 4-1)方法 外力偶按原方向不变号单独进行第一轮分配分配结果与该结点处的其它分配弯矩相加向远端传递即可。(见作业 4 第一题 2 答案)5.连续梁和刚架中带伸臂端杆件的处理方法。4 kN8kNm4KNm4 kN AC2mBDE8 kN.m A4 kNBCD4 kN8

33、kNm4 kN A BCDE1=DC0=DE (01 级试题)用力矩分配法计算图示结构,并作 M 图.。EI=常数。12 分3l/4ABPC2llplMfBA=BA2l2lplMfAB81=P解.计算分配系数固端弯矩分配与传递最后弯矩绘图结点5.0444=+=+=lEIlEIlEISSSBCBABABA5.0444=+=+=lEIlEIlEISSSBCBABCBClEIlEIiSBCBC44333=lEIiSABBA44=plMAB81=plMBA81=A分配系数 0.5 0.5最后弯矩固端弯矩 分配传递BC8Pl8Pl16Pl32Pl0325Pl16PlP16Pl16Pl0325Pl16Pl

34、649Pl16Pl图 用力矩分配法计算图示结构,并作 M 图。EI=常数。10 分CD45kN.m解 1.简化悬臂端如图 a 所示视 BC 段为左端固定右端铰支。3 计算固端弯矩mkNqlMAB=1562mkNMqlMBC=+=+=.mkNqlMBA=mkNMCB=mkNMCD=45Dq=10KN/M3m3m3mAEIEIEIBC2.计算分配系数设结点25.0131111=+=+=BCBABABASSS5.0131113=+=+=BCBABCBCSSS13=EIiiBBAB4 力矩分配与传递5 计算最后弯矩绘图见计算框图45kN.m30kN图(a)0.25 0.7511.25301545-45

35、-10.31-30.9410.310分配与传递固端弯矩分配系数 -1 025.3119.69-19.6945-45最后弯矩mkNMfB=+=25.4125.1130不平衡力矩4511.2511.2511.2519.6925.31图(kN.m)(02 级试题)(15 分用力矩分配法计算图示结构 M 图。已知35.0=BA625.0=BCCAB80KN6m4m4m30KN283PlMfAB=ABl/2Pl/2281PlMfBA=ABlq2121qlMfAB=2121qlMfBA=计算固端弯矩mkNqlMfAB=9063012112122mkNqlMfBA=901212mkNPlMfBC=24088

36、08383mkNPlMfCB=808808181分配与传递最后弯矩0.375 0.625146.25-9090-240-80-61.875-146.25-173.7528.12556.25 93.75-93.75固端弯矩分配系数(03 级试题)C135BA173.75173.7561.875146.25160弯矩图(kN.m)CABP=40kN4m4m4mDE由图示可知 BE 杆 B 端的固端弯矩值为(-160)kN.m(外侧受拉)分配与传递固端弯矩-35.5680-160ABE分配系数最后弯矩AC1/94/94/910000000D16000-35.56-17.78-8.898.89-17.

37、7817.7808.89-3.95-3.95-1.98-0.990.99009.88-9.88-19.76-39.51 49.38160-160019.76CABDEP=40kN1601609.889.8839.51 49.38M 图(kN.m)(15 分用力矩分配法计算图示结构 M 图。计算二轮1=BA.0=BE94=AB91=AD94=AC已知分配系数(03 级试题)请思考此题若简化 B 结点处为铰支端分配系数与固端弯矩有什么变化第三部分结束 第四部分 结构的动力计算一.基本概念及计算理论、公式 1.弹性体系的振动自由度(动力自由度)的确定 自由度:结构运动时,确定结构上全部质点位置的独立

38、坐标数。确定振动自由度应考虑弹性变形(或支座具有弹性变形),不能将结构视为刚片系,这与结构几何组成分析中的自由度概念有区别。其数目与超静定次数无关和质点的数目也无一定的关系。确定的方法 “直观法”和“附加支杆法”。固定体系中全部质点的位置所需附加支杆的最低数目=体系的振动自由度 应注意忽略杆件的轴向变形认为弯曲变形是微小的1 个自由度m2 个自由度mmmm2 个自由度2 个自由度EI=弹簧m1m2aaam1m2m32 个自由度1 个自由度 例 01 级试题判断图示体系有个质点其动力自由度为。设忽略直杆轴向变形影响EIEA=自由度为 3或 02 级试题判断设直杆的轴向变形不计图示体系的动力自由度

39、为 4。m1m2m3判断在动力计算中以下两图所示结构的动力自由度相同各杆均为无重弹性杆。m1m2m4m1m2m3自由度为 2自由度为 4 X 单自由度体系无阻尼自由振动 11k刚度系数11柔度系数y动位移11111=k)sin()(+=tAty简谐周期振动 724 任一时刻质点的位移微分方程的解 圆频率自振频率;A 自由振动时最大的位移称为“振幅”初相角 2 秒内质点自由振动的次数。自振频率 单位弧度/秒 1/sstgWgmmk=11111112=T11Wst=(沿振动方向作用一数值为 W 的力时质点的静位移Wstst的图示112km=112m=gst=2质点完成一次自由振动所需要的时间。自振

40、周期 T 单位秒 s质点的重量mgW=有初始干扰起振后外力撤消011=+ykym 刚度法ymy 11=柔度法 运动微分方程 分析,k,T 之间的关系:1 或 T 只与刚度系数 k11柔度系数 11和质量 m 有关而与初干扰力 P(t)及位移 y(t)无关。2 当 k11不变时 m 越大则 T 越大 小。即质量大周期越长。3 当 m 不变时 k11 越大 11越小则 T 越小 大。即刚度大柔度小周期越短。TWgmmk21111111=注意 或 T 是结构固有的动力特征只与质量分布及刚度或柔度有关而与动荷载及初始干扰无关。从表达式中能分析出 T 与 k 之关系。01 级试题判断外界干扰力只影响振幅

41、不影响自振频率 自振频率是体系的动力特征与外干扰力无关。举例31112mlEImk=BmAl Psint 与干扰力无关。m和 l 不变时若 EI 增大刚度 k11也增大由 计算式可知 也增大。C选择在图示结构中若要使其自振频率 增大可以 ()A.增大 P B.增大 m C.增大 EI D.增大 02 级试题l 01 级试题选择 图示单自由度动力体系自振周期的关系为 a)=(b)B.(a)=(c)C.(b)=(c)D.都不等mEI2l2l a 2l2m2EI2l b ll2m2EI c mT=由分析EImllllEImTa482)2244311(23=abTEIlmT=)48(2223图1MP=

42、11/4 3 单自由度体系的无阻尼强迫振动重点 运动微分方程)(tPykym=+)(tPymy+=)(111tPymyP+=刚度法柔度法或干扰力方向与质点振动方向共线干扰力方向与质点振动方向不共线 简谐荷载tPtPsin)(=作用下平稳阶段的振幅即最大动位移ssAAtyA=)1(1)(22maxPSPA1=P 与质点振动方向共线时 P 与质点振动方向不共线时11=PAS动荷载幅值 P 作为静力作用使质体沿振动方向产生的静位移。SA 动力系数 最大动位移与荷载幅值产生的静位移之比。无阻尼时2211=计算式干扰外力不撤消SAA=干扰力的频率体系的自振频率位移是双向的 简谐荷载tPtPsin)(=作

43、用下动内力幅值的计算方法 2.动荷载与惯性力共线时的比例计算方法较简便 MPtMD=max)(D 动力系数。P 动荷载幅值M 单位力沿质体振动方向作用时的弯矩方法 1.一般方法较繁,略但对于某些超静定刚架可直接利用内力位移关系式求内力幅值。当水平位移等于 1 时柱端的内力值然后将其扩大 A 倍便得到内力幅值。tPsin若已知在动荷载作用下横梁位移幅值为 A 则只要算出AMtM=max)(可参考作业 4 第四题及课上有关补充例题)(补充)(可参考作业 4 第三题及教材书中有关例题)4.阻尼对振动的影响 考虑阻尼时,体系的自振频率为阻尼比02ccmc=c阻尼系数临界阻尼系数0c21=对一般结构 0

44、.2 可取)(TT 小阻尼时 1 质体不产生振动。=1(c=2m)时 称为“临界阻尼状态”。利用有阻尼振动时振幅衰减的特征可以用实验方法测定体系的阻尼比:其计算公式knnyyk+lnknnyy+ln 经过 k 个周期后振幅的对数递减量。其中nykny+和表示两个相隔 k 个周期的振幅补充计算例题参考作业 4 第五题 在强迫振动中阻尼起着减小动力系数的作用。简谐荷载作用下有阻尼振动的动力系数为2222224)1(1+=D在共振区内即当1时阻尼对降低动力系数的作用最显著。25.15.0=D当时取在非振区内忽略阻尼的影响偏安全。011=+ykycym 单自由度体系有阻尼的自由振动的动力平衡方程 单自

45、由度体系有阻尼的强迫振动动力平衡方程tPykycymsin11=+一般了解tmPyyysin22=+mc=5.两个自由度体系的自由振动 n 个自由度体系应具有 n 个自振频率或 n 个自振周期有 n 个主振型。主振型当体系即所有质点按某一自振频率作自由振动时任一时刻各 质点位移之间的比值保持不变这种特殊的振动形式称为主振型。两个自由度体系自振频率的计算公式 掌握柔度法111m222m122m211m=0 称为“频率参数”21=频率方程()()()+=2112221121222211122211121421mmmmmm、上式中1122、2112=、与力法方程中的系数的含义相同。对于静定结构采用静

46、力法绘出1M图、2M图用图乘法计算出。111=112=T21=222=T11T 第一主振型自振周期亦称“基本周期”。第一主振型自振频率亦称“基本频率”简称“基频”。主振型的计算公式 (只能求两个质点振幅的比值不能计算出确切的值)1121122111111=mmAA第一主振型结构按 1振动第二主振型结构按 2振动1122122111222=mmAA 主振型正交性验算公式 当 1 2时 恒有 ()()()()02211212211=+AAmAAm 量纲复习附加 国际单位制中 质量用“千克 kq”或“吨 t”力用 “牛顿 N”或“千牛顿 kN”力矩用“Nm”“kNm”211smkgN=211smtk

47、N=310=k610=M910=G重力加速度28.9smg=抗弯刚度 EI 用“kNm2”或“Ncm2”或“Nmm2”压强弹性模量用“帕 Pa”211mmNPa=226/11011mNmmNMPa=EIllllEIp31)2421(1=分析llP=11MlP=1PM往届概念试题举例判断题对为 O 错为 X。对于弱阻尼情况阻尼越大结构的振动频率越小。()不计杆件质量和阻尼影响图示体系 EI=常数的运动方程为)()(111tPymyp+=其中EIlp31=()tPsinll 2l 2m 01 级试题3.动力位移总是要比静力位移大些。OOXtAtySsin)(=1sinttsin不一定大于 1。分析

48、在动力位移表达式中)(ty不一定大于静力位移故动力位移SA。01 级试题 1.单自由度体系运动方程为 ,其中未考虑质体重力,这是因为mtPyyy/)(=+(C)A.重力在弹性力内考虑了。B.重力与其它力相比,可略去不计。P=1lEIl3311=343943311PEIlEIPlyFmas=F34Pl分析 02、03 级试题2.图示体系不计阻尼的稳态最大动位移 ymax=4Pl3/9EI,其最大动弯矩为()A.7Pl/3 B.4Pl/3C.PlD.Pl/3Psint mEIl选择题C.以重力作用时的静平衡位置为 y 座标零点。D.重力是静力,不在动平衡方程中考虑。3.单自由度体系如图若 为动力系

49、数 M st为荷载幅值作为静力所产生的静力弯矩则弯矩幅值可表示为 M=M st 的体系为 ()A.m)sin(tpB.m)sin(tpC.m)sin(tpD.m)sin(tM计算式 M=M st的适用条件是 动力荷载的方向与质点振动方向共线。BB 二.计算题类型分析 求单自由度体系的自振频率或周期方法首先根据结构的特点求出与质体振动方向相应的柔度系数或刚度系数然后用公式计算。()1111k()T可参考教材第 157 页例 7.3 和例 7.4 TWgmmk21111111=刚度系数 k11(可用位移法求)柔度系数 11(可用力法去求.2)EI=EIEILhm32112424lEIlik=k11

50、=1=1hi6hi 6hi6hi6如EILL/21)EIlllllllEI8)222312231(1311=+=mP=1112l c=mcmcm3294111=解:因为梁的刚度为无穷大所以当质点处作用单位力时弹簧支座的位移 与质点的位移 11有比例关系有llc233211=所以0=AM23lPlR=有由1132=cR=1132由此可得得补充要会计算具有有弹簧支座的单自由度体系的自振频率。求图示体系的自振频率。已知弹簧刚度为 C 不计梁的自重。15 分 EI=c2llmAB例 1 02 级试题p=1cR1132=1132=11变形图1=p将cR1132=代入上式 选择在图示体系的自振频率为 A.