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1、量子力学专题(17)第十七讲 自旋相关的势散射理论17.1一般描述 散射(碰撞)过程可以区分为以下三大种类： 弹性散射过程 非弹性散射过程 (粒子的某种内部激发态) 碰撞反应过程 （+ ）“弹性散射”过程中，不存在粒子种类的改变，而且不发生机械能（、粒子总动能和相互作用势能之和）和粒子内能之间的转化，因此弹性散射中机械能守恒；“非弹性散射”。存在机械能与粒子内能之间的转化。比如，电子在原子上的散射造成靶原子内部状态的激发（或退激发）；“碰撞过程”。这是纯粹由于入射复合粒子、之间的组分粒子交换导致新复合粒子、出射，即（重新）组合反应。它们属于一般的形式散射理论处理的范围。比如，电子使靶原子电离放

2、出束缚电子，或是各种原子核反应。这时没有新粒子产生和旧粒子湮灭，只是复合粒子在碰撞下的分解或重新组合，所以参与反应的粒子守恒。“反应过程”。这时出现新旧粒子的产生和湮灭，从而也造成出射粒子、不同于入射粒子、。比如正负电子对碰撞湮灭成为两个光子，自由飞行中子衰变成质子和电子。由于过程中有新旧粒子产生和湮灭，参与反应的粒子不再守恒。它们属于量子场论处理的范围。散射(碰撞)相互作用可以分为两大类：可以用一个局域的空间变数的函数势函数描述的情况，这时的散射称为势散射；不可以用一个局域的空间变数的函数的情况。这些属于形式散射理论和量子场散射理论。有时也把除了弹性散射以外的全部散射(碰撞或反应)过程统称为

3、非弹性散射过程。17.2散射分道的概念1, 散射分道概念如果散射中相互作用势和自旋无关，散射中入射粒子和靶粒子的自旋态分别保持不变。这正是前面所考虑的情况。但如果相互作用势中含有自旋相互作用，则散射前后，守恒的自旋量子数虽然保持不变，不守恒的自旋量子数将会发生变化。这可能导致入射粒子和靶粒子的自旋状态在散射前后发生改变。通常，散射分道既可以用两个散射粒子自旋态的耦合表象基矢来标记，也可以用无耦合表象的基矢来标记，视方便而定。若自旋初态为基矢，称为第入射分道；自旋末态为基矢，称为第出射分道；称的散射为散射分道。一般说，两个散射粒子系统的自旋初态或末态都不止一个，所以带自旋的散射将会有多个散射分道

4、。原则上每个分道的散射振幅(从而微分截面)各不相同，要分别计算。2, 渐近正能量解的表达式这时散射问题就可以明确地表述成为：当入射平面波为时，求解势函数的定态方程下述渐近形式的正能量解，(17. 1)这里假定出射自旋态为。这就是自旋态从的自旋散射。一旦求得散射振幅，即得微分截面。 （17.1）式应注意两点。其一，右边并未归一，也无法归一，只要求其中第一项入射波是的形式，则整个解的第二项散射波项前面的系数自然就是散射振幅；其二，时，右边两项之间不存在干涉。这是因为它们的交叉项（干涉项）正比于，由于足够大，因此当时此因子将随快速振荡。但探测器总会有一个小张角，所以只要探测器不放置于附近，此项因子在

5、内将由于快速振荡而被抹去。也就是说，(通常均放置在处的)探测器只要不位于附近，是检测不到入射波以及它与出射波的干涉的。这也正是仅用散射波（而不计入项）来计算出射流密度的物理根据。右边渐近形式中，第一项为入射态，带着这个自旋初态，第二项为渐近形式下的球面波出射态，带着这个自旋末态。注意，通常和受实验按排和测量意图所决定，不一定是自旋耦合（或无耦合）表象中的基矢。为理论上不失普遍性，这里考虑的自旋初末态是任意的，于是散射也就不一定是某个分道的散射。相应于这两个自旋初末态的散射截面(常称为极化截面)为 (17.2)和无自旋情况类似，因为入射平面波和（渐近形式下的）出射球面波之间的干涉项当时因快速振荡

6、而被抹去，可将写为(17.3)下面去求这个正能量定态解的渐近表达式，主要是其中的第二项散射球面波的渐近表达式。即求的渐近形式。17.3, 分道散射振幅计算 Green函数方法1, Green函数方法与散射积分方程现在的问题是：去求解如下定态方程(17.4)的正能量解，该解在时有下面渐近形式 (17.5)引入，于是定态方程(17.4)为 (17.6)这里，为入射粒子的能量。引入和这个方程相应的格林函数方程 (17.7)已知有助于求解方程。因为对(17.7)式乘以并对积分，得将这个方程与（17. 6）式比较即知，积分与只相差一个齐次方程的通解。于是得到 (17.8)在渐近形式下，右边第一项即为；而

7、第二项内只有Green函数含变数，于是对的渐近要求将施加到上，要求它在时趋于出射球面波。方程(17.8)的物理意义很清楚：在点附近范围内发生势散射，形成了强度为的散射点源，这个点源按出射Green函数传播到点，就是对点概率幅的贡献。全部散射点概率幅贡献之和，再叠加上入射波的波幅，即为点的总概率幅。现在的任务是去求这样的格林函数，当时它趋于。为此，将所满足的方程两边同乘以无奇点的正规算符（），可得由下面推导可知这里前应取正号，才能满足边条件() (若取，将给出另一种格林函数：它当时趋于渐近的入射球面波)。现在来计算这个积分， 现在可以将积分变数延拓到复平面，利用留数定理来计算这个积分。在为复数的

8、平面上，被积函数有两个一阶极点A和B，它们分别位于，也即 、这里只要求小量，它的数值并不重要，因为积分完成之后要令它趋于零。在上半平面选取如图的半园回路，考虑到在半园周C上积分随半径趋于无穷而趋于零，于是得到 （17. 9）显然，这个表达式满足先前所说的当时趋于的边条件。最后即得，自旋势散射理论中处于中心位置的积分方程,(17.10)方程(17.10)右边第二项已经满足所设定的的边条件，并且它代表出射球面波（这可由它的位相看出）。方程(17.10)是一个积分方程，它是下面迭代法近似求解的出发点。2, 一阶Born近似当势较弱，或者它相当局域(即显著不为零的区域较小)，或者入射粒子能量足够大等情

9、况下，上面积分方程的第二项在数值上将显著小于第一项，即 (对任意值) （17.11）因此在对积分方程（17.10）求解时可对其作一级Born近似：将第二项积分号下的代以它的零阶近似；同时，由于，对格林函数中的分母取零阶近似（即令其为）、而对分子中的位相应取高一阶近似（即一级近似），至此，为表示简洁引入两个波矢记号：入射波波矢、散射波波矢。由于现在是固定势场中的弹性散射，两个波矢的数值相同，仅方向不同。于是, 。这里 是入射粒子动量的改变（由图可得）。经过上述近似，可以得到的如下渐近表达式 （17.12）由此，在一阶Born近似(通常简称为Born近似)下，若选定出射自旋态为 (即用左乘（17.

10、10）式来选定出射分道)并注意（17.3）式，最后即得散射振幅的表达式为 (17.13)这个公式和以前无自旋散射振幅表达式的差别仅在于：将被积函数中的相互作用势换成它在自旋初态和自旋末态夹积下的矩阵元。如上所说，若和是耦合（无耦合）表象的两个基矢，则相应的是某个分道的散射振幅。注意，的模值只依赖于(以及)，但的方向(通过出射的)依赖于。这个公式说明，散射振幅正比于势场中相应的富里叶分量。 公式一般地表明了： i, 散射中，大动量传递(大值)的散射截面比较小，因为积分号内指数因子（当变数变化时）振荡加剧导致积分数值减小；ii, 对高能(较大)入射粒子，若要不为零，要求较小，如此才能避免被积函数的

11、快速振荡，换句话说，高能散射多集中于朝前方向。若V的空间函数为中心场，则（17. 13）式积分中的角度部分可以预先算出，于是得到 (17.14a) (17.14b)这里。结果表明，入射粒子的动量和散射角都是通过的数值进入截面的。3,自旋权重平均当（17.13）式中的自旋初、末态、是叠加态时，可用耦合（无耦合）基矢将它们展开，设展开系数分别为和，即于是散射振幅分解成为 (17.15a)这里为散射分道的散射振幅。这时微分截面可写为 (17.15b)显然，当或为叠加态时，各分道之间将存在干涉。此时散射截面一般不能表示为各分道截面按展开式系数模平方的非相干叠加。 对于极化情况。即为纯态的情况。这时初态

12、中各成分之间将出现干涉，但对各个末态仍为非相干求和。就是说，若求这时的总截面，应取为耦合（无耦合）表象的全部基矢，分别算出各出射分道截面并对它们全体求和“非相干”的概率相加： (17.16)这是由于，伴随测量而来的波包坍缩总是导致相干性的破坏，在不同塌缩之间（如Feynman说的“不同选择”之间）不存在干涉。但不同类型的测量将会造成不同样的塌缩。所以出射分道之间是否存在干涉还依赖于测量何种自旋末态。通常情况下，对自旋末态的测量是针对彼此正交的（自旋末态的）基矢进行的，当然也就不存在各出射分道之间的干涉，这使得总截面就等于各出射分道截面之和。这种结果通常简称为“对末态求和”。对于非极化情况。即初

13、态为一些基矢的非相干的混合，这里0是此混态系综中 态出现的几率。这正是非极化粒子入射的情况。这时将不会出现初态中各成分之间的干涉。此时，相应某个出射道的微分截面为 这里，截面计算结果表现为对初态各成分的结果求平均，简称作“对初态平均”。此时经同样分析可得，总截面仍为各出射道的微分截面之和， (17.17)总之，（非极化粒子入射到非极化靶上）非极化散射总截面计算是“对初态平均”并且“对末态求和”。作为极化情况的一个例子，假设两个可分辨的自旋粒子的自旋初态为叠加态，它们分别为和。于是自旋初态为 这里已经用了从无耦合基矢向耦合基矢的转换关系（当然也可以不做这种转换，视末态如何而定）。假如自旋末态是一

14、般态（就是说不想进一步关心它的展开），相应的微分截面即为这说明，如上所述，当相互作用与自旋有关时，一般不是各分道截面以展开式中系数模方的权重平均，而存在分道之间的干涉。作为非极化情况的一个例子，两个自旋的可分辨粒子，散射势为，求非极化截面。这时 。这里，是系统的总自旋。由的形式可知，散射中总自旋和第三分量守恒。于是，从耦合表象观点来看，（共16个分道中）仅存如下4个分道截面，由于是非极化情况，自旋初态的4个耦合基矢出现的概率相等，非极化截面为权重平均值，注意，由于和改变的相关矩阵元为零，“末态求和”已经消失。 如果各分道截面与自旋无关，单考虑非极化情况下的自旋权重系数，可以将上面例子稍作推广。

15、假定两个自旋为的全同粒子散射，并假定为非极化情况。按前面所说，计算截面时应对自旋初态取平均。往算权重系数。这个全同粒子系统总自旋可能取值由反平行取向时的零到平行取向时的，逐个增加数值1，所以系统自旋态的总数目为其中， 对半整数情况： (17.18a) 对整数情况： (17.18b)结合前面的叙述，当总自旋为偶数时，空间波函数为对称的；为奇数时，空间波函数为反对称的，于是即得如下结果，17.4, 例算例1，研究两个自旋可分辨粒子(如质子和中子)的各种极化与非极化散射。假定散射振幅算符的两个本征方程可写为，这里为自旋单态，为自旋三重态，和分别为它们的散射振幅（一般为、的复值函数）。 往求：a) 的

16、表达式；b) 若散射前质子处于态，中子为态，散射后、自旋反向的概率为多少；c) 若初态，散射总截面的表达式。解：a) 题设中的两个本征方程表明：保持初末态总自旋及第三分量不变 (也即，在耦合表象中为对角的)，由此可一般性假设，其中、为两个待定系数。采用7.3节所引入的质子中子自旋交换算符，即于是用表示出，因此可得由联立方程和可得和，即得的表达式为b) 已给定的散射初态为按题设在散射中发生反转的要求，可知自旋末态应为于是相应的微分截面为。由于不改变量子数（现在它为零），出射自旋态只能是自旋反转和不反转这两种 注意，题设虽然使总自旋守恒，但此时所给的入射态和出射态均不是的本征态。用耦合基计算时要注

17、意。它们微分截面分别为于是，在散射中发生自旋反转的概率为注意，分子上已表现出两粒子在自旋反转过程中散射分道之间存在干涉。当然，此处也可在耦合表象中算，只要注意性质，结果相同。c) 将此处自旋初态用耦合基矢展开，得于是，各个出射分道的散射振幅分别为 根据微分总截面应当对末态求和，有 例2，上例中，若初态为的两个自旋的全同粒子，求散射的非极化截面。其实，问题还可以提得更一般些：若两个自旋的全同粒子，各自处于自旋平均值为和的自旋初态上，求(非极化)散射总截面。解：设对应于给定值的自旋初态为，并假定散射势的形式为其中和是两个待定的空间函数。这种形式有两个特点:耦合表象中它是对角的,并且不改变第三分量量

18、子数;的各幂次仍然保持为此种形式。后者是因为有。总截面为给定初态之下对全部末态截面求和。注意,有由于的二次幂乘积算符仍可归纳为一次幂的形式， 因此完成空间积分后即得对初态极化矢量的一般依赖关系。其一般形式将为注意此处系数、与自旋初态无关，于是可用两种极端情况的初态来决定它们：第一, 靶和入射粒子均为非极化：。 得；第二, 靶和入射粒子均沿同一方向极化：。这时系统总自旋必为，空间波函数反对称。得。解出、之后，即得这就是本题所求结果。代入题设的特殊初态,有相应的非极化散射总截面最后附带指出，两个非全同粒子系统,截面不一定由反对称空间波函数算得,也不一定由对称空间波函数算出。但如果在例1非全同粒子情

19、况中，作如下替换：将其转化为此处例2全同粒子情况,则该例c) 中结果即转化为此处结果。17.5, Born近似适用条件分析 张永德，大学物理，1988年，第6期，第11页。如前所说，若要Born近似成立，充要条件是基本积分方程(17.10)右边第二项数值上要远小于第一项(对任意值)。只有这样，对第二项才可以做前述Born近似。而若要这个积分项数值小，需要下面三个条件中至少有一个成立 (17.19)当然，联合作用会使近似更好。这些结论是由于，积分项的主要贡献来自的不接近于零的基本区域，如果这个区域相当小(和入射粒子波长 即 相比较)，也即势相当局域，这项积分的数值自然就小；其次，若本身很弱，这项

20、积分也不会大；再就是，若入射粒子能量很大，就很大，被积函数中的相因子将随积分变数 变化快速振荡，这使积分值急剧减少。对积分进行估值可得如下两个Born近似适用条件的表达式. 朗道，E.M. 栗弗席茨，量子力学(非相对论理论)，高等教育出版社，1981年。， (17.20)这里是势场（不显著为零的）区域的尺寸，为入射粒子的速度。第一个不等式只涉及势场本身，不涉及入射粒子的能量，它是说，按测不准关系，若将粒子局域在中时，相应的动能应显著大于势能；第二个不等式表明，只要入射粒子能量足够高，不论势场形状如何Born近似总能成立。于是，一个散射势，如果低能时可以对它做Born近似，则高能时一定更可以；反之不一定。Coulomb势是个长程势，对它显然难以给出一个确定的值。这时，可将第二个不等式右边代以(同时左边的中也有同一个)，于是得，也即。如果，则要求 (17.21)就是说，相对入射粒子动能而言，强Coulomb场不可以作Born近似。19