概率论与数理统计知识点总结 (1).docx

1、 第 1 章 随机事件及其概率m!从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。n（1）排列组合公式m!C =m从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。（2）加法和乘法原理乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步骤可由 n 种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。（3）一些常见排列如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个

2、结果，则称这种试验为随机试验。（4）随机试验和随机事件（5）基本 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用W表示。w一个事件就是由 W 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用A，B，C，表示事件，它们是W 的子集。W为必然事件，?为不可能事件。不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。BA如果事件 A 的组成部分也是事件 的组成部分，（ 发生必有事

3、件B发生）： A B（6）事件的关系与运算ABA如果同时有 A B，B A ，则称事件 与事件 等价，或称 等于A、B 中至少有一个发生的事件：A B A B，或者 + 。A属于 而不属于 的部分所构成的事件，称为BA 与 B的差，记为A-B， A-AB A B也可表示为 或者AB ，它表示 发生而 不发生的事件。II同时发生： ，或者 。A B=?，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。W -A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为A 。它表示结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C分配率：(AB)C=

4、(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)iiU = I ， I = UA B A B A B A BW设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数AA（7）概率的公理化定义3 对于两两互不相容的事件A ，A ，有21常称为可列（完全）可加性。 1 W = w ,w Lw ，12n12 P(w ) = P(w ) = LP(w ) = 。n12n（8）古典概型设任一事件 ，它是由w ,w Lw 组成的，则有A12m= (w ) U (w ) ULU (w ) =P(w ) + P(w ) +L + P(w )P(A)12m12m若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均

5、匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件 A，（9）几何概型P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 A=时，P(B )=1- P(B)（ 12）条 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)0，则称 为事件 A 发生条P(A) 件下，事件 B 发生的条件概率，记为=P(B / A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)BA ) = P(A )P(A | A )P(A | A A )2n121312nA )P(AB) = P(A)P(B)，则称事件 、 是相互A

6、BP(A) 0若事件 、 相互独立，且A B若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都A B A B A B A B?与任何事件都互斥。 设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C 相互独立。12P(B ) 0(i = 1,2,L,n)i12nnUiP(A) = P(B )P(A | B ) + P(B )P(A | B ) +L + P(B )P(A | B )1122n全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题，全概率

7、公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；设事件 ， ， B 及 满足BBAn12i=0， 1，2，1n12n nA Bi2则i=1P(B / A) =iinjj=1此公式即为贝叶斯公式。，（i =1，2in ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。将试验可看成分为两步做，如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用贝叶斯公式。每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生；n 次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样；A每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A发生与否是互不

8、影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。p用 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为，用k(0 k n)n 重伯努利试验中 出现A kn-knn第二章 随机变量及其分布设离散型随机变量 X 的可能取值为 X (k=1,2,)且取各个值的概k率，即事件(X=X )的概率为kP(X=x )=p ，k=1,2,，k则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布X|12kLLk12kkk=1 F(x)f (x)，对任意实数x ，有xF(x) =f (x)dx称为 X 的概率密度函数或密度函数，- P(x X x ) F(x ) F(x ) f (x)dx=-

9、=1221积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与kk在 （4）分 设 为随机变量，x 是任意实数，则函数XP(a X b) = F(b) - F(a) 可以得到 X 落入区间(a,b的概率。分布分布函数具有如下性质：1- x +；2 F(x) 是单调不减的函数，即x x 时，有 F(x ) F(x )；1212x-x+4 F(x + 0) = F(x) ，即F(x) 是右连续的；5 P(X = x) = F(x) - F(x - 0) 。kx xk- n A p A在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发L 。0,1, 2, ,nXP(X = k) = P (k

10、) = C p q中kknnq = 1- p,0 p 1,k = 0,1,2,L,n服从参数为 n ， p 的二项分布。记为X当 = 时，P(X = k) = p q ， =n 1 k 0.1，这就是（0-1）分k1-k设随机变量 X 的分布律为k-k!则称随机变量 X 服从参数为 l 的泊松分布，记为 X p(l)或者 P(l )。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。L ，其中 p0，q=1-p。P(X = k) = q p,k = 1, 2,3,k-1 f (x)设随机变量X 的值只落在a，b内，其密度函数 在a，11,axb其他，0,则称随机变量X 在a，b上服从均匀分布，记为

11、XU(a，,F(x) = f (x)dx =x-x , x当 ax x b 时，X 落在区间（ ）内的概率为12x - xP(x X 0?其中 ，则称随机变量 X 服从参数为 的指数分布。F(x) = 正态分布 设随机变量X 的密度函数为m1e ，-s22mm 0其中 、 为常数，则称随机变量X 服从参数为 、s 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为。2mx =的图形是关于 对称的；m1x =2 当 时， f (m) = 为最大值；2xe ?2dt2= 0参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为=X N( 0,1)1e-22p，- x +，12p-是不可求积函数，其函数值，已编制成表可

12、供查用。1(-x)1-(x)且 (0) 。2mX -如果X N(m,s ) ，则 N( 0,1) 。2smm x - P(x m )a 。a X12nP(X = x ) p , p , , p ,Li12nY = g(X )的分布列（ y = g(x ) 互不相等）如下：iiLY12nLi12n的概g(x )ii先利用 X 的概率密度 f (x)写出 Y 的分布函数 F (y)YP(g(X)y)，再利用变上下限积分的求导公式求出 f (y)。Y第三章 二维随机变量及其分布 如果二维随机向量x （X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称x 为离散型随机量。x设 = （ X ， Y

13、 ） 的 所 有 可 能 取 值 为p(x , y )(i, j =1,2, ) ，且事件x =(x , y ) 的概率为 ,ij,ijijx为 =（X，Y）的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。YXp11121j2122i1p这里 具有下面两个性质：ijp（2）p =1.ijij = (X ,Y) ，如果存在非负函数f (x, y)(- x +,- y +) ，使对任意一个其邻边 分 别 平 行 于 坐 标 轴 的 矩 形 区 域 D ， 即D=(X,Y)|axb,cyd有则称 为连续型随机向量；并称 f(x,y)为 =（X，Y）x（2）二维随机变量的本质 称为二维随机向量（X，Y）的分

14、布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 ， 以 事 件( , ) | - X ( ) x,- x 时，有 F（x ,y）F(x ,y);当 y y 时，有 F(x,y ) F(x,y );11（3）F（x,y）分别对 x 和 y 是右连续的，即1212P(x 0,s 0,| r |0, D(Y)0，则称为 X 与 Y 的相关系数，记作 （有时可简记为r ）。XY|r |1，当 | r |=1 时，称 X 与 Y 完全相关：P(X = aY + b) =1正相关，当r = 时 ，以下五个命题是等价的：= 0；XY 性质 (iii) cov(X +X , Y)=cov(X ,Y)+cov(X ,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7） （i） 若随机变量 X 与 Y 相互独立，则r = ；反之不真。0,221212则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 和 Y 不相关。