经典力学与量子力学中的一维谐振子.doc

1、乐山师范学院级毕业论文（设计）经典力学与量子力学中的一维谐振子摘要一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。关键词 谐振子 经典力学 量子力学 运动方程 能量分布1 前言所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为的物体，就构成一个弹簧振子1。该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。在这种振动形式下，物体受力的大

2、小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。这种情况即为一维谐振子。一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子

3、的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。2 经典力学中的一维谐振子在经典力学中基本方程以牛顿定律为基础，研究质点位移随时间变化的规律，反映质点特征的是运动方程和能量。因此我们可以从运动方程和能量这两方面出发讨论一维谐振子的运动特征。一个劲度系数为的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为的物体，就构成一个弹簧振子1，如图2.1。当弹簧处于自然长度时，物体处于平衡位置，取作坐标原点，以表

4、示。沿弹簧长度方向（取作轴方向）拉动物体然后释放，则物体将在点两侧作往复运动。图2.1 弹簧振子2.1 一维谐振子的运动方程图2.1中的物体可视为一个质点。设代表质点相对于平衡位置的位移，则质点所受的力，其中为劲度系数。负号表示与位移方向相反，因而总是指向平衡位置。由牛顿第二定律，谐振子的运动微分方程为：即 （2.1.1）这是一个二阶的常系数线性微分方程。令 （2.1.2）即简谐运动的角频率，由振动系统本身的性质嗦决定。将（2.1.2）式代入（2.1.1）式，则可求出（2.1.1）式的通解： （2.1.3） 这就是谐振子的运动方程2。其中M和N是任意常数，由质点的初位置和初速度确定。A是振幅，

5、是初相位。（2.1.3）式表明质点应作简谐振动2。2.2 一维谐振子的能量在谐振子问题中，振子的总能量可以反映出振子的运动特征。因此我们可以从谐振子的动能和势能出发，求解谐振子的总能量，进而帮助我们分析振子的运动特征。由（2.1.3）式可知，振子的速度为：振子的动能为：由（2.1.2）式，有： （2.2.1）由（2.2.1）式可知，振子的动能变化频率为。振子的势能（以平衡位置的势能为零）为：即为： （2.2.2）由（2.2.2）式可知，振子的势能变化频率也为。因此，由（2.2.1）式和（2.2.3）式可得，振子的总能量为： （2.2.3）由（2.2.3）式可知：谐振子的总能量不随时间改变，即其

6、机械能守恒3。（2.2.3）式还说明：对于一定的振子（和给定，因而给定），总能量与振幅的平方成正比3。振幅不仅给出了简谐运动的运动范围，而且还反映了振动系统总能量的大小，或者说反映了振动的强度。3 量子力学中的一维谐振子在量子力学中，粒子状态用波函数表示，为了描述微观粒子状态随时间变化的规律，就需要找出波函数所满足的运动方程，即薛定谔方程。因此下面将从谐振子的哈密顿算符出发，求解振子的定态薛定谔方程，进而分析量子力学中一维谐振子的运动特征。3.1 用运动方程求解的一维谐振子我们可以从谐振子的势能函数出发，写出谐振子的哈密顿算符及薛定谔方程，并求谐振子的能量和定态波函数的解，进而讨论能量分布特点

7、。取谐振子的平衡位置为坐标原点，并选原点为势能的零点，则有。仅考虑一维情况。由于在轴方向分振动的谐振子在处的势能可以表示为： （3.1.1）势能曲线是一条定点在原点的抛物线，如图3.1所示：图3.1 一维谐振子的势能一维谐振子的经典哈密顿函数为：设振子的原子质量为，则振子的频率为：振子的哈密顿算符可以写为：相应的定态薛定谔方程为： （3.1.1）这是一个二阶线性微分方程。如果振子的运动不受限制，的变化范围为。当时，（3.1.1）式的解一般为无穷大，表示振子在无穷远处的几率为无穷大。这不符合物理要求。但若振子的能量取下列特殊值4： （3.1.2）其中为普朗克常数，为经典力学中谐振子的频率。则对每

8、一个值，方程（3.1.1）都有一个在全区间中有界的解。而且当时，这个解趋于零。这显然符合对谐振子问题的物理要求。与（3.1.2）式的能量值相应的关于定态波函数的解为： （3.1.3）其中，是的一个次多项式，称为厄米多项式4。其前四项为：由于是的次多项式，且。因此，当时，（3.1.3）式趋于零。由（3.1.2）式知，在量子力学中谐振子的能量是分立的，与振幅无关，只依赖于振子的固有特性-振子的本征频率。（3.1.2）式还表明5，频率为的振子其能量的改变只能是能量单元的整数倍。这一点同普朗克的能量子假设是一致的。但量子力学中振子的最低能级（基态能量）不再是零而是，称为零点能5。它充分体现了粒子具有波

9、粒二象性。3.2 坐标表象中的一维谐振子粒子系统的状态用以空间坐标为自变量，以时间为参量的波函数来描述，这种表示形式称为坐标表象6。下面从谐振子的哈密顿算符出发，求解谐振子的能量本征值和定态波函数，并对谐振子在量子力学与经典力学中的几率密度进行比较，给出量子谐振子向经典谐振子过渡的条件。一维谐振子的哈密顿算符为：坐标表象中，振子的定态薛定谔方程为：引入没有量纲的变量代替，它们的关系是 （3.2.1）以乘以式（3.1.1），利用式（3.1.2）和式（3.1.3），薛定谔方程可改写为 （3.2.2）这是一个变系数的二阶常微分方程。当很大时，与相比可以略去，因而在时，（3.2.2）式可以写为：它的解

10、是。因为波函数的标准条件要求当时，应为有限，所以对波函数只取指数上的负号：。根据上面的讨论，我们把写成如下形式来求（3.2.2）式的解： （3.2.3）（3.2.3）式代入（3.2.2）式可得满足方程： （3.2.3）用级数解法，把展开成的幂级数，来求着方程的解。这个级数必须只含有限项，才能在时使为有限；而级数只含有限项的条件是为奇数：，代入（3.2.1）式即可得谐振子的能级为：， （3.2.4）可见,谐振子的能量只能取分立值，两相邻能级间隔均为，即：在坐标表象中可以明显看出：是描述粒子波动性的波函数受到势能场的约束使能谱分立。与（3.2.4）式定态能量对应的定态波函数：式中是归一化常数，它由

11、归一化条件确定。图3.2中画出了的几率密度（图中实线），图中虚线是经典谐振子的平均位置密度。从图3.2可见，经典谐振子不能进入的区域。而量子谐振子能进入这种区域，但进入以后指数衰减。可见，量子振子和经典振子完全不同，但当增大时，减小，量子振子向经典振子过渡。 图3.2 一维谐振子的位置几率密度分布3.3 粒子数表象中的谐振子以粒子数算符的本征矢|n为基矢的表象称为占有数表象7，又叫粒子数表象。我们可以通过引入升降算符求解谐振子，求出谐振子的能量本征值以及坐标算符和动量算符的矩阵元。一维谐振子的经典哈密顿函数为： （3.3.1）在量子力学里，谐振子的哈密顿算符具有同一形式： （3.3.2）将经典

12、泊松括号换成量子泊松括号： 由与的对易关系： （3.3.3）定义两个非厄米算符和： （3.3.4）这两个非厄米算符满足如下基本对易关系： （3.3.5）则（3.3.4）式的逆变换关系为： （3.3.6）利用（3.3.6）式，代入（3.3.2）式，并考虑对易关系（3.3.5），哈密顿算符又可表示为： （3.3.7）由于与算符仅仅相差一个常数矩阵，所以只需求解得本征值问题。设它的属于本征值为的本征刃为，即： （3.3.8）由于是一个右矢的模的平方，是非负数，因此可得到如下结论： （3.3.9）即得本征值为非负数。利用对易关系（3.3.6）可得: (3.3.10)（3.3.10）式表明：若是的一个本

13、征刃，相应的本征值，则也使它的一个本征刃，相应的本征值为。类似的将算符作用于本征刃，有：如果是的一个本征刃，则和对这个本征刃作用后得到的新的右矢仍然是的本征刃，但其本征值增加或减小1。重复的使用这种作用，可以从某一给定的本征刃出发，得到具有不同本征值的所有本征刃。这种方法即为“阶梯法” 8 。所得到的本征值谱显然是等间距的，间隔为1。设本征值谱下限为，相应的本征刃为，即： 0 （3.3.11）由于是的属于最小本征值的本征刃，所以满足如下条件： （3.3.12）根据这个条件，由(3.3.11)式可得，这是唯一可能小于1的本征值。零本征值的态可记为，称为基态。条件（3.3.12）可记为：由于得本征

14、值和可记为： （3.3.13）其中是归一化系数。由（3.3.7）式、（3.3.8）式和（3.3.13）式可知：即谐振子能量本征值为： （3.3.14）这就是谐振子的能谱。它表明4：（1） 谐振子的能级是等间距的，相邻能级之间相差；（2） 谐振子的基态能量，即零点振动能量是。零点能的存在是波粒二象性的体现。也可以说是测不准关系的后果。由（3.3.14）式可知，如果以基态能量作为计算能量的起点，则谐振子的定态能量是的整数倍。如果谐振子和外界交换能量，它只能由一个定态跃迁到另一个定态。因而所交换的能量只能是的整数倍。由前可知，交换能量时有最小单元存在。可以理解为是存在一种基元粒子，它的能量是：于是当

15、谐振子处于第个激发态时，能量为，可认为存在个这样的元粒子，占据在的能级上。因此，被称为占有数或粒子数7。由（3.3.10）式的结果可知，与描写了同一个态，因此有： （3.3.15）其中是常数，为了确定，对（3.3.15）式取模的平方，有： 于是可得：。若取，则（3.3.15）式化为： （3.3.16） （3.3.17）因此一维谐振子哈密顿量的归一化的本征刃可表示为：由（3.3.16）式和（3.3.17）式，可以立即得到算符和在能量表象中的矩阵元： （3.3.18） （3.3.19）利用算符，和，之间的变换关系（3.3.6），以及上述（3.3.18）式和（3.3.19）式，可以得到坐标算符和动量

16、算符在表象中的矩阵元：即：可见，算符、在粒子数表象中是对角矩阵，且算符中的对角元素即为能量本征值。4 经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系经典谐振子与量子谐振子有着本质上的差别,但它们之间的差别并不是不可逾越的,接下来我们从能级、波函数等方面逐一讨论与比较。4.1经典谐振子和量子谐振子的区别 4.1.1能量取值特点由经典谐振子的动能和势能: （4.1.1） （4.1.2）可知，经典谐振子的能量取值是连续的。由量子谐振子的能量： （4.1.3）可知:量子谐振子的能量取值是分立的，即量子化的，且能级是等间距的，间距为。能量取分立值是微观粒子具有波粒二象性这一量子特征的重要体现。由于能级间隔

17、是等间距的，能级间的跃迁只发生在相临能级之间，即跃迁只能逐级进行，因此各跃迁都发生频率相同的辐射。实验测得的能谱只有一条谱线。4.1.2 零点能讨论由（4.1.1)式，当时，经典谐振子的最低动能为零。而由（4.1.3)式知，量子谐振子在基态能量不为零。即当时，称为零点能。这与经典谐振子完全不同，这再次说明微观粒子具有波粒二象性，绝对“静止”的波是没有的。量子谐振子的零点能我们还可以直接利用量子力学中的不确定关系估算出来。利用坐标和动量的不确定关系：谐振子的能量不确定度为：使取最小的的值可由极值条件：计算。我们求得，因此谐振子的零点能：可见，谐振子基态是谐振子问题的最小不确定态，这是由其量子本性

18、所决定的。4.1.3谐振子的波函数在量子力学中波函数本身无意义，但波函数绝对值的平方：与粒子在空间某点出现的几率成正比。首先我们以基态为例讨论位置几率、势垒贯穿。对于量子谐振子的基态：，相应的几率密度为： （4.2.1）可知，在处，有最大值： （4.2.2）在处，。（4.2.1）式一个Gauss型分布，在原点处找到粒子的概率最大，由于粒子能量，不难证明，在处，是谐振子的特征长度。下面与经典谐振子比较：（1）由于经典振子在处势能最小，并为零。由(4.1.1)式和(4.1.2)式可知，此时的动能必定最大（因为机械能守恒）。由经典振子的运动方程可知，经典振子的速度为： 利用，且，可得： （4.2.3

19、）当时，由(4.2.3)式知，此时经典振子的速度有最大值 ，即经典振子在处逗留时间最短，出现的几率最小，如图4.1中虚线所示。而按量子力学的计算，见（4.2.2）式，在处的几率却是最大的，如图4.1中实线所示。可见，经典谐振子与量子谐振子刚好相反。图4.1 时一维谐振子的位置几率密度分布（2）当经典谐振子的能量等于时，转折点为，经典谐振子只能处于区域中。因为在处，势能，即等于总的机械能。此时，粒子的速度减慢为零，不能再继续运动。而按照量子力学计算，粒子在区域，仍有速度不为零的几率，如图4.1所示。这种明显的量子效应，在基态表现特别突出。即由于量子隧道效应，量子谐振子在基态大约有16%的粒子跑到

20、了区域以外，而经典谐振子不能进入的区域9。4.2经典谐振子与量子谐振子的联系图4.1 时一维谐振子的位置几率密度分布图4.1是较大时的情况。图中虚线代表经典观点，由图可以看到，当量子数越大，量子结果和经典结果越接近。通过以上讨论，我们发现经典振子与量子振子既有区别又有某些必然的联系。5 结束语通过对经典力学中的一维谐振子以及量子力学中的一维谐振子的分析比较，我们系统的了解一维谐振子运动方程、运动微分方程、能量方程等运动特点。明确了谐振子在经典力学以及量子力学中的区别与联系。一方面使得我们对一维谐振子有了较为全面的认识，对该模型的物理实质的理解更深入，充分体会到了微观粒子的波粒二象性；另一方面拓

21、宽了我们的视野，培养了我们的物理学思想、物理学方法以及提高了我们归纳总结问题、分析解决问题的能力。参考文献1张三慧.大学基础物理学M,北京：清华大学出版社，2003：529-536.2漆安慎.力学M,北京：高等教育出版社，2004：253-267.3沈临江.大学物理简明教程M,北京：化学工业出版社，2006：165-170.4张永德.量子力学M,北京：科学出版社，2003：47-50.5周世勋.量子力学教程M.北京:高等教育出版社,2006：38-44.6曾谨言, 量子力学M. 北京:科学出版社,2002. 65-797李德明,陈昌明.经典力学M.北京:高等教育出版社,2006:59-61.

22、8吴从容.关于谐振子运动若干问题的讨论J.池州师专学报,2006,20(3):49-50. 9张启仁, 量子力学M. 北京:北京师范出版社,2006：45-56. One-dimensional Harmonic Oscillator in Classical Mechanics and in Quantum Mechanics Xue FeifeiDepartment of Physics and Electronic Information EngineeringEducation Physics Major 06200138Abstract This artical compares t

23、he results of the Quantum mechanics and Classical mechanics of the Oscillator revealing the profound differences of the movement laws between the microscopic particles and macroscopic particles. It also explores the Zero-point energy problem with the Uncertainty relation and breifly discusses the transition of the Quantum mechanics and Classical mechanics.key words one-dimensional harmonic oscillator Classical mechanics Quantum mechanicskinematic equation energy distribution