2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷解析.doc

1、腿薆薅聿肅蚅蚈袂莄蚄螀肇 2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷一、填空题（每题4分，共48分）1求值：=2函数f（x）=ln|x1|+lg的定义域是3已知幂函数f（x）的图象经过（9，3），则f（2）f（1）=4若函数y=f（x2）的定义域为0，1，则函数y=f（x）的定义域是5函数的单调区间是6已知函数的定义域为R 则实数a的取值范围是7已知偶函数f（x）在0，+）单调递减，f（2）=0，若f（x1）0，则x的取值范围是8将函数y=2x的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移1个单位得到图象C2，C2关于直线y=x对称的图象为C3，则C3所对应的函数解

2、析式为y=9定义在实数集R上的函数f（x）满足f（3+x）=f（3x），当x（0，3）时，f（x）=2x，则f（x）在区间（3，6）上的解析式是f（x）=10若函数f（x）=a|xb|+c满足函数f（x）的图象关于x=1对称；在R上有大于零的最大值；函数f（x）的图象过点（0，1）；a，b，cZ，试写出一组符合要求的a，b，c的值11在实数集R上定义一种运算“”，对任意a，bR，具有性质：ab=ba；a1=a；（ab）c=c（ab）+（ac）+（bc）+c，则当x0时，函数f（x）=x的值域是12已知函数f（x）=，且关于x的函数F（x）=af2（x）+bf（x）+c恰有三个零点x1，x2，x

3、3，则x12+x22+x32=二、选择题（每题4分，共16分）13某校有一个班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学某一门课程的考试成绩，则下列选项中一定正确的是（） A y是x的函数 B z是y的函数 C w是z的函数 D w是x的函数14函数y=的图象大致是（） A B C D 15给出下列命题：在区间（0，+）上，函数y=x1，y=（x1）2，y=x3中有三个是增函数；若logm3logn30，则0nm1；若函数f（x）是奇函数，则f（x1）的图象关于点A（1，0）对称；已知函数则方程 有2个实数根，其中正确命题的个数为（） A 1

4、 B 2 C 3 D 416已知函数f（x）=x2+ex（x0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（） A （，） B （，） C （，） D （，）三、解答题17解不等式log2（4x1）log2（2x+1）18（10分）（2014奎文区校级模拟）已知g（x）=x23，f（x）是二次函数，f（x）+g（x）是奇函数，且当x1，2时，f（x）的最小值为1，求f（x）的表达式19（10分）（2014秋上海校级期末）若关于x的指数函数方程4x（a+3）2x+1=0（1）有实数解，求实数a的取值范围；（2）在区间（1，3上有且只有一个实数解，求实数a的取值

5、范围20（14分）（2014秋上海校级期末）已知集合M=f（x）|当x0，4时，|f（x）|2恒成立（1）判断函数g（x）=是否属于集合M，说明理由；（2）已知f（x）=x2+bx+c（c2）满足f（x）M，求b和c的值；（3）已知f（x）是定义在区间4，4上的奇函数，f（4）=0且对任何实数x1，x24，4都有|f（x1）f（x2）|x1x2|，求证：f（x）M21（14分）（2014秋上海校级期末）已知函数f（x）=，g（x）=，其中实数k为常数（1）求g（x）的值域（2）若函数f（x）是区间0，1的单调函数，求实数k的取值范围（3）在（2）的条件下，若对任何x10，1，都存在x20，1，

6、使得g（x1）=f（x2）成立，求k的取值范围2014-2015学年上海市复旦大学附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（每题4分，共48分）1求值：=6考点： 对数的运算性质 专题： 函数的性质及应用分析： 直接利用对数的运算法则求解即可解答： 解：=6故答案为：6点评： 本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力2函数f（x）=ln|x1|+lg的定义域是x|1x1或1x3考点： 对数函数的定义域；函数的定义域及其求法 专题： 函数的性质及应用分析： 根据函数成立的条件即可求函数的定义域解答： 解：要使函数有意义，则，即，解得1x1或1x3，即函数的定义域为x|1x1或1x

7、3，故答案为：x|1x1或1x3点评： 本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件3已知幂函数f（x）的图象经过（9，3），则f（2）f（1）=考点： 幂函数的概念、解析式、定义域、值域 专题： 计算题分析： 根据已知条件将幂函数的解析式求出来，在将2和1代入求f（2）f（1）的值解答： 解：因为函数为幂函数，所以设其解析式为y=x，因为函数图象经过（9，3），所以3=9=32，所以，所以幂函数的解析式为，所以f（2）f（1）=，故答案为点评： 本题考察幂函数的解析式，属基础题，此题中应用待定系数法求函数的解析式，是一种常用的求函数解析式的方法4若函数y=f（x2）的定义域

8、为0，1，则函数y=f（x）的定义域是2，1考点： 函数的定义域及其求法 专题： 函数的性质及应用分析： 根据复合函数定义域之间的关系进行求解解答： 解：函数y=f（x2）的定义域为0，1，0x1，则2x21，则函数y=f（x）的定义域是2，1，故答案为：2，1点评： 本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件以及复合函数定义域之间的关系5函数的单调区间是（，2）、（2，+）考点： 对数函数的图像与性质 专题： 计算题分析： 令t=4x20，求得函数的定义域为（2，2），且y=log0.5t，再利用二次函数的性质求得t在定义域内的单调增区间，即为函数y的减区间；函数t在定义

9、域内的单调减区间，即为函数y的增区间解答： 解：令t=x240，求得x2或x2，故函数的定义域为（，2）（2，+），且y=logt，故本题即求函数t在定义域内的单调区间由于函数t在定义域内的单调减区间为（，2），故函数y的增区间为（，2）；由于函数t在定义域内的单调增区间为（2，+），故函数y的减区间为（2，+）故答案是：（，2）、（2，+）点评： 本题主要考查对数函数、二次函数的性质，复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于基础题6已知函数的定义域为R 则实数a的取值范围是a|12a0考点： 函数的定义域及其求法 专题： 计算题分析： 函数的定义域是实数，推出分母不为0，对a分类a=0和

10、a0讨论利用0，求解即可得到结果解答： 解：函数的定义域为R，只需分母不为0即可，所以a=0或 可得12a0，故答案为：a|12a0点评： 求函数的定义域时要注意：（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集若函数定义域为空集，则函数不存在（4）对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“xa”所要满足的范围是一样的；函数g（x）中的自

11、变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围7已知偶函数f（x）在0，+）单调递减，f（2）=0，若f（x1）0，则x的取值范围是（1，3）考点： 函数奇偶性的性质；函数单调性的性质 专题： 函数的性质及应用分析： 根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x1|）f（2），即可得到结论解答： 解：偶函数f（x）在0，+）单调递减，f（2）=0，不等式f（x1）0等价为f（x1）f（2），即f（|x1|）f（2），|x1|2，解得1x3，故答案为：（1，3）点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x1|）f（2）是解决本题的关键

12、8将函数y=2x的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移1个单位得到图象C2，C2关于直线y=x对称的图象为C3，则C3所对应的函数解析式为y=log2（x1）1考点： 函数的图象与图象变化 专题： 函数的性质及应用分析： 根据图象平移的规则写出平移之后的函数解析式是解决本题的关键即根据“左加右减，上加下减“的法则写出C1，C2的解析式，再利用关于直线y=x对称的函数之间的关系写出C3的解析式g（x）解答： 解：函数y=2x的图象向左平移一个单位得到f（x）=2x+1的图象，再向下平移一个单位得到f（x）=2x+1+1的图象，根据关于直线y=x对称的函数互为反函数得出C3的解析式

13、g（x）=log2（x1）1则C3的解析式为：y=log2（x1）1故答案为：log2（x1）1点评： 本题考查学生对图象平移知识的理解和认识程度，考查学生对函数图象之间联系的理解和把握程度，注意关于直线y=x对称的函数互为反函数性质的应用9定义在实数集R上的函数f（x）满足f（3+x）=f（3x），当x（0，3）时，f（x）=2x，则f（x）在区间（3，6）上的解析式是f（x）=26x考点： 函数解析式的求解及常用方法 专题： 函数的性质及应用分析： 根据条件知f（x）关于x=3对称，可设x（3，6），区间（3，6）和区间（0，3）关于x=3对称，从而有x关于x=3的对称点为6x，并且6x（

14、0，3），从而得出f（x）=26x解答： 解：由f（3+x）=f（3x）知，函数f（x）的对称轴为x=3；设x（3，6），该区间关于x=3对称的区间为（0，3）；x关于x=3对称的点为6x，6x（0，3）；f（x）=f（6x）=26x；即f（x）在区间（3，6）上的解析式为f（x）=26x故答案为：26x点评： 考查函数对称轴的概念，f（x）满足f（a+x）=f（bx）时，便知f（x）关于x=对称，并且可以得出f（x）=f（a+bx），函数解析式的概念，并掌握本题求解析式的方法10若函数f（x）=a|xb|+c满足函数f（x）的图象关于x=1对称；在R上有大于零的最大值；函数f（x）的图象过点

15、（0，1）；a，b，cZ，试写出一组符合要求的a，b，c的值满足b=1，a+c=1，a0，c0，a，b，cz考点： 函数的图象与图象变化；函数解析式的求解及常用方法 专题： 开放型分析： 先根据函数f（x）=a|xb|+c满足函数f（x）的图象关于x=1对称得出b=1；再依据函数f（x）=a|xb|+c满足在R上有大于零的最大值；得到a0，c0；最后由函数f（x）=a|xb|+c满足函数f（x）的图象过点（0，1）；有：a+c=1；从而得出满足要求的a，b，c的值即可解答： 解：函数f（x）=a|xb|+c满足函数f（x）的图象关于x=1对称b=1；函数f（x）=a|xb|+c满足在R上有大于

16、零的最大值；a0，c0；函数f（x）=a|xb|+c满足函数f（x）的图象过点（0，1）；a+c=1；故试写出一组满足b=1，a+c=1，a0，c0，a，b，cz要求的a，b，c的值皆可故答案为：满足b=1，a+c=1，a0，c0，a，b，cz皆可点评： 本小题主要考查函数的图象与图象变化、函数解析式的求解及常用方法等基础知识，考查数形结合思想属于基础题11在实数集R上定义一种运算“”，对任意a，bR，具有性质：ab=ba；a1=a；（ab）c=c（ab）+（ac）+（bc）+c，则当x0时，函数f（x）=x的值域是（，04，+）考点： 函数的值域 专题： 函数的性质及应用分析： 根据性质即可

17、得到f（x）=，讨论x0，x0，根据基本不等式即可得出函数f（x）的值域解答： 解：由运算“”的性质知：=1；x0时，f（x）4；x0时，f（x）0；函数f（x）的值域为（，04，+）故答案为：（，04，+）点评： 考查对新运算“”的理解，想着利用性质将函数f（x）的解析式求出来，从而便可求函数f（x）的值域，以及基本不等式在求函数值域中的应用，注意基本不等式成立的条件12已知函数f（x）=，且关于x的函数F（x）=af2（x）+bf（x）+c恰有三个零点x1，x2，x3，则x12+x22+x32=5考点： 分段函数的应用 专题： 函数的性质及应用分析： 根据函数f（x）的对称性可知=k有解时

18、总会有2个根，进而根据方程有且仅有3个实数根可知必含有1这个根，进而根据f（x）=1解得x，代入x12+x22+x32答案可得解答： 解：由题意可得F（x）=0有3个实数根，而=k有解时总会有2个根，所以必含有1这个根令=1，解得x=2或x=0，所以x12+x22+x3202+12+22=5故答案为：5点评： 本题主要考查了函数与方程的综合运用利用了函数图象的对称性和方程根的分布，考查了学生分析问题的能力二、选择题（每题4分，共16分）13某校有一个班级，设变量x是该班同学的姓名，变量y是该班同学的学号，变量z是该班同学的身高，变量w是该班同学某一门课程的考试成绩，则下列选项中一定正确的是（）

19、 A y是x的函数 B z是y的函数 C w是z的函数 D w是x的函数考点： 函数的概念及其构成要素 专题： 函数的性质及应用分析： 根据函数的定义进行判断即可解答： 解：姓名不是数集，故A，D不成立成绩w与身高z没有必然的关系，不能构成函数，故选：B点评： 本题主要考查函数的定义的理解，明确函数是建立在两个非空数集之间的对应关系14函数y=的图象大致是（） A B C D 考点： 函数的图象 专题： 函数的性质及应用分析： 考查函数相应性质，从四个选项中选择与之相符的一个解答： 解：当x=1时，y=0；又f（x）=f（x），即函数为奇函数只有D项与之相符故选：D点评： 本题考查了函数的性质

20、与识图能力，属基础题，一般先区分四个选项，再研究函数对应的性质，选择与之相符的选项15给出下列命题：在区间（0，+）上，函数y=x1，y=（x1）2，y=x3中有三个是增函数；若logm3logn30，则0nm1；若函数f（x）是奇函数，则f（x1）的图象关于点A（1，0）对称；已知函数则方程 有2个实数根，其中正确命题的个数为（） A 1 B 2 C 3 D 4考点： 命题的真假判断与应用 专题： 计算题分析： 由基本初等函数的单调性，可得中的函数只有2个是增函数，故不正确；根据对数的运算法则进行等价变形，可得正确；根据函数图象平移公式，结合奇函数的图象关于原点对称，可得正确；根据指对数的运

21、算法则，结合分类讨论解关于x的方程，可得正确由此可得本题的答案解答： 解：对于，四个函数中y=x1在区间（0，+）上为减函数，y=（x1）2在区间（0，+）上先减后增，可得有2个函数满足增函数条件，故不正确；对于，由logm3logn30，得0log3mlog3n由函数y=log3x是增函数，可得0nm1，故正确；对于，因为f（x）是奇函数，得y=f（x）图象关于原点对称，将函数图象向右平移1个单位，得y=f（x1）的图象关于（1，0）对称，得正确；对于，函数，可得当x=2log32或x=时满足 ，即方程有2个实数根，可得正确其中的真命题是，共3个故选：C点评： 本题以命题真假的判断为载体，着

22、重考查了基本初等函数的单调性、函数的奇偶性及图象特征和指对数运算法则等知识，属于中档题16已知函数f（x）=x2+ex（x0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（） A （，） B （，） C （，） D （，）考点： 函数的图象 专题： 函数的性质及应用分析： 由题意可得ex0ln（x0+a）=0有负根，采用数形结合的方法可判断出a的取值范围解答： 解：由题意可得：存在x0（，0），满足x02+ex0=（x0）2+ln（x0+a），即ex0ln（x0+a）=0有负根，如图所示，当a0时，y=ln（x+a）=ln（xa）的图象可由y=ln（x）的图象

23、向左平移a个单位得到，可发现此时exln（x+a）=0有负根一定成立；当a0时，y=ln（x+a）=ln（xa）的图象可由y=ln（x）的图象向右平移a个单位得到，观察图象发现此时exln（x+a）=0有负根的临界条件是函数y=ln（x+a）经过点（0，），此时有lna=，解得a=，因此要保证exln（x+a）=0有负根，则必须a故选：B点评： 本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限，是函数图象和性质较为综合的应用，难度大三、解答题17解不等式log2（4x1）log2（2x+1）考点： 指、对数不等式的解法 专题： 不等式的解法及应用分析： 由对数式的真

24、数大于0，结合对数函数的单调性把原不等式转化为不等式组求得答案解答： 解：由log2（4x1）log2（2x+1），得，由得：4x1，即x0；由得：xR；由得：（2x）22x20，解得：12x2，即x10x1不等式log2（4x1）log2（2x+1）的解集为（0，1点评： 本题考查对数不等式的解法，求解对数不等式要注意对数式本身有意义，是基础的计算题18（10分）（2014奎文区校级模拟）已知g（x）=x23，f（x）是二次函数，f（x）+g（x）是奇函数，且当x1，2时，f（x）的最小值为1，求f（x）的表达式考点： 函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的判断 专题： 计算题分析： 用待

25、定系数法求函数f（x）的解析式，设f（x）=ax2+bx+c（a0），利用奇函数的定义列等式，利用二次函数的最值列不等式，从而求出系数即可解答： 解：设f（x）=ax2+bx+c（a0）则g（x）+f（x）=（a1）x2+bx+c3为奇函数，a=1，c=3（4分）当x1，2时f（x）的最小值为1或（8分）解得b=3或（10分）（12分）故f（x）的表达式为：点评： 本题主要考查了待定系数法求函数解析式，由于已知函数的类型，故可设f（x）=ax2+bx+c（a0），再利用条件确定系数即可解决问题19（10分）（2014秋上海校级期末）若关于x的指数函数方程4x（a+3）2x+1=0（1）有实数解

26、，求实数a的取值范围；（2）在区间（1，3上有且只有一个实数解，求实数a的取值范围考点： 根的存在性及根的个数判断；有理数指数幂的化简求值 专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析： （1）运用分离参数，可得a+3=2x+2x，由指数函数的值域和基本不等式，可得a的范围；（2）由（1）可得a+3=2x+2x，由指数函数的单调性，结合对号函数的单调性，可得2x+2x的值域，由题意得到a的不等式，解得即可得到a的范围解答： 解：（1）4x（a+3）2x+1=0即为a+3=2x+2x，由2x0，可得2x+2x2=2，当且仅当x=0时取得最小值2即有a+32，即为a1；（2）由a+3=2x+2

27、x，x（1，3，即有2x（，8，2x+2x在（1，0）递减，且2x+2x（1，），在（0，3递增，2x+2x（1，由在区间（1，3上有且只有一个实数解，则a+3=2或a+3，解得a=1或a点评： 本题考查指数函数的单调性的运用，考查函数和方程的转化思想和对号函数的值域的运用，属于中档题20（14分）（2014秋上海校级期末）已知集合M=f（x）|当x0，4时，|f（x）|2恒成立（1）判断函数g（x）=是否属于集合M，说明理由；（2）已知f（x）=x2+bx+c（c2）满足f（x）M，求b和c的值；（3）已知f（x）是定义在区间4，4上的奇函数，f（4）=0且对任何实数x1，x24，4都有|f

28、（x1）f（x2）|x1x2|，求证：f（x）M考点： 函数恒成立问题；函数奇偶性的性质；二次函数的性质 专题： 函数的性质及应用分析： （1）根据定义求出当x0，4时，函数g（x）的值域，验证是否满足条件|f（x）|2即可（2）根据一元二次函数的图象和性质，根据条件当x0，4时，|f（x）|2恒成立，建立方程关系进行求解即可（3）根据函数奇偶性的性质求出函数的最值关系，即可得到结论解答： 解：（1）g（x）=1，则当x0，4时，g（x）为增函数，则g（0）g（x）g（4），g（0）=0，g（4）=，0g（x），满足|g（x）|2恒成立，即g（x）属于集合M（2）f（x）=x2+bx+c（c2

29、），f（0）=c2，f（x）M，|f（x）|2，则，|f（0）|2，即c2，c=2，即f（x）=x2+bx+2f（x）M，对称轴x=2，即b4，若对称轴x=4，即b8，此时只要f（4）=18+4b2，即4b20，解得b5，与b8矛盾，不成立，若若对称轴x=2，4），即8b4，则函数的最小值为f（）=（）2b+2=2，此时应该满足f（）=22，即4，b216，解得4b4，又8b4，b=4，即b=4，c=2，（3）f（x）是定义在区间4，4上的奇函数，f（4）=0且对任何实数，x1，x24，4都有|f（x1）f（x2）|x1x2|，|f（x1）f（x2）|2|f（x）|max，则当x0，4时，2|

30、f（x）|max|x1x2|=4，即|f（x）|max2，即f（x）M点评： 本题主要考查函数恒成立问题以及抽象函数的应用，涉及指数函数的单调性和值域，一元二次函数的单调性和值域，综合考查函数的性质，综合性较强，运算量较大，有一定的难度21（14分）（2014秋上海校级期末）已知函数f（x）=，g（x）=，其中实数k为常数（1）求g（x）的值域（2）若函数f（x）是区间0，1的单调函数，求实数k的取值范围（3）在（2）的条件下，若对任何x10，1，都存在x20，1，使得g（x1）=f（x2）成立，求k的取值范围考点： 分段函数的应用 专题： 函数的性质及应用分析： （1）令2x+1=t（1t3

31、），则2x=t1，将g（x）转化为对号函数的单调性，可得值域；（2）由一次函数的单调性，可得f（x）在0，1递减，进而判断x（，1递减，转化为对号函数判断k0，再由x=的情况，得到不等式，求得k的范围；（3）求得f（x）的值域，再由条件可得g（x）的值域f（x）的值域，即有4，3k，）即为k4且3，即可求得k的范围解答： 解：（1）令2x+1=t（1t3），则2x=t1，即有g（x）=t+8，在1，2递减，在2，3递增，即有t=2取得最小值4，t=1取得最大值3则g（x）的值域为4，3；（2）当x0，f（x）递减，则f（x）是区间0，1的单调减函数，当x（，1时，f（x）=（t=x+1（，2）=2k（t+2），由于t+在（，2递增，则k0，又f（x）在0，1递减，即有，解得k；（3）当x0，f（x），；当x（，1，f（x）=2k（t+2）（t2），可得f（x）k，）（k），即有f（x）的值域为，k，）又g（x）的值域为4，3，由对任何x10，1，都存在x20，1，使得g（x1）=f（x2）成立，可得g（x）的值域f（x）的值域，即有4，3k，）即为k4且3，解得9k4则k的范围是（9，4点评： 本题考查分段函数的性质和运用，主要考查函数的单调性及运用，同时考查任意存在性问题转化为函数的值域的关系，属于中档题和易错题 蒂袆膅肃蒈袅袅莈莄蒂羇膁