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1、常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1一阶微分方程的通解的图像是 维空间上的一族曲线 2二阶线性齐次微分方程的两个解为方程的基本解组充分必要条件是 3方程的基本解组是 4一个不可延展解的存在在区间一定是 区间 5方程的常数解是 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ ）（A）上半平面 （B）xoy平面 （C）下半平面 （D）除y轴外的全平面 7. 方程（ ）奇解（A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个 8连续可微是保证方程解存在且唯一的（ ）条件 （A）必要 （B）充分 （C）充分必要 （D）必要非充分 9

2、二阶线性非齐次微分方程的所有解（ ） （A）构成一个2维线性空间 （B）构成一个3维线性空间 （C）不能构成一个线性空间 （D）构成一个无限维线性空间 10方程过点(0, 0)有（ ）(A) 无数个解(B) 只有一个解 (C) 只有两个解(D) 只有三个解三、计算题（每小题分，本题共30分） 求下列方程的通解或通积分： 11. 12. 13. 14 15四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16求方程的通解 17求下列方程组的通解 五、证明题（每小题10分，本题共20分） 18设在上连续，且，求证：方程的一切解，均有19在方程中，在上连续，求证：若恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行

3、列式是上的严格单调函数常微分方程模拟试题参考答案 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 12 2线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）3 4开 5 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6D 7C 8B 9C 10A 三、计算题（每小题分，本题共30分） 11解 当，时，分离变量取不定积分，得 （3分） 通积分为 （6分） 12解 令，则，代入原方程，得 （3分） 分离变量，取不定积分，得 （） 通积分为： （6分） 13解 方程两端同乘以，得 令 ，则，代入上式，得 （3分） 通解为 原方程通解为 （6分） 14解 因为，所以原方程是全微分方程 （2分） 取，原方程的通积分为 （

4、4分） 即 （6分） 15解 原方程是克莱洛方程，通解为 （6分） 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16解 对应齐次方程的特征方程为，特征根为， 齐次方程的通解为 （4分） 因为是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 （6分） 代入原方程，比较系数确定出 ， 原方程的通解为 （10分） 17解 先解出齐次方程的通解 （4分） 令非齐次方程特解为 满足 （6分）解得 积分，得 ，通解为 （10分） 五、证明题（每小题10分，本题共20分） 18证明 设是方程任一解，满足，该解的表达式为 （4分） 取极限 = （10分） 19证明 设，是方程的基本解组，则对任意，它们朗斯基行列式在上有定义

5、，且又由刘维尔公式 ， （5分） 由于，于是对一切，有 或 故 是上的严格单调函数 （10分） 中央广播电视大学2002-2003学年度第一学期期末考试数学与应用数学专业2002（春）级第三学期常微分方程试题2003年9月题号一二三四五总分得分得分 评卷人 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1方程所有常数解是 2方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是 3线性齐次微分方程组的解组为基本解组的 条件是它们的朗斯基行列式 4方程的任一非零解 与轴相交 5阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 个 得分 评卷人 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6方程（ ）奇解（A）有无数个 （B）

6、无 （C）有一个 （D）有两个 7. 方程过点（ ）（A）只有一个解 （B）有无数个解 （C）只有两个解 （D）无解 8有界是方程初值解唯一的（ ）条件 （A）必要 （B）必要非充分 （C）充分 （D）充分必要 9方程的任一非零解在平面上（ ）与轴相切 （A）不可以 （B）只有在点处可以 （C）只有在原点处可以 （D）只有在点处可以 10阶线性非齐次微分方程的所有解（ ） （A）构成一个线性空间 （B）构成一个维线性空间 （C）构成一个维线性空间 （D）不能构成一个线性空间得分 评卷人 三、计算题（每小题分，本题共30分） 求下列方程的通解或通积分： 11. 12. 13. 14 15得分 评

7、卷人 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16求方程的通解 17求下列方程组的通解 得分 评卷人 五、证明题（每小题10分，本题共20分） 18设方程中，在上连续可微，且，求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在 19设和是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解，求证：它们不能有共同的零点试题答案及评分标准 （供参考） 2003年9月 一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1； 或 2平面3充分必要 4不能 5 二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6B 7A 8C 9A 10D 三、计算题（每小题分，本题共30分） 11解 分离变量得 （3分）等式两端积分得通积分 （6分

8、） 12解 齐次方程的通解为 （2分） 令非齐次方程的特解为 代入原方程，确定出 （5分） 原方程的通解为 + （6分）13解 由于，所以原方程是全微分方程 （2分） 取，原方程的通积分为 （4分） 即 （6分） 14解 令，则原方程的参数形式为 （2分） 由基本关系式 积分有 （4分） 得原方程参数形式通解 （6分） 15解 原方程为恰当导数方程，可改写为 即 （2分） 分离变量，取积分 （4分） 得原方程的通积分为 （6分） 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16解 方程的特征根为 齐次方程的通解为 （3分） 因为是特征根所以，设非齐次方程的特解为 （5分） 代入原方程，可确定 ，

9、 （8分） 故原方程的通解为 （10分） 17解 特征方程为 即 特征根为 ， （2分） 对应特征向量应满足 可确定出 （5分） 同样可算出对应的特征向量为 （8分）所以，原方程组的通解为 （10分） 五、证明题（每小题10分，本题共20分） 18证明 由已知条件，方程在整个 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远 （2分） 又由已知条件，知是方程的一个解 （4分）且在上半平面，有； 在下半平面，有 （7分） 现不妨取点属于上半平面，并记过该点的解为由上面分析可知，一方面在上半平面单调递减向平面无穷远延展；另一方面又不能穿过轴，否则与唯一性矛盾故解存在区间必为 （10分） 19证明 由于和是两个线性无关解，则它们的朗斯基行列式 （*） （5分） 假如它们有共同零点，那么存在一个点，使得 = 于是 这与（*）式矛盾 （108