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1、 结核病传播的数学模型摘要：本题要求建立结核病传播的数学模型。针对问题一，首先建立一般无免疫传染病的传播模型SIS模型，再根据结核病传染的自身特点将健康人群分为三个不同的优先级，从而求出了结核病传播的数学模型：再针对西安地区的具体情况，确定各参数。用曲线拟合的方式推算出未来五年的结核病人数。时间西安人口数结核病人数idi/dt20119907900303.69083663.06514E-05-0.00001129201210510000235.43327932.24009E-05-8.2505E-06201311169000182.85420941.63716E-05-6.0293E-0620

2、1411888000142.24447191.19654E-05-4.4062E-06201512666000110.76775328.74528E-06-3.2201E-06通过比较我们发现，由于西安艾滋病感染者比例较小，所以结核病人的增长与当地的病人被及时发现率k和治愈率m有关。所以，在问题二中我们提出一系列措施来提高k和m，从而降低结核病人的增长。针对问题三我们主要分析了流动人口对结核病防控的影响。首先计算出农村人口和城市人口的感染率分别为0.5085和0.29966，然后根据对西安市未来人口的预测结果和流动人口所占的比例，计算出未来各年结核病的感染者和患者及增长率，根据结果可以清楚的看

3、到，若对流动人口不采取相应的措施则会导致感染者和患者人数的增加，且其增加的速度逐渐增大，倘若如此后果将不堪设想。针对问题四，我们阐述了我国结核病的状况，介绍了结核病的危害以及我们所面临的困难，为防止结核病的扩散我们必须应加强结核病的监测力度，保护入出境人员，最大限度地降低结核病的发病率，遏制结核病在我国的流行，提高人群健康水平。 关键字：SIS模型 曲线拟合 DOTS评价一、问题的重述结核病是一种古老的经呼吸道传播的慢性传染病，在历史上流行猖獗，被称为白色瘟疫。仅从1882年著名的德国科学家郭霍氏发现结核菌以来，至少有约2亿人被结核病夺去了生命。尽管上世纪50年代有效的抗结核药物问世以后，形势

4、发生了根本的改变，但是进入八十年代以后，由于各国政府的忽视、移民、多耐药结核病和艾滋病等因素的影响，在全球，特别是在发达国家又重新出现了上升的趋势。我国是全球22个结核病高负担国家之一，结核病人数位居世界第二位，仅次于印度。我国卫生部于1979年至2000年在全国先后开展了四次结核病调查，结核病发病数居法定传染病之首。2010年我国进行第五次结核病流行病调查。2000年结核病流行病调查结果分析：我国结核病疫情还相当严重，部分地区有蔓延趋势， 表现为结核菌感染人数多、现患肺结核病人多、结核病死亡人数多、农村结核病人多和传染性肺结核病疫情居高不下。结核病有着独特的传播规律。它的流行与其它的传染病非

5、常不同。它的病情发展很慢、在疾病的潜伏期和活化期采取完善的措施完全可以根治，但如果治疗不当或治疗不彻底而发展为耐药性结核就会成为不治之症，而且结核病病愈后不会获得免疫力。目前，在全球范围内，由于耐药结核菌的产生与扩展，结核菌与人体免疫缺陷病毒(HIV)的双重感染以及许多国家结核病控制规则的不完善，使得全球结核病商情呈明显上升趋势。在全球所有传染性疾病中，结核病已成为成年人的首要死因。结核病流行的另一在特点就是其潜伏期很长，而且因人而异，有的感染者也可能终生都不会发病。我们的工作是查询相关资料解决以下四个问题：（1）建立能反应我国或某一地区(不限中国国内)的结核病传播规律的传染病动力学模型，并对

6、其结核病流行趋势进行中长期预测；（2）通过模型分析，对现有的预防和控制措施进行评价，并分析不同的预防和控制措施对结核病传播的作用效果，也可提出自己的最佳预防控制策略；（3）尝试将人口流动特点(如：我国的农民工在城乡间的流动，或不同地区国家之间的人口迁移)等因素对结核病传播和发作的影响予以定量化描述，并引入到所建模型之中，寻求对结核病传播和预防控制的影响。(4) 给当地报刊写一篇通俗短文，说明对结核病进行预防控制的重要性。二、模型假设：2.1 当病人被发现或诊断后，就不具有传染性。2.2 假设普通易感人群即除艾滋病毒感染者的易感人群主要由0-14的青少年和65岁以上的老年人。2.3 流动人口界定

7、为：在本辖区内暂住3个月以上或者期望居住3个月以上的非本地户籍人口为流动人口。排除旅游、探亲、参军等情形；在同一区县（包括县级市）内或在同一城市的城区之间流动不属流动人口之列。 三、符号说明：N 地区总人数i（t） 已感染人数 (病人)比例 s（t） 健康人数比例l 病人日有效接触健康人群率m 病人每天治愈的比例A（t） 非易感人群在健康人群中所占比例B（t） 普通易感人群在健康人群中所占比例C（t） 艾滋病毒感染者在健康人群中所占比例 病人与非易感人群日有效接触率 病人与普通易感人群日有效接触率 病人与艾滋病毒感染者日有效接触率k 病人被及时诊断和发现的概率四、模型的建立与问题的求解：4.1

8、问题一: 因为结核病是无免疫的，所以先建立无免疫传染病SIS模型。设该地区总人数为N，已感染人数 (病人)比例为 i(t)，健康人数比例为s(t)，每个病人每天有效接触人数为l, 且使接触的健康人致病，病人每天治愈的比例为m 则可建立新增病人人数模型： 可得：，下面我们来具体讨论结核病的传染模型以西安地区为讨论对象。 首先讨论每个病人每天有效接触人数l，在不考虑流动人口的情况下，l与健康人群中的易感人群（包括婴幼儿、青春期、老年人、尘肺、糖尿病患者、胃切除术后或长期使用免疫制剂的人、艾滋病病毒感染者），其发病率为非易感人群的数倍，尤其是艾滋病病毒感染者被传染得病的可能性更大。所以，将健康人群按

9、被感染优先程度分为三个部分：非易感人群、普通易感人群、艾滋病病毒感染者，设其占健康人数的比例分别为：A（t）、B（t）、C（t），其中艾滋病病毒感染者优先级最高，普通易感人群次之，非易感人群最差。每个病人每天对三类人群有效接触(足以使人致病)人数分别为、，则l为然后讨论传染过程，结核病的传染通常是发生在发现和诊断前，也就是在没有被发现明显症状时传染性最大假设被发现病人经过及时隔离治疗，结核病传染性很快减弱和消失。设病人被及时诊断和发现的概率为k。 可得：针对西安地区情况考虑参数的确立，对于健康人群中的非易感人群对于普通易感人群我们设定，对于艾滋病病毒感染者，根据统计近似认为。一般一名结核病患者

10、一年可以感染20个人，即假设，则、。在西安地区病人治愈率为80%，病人被及时发现和诊断的概率k=70%。在2005年的普查全国人口中，0-14岁的人口为26478万人，占总人口的20.27%；65岁及以上的人口为10045万人，占总人口的7.69%，由于短时间内人口年龄比例变化不大，则认为B（t）=20.27%+7.96%=28.23%。2000年到2009年西安人口数与艾滋病感染者的数据如表一： 表一年份西安人口数西安艾滋病感染者数所占比例20006880111152.1802E-0620016948369162.3027E-0620027025939223.13125E-062003716

11、5784233.2097E-0620047250078446.0689E-0620057417263881.18642E-05200675311261031.36766E-05200776425274485.86194E-05200878328786418.18345E-05200983446338109.70684E-05用spss进行拟合可得图一： 图一由图可知用三次曲线拟合较为符合，设西安市艾滋病所占比例为D，则根据你和结果可得： 同理对西安地区如图二：由图可得用三次曲线拟合较为符合，根据拟合结果可得可得西安总人口数与时间的关系为：其中t的单位为年，以2000年为时间起点。根据以上估计可

12、得2004到2015年西安市人口数与艾滋病毒感染者的比例，如表二。 图二 表二时间西安人口数艾滋病毒感染者的比例200472500780.00000218200574172630.0000023200675311260.00000313200776425270.00000321200878328780.00000606200983446330.00001186201093631000.00002409201199079000.000035062012105100000.000048322013111690000.000065412014118880000.0000829201512666000

13、0.0001112则 该微分方程不能用MATLAB求解，所以假设将时间按年分为若干段，每年的为一定值，与年初的人口总数，病人比例，艾滋病毒感染者有关。我们查得2004年西安人口数为7250078人，结核病人1996人，所占比例为0.00275，艾滋病毒感染者所占比例为0.00000218.则可计算出2005年的的值为0.000792，从而得到2005年的结核病人数，同理可得到2004到2015年的结核病人数如表三所示： 表三时间西安人口数结核病人数idi/dt2004725007819960.0002753074 200574172631492.7641050.0002012554 -0.00

14、0074052 200675311261107.5528670.0001470634 -0.000054192 20077642527821.32237540.0001074674 -0.000039596 20087832878615.15024010.0000785344 -0.000028933 20098344633478.91002770.0000573914 -0.000021143 20109363100392.70136220.0000419414 -0.000015450 20119907900303.69083660.0000306514 -0.000011290 2012

15、10510000235.43327930.0000224009 -0.000008251 201311169000182.85420940.0000163716 -0.000006029 201411888000142.24447190.0000119654 -0.000004406 201512666000110.76775320.0000087453 -0.000003220 由上表可得西安地区结核病人数下降，分析其原因为，艾滋病毒感染者所占比例较小，病人被及时发现和诊断的概率较大，病人治愈率较大。4.2问题二：目前我国结核病的防治工作所采取的措施主要以DOTS为主。DOTS是英文“直接监

16、视下治疗”的简语。中文称为“全程监督短程化疗”，是当今全世界公认的治疗结核病最有效的方法。具体就是在治疗全程中，每次用药均在医务人员直接面视下进行。最近，世界卫生组织（WHO）已将这一方法做为结核病控制对策世界战略的关键措施来强化使用。实践证明DOTS是治疗结核病的最佳方法。 现代结核病控制策略（简称DOTS策略）的五要素是;1政府的承诺：首先应该明确控制结核病是各级政府的责任，政府应该加强对结核病控制工作的领导和支持，要提供足够的经费，以保证开展现代结核病控制工作的需要。 2、利用痰涂片显微镜检查为主的方式发现传染性肺结核病人。 3、对涂片阳性的传染性肺结核病人，实行全程督导下的治疗管理，即

17、每次服药都要在医护人员的直接面视下服用，并进行记录，以保证病人规律服药直至完成疗程，达到治愈。 4、建立持续不间断的免费抗结核药物供应系统。国家对抗结核药物的生产、供应实行有效的管理，以保证药品质量并满足病人治疗的需要。 5、建立统一的结核病人的登记、报告和监测评价系统。我们通对陕西省榆林市12个县(区)年来12个县(区)结核病控制报表汇总统计进行分析（榆林市12个县(区)于2003年起全面实施现代结核病控制项目工作, DOTS覆盖率100%。）。结果发现:1涂阳肺结核患者6087例,其中初治涂阳4422例,占72.65%;2复治涂阳1665例,占27.35%;3在构成比上男性多于女性,新登记

18、率从2003年的14.15/10 (万)提高到2007年的28.63/10 (万),复治涂阳从2003年的46.99%下降到2007年的12.65%。5年来治愈传染性肺结核4372例,减少了传染源的传播。结论：实施DOTS策略5年来取得了一定的成效,仍需不断探索提高。采用因症就诊和实施归口管理转诊为主要方式发现患者。至2007年共发现涂阳肺结核患者6087例;其中初治涂阳4422例,占72.65%;复治涂阳1665例,占27.35%。在构成比上男性多于女性,且以青壮年为主(表四) 表四 2.2病例督导管理督导治疗传染性肺结核病例是现代结核病控制策略的主要技术措施。对涂阳肺结核病进行督导治疗管理

19、,实行全程管理(在医务人员直接面视下进行短程督导化疗)、全程督导(培训家庭督导员)、强化期督导等方式。至2007年结核病控制项目涂阳病例督导管理率达到9535%,涂阳肺结核病例化疗满2个月痰菌转阴率达8730%,其中:初治89.30%,复治81.98% 。(表五) 表五2.3新登记的涂阳肺结核病例一年转归平均治愈率87.64%,其中初治4085例,治愈3696,治愈率90.45%;复治涂阳登记1665例,治愈1298例,治愈率77.96% 。(表六) 表六 综上所述此我们不难看出五年来初治涂阳肺结核病例的发现率由2003年的14.15/10 (万)提高到2007年的28.63/ (10万),复

20、治涂阳肺结核患者比例下降到2007年的12.65%,传染源的控制效果明显提高。涂阳肺结核病例的治愈率为8674%,达到WHO结核病控制规划的治愈目标(85% )3。结核病控制项目工作期间治愈传染性肺结核病例累计达4372例,减少了传染源的传播,取得了较明显的社会和经济效益。但是我们要清楚的看到DOTS并不是完美的，仍然有许多要改进的地方。为此我们提出了自己的措施除了DOTS 所包含的措施外还包括以下措施：1.加大各地政府资金的投入1992-1999年，利用世界银行贷款在新疆等13个省（自治区）开展了中国结核病控制项目，利用中央防病经费在河南等15个省（自治区）实施了卫生部加强与促进结核病控制项

21、目。其间，项目地区累计免费诊断并治疗传染性肺结核病患者120余万例，治愈率从50%提高到90%。经过多年的艰苦努力，我国结核病防治工作取得了显著成绩，形成了一套符合中国国情的现代结核病控制策略。 2.养成良好卫生习惯，不随地吐痰，不对人咳嗽、打喷嚏或大声说话，可减少结核病的传播。新生婴幼儿接种卡介苗可预防儿童结核病。3.健康教育：（1）开展结核病电视宣传，“世界结核病防治宣传日”及“三下乡”活动。制作结核病防治宣传材料、宣传栏，组织结核病防治专家到边远地区开展义诊。（2）组织县直有关卫生单位、乡镇卫生院、行政村主任等进行培训。（3）结合结核病健康教育资源库的内容印刷结核病核心知识宣传单散发到各

22、大中专院校和中小学校。(4)提高流动人口肺结核病人的发现率和治愈率为流动人口肺结核病人提供免的结核病控制服务(5)加强TB/HIV双重感染防治项目组织实施工作。4.3问题三的求解：在这一问中我们主要考虑流动人口的影响。流动人口界定为：在本辖区内暂住3个月以上或者期望居住3个月以上的非本地户籍人口为流动人口。排除旅游、探亲、参军等情形；在同一区县（包括县级市）内或在同一城市的城区之间流动不属流动人口之列。 目前，全国已有5.5亿的人口感染了结核杆菌。在被感染结核菌的人群中，其中10%的人将发生结核病。我国的结核病耐药情况十分突出，耐药率高达46%，农村结核病人多，我国80%的结核病人在农村。结核

23、病已成为农村中因病致贫、因病返贫的一个主要传染病。 此外，全国结核病防治工作面临着结核菌/艾滋病病毒（TB/HIV）双重感染的巨大挑战。流动人口的骤增，使业已得到基本控制的城市结核病疫情出现回升。由于流动人群的发病率明显高于当地人群,且治疗管理难度大，给当地乃至全国的结核病控制带来威胁及挑战。 为此，做好相关研究具有重大意义我们以西安为例并作出以下假设：1. 西安市常住人口中居住在乡村的人口数量占总人口的43.86且城乡人口比例不变；2. 西安市流动人口占人口总数的15不变，其中来自农村的约占40；3. 西安市2004年结合病菌感染率达到44.5%，全国各地农村及城市感染率相同；4. 被感染者

24、的发病率为10%维持不变；5. 80%的结核病人在农村，全国农村人口占70%；6. 治愈率为100%不变；7. 对流动人口不采取相应措施，任其发展。我门可以计算出：平均农村人口感染率为0.5085，城市人口感染率为0.29966。那么我们可得到西安市不同年份结核病患病情况如表七： 表七做出柱状图： 由此不难得出这样的结论：流动人口对于结核病的防治具有重大影响，如不采取强有力的措施则会导致感染着和患者人数的增加，且其增加的速度逐渐增大，倘若如此后果将不堪设想。4.4问题四：结核病防治势在必行结核病在世界范围内的流行，尤其是肺结核，对世界公共卫生提出了严峻的挑战，引起国际社会的极大关注。1996年

25、，世界卫生组织和国际防痨病联合会决定把每年3月24日定为“世界防治结核病日”。近几年来，由于结核菌耐药性增强，以及不少国家和地区忽视对结核病的控制，使全球结核病的流行趋势非常严重，结核病患病率逐年增加。根据世界卫生组织估算，目前全球已有20亿人受结核菌感染，患病人数为2000万人，每年新发生的结核病人人数为800万1000万人，死亡人数约为300万人，超过艾滋病、疟疾、腹泻病等死亡人数的总和。我国结核病疫情在全球属于高发区，据20世纪90年代的流行病调查，全国至少有33亿人感染结核分支杆菌，活动性肺结核患者约有600万人，痰培养结核菌阳性有150多万人，结核病人数在世界排名第二，仅次于印度。我

26、国第四次结核病流行病调查结果表明，当前，我国结核病的疫情仍然相当严重，不容乐观，结核病仍是严重威胁我国人民健康的传染病之一。其严重性的主要特点是：疫情范围不断扩大，感染人数逐年增多，患病人数和传染源多，耐药病人多，高危人群多。近年来，据业内人士报道，艾滋病病毒感染者导致机体免疫缺陷更易感染结核病，将会出现结核病与艾滋病病毒双重感染现象，我国将面临结核病和艾滋病双重控制的严峻挑战。目前，我国加入世界贸易组织后，劳务市场国际化，每年都有大批劳务、留学及各类出国人员前往世界各地，世界各国的各类人员也源源不断地将来到我国学习、经商及旅游等。因此，国境口岸流动人口增多，增加了出入境人员肺结核病的感染机会

27、。一旦在出入境人群中有被结核杆菌感染人员，不能及时发现和得不到合理治疗与控制，他们将成为重要的传染源，对健康人群造成严重的威胁。为防止结核病在国际间传播蔓延，应加强国境口岸入出境人群结核病的监测力度，保护入出境人员，最大限度地降低结核病的发病率，遏制结核病在我国的流行，提高人群健康水平。 五、模型评价优点：模型比较简单，大致估计出了，西安地区结核病情。缺点：在参数确立过程中，部分参数采用全国的一般水平，且对人口的计算采用曲线拟合，不能估计长期情况。且没有与实际数据缺乏与实际情况的比较。 六、参考文献【1】、发病率与死亡率周报，2005年12月16日/第54期/第RR-15号。【2】、薛毅.数学建模基础.北京：北京工业大学出版社，2004。【3】、齐小秋,陈贤义,万利亚,等中国结核病防治规划实施工作指南M北京:卫生部疾控制司。2002【4】、王陇德结核病防治M北京:中国协和医科大学出版社, 2004【5】、屠德华进一步贯彻和研究控制结核病的策略和措施J中华结核于呼吸, 1998, 21 (2): 67-68【6】、浙江省舟山市2002-2006年实施DOTS策略效果评价J中华流行病学, 2007, 28 (9): 931-932 本文是通过网络收集的资料，如有侵权请告知，我会第一时间处理。