工程测量常用数学知识和计算公式总结.pdf

1、测量测量测量测量计算公式 平面直角坐标 纵轴为X轴且表示南北方向，向北为正，向南为负。横轴为Y轴且表示东西方向，向东为正，向西为负。象限分布为顺时针。为了避免测区内的坐标出现负值，可将坐标原点选择在测区的西南角上（可将测区坐标原点加一个大数）。六位数（如：566666.00）N XoEY北 坐标换算（施工坐标、测图坐标）小坐标 、大坐标 AOB为施工坐标系，XOI为测图坐标系。设为建筑基线上的一个主点，它在施工坐标系中为A,B，在测图坐标系中的坐标为X,Y，X0,Y0为施工坐标原点在测图坐标系中的坐标，a为X轴与A轴之间的夹角。将点的施工坐标换算成测图坐标，其计算式为（见下图）X=X0+Aco

2、sa-Bsina Y=Y0+Asina-Bcosa将测图坐标换算成为施工坐标，其计算式为：A=(X-X0）cosa+（Y-Y0）sina B=(X-X0）sina+（Y-Y0）cosaO1B 2B 3B3A 2A 1 AABYY0oBAx0 xa 任意距离点F的坐标（已知X1,Y1；X2,Y2)求X3,Y3坐标。三角函数 sinA=（Y1-Y2)/d得出A X3=X1+FcosA Y3=Y1+FsinAX1Y1A点X3Y3X2Y2B点d（L）F 在平面内，已知A点，B点坐标，亮点见得距离公式设：A点（y1,y1)B点（x2,y2)则：角度=cos-1(y2-y1)/(x2-x1)CAB（三角函

3、数）22y2)+(y1+x2)-x1|=AB|22C+A=B 测量中常用数学基础知识 一、几何基础知识 1、换算 角度的表示通常有角度值和弧度制两种。1圆周=360 1=601=60 360=2弧度 180=弧度 弧度1801=520626）180（1弧度=测量中常用数学基础知识二、三角形（1）三角形内角和等于180（2）三角形面积等于 三角形的面积：（3）在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。高）底(21aCBBAabcCsin21BCA=)()(222222222bcbcbcaacacacbbacbac=+=+=+=测量中常用数学基础知识（4）已知：正长和角度，求斜长。斜长=正

4、长除以cosa 3、在圆中，圆心角的度数等于它所对弧的度数如图 式中：R-半径 a-弧度 正长增量（斜长）正长=acosa正长斜长ACBOMRa2a圆心角aRACB=弧长)2cos1(2cos2sin222sinaRaRRMCaRAMABaRAM=测量中常用数学基础知识（二）三角函数基础知识与测量直角坐标系D12sinaY12YD12cosaX12X+=+=增量（坐标正算）测量中常用数学基础知识（二）三角函数基础知识与测量直角坐标系如图为测量直接坐标系，数学上的三角和解析几何中的有关公式，可以直接应用到测量计算中来。1、三角函数的定义，角a的三角函数正弦（sina）余弦（cosa）正切（tan

5、a）余切（cota）正割（seca）余割（coseca）分别定义如下：12x12tan1212xcos1212sin=yaDaDya邻边对边斜边邻边斜边对边12y12coseca12x12sec12y12xcot=DDaa对边斜边邻边斜边对边邻边Oa1（x1，y1）x12y122（x2，y2）D12角a的反三角函数分别用以下符号表示：arcsina（反正弦）arccosa（反余弦）arctana(反正切）arccota（反余切）测量中常用数学基础知识2、坐标正算。如图已知x1，y1 a D12 求x2，y2。x12=D12cosay12=D12sina x2=x1+x12 y2=y1+y123

6、、坐标反算。如图已知x1，y1；x2，y2求D12和a x12y12 arctan a y12 x12y1)(y2x1)(x2 D122 2 2 2 =+=+=坐标反算时，角度a的象限确定见下图和表，角度a是从X轴顺时针旋转到直线01.02.03.04形成的夹角。坐标反算象限象限01010101（北东）（北东）02020202（东南）（东南）03030303（南西）（南西）04040404（北西）（北西）x+-+y+-a09090180180270270360 坐标反算例题：如图所示，MN为场地两控制点，欲建立以AB，CD为主轴线的施工方格网.(建筑工程测量）p124-125页 解：测设步骤如

7、下：（1）在施工总平面上布设方位格控制网，计算出各点坐标（注意，控制点坐标与方格网的坐标必须是同一建筑坐标系，用X,Y表示）。各点坐标如下xm=533.200ym=275.420 xb=700.00yb=650.000 xn=574.830yn=556.750 xc=800.00yc=450.000 xo=700.00yo=450.00 xd=600.00yd=450.000 xa=700.00ya=250.00 CASi0fx-4850P型计算器数值转换成角度步骤按 +输数值 10COS EXE（=角度）SHIFTtan-1SHIFT=DMS=DMSSHIFTANS 坐标反算（2）计算测设数

8、据。确定以N点位极角的计算式为037557252882234925287976arctan0.14YnmXnmarctan )o 164.509m(NyXS8223492553arctan1.17YNoXNoarctanaNO2NO2NO=+=+=+=（3 3 3 3）实测）实测1 1 1 1）在N点安置经纬仪，后视M点，以正镜，倒镜顺时针测575730角，定出NO方向线，从N点起量164.509m定出o点，这时主轴线交点就测出来了。2 2 2 2）移仪器于o点，后视N点，逆时针测a=493228（顺时针测a1 3102732正倒镜取中，定出OB方向线，从O点起量200m，定出B点，正倒镜18

9、0，定出OA方向线，从o点起量200m定出A点，这样方格网基线即测完。转90定出OC方向，从o点起量100m，顶出C点。再倒镜180，定出OD方向，从o点起量100m，定出D点，纵横两条主轴线测设完毕，纵横轴线直角误差不赢超过5。坐标的解析计算一、点在平面直角坐标系的表示方法 平面直角坐标系是由两条互相垂直的坐标轴所组成的。两条轴线的交点称坐标原点，与原点相交的两坐标轴值为零.如下图所示，在平面上任意一点至Y轴的垂直距离叫做该点的纵坐标用X表示。至X轴的垂直距离叫做该点的横坐标，用Y表示。地面上任意一点的平面位置，在图纸上通常用A（x，y）表示。图中A点坐标X=150m，y=170m，可写成（

10、150，170）。yxaOyaxA 坐标的解析计算二、坐标增量 两点的坐标之差叫坐标增量，纵坐标差叫纵坐标增量，用x表示。横坐标之差叫横坐标增量，用y表示。在图中，若A点坐标为A（xa，ya），B点坐标为B（xb，yb），则A点对B点的增量为x=xa-xby=ya-yb三、计算两点间的距离 从右图中看出，用为x与y互相垂直，就组成以x和y为直角边的直角三角形，AB距离L是三角形的斜边，所以AB两点距离22yxL+=oybaxabLxyA（xa，ya）B（xa，ya）a三角关系坐标增量 坐标的解析计算（例1）设A（xa=567.600，ya=763.450）,B（xb=483.260，yb=71

11、2.710），求增量x=？y=？两点间的距离L=？。解：纵坐标增量x=xa-xb=567.600-483.260=84.340my=ya-yb=763.450-712.710=50.740m两点距离 myxL427.98740.50340.8472222=+=+=ybaxabLxyA（xa，ya）B（xa，ya）a三角关系坐标增量 坐标的解析计算四、直线与坐标轴的夹角 在图中，如果过B点作两条坐标轴不限，从图形中可以得出这样的三角关系：AB两点斜线对横轴的夹角a6855866220.1740.50340.84yxtga):1 (LxcosLsinyxxytg ABcosyxsina yxtga

12、=a a ya ctga yxa xyctga ybaxabLxyA（xa，ya）B（xa，ya）a三角关系坐标增量4513151551.0427.98740.50sin=LysinaLy cosaLx cosaLy sinaLx=?以上是由已知两点坐标来计算距离和角度，利用公式也可以用已知距离和角度来计算坐标增量即：坐标的解析计算如图已知AB两点距离L=98.427m,AB两点斜线与横轴夹角a=58586求A点对B点的增量x=？，y=？解：sina=sin58586=0.85688 cosa=cos58586=0.51551 x=Lsina=98.4270.85688=83.340m x=L

13、cosa=98.4270.51551=50.740mybaxabLxyA（xa，ya）B（xa，ya）a三角关系坐标增量 坐标的解析计算五、求两条直线的夹角 已知ABC三点，求以C点位极角的a=?,线段AC=?,BC=?三点坐标分别为：xa=337.200 ya=312.100 xb=310.700 yb=325.400 xc=272.300 yc=157.300解：1、画图1）根据已知点坐标，吧点位大致标在坐标平面上（点位的上下左右关系是，纵轴大者在上，横轴大者在右）2）过C点（极角作纵横坐标补线，这时两条直线间的角度关系就明朗化了。2，计算坐标增量（1）A点对C点的增量xac=xa-xc=

14、337.200-272.300=64.900myac=ya-yc=312.100-157.300=154.800m（2 2 2 2）B B B B点对点对点对点对C C C C点的增量点的增量点的增量点的增量xbc=xb-xc=310.700-272.300=38.400mybc=ya-yc=325.400-157.300=168.100m坐标的解析计算3、计算对坐标轴（横轴）的夹角1）AC斜线对横轴的夹角 4、求线段长 2）BC斜线对横轴的夹角3）两条线AC、BC的夹角54442241925.0800.154900.67=yacxactg3251222844.0100.168400.38=y

15、bcxbctg2425932512544422=mbcybcxBCmacyacxAC430.172100.168400.38854.167800.154900.6422222222=+=+=+=+=坐标的解析计算4)、已知ABC三点，求以C点为极角的=？三点坐标为：xa=633.000 ya=774.700 xb=626.000 yb=657.680 xc=578.000 yc=734.000解：1、画图根据三点坐标，吧点坐标在坐标平面上。过极角作坐标轴补线。如图：2、计算坐标增量1）A点对C点的增量xac=xa-xc=633.000-578.000=55.000yac=ya-yc=774.7

16、00-734.000=40.7002）B点对C点的增量xbc=xb-xc=626.000-578.000=48.000ybc=yb-yc=657.680-734.000=-76.3203）计算两条线直线对坐标轴的夹角 从作图中看到，两直线在纵轴两侧，因此计算对纵轴的夹角比较方便3029485945750336a385945759000.1000.48320.76xbcybctg250336a74000.0000.55700.40 xacyactgaa)1(=+=+=?BCAC坐标的解析计算（例5）已知ABC三点，求以C点位极角的=？AC=?BC=?三点坐标为：xa=439.120ya=932.

17、450 xb=362.640yb=854.300 xc=417.300yc=877.200解：1、画图 过极角作坐标纵横轴补线，吧点标在坐标平面上2、计算坐标增量1）A点对C点的增量xac=xa-xc=439.120-417.300=21.820yac=ya-yc=932.450-877.200=55.2502）B点对C点的增量xbc=xb-xc=362.640-417.300=-54.660ybc=yb-yc=854.300-877.200=-22.900 4561134902534222332190a325342241895.0660.54900.22xbcybctg223321a3949

18、3.0250.55820.21yacxactgaa)1()3=+=+=?BCACmybcBCmaxacAC263.5938641.0900.22sin)2(403.5936732.0820.21sin)1(38641.0253422sinsin0.36732233sin21sinBC,AC)4=坐标解析计算应用注意如下几个问题-小结 首先要建立以纵，横坐标增量为直角边而组成直角三角形的概念；否则了其它计算江无从下手。计算直线与坐标轴的夹角都是锐角，计算三角函数时，直线与Y轴的夹角对应边为x。直线与X轴夹角对应边为y。换算过程注意不要弄错。计算两条直线夹角（称极角）时，要先分别算出两个锐角，然后

19、再相加（如例4）或相减（如例3）算出夹角。在坐标平面上标点（画图）时，要注意点位上下左右关系，防止相对位置标错，误将两角相加变相减（或相减变相加）造成错误。两控制点钟任意一点都可以做为极角（观站点），其计算结果是一样的，但认定一点后，现场施测时必须用这一点作为测站。否则因极点不同，原计算数据部能使用 必须使用同一坐标值，建筑坐标或测量坐标；施工坐标或测图坐标；小坐标或大坐标两者不能混用大坐标换成小坐标实例如下图：已知A、B、C、D点大坐标，换算成小坐标（施工坐标）A点大坐标XA=500.900YA=421.296B点大坐标XB=505.411YB=477.114C点大坐标XC=520.835Y

20、C=419.685D点大坐标XD=525.346YD=475.5031）以A为原点（测站点）计算C点（后视点）对纵轴角度差及距离eaa?14.62018307角差519.9999886距离rE421.296）EX9.685500.900，4120.835SHIFTpol（5=大坐标换成小坐标实例例1）将B点大坐标换成小坐标解：设A点小坐标（原点）xa=0.000，ya=0.0001、B点对A点的增量xBA=505.411-500.900=4.511yBA=477.114-421.296=55.8182、转换为极坐标（r=？=？）BA对纵轴夹角及距离SHIFTpol(4.511,55.818)E

21、XEr=55.99998433=85.379612963、加角度差a（后视与测站点对X轴角度差）=85.37961296+4.620183071=89.99979603=90.0004、转换为直角坐标（B点小坐标）X=?,Y=?SHIFT rec（55.99998433，90.000）Xb小=0.000 yb小=55.999大坐标换成小坐标实例例2）将D点大坐标换成小坐标1、D点对A点（测站点，原点）增量xDA=525.346-500.900=24.446yDA=475.503-421.296=54.2072、转换为极坐标（r=？=？）DA对纵轴距离及夹角SHIFTpol（24.446，54.

22、207）EXEr=59.46432346=65.72581723、加角度差a（后视与测站点对X轴角度差）AC对X轴夹角=65.7258172+4.620183071=70.346000274、转换为直角坐标（D点小坐标）x=？，y=？SHIFTrec（59.46432346，70.34600027）EXEXd小=20.000 Yd小=55.999大坐标换成小坐标实例例3）将C点大坐标换成小坐标1、C点对A点（原点、测站点）增量xCA=520.835-500.900=19.935yCA=419.685-421.296=-1.6112、转换为极坐标（r=？=？）CA对纵轴距离及夹角SHIFTpol

23、（19.935，-1.611）EXEr=19.99998868=-4.6201830713、加角度差a（CA对x轴（纵轴）夹角=-4.620183071+4.620183071=0.0004、转换为直角坐标（C点小坐标）x=？，y=？SHIFTrec（19.99998865，0.000）EXEXc小=19.999 Yc小=0.000小坐标换成大坐标实例施工图坐标换成大地坐标如上图：已知A点（原点，测站点），C点（后视点）坐标（大坐标）已知B点，D点小坐标，要求把B点，D点小坐标换算成大坐标。A点大坐标XA=500.900YA=421.296C点大坐标XC=520.835YC=419.685B点

24、小坐标Xb=0.000 yb=55.999D点小坐标xd=20.000yd=55.999小坐标换成大坐标实例例4）B点小坐标换成大坐标xB=？yB=？1、将B点小坐标转换为极坐标（r=？=？）B点对A点夹角及距离SHIFT pol（0.000，55.999）EXEr=55.999=90.0002、减去角度差a（C、A点对纵轴X的角度差）=90.000-4.620183071=85.379816933、转换为直角坐标（B点对A点增量）SHIFTrec（55.999，85.37981693）EXE XB=4.511 yb=55.8174、（3）加上原点（测站点）大坐标，等于B点大坐标XB=?,YB

25、=?XB=4.511+500.900=505.411YB=55.817+421.296=477.113小坐标换成大坐标实例例5）D点小坐标换成大坐标xD=？yD=？1、将D点小坐标转换为极坐标（r=？=？）D点对A点夹角及距离SHIFT pol（20.000，55.999）EXEr=59.46333324=70.345851862、减去角度差a（C、A点对纵轴X的角度差）=-a=70.34585186-4.620183071=65.725668793、转换为直角坐标（D点对A点增量）SHIFT rec（59.463333.24，65.72566879）EXE XD=24.446 yD=54.2064、加上原点（测站点）大坐标，等于D点大坐标XD=?,YD=?XD=24.446+500.900=525.346YD=54.206+421.296=475.502?(y sinry(x cosrx+=+=