级数与积分的关系.doc

1、 本科生毕业论文册 河北师范大学本科毕业论文任务书论文题目: 积分与级数的关系 学院: 数学与信息科学学院 专业: 数学与应用数学 班级: 学生姓名: 1、 论文研究目标及主要任务研究目标:从表面上找到积分和级数的统一性的事实,进而找出本质的原因,寻求它们之间的联系和区别.主要任务:列举离散的级数理论和连续的积分理论,包括概念、性质、收敛判别法等,找到积分和级数的联系及差别.2、 论文的主要内容对反常积分和数项级数以及它们的含参量形式（即含参量反常积分和函数项级数）这两对概念的定义、性质以及收敛判别法等方面列出了很多平行结论加以比较,对其中一些重要结论给出了证明,指出了它们之间可以相互转化.并

2、根据这种转化关系,利用一类问题的解法得到另一类问题的求解.最后指出了它们之间存在的一些差别.3、 论文的基础条件及研究路线参考数学分析教材,列出一些基本定理、结论,进而查阅一些数学分析的经典书籍,找到相关的思想阐述,最后通过检索中国知网的一些有关文章,引用最新的科研成果.结合这些文献及资料组织论文,解决一些问题并提出新的问题.4、 主要参考文献1华东师范大学数学系.数学分析.M.北京:高等教育出版社,20012明清河.数学分析的思想方法. M.济南:山东大学出版社,2004.73李经文.数学分析纵横谈. M.北京:气象出版社,1996.44裴礼文.数学分析中典型问题与方法. M.北京:高等教育

3、出版社2006.45Walter Rudin.数学分析原理. M.北京:机械工业出版社2004.15、 计划进度阶段起止日期1完成选题、确定论文题目2010.10.6-2010.11.202提交任务书、制定进度计划,对论文文献、资料进行准备2010.11.21-2010.12.153继续收集资料,完成开题报告2010.12.16-2011.1.194完成论文初稿,毕业论文中期检查2011.1.20-2011.4.55完成论文二稿,英文文献翻译.2011.4.6-2011.4.206修改论文,完成论文定稿、打印,准备答辩2011.4.21-2011.5.67论文答辩2011.5.7-2011.5

4、.18指 导 教师: 年 月 日教研室主任: 年 月 日注:一式三份,学院（系）、指导教师、学生各一份河北师范大学本科生毕业论文开题报告书 数学与信息科学 学院 数学与应用数学 专业 2011 届学生姓名王翠巧论文题目积分与级数的关系指导教师乔玉英专业职称教授所属教研室分析教研室研究方向复分析课题论证:（详见附页）方案设计:首先指出积分和级数的本质,是离散与连续在数学分析中的体现,因此它们之间必然存在着本质的联系.其次通过列举它们的概念、敛散性定义、性质以及收敛的判别法等,发现有很多平行的理论,也印证了二者之间存在着联系,之后进一步找到了这种联系,指出它们可以相互转化,但由矛盾的对立性,还存在

5、着一些差别.进度计划:2010.11.202010.12.20 选题、确定论文题目2011.12.212011.2.20 制定进度计划,准备相关材料2011.2.212011.3.20 完成论文初稿,做好中期检查2011.3.212011.4.28 完成定稿,外文翻译2011.4.282011.5.6 修改论文,完成论文定稿、打印,准备答辩2011.5.72011.5.9 论文答辩指导教师意见: 指导教师签名: 年 月 日教研室意见: 教研室主任签名: 年 月 日附页课题论证：1、课题研究的目的、意义。积分和级数看似相距甚远，实则同出一源，本质上都是求和运算，只不过是对不同形式变量的求和；又同

6、时是一个极限运算，一个是对函数求极限，一个是对数列求求极限。本课题想通过对反常积分和数项级数以及它们的含参量形式这两对概念的定义、性质、收敛判别法等方面加以比较，列出相平行的结论，得出它们之间确实有着本质的联系这一事实，进而找到这一联系；意义是根据它们的联系，就可以通过离散的形式的理论或研究方法探索得到相应的连续形式的结论，或反过来由连续的形式探究离散形式的理论方法，从而学会知识的迁移，解决更多的问题。2、课题研究的主要内容。数学分析中蕴含着丰富的哲学思想,包括离散与连续的相互转化思想,积分和级数正是这一矛盾在数学中的体现,它们在理论和研究方法上存在很多相似之处,比较二者的概念、敛散性、性质及

7、判别法等,可以发现它们有很多平行的结论,这不是偶然的,因为它们之间有着内在的联系,而由矛盾的对立性,又存在着一些差别.因此将积分和级数加以比较,找出它们的关系,通过一类问题的方法探究另一类问题的解法,学会数学知识的迁移很有必要。本文从概念、性质及收敛判别法等方面对积分和级数加以比较,列出了很多平行的理论,从而指出了二者有着本质的联系,进而找出了这种联系,印证了积分和级数是离散和连续在数学分析中的体现, 并根据这种联系,利用一类问题的解法得到另一类问题的求解.在每章最后又简单地列举了一下区别，提出了一些新的问题。3、本课题国内外研究现状、预计有哪些突破。本课题中涉及到积分和级数的本质联系的事实很

8、明显，相关研究也已经很成熟，当前的研究主要集中在通过一类问题的解法寻求另一类的相关理论，提出了一些新的判别法等，如函数项级数的积分判别法以及莱布尼茨判别法等。本文想通过列举积分和级数的平行的结论，加深对二者本质的理解，有助于更多的探索新的理论。如类似于数项级数的比式判别法，能否找到反常积分的相关的推广结论。4、完成本课题的条件分析。课题研究人系数学与应用数学专业本科四年级学生，知识水平和能力结构尚存在着一定的局限，课题研究主要参考本科数学分析教材和相关的书籍，另外参阅了中国知网上收录的一些相关文章，了解了一些比较前沿的研究成果并加以借鉴。另外请资深的老师进行指导，历时大概三个月，最终完成整篇论

9、文。河北师范大学本科生毕业论文文献综述文献概括：数学分析（上、下册）:本书是数学系数学专业的一门重要基础课,它的任务是使学生获得极限论,一元函数微分学,无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识.本书是教育部“高等教育面向21世纪教育内容和课程体系改革计划”研究成果,是面向21世纪课程教材,普通高等教育“九五”国家教委重点教材.上册内容包括实数集和函数,数列,极限,函数极限,连续性,导数和微分,微分中值定理及其应用,实属完备性,不定积分,定积分及其应用,反常积分等,附录分为微分学简史,实数理论,积分表等；下册包括数项级数,函数列与函数项级数,幂级数,傅里叶级数,隐函数,多元函数微积分等.本课程

10、是进一步学习复变函数论、微分方程、微分、概率论、实数函数与泛函分析等后继课程的阶梯.数学分析中的典型问题与方法：本书全面、系统地总结和归纳了数学分析问题的基本类型,每种类型的基本方法,旨在拓宽基础,启发思路,培养学生分析问题和解决问题的能力.全书共分7章、36节、246个条目、1382个问题,包括一元函数极限、连续、微分、积分、级数；多元函数极限、连续、微分、积分.大量采用全国部分高校历届硕士研究生数学分析入学试题和部分国外赛题,并参阅了70余种教材、文献及参考书,经过反复推敲、修改和筛选,在几代人长期教学实践的基础上编写而成.选题具有很强的典型性、灵活性、启发性、趣味性和综合性,对培养学生的

11、能力极为有益.数学分析的思想方法：本书通过多角度、深层次、全方位地探讨了数学分析学科的思想方法,全书共分为六部分：前几部分对数学分析内容体系中所体现的重要思想进行了探讨与分析,并且通过大量的事例对数学分析内容中所常用的数学思想进行了举例与分析；第四部分对数学美与数学分析中的美学思想进行了论述与分析；第五部分对微积分创立过程中数学家的思想和方法进行了整理与分析；最后一部分以附录的形式将古代数学家解决问题的方法进行了举例与说明.本书的显著特点是系统性、深刻性与思辨性,它的内容翔实丰富,结构清新独特,笔调简洁流畅,叙述通俗易懂有启发性,将数学分析的本质、内容、思想、方法以及发展历史有机地融合在一起,

12、既有对数学分析重要思想方法本质的深层次探讨,又有对有关哲学思想的深入分析,还有对美学思想、发展过程中数学家思想过程等的详细论述.对从事数学史、数学哲学、数学方法论的研究人员来说有很好的参考价值.数学分析纵横谈：本书作者用唯物史观阐述微积分的发展史和评价历史人物, 采用文理渗透的方法,探索数学分析与史学、 逻辑学、 哲学、 美学及心理学等的联系,融学术性、 教育性、 指导性为一体, 是一部数学研究的力作, 对21世纪的数学分析课程建设, 将发挥重要的作用.数学分析原理:本书是数学系经典原版书籍,共分为十一章,涉及了实和复的数域、拓扑、序列与级数、连续性、微分、黎曼斯蒂尔切斯积分、函数列与函数项级

13、数、特殊函数、多元函数以及勒贝格理论等与数学分析相关的内容.研究现状：对于积分和级数关系这部分内容很显而易见,国外研究成果已经较为完善；国内一些学者主要集中在研究通过一类问题的某些理论,去寻求令一类问题相平行的结论,例如提出了积分的比值判别法、函数项级数的积分判别法以及莱布尼茨判别法等.发展趋势：由于离散与连续这一矛盾的对立统一性是时刻存在的,因此还有很多理论及研究方法有待发现.存在问题：积分和级数的关系及区别正体现了数学分析中的离散与连续的相互转化思想,掌握好这一点,有利于学会数学知识的迁移.参考文献依据：本文所涉及到的文献都是数学分析方面的比较经典的著作,很多文章提出的新理论和思想也是比较

14、前沿的科研成果.河北师范大学本科生毕业论文翻译文章 第3章 数字序列和级数数项级数在本章接下来的部分,所有的级数和数列将是放在复数域上考虑的,除非明显指出不是.接下来的一些定理,在上的相应的关于级数的一些名词将会在练习15中提到.定义3.21 给定一个序列,我们定义 表示和给一个我们可以定义一个数列,满足.对于,我们也用如下符号表示或者更确切的用（4） 表示.符号（4）我们称无穷级数或者简称级数. 称为级数的部分和.如果收敛到,我们称级数收敛,并记称为级数的和；但是必须清楚s是和数列的极限,而不是简单的加和.如果收敛,则称该级数收敛.有时为了方便起见,我们考虑级数的这种形式（5） 更多情况下,

15、当不会混淆或者没有区别时,我们简单写作来替代形式（4）和（5）.柯西准则（定理3.11）可以按以下形式重新叙述：定理3.22 收敛当且仅当对每一个,存在一个 N 使得当时(6) 特殊地,取,(6)式便为 .也就是说：定理3.23 如果收敛,那么条件不是保证收敛充分的条件.比如说级数是发散的；证明详见定理3.28根据单调数列的定理3.14马上可以得到级数的一个结论.定理3.24 正项级数收敛当且仅当它的部分和数列有上界.现在我们来看一个关于收敛性质判别法,称为“比较判别法”.定理3.25 （a）如果对于每一个有,其中是固定的正整数,并且如果收敛,则收敛；（b）如果对于每个,那么当 发散时也发散.

16、注意(b)只对正项级数成立.证明 给定,存在使得对 有,由柯西收敛准则,有(a)证毕接下来,(a)成立（b）也随之成立,因为如果收敛,必有收敛注：（b）也可以从定理3.24推出.比较判别法是非常有用的；要运用它,必须先找到一个已知敛散性的各项非负的数项级数.比式判别法和根式判别法定理3.33（根式判别法） 给定,令.那么(d)如果 ,则收敛;(e)如果 ,发散;(f)如果 ,该判别法不能确定的敛散性.定理3.34（比式判别法） 级数 (a)收敛如果；(b)发散如果 对所有的,其中 是固定的正整数.注意 : 无法判断的收敛性 .级数 和说明了这一点.定理3.42 假设(a) 的部分和有上界；(b

17、) (c) 那么收敛.证明 找到一个M使得对所以n,有.给定,存在一个N使得.对于,有由柯西收敛准则即得收敛性.我们注意上述第一个不等式是根据得到的.定理3.43 假设(a) (b) (c) 那么收敛.满足(b)式的级数称为“交错级数”;这个定理称为莱布尼茨判别法.证明 利用定理3.42,令.绝对收敛级数称为绝对收敛的，如果收敛.定理3.45 如果绝对收敛,则收敛.证明 这个结论可以根据下面不等式和柯西收敛准则得到.备注3.46 对于正项级数而言,绝对收敛和收敛是一回事.如果收敛,但是发散,我们称条件收敛.例如,级数是条件收敛的(定理3.43).比较判别法,根式判别法以及比式判别法实际上是绝对

18、收敛判别法,因此不能给出条件收敛的任何信息.部分和数列有时可以用来处理后者.特别地,幂级数在收敛圆内部绝对收敛.级数的加法和乘法定理3.47 如果 、 ,那么, ,对于每个固定的c.第7章 函数列和函数项级数定义7.1 设 是定义在集合E上的函数列,并且假设数列收敛对于每一个.我们可以定义函数 f 通过（1） .在这种情况下,我们说在集合E上收敛 并且 f 是极限,或者是的极限函数.有时我们用一个更具描述性的术语“ 在集合E上点点收敛到f”if （1）成立.类似的,如果对每一个都收敛,如果定义(2) 那么函数f 叫做函数项级数的和.通过以上例子发现,如果不注意极限交换过程可能会出现一些问题,现

19、在来定义一种新的收敛,比定义7.1中的点点收敛更强的收敛,可以得到好的结果.一致收敛定义7.7 称函数列,在集合E上一致收敛到函数 f 如果对每个存在 N 使得当,对所有的满足(12) 很明显一致收敛必是点点收敛的.二者的区别在于:如果在E上点点收敛,那么存在一个函数f 对于任意,和任意的,存在一个依赖于和 的N,使得(12)成立当时;若c在E上一致收敛,对于任意,要找到一个N 对所有的都满足条件.称函数项级数在E上一致收敛如果以下定义的部分和数列 在E上一致收敛.关于一致收敛的柯西一致收敛准则如下：定理7.8 定义在集合E上的函数列,在E上一致收敛当且仅当对任意的存在一个 N使得(13) 以

20、下判别法非常有用.定理7.9 设令,那么在E上当且仅当时,.由于这是定义7.7的一个很明显的结果,我们略去不证 .对于级数,有一个很方便的一致收敛判别法,由魏尔斯特拉斯来的.定理7.10 设定义在E上的函数列,并且假定.那么 在E上一致收敛如果收敛.注意,反之不成立.证明 如果 收敛,那么对任意的,有假如 m 和 n 足够大.根据定理7.8便证得一致收敛性.一致收敛和连续性定理7.11 设在度量空间的一个集合E上一致收敛.令 x 为点集E的一个极限点,并设(15) 则收敛,且(16) 换言之,结论是(17) 定理7.12 若是集合E上的连续的函数列,且 在E上是一致的,那么 f 在E上是连续的

21、.这个非常重要的结果是定理7.11的一个很直接的推论.一致收敛和积分定理7.16 令在a,b上单调递增.设在a,b上, ,且假设在a,b上是一致的.那么在a,b上,且(23) .(极限的存在性也是结论的一部分.)推论 如果在a,b上并且若,级数在a,b上一致收敛,那么换言之,级数可以逐项积分.一致收敛和微分在7.5中已经看到的一致收敛性得不到关于函数列的任何信息.因此对于,若需要更强的条件.定理7.17 设是一个函数列,在a,b上可微且在 a,b上的某一点处收敛.如果在a,b上一致收敛,那么在a,b上一致收敛到函数f,且(27) .英文原文：Chapter 3 NUMERICAL SEQUEN

22、CES AND SERIESSERIESIn the remainder of this chapter, all sequences and series under consideration will be complex-valued, unless the contrary is explicitly stated. Extensions of some of the theorems which follows, to series with terms in , are mentioned in Exercise 15.3.21 Definition Given a sequen

23、ce, we use the notation to denote the sum Withwe associate a sequence, where.Forwe also use the symbolic expressionor, more concisely,(4) .The symbol (4) we call an infinite series, or just a series. The numbersare called the patial sums of the series. Ifconverges to, we say that the series converge

24、s, and writeThe numberis called the sum of the series; but it should be clearly understood that is the limit of a sequence of sums; and is not obtained simply by addition.If diverges, the series is said to diverge.Sometimes, for convenience of notation, we shall consider series of the form(5) And fr

25、equently, when there is no possible ambiguity, or when the distinction is immaterial, we shall simply writein place of (4) or (5).The Cauchy criterion(Theorem 3.11)can be restated in the following form:3.22 Theorem converges if and only if for every there is an integer N such that (6) If In particul

26、ar, by taking,(6) becomes .In other words:3.23 Theorem If converges , then The conditionis not, however, sufficient to ensure convergence of. For instance, the seriesDiverges; for the proof we refer to Theorem 3.28.Theorem 3.14, concerning monotonic sequences, also has an immediate counterpart for s

27、eries.3.24 Theorem A series of nonnegative terms converges if and only if its partial sums form a bounded sequence.We now turn to a convergence test of a different nature, the so-called “comparison test.”3.25 Theorem(a)If for every , whereis some fixed integer, and if converges , then converges.(b)I

28、f for, and if diverges, then diverges.Note that (b) applies only to series of nonnegative terms .Proof Given, there existssuch that implies,by the Cauchy criterion. HenceAnd (a) follows.Next, (b) follows from (a), for ifconverges, so must note that (b) also follows from Theorem3.24.The comparison te

29、st is a very useful one; to use it efficiently, we have to become familiar with a number of series of nonnegative terms whose convergence or divergence is known.THE ROOT AND RATIO TESTS3.33 Theorem (Root Test) Given ,put.Then (a) If ,converges;(b) if ,diverges;(c) if ,the test gives no information.3

30、.34 Theorem(Ratio Test) The series(a)converges if ,(b)diverges if for all, where is some fixed integer.Note: The knowledge that implies nothing about the convergence of .The series and demonstrate this. 3.42 Theorem Suppose(a)the partial sums of form a bounded sequence;(b) (c) Thenconverges.Proof Ch

31、oose M such thatfor all. Given, there is an integersuch that. For,we haveConvergence now follows from the Cauchy criterion. We note that the first inequality in the above chain depends of course on the fact that.3.43 Theorem Suppose(a) (b) (c) Thenconverges.Series for which (b) holds are called“alte

32、rnating series”; the theorem was known to Leibnitz.Proof Apply Theorem3.42, with.ABSOLUTE CONVERGENCEThe seriesis said to converge absolutely if the seriesconverges.3.45 Theorem If converges absolutely,thenconverges.Proof The assertion follows from the inequality,plus the Cauchy criterion.3.46 Remar

33、ks For series of positive terms, absolutely convergence is the same as convergence.Ifconvergences, butdiverges, we say thatconverges nonabsolutely. For instance, the seriesconverges nonabsolutely (Theorem3.43).The comparison test, as well as the root and ratio tests, is really a test for absolute co

34、nvergence, and therefore cannot give any information about nonabsolutely convegent series. Summation by parts can sometimes be used to handle the latter. In particular, power series converge absolutely in the interior of the circle of convergence.ADDITION AND MULIPLICATION OF SERIES3.47 THEOREM If a

35、nd , then , and , for any fixed c.Chapter 7 SEQUENCES AND SERIES OF FUNCTIONS7.1 Definition Suppose is a sequence of functions defined on a set E, and suppose that the sequence of numbersconverges for every. We can then define a function f by（1） .Under these circumstances we say thatconverges on E a

36、nd that f is the limit, or the limit function, of . Sometimes we shall use a more descriptive terminology and shall say that“converges to f pointwise on E” if （1）holds. Similarly, if converges for every , and if we define(2) the function f is called the sum of the series.After these examples, which

37、show what can go wrong if limit processes are interchanged carelessly, we now define a new mode of convergence, stronger than pointwise convergence as defined in Definition7.1, which will enable us to arrive at positive results.UNIFORM CONVERGENCE7.7 Definition We say that a sequence of functions co

38、nverges uniformly on E to a function f if for everythere is an integer N such thatimplies(12) for all.It is clear that every uniformly convergent sequence is pointwise convergent. Quite explicitly, the difference between the two concepts is this: Ifconverges pointwise on E, then there exists a funct

39、ion f such that, for every, and for every, there is an integer N, depending onand on , such that(12) holds if ; if converges uniformly on E, it is possible, for each , to find one integer N which will do for all.We say that the series converges uniformly on E if the sequenceof partial sums defined b

40、y Converges uniformly on E.The Cauchy criterion for uniform convergence is as follows.7.8 Theorem The sequence of functions, defined on E , converges uniformly on E if and only if for every there is exists an integer N such that , implies(13) The following criterion is sometimes useful.7.9 Theorem S

41、upposePutThenuniformly on E if and only if as.Since this is an immediate consequence of Definition7.7, we omit the details of the proof .For series, there is a very convenient test for uniform convergence, due to Weierstass.7.10 Theorem Suppose is a sequence of functions defined on E , and suppose.T

42、hen converges uniformly on E if converges.Note that the converse is not asserted(and is, in fact, not true).Proof If converges, then, for arbitrary,provided m and n are large enough. Uniform convergece now follows from Theorem 7.8.UNIFORM CONVERGENCE AND CONTINUITY7.11 Theorem Supposeuniformly on a

43、set E in a metric space. Let x be a limit point of E, and suppose that(15) Thenconverges, and (16) In other words, the conclusion is that(17) 7.12 Theorem If is a sequence of continuous functions on E, and if uniformly on E , then f is continuous on E.This very important result is an immediate corollary of Theorem7.11.UNIFORM CONVERGENCE AND INTEGRATION7.16 Theorem Letbe monotonically increasing ona,b. Supposeon a ,b, for and supposeuniformly on a, b .Thenona, b ,and(23) .(The existence of the limit is part of