高等数学下册复习笔记-第09章07方向导数与梯度.docx

1、第7节方向导数与梯度7.1 方向导数根据偏导数的定义，只与直线段上的函数值有关，是在点沿轴正方向的变化率。是在点沿轴正方向的变化率。它们反映不了在点沿其他方向的变化。我们还要考虑函数在点处沿其他方向的变化率，这就是所谓的方向导数设点，是平面上的某向量，方向的单位向量（见黑板图）沿方向的平均变化率其中分子是函数的变化量，分母t是自变量在方向的变化量。所以，在点沿方向的变化率称为在点沿方向的方向导数（如果极限存在），记作如果此极限不存在，则称在点沿方向不可导。由上面定义可以看出，只与的方向有关，与的大小无关。特别地，若，则；若，则，分别表示沿着轴正向、轴正向的方向导数所以，方向导数是偏导数的推广【

2、例7.1】设二元函数，求函数在点处沿方向的方向导数解当时，当时，故 此例告诉我们，非初等函数直接用定义求方向导数。从上例可看到，若，；若时，即函数在点处沿与的方向导数的绝对值相等但符号相反一般地有，为与方向相反的向量方向导数的计算实际上仍是一元函数右导数的计算事实上，若令，则下面定理告诉我们，当函数可微时，可用偏导数来计算方向导数。定理7.1设函数在点可微，则对于任一单位向量，函数在点沿方向的方向导数存在，且证因在点处可微，则有取，则所以存在，且当函数可微时，方向导数的计算公式其中是平面向量的方向余弦。思考题：1试考虑从求函数的导数出发，导出上述方向导数的计算公式【例7.2】设，求函数在点处的

3、沿方向的方向导数解方向的单位向量为，因，；，故方向导数的概念还可推广到元函数设，是中某单位向量，若函数在处的极限存在，称此极限为元函数在点处沿方向的方向导数若函数在处可微，则如在点处沿方向的方向导数为若在处是可微的，则方向导数的计算公式其中是向量的方向余弦。（平面是空间的特例：）【例7.3】设，求它在处沿方向的方向导数解求出的方向余弦：，则显然函数是可微的，故注意，利用偏导数求方向导数的计算公式仅在函数在点可微的条件下成立但由方向导数存在并不能保证函数在该点处可微，因此，若函数在该点不可微时，不能用上述公式，只能用方向导数的定义来讨论如由例7.1知函数在点处沿所有方向的方向导数均存在，而由于不

4、存在（为什么?（），故函数在点不连续，因此在点处函数不可微思考题：2若函数的两个偏导数，不存在，则方向导数也不存在，对吗？（不对。例：）3若函数的两个偏导数，存在，且，则有对吗？（不对。在不一定可微。）4若函数在点处沿任意方向的方向导数都存在，能否推出函数在该点处连续？反之，若函数在该点处连续，能否得到函数在该点处沿任意方向的方向导数存在？（都不能。）7.2 梯度设函数在点处可微，则在点沿方向的方向导数其中是一个固定的常向量。其中为向量与向量间的夹角。定义7.2设函数在点处可偏导,则称向量为函数在点处的梯度记作，或，或（是算符，也称这向量微分算子）即 对于在点可偏导的二元函数（二元函数可以看作

5、三元函数）,则设，则（）即函数在点处沿方向的方向导数等于该点处的梯度与单位向量的数量积【例7.4】求在点沿指向点方向的方向导数，并求出方向导数的最大值及取得最大值的方向解因为函数可微，且，有，又，故，在该点处方向导数取得最大值的方向为：方向导数的最大值为根据定义，容易得到梯度的运算法则：（为常数，函数可微）(1)；(2)；(3)，；(4)7.3 梯度场、等高线、等量面1 场称物理量在空间或部分空间上的分布为场一个场，如果分布的物理量是数量，则该场为数量场；如果分布的物理量是向量，则该场为向量场例如，温度场，密度场，电位场等就是数量场；而力场，速度场，电场强度场等就是向量场如果空间区域（或平面区

6、域）上有一个数量场，则每一点都有一个数量，是上定义的函数；反过来，如果是上定义的函数，则也是上的一个数量场。因此，上的一个数量场就是上定义的一个函数。如果空间区域（或平面区域）上有一个向量场，则每一点都有一个向量，是上定义的向量函数；反过来，如果是上定义的向量函数，则也是上的一个向量场。因此，上的一个向量场就是上定义的一个向量函数。的坐标一般也是的函数，即，其中是某三个函数。2 等高线与等量面如果是D上的数量场，令（常数），得方程式它确定了一个点集，即平面与曲面相交而构成的点集，是平面上的一条曲线，将它投影到平面上得到一条曲线，因为该曲线上的任一点到面的高度是相等的，称其为数量场的等高线图7.

7、1让在函数的值域中变，我们就得到一族等高线 同理，若对于三元函数（数量场），令，得等式它表示的是三维空间中的曲面，称之为函数的等量面（如的等量面方程是，它表示的是以为中心，为半径的球面）在同一等量面上具有相同的物理量如温度场中的等量面就是等温面，电位场中的等量面就是等位面3 梯度场一个由数量值函数产生的向量函数称为数量场的梯度场反之，当一个向量场是某数值函数的梯度场，即，称向量场为有势场（势场）【例7.5】设点电荷位于坐标原点处，在其周围产生电场，且任一点的电位与电场强度分别为，其中为介电系数，为点的向径求电位函数的梯度解因此，电位梯度的方向与电场强度的方向相反，即沿向径的负方向电位的增长最快

8、习题97A类1求下列函数在指定点处沿指定方向的方向导数(1)在点处沿方向：() 当时； *() 当时； () 当时；*(2)在点处沿方向；(3)在点处沿着从点到点的方向；(4)在点处沿着与轴成方向；*(5)在点得沿方向；(6)在点得沿方向解 （3）到处可微。2求函数在指定点处的梯度的大小和方向*(1)在点及点；*(2)在点处；(3)在点及点处3试求函数在点处，沿曲线在该点的内法线方向上的方向导数*4求沿球面上的点处外法线方向的方向导数5求函数在点处，沿曲线,在点处的切线的指向参数增大的方向的方向导数6求函数在点与处的梯度间的夹角7当,满足什么条件时，函数在点处的方向导数的最大值在轴的正向取到8在平面上的任一点处的温度函数为，讨论：(1) 温度在点处增加最大的方向；温度增加最大的方向是否指向原点？(2) 温度在点处减少最快的方向；(3) 在点处求一个方向，使得在这个方向上，温度不增不减B类*1求函数在处沿与该点的等高线垂直方向的方向导数*2设证明：如果是等高线上任一点，则在点的梯度必垂直于等高线在此点处的切线*3设函数，证明函数在点处沿任意方向的方向导数存在，但函数在点处不连续4讨论函数，在点处的方向导数是否存在，是否可微？5设可微已知四个点，若在点处沿方向的方向导数等于3，沿方向的方向导数等于26，求在点处沿方向的方向导数解 。，由已知条件