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    离散数学习题解答(第五章)格与布尔代数.doc

    • 资源ID:1148058       资源大小:284KB        全文页数:24页
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    离散数学习题解答(第五章)格与布尔代数.doc

    1、离散数学习题解答习题五(第五章 格与布尔代数)1设L,是半序集,是L上的整除关系。问当L取下列集合时,L,是否是格。 a) L=1,2,3,4,6,12b) L=1,2,3,4,6,8,12c) L=1,2,3,4,5,6,8,9,101263124解 a) L,是格,因为L中任两个元素都有上、下确界。 b) L,不是格。因为L中存在着两个元素没有上确界。 例如:812=LUB8,12不存在。8631241210c) L,不是格。因为L中存在着两个元素没有上确界。842698731510 倒例如:46=LUB4,6不存在。2设A,B是两个集合,f是从A到B的映射。证明:S,是2B,的子格。其中

    2、S=y|y=f (x),x2A证 对于任何B1S,存在着A12A,使B1=f(A1),由于f(A1)=y|yB($x)(xA1f (x)=y)B 所以B12B,故此S2B;又B0=f (A)S (因为A2A),所以S非空;对于任何B1,B2S,存在着A1,A22A,使得B1=f (A1),B2=f (A2),从而LBB1,B2=B1B2=f (A1)f (A2) =f (A1A2) (习题三的8的1)由于A1A2A,即A1A22A,因此f (A1A2)S,即上确界LBB1,B2存在。对于任何B1,B2S,定义A1=f 1(B1)=x|xAf (x)B1,A2=f-1(B2)=x|xAf (x)

    3、B2,则A1,A22A,且显然B1=f (A1),B2=f (A2),于是GLBB1,B2=B1B2=f (A1)f (A2)f (A1A2) (习题三的8的2)又若yB1B2,则yB,且yB2。由于yB1=f (A1)=y|yB($x)(xA1f (x)=y),于是存在着xA1,使f (x)=y,但是f (x)=yB2。故此xA2=f-1(B2)=x|xAf(x)B2,因此xA1A2,从而y=f (x)f (A1A2),所以GLBB1,B2=B1B2=f (A1)f (A2) f (A1A2)这说明 GLBB1,B2=B1B2=f (A1)f (A2)=f (A1A2)于是从A1A22A可知

    4、f (A1A2)S,即下确界GLBB1,B2存在。因此,S,是2B,的子格。3设L,是格,任取a,bL且ab。证明B,是格。其中B=x|xL 且 axb证 显然BL;根据自反性及abb所以a,bB,故此B非空;对于任何x,yB,则有axb及ayb,由于x,yL,故有z1=xy为下确界L存在。我们只需证明z1,z2B即可,证明方法有二,方法一为:由于ax,所以ax=x,于是z1=xy =(ax) y (利用ax=x) =a (xy) (由运算结合律) 因此az1;另一方面,由yb可知yb=b,由xb可知xb=b,于是z1b=(xy) b=x(yb) (由运算结合律)=xb (利用yb=b)=b

    5、(利用xb=b)因此 z1b,即 az1b 所以z1B由于ax及ay,所以a*x=a,a*y=a,因而a*z2=a* (x*y)=(a*x) *y (由*运算结合律)=a*y (利用a*x=a)=a (利用a*y=a)因而az2;又由于yb,所以y*b=y 于是z2=x*y=x* (y*b)=(x*y) *b (利用*运算结合律)=z2*b从而z2b,即az2b 所以z2B 因此B,是格(是格L,的子格)。方法二:根据上、下确界性质,由ax,ay,可得ax*y,(见附页数)4设L,*,是格。a,bL,证明:(附页)axy,即az2,a又由xb,yb,可得xyb,x*yyb,即z1b,z2b所以

    6、az1b,az2b,故此z1,z2Ba*ba且a*bba与b是不可比较的。证 先证用反证法,假设a与b是可比较的,于是有ab或者ba。当ab时,a*b=a与a*ba(得a*ba)矛盾;当ba时,a*b=b与a*bb(得a*bb)矛盾;因此假设错误,a与b是不可比较的。次证由于a*ba,a*bb。如果a*ba,则ab,与a和b不可比较的已知条件矛盾,所以a*ba,故此a*ba;如果a*b=b,则ba,也与a和b不可比较的已知条件矛盾,所以a*bb,故此可得a*bb。5设L,*,是格。证明: a) (a*b) (c*d)(a c) * (b d)b) (a*b) (b*c)(c a)(ab) *

    7、(bc) * (ca)证 a) 方法一,根据上、下确界的性质,由a*baac及a*bbbd 所以得到a*b(ac) * (bd)又由 c*dcac及c*ddbd,所以得到c*d(ac) * (bd)因此(a*b) (c*d) (ac) * (bd)方法二 (a*b) (c*d) (ac) * (ad) * (ac) * (bd) (分配不等式,交换律,结合律,保序性) (ac) * (bd) (保序性) b) 方法一,根据上、下确界的性质由a*baab,a*bbbc,a*baca可得 a*b(ab) * (bc) * (ca)同理可得 b*c(ab) * (bc) * (ca)及 c*a(ab

    8、) * (bc) * (ca)所以 (ab) (bc) (ca)(ab) * (bc) * (ca) 方法二:(ab) (bc) (ca) b* (ac) (c*a) (交换律,结合律,分配不等式,保序性) b (c*a) * (ac) (c*a)(分配不等式,交换律,) (ab) * (bc) * (ac)(分配不等式,结合律,交换律,吸收律,保序性) (ab) * (bc) * (ca) (结合律)6设I是整数集合。证明:I,min,max是分配格。证 由于整数集合I是全序集,所以任何两个整数的最小者和最大者是存在的,因此I,min,max是格是格是显然的。下面我们来证I,min,max满

    9、足分配律对于任何a,b,cI 有a* (bc)=mina,maxb,c(a*b) (a*c)=minmina,b,mina,c(1)若bc时,当 (a) ab,则ac ,故此 mina,maxb,c=mina,c=a maxmina,b,mina,c=maxa,a=a (b)bac ,则 mina,maxb,c=mina,c=a maxmina,b,mina,c=maxb,a=a (c)ca,则ba,因此 mina,maxb,c=mina,c=c maxmina,b,mina,c=maxb,a=c(2)若cb时,当 (a)ac,则ab,故此 mina,maxb,c=mina,b maxmina

    10、,b,mina,c=mina,a=a(b)cab,则 mina,maxb,c=mina,b=a maxmina,b,mina,c=maxa,c=a (c)ba,则ca,因此 mina,maxb,c=mina,b=b maxmina,b,mina,c=maxb,c=b综合(1)(2)总有 a* (bc)=(ab) * (a c)根据对偶原理,就还有 a (b*c)=(ab) * (ac)因此I,min,max是分配格。7设A,*,max是分配格,a,bA且ab。证明: f (x)=(xa) *b是从A到B的同态函数。其它 B=x|xA且axb证 由于axa,及已知ab,所以a(xa)*b;其次(

    11、xa)*bb,所以af (x) b,因而f (x)是从A到B的函数。对于任何x,yA,f(xy)=(xy)a)*b =(xa) (ya) *b(幂等律,交换律,结合律) =(x*a)b)(ya) *b)(分配律) =f (x) f (y)f (x*y) =(x*y) a) *b =(xa) * (ya)*b (分配律) =(xa) *b)(ya) *b) (幂等律,交换律,结合律) =f (x) *f (y)所以,f满足同态公式,因而f 是从A到B的同态函数。8证明:一个格是分配格的充分必要条件是a,b,cL,有(a*b) (b*c) (c*a)=(ab) * (bc) * (ca)证 必要性

    12、。对于任何a,b,cL,(a*b) (b*c) (c*a)=(b* (ac) (c*a) (交换律,分配律)=(b (c*a) * (ac) (c*a) (分配律)=(bc) * (ba) * (ac) (分配律,吸收律)=(ab) * (bc) * (ca) (交换律)充分性,f满足同态公式,因而f是从A到B的同态函数。8证明:一个格是分配格的充分必要条件是a,b,cL,有(a*b) (b*c) (c*a)=(ab) * (bc) * (ca)证 必要性。对于任何a,b,cL,(a*b) (b*c) (c*a)=(b* (ac) (c*a) (交换,分配律)=(b (c*a)( a c) (

    13、c*a) (分配律)=(bc) * (ba) * (ac) (分配律,吸收律)=(ab) * (bc) * (ca) (交换律)充分性,对于任何a,b,cL a (b*c)=(a (a*c) (b*c) (吸收律)=(a (a*b) (a*c) (b*c) (吸收律)=(a*b) (b*c) (c*a) a (交换律,结合律)=(ab) * (bc) * (ca) a (已知条件)=(ab) * (ac) * (bc) (bc) *a) a (交换律,吸收律)=(ab) * (ac) * (bc) (bc) *a) (a* (a b) * (a c) (吸收律)=(ab) * (ac) (bc

    14、) * (bc) a) * (a (a b) * (ac) (已知条件)=(ab) * (ac) (bc) * (abc) *(a b)* (ac)(因为a (ab) * (ac)= (ab) * (ac)=(ab) * (ac) (bc) * (ab)c) *(a b)* (ac) (结合律)=(ab) * (ac) (bc) *(a b)* (ac) (吸收律,结合律)cehabdfig=(a b)* (ac) (吸收律)根据对偶原理 还有a* (bc)= (ab) * (ac)所以格L是分配格。9设L,是格。其Hasse图如右 a) 找出格中每个元素的补元;b) 此格是有补格吗?c) 此

    15、格是分配格吗?解 a)最小元0=i;最大元1=a;故此格为有界格。a和i互为补元;f和C互为补元;其余b,d,e,g,h等都没有补元。b) 根据a) 可知,此格不是有补格。c) 此格不是分配格,因为f (g* h)=f i=f (fg) * (fh)=b* d=d 因为去掉g结点后所形成的子格与分配格S24,I,GCD,LCM,1,24同构,因此若此格不是分配格,则必有子格h * (fg)=h*b=ha1a3a2a4a52484213612b1b4b5b3b2(h*f) (h*g)=ii=IS24,I,GCD,LCM,1,24 两个不是分配格的特殊格与两个不是分配格的特殊格同构,并且此子格必含

    16、有g点。而特殊不分配格之图或是含有五个结点的圈,或是有六个结点:gebdfi;gebdhi;gehdfi;或是有八个结:gecabdfi;gecabdhi;或是只有一个四结点的圈:gehi。因此此格绝不会有含g点的子格与两个不是分配格的特殊格同构。10设L,*,是有界格。x,yL,证明: a) 若xy=0,则x=0且y=0。b) 若x*y=1,则x=1且y=1。证 a) 对任何x,yL,若xy=0,则x=x* (xy) (吸收律) =x*0 (xy=0)=0 (01律)y=y* (yx) (吸收律) =y* (xy) (交换律) =y*0 (xy=0) =0 (01律)b) 对任何x,yL,若

    17、x*y=1,则 x=x (x*y) (吸收律) =x1 (x*y=1) =1 (01律)y=y (y*x) (吸收律) =y (x*y) (交换律) =y1 (x*y=1) =1 (01律)11在有界格中,0是1的唯一补元,1是0的唯一补元。证 由于10=1,1*0=0,所以0与1互为补元。下面我们先来证0是1的唯一补元:对于任何元素a属于有界格,若a是1的补元,则必有1a=1,及1*a=0,于是必有a=a* (a1) (吸收律) =a* (1a) (交换律) =a*1 (由1a=1) =1*a (交换律) =0 (由1*a=0)从而0是1的唯一补元。次证1是0的唯一补元。对于任何元素a属于有

    18、界格,若a是0的补元,则必有0a=1,0*a=0。于是必有 a=a(a*0) (吸收律) =a(0a) (交换律) =a0 (由0*a=0) =0a (交换律) =1 (由0a=1)12设L,是格,|L|2。证明:L中不存在以自己为补元的元素。证 用反证法,假设L中存在着以自己为补元的元素,不妨是bL,那么bb=1,b*b=0,于是由幂等律,可得b=b*b=0,bb=1,从而有0=b=1,即0=1因此,对于任何元素aL,都有a=0=1(因为0a1),从而|L|=1,这与已知|L,|2矛盾。13设L,是全序集,|L|3。证明:L,是格,但不是有补格。证 由于L,是全序集,那么L中任意两个元素都可

    19、比较,于是L中任意两个元素都有上确界和下确界,因此L,是格。下面我们来证L,不是有补格,用反证法:否则L,是有补格,则对任何aL,都存在着一个元素bL,使ab=1及a*b=0。由于L,是全序集,所以任二元素可比较,从而若ab,则a=a*b=0若ba,则a=ab=1因此|L|=2,与已知|L|3矛盾。14在有界的分配格中,证明:具有补元的那些元素组成一个子格。证 设L,*,0,1是有界分配格,令 L=x|xL($yL)(x*y=0xy=1)我们来证L,*,0,1是L,*,0,1的子格: 显然LL;其次易证0,1L,故此L非空;对于任何a1,a2L,我们来证a1*a2,a1a2L为证a1*a2L,

    20、只需找出a1*a2的补元即可。由于a1,a2L,故此存在着b1,b2L,使a1*b1=0,a1b1=1以及a2*b2=0,a2b2=1,于是构造出a1*a2补元为b1b2L。这是因为(a1*a2) * (b1b2)=(a1*a2) * b1) (a1*a2) * b2) (分配律) =(a1*b1) *a2) (a1*(a2 * b2) (交换律) =(0*a2) (a1*0)(由a1*b1=0,a2b2=0) =00 (由01律) =0(a1*a2) (b1b2)=(a1 (b1 b2) * (a2 (b1 b2)(分配律) =(a1b2) b2) * (a2b2) b1)(交换律,结合律)

    21、 =(1b2)* (1b1)(由a1b1=1及a2b2=1) =1*1(由01律) =1为证a1a2L只需找出a1a2的补元即可。由于a1,a2的补元是b1,b2,故构造出a1a2的补元为b1*b2L。这是因为 (a1a2) * (b1*b2)=(a1* (b1* b2) (a2* (b1* b2)(分配律) =(a1*b2) *b2) (a2*b2) *b1)(交换律,结合律) =(0*b2) (0*b1)(由a1*b1=0及a2*b2=0) =00(由01律) =0 (a1a2) (b1*b2)=(a1a2) b1) * (a1a2) b2)(分配律)= (a1b1) a2) * (a1

    22、(a2b2)(交换律,结合律)=(1a2) * (a11)(由a1b1=1及a2b2=1)=1*1 (由01律)=1124213615求S12,1的所有子格,其中,S12是12的所有因子的集合1是S12上的整除关系。 解 一个结点:1,2,3,4,6,12 二个结点:1,2,1,3,1,4,1,6,1,122,4,2,6,2,123,6,3,124,126,12三个结点:1,2,4,1,2,6,1,2,12S12,1的图1,3,6,1,3,121,4,121,6,122,4,12,2,6,123,6,12四个结点:1,2,4,12,1,2,6,12,1,3,6,121,2,3,6,2,4,6,

    23、12,1,3,4,12五个结点:1,2,4,12,1,2,3,6,12六个结点:S12=1,2,3,4,6,12都是S12,1的子格。16证明:一个格L,分配格的充分必要条件是a,b,cL,有(ab) *ca (b*c)证 必要性对任何a,b,cL (ab) *c=(a*c) (b*c) (分配律) a (b*c) (由a*ca,及保序性)充分性一方面,由a (b*c)a b (根据b*cb及保序性)和a (b*c)a c (根据b*cc及保序性)及上、下确界的性质可得 a (b*c)(a b) * (a c)另一方面(a b) * (a c) a (b* (a c)(已知条件)=a (a c

    24、) *b)(交换律)a (a (c*b)(已知条件(ac)*ba (c* b)及保序性)=(aa) (b*c)(结合律,交换律)=a (b*c)(幂等律)所以,综合这两方面,得到分配律 a (b*c)=(a b) * (a c)根据对偶原理,可得另一分配律 a* (b c)=(a*b) (a*c)所以格L,是分配格。17设L1,R1和L2,R2是两个格,f:L1L2是从L1,R1到L2,R2的同态函数。证明:f的同态象是L2,R2的子格。证 f的同态象f (L1) = y : yL2($xL1) (f(x)=y)我们来证f (L1),R2是L2,R2的子格:显然f (L1)L2;若L1非空,则

    25、有aL1,从而有b=f (a)f (L1)故f (L1)非空。对于任何b1,b2f (L1),存在着a1,a2L1,使b1=f (a1),b2=f (a2),从而 b1 2b2=f (a1) 2f (a2)110102221555=f (a11a2)(同态公式)f (L1)(因L1,R1是格,故1运算封闭,从而a11a2L1)因此f(L1),R1是L2,R2子格。18设B=1,2,5,10,11,22,55,110。证明:B,GCD,LCM是布尔代数。其中,GCD是求最大公约数,LCM是求最小公倍数,x=110/x。 证 我们已证过N,GCD,LCM,是分配格,故此为证B,GCD,LCM是分配

    26、格,只需证B,GCD,LCM是N,GCD,LCM,的子格即可。易于验证,对于任何a,bB,恒有GCDa,b,LCMa,bB故此两个运算GCD,LCM关于B封闭。因而B,GCD,LCM是分配格。又由于1和110互为补元;2和55互为补元;5和22互为补元;10和11互为补元,所以B,GCD,LCM,是有补的分配格,故此B,GCD,LCM,是布尔代数。19设L1=1,2,3,4,6,12,L2=1,2,3,4,6,8,16,24。2412631248 a) L1,GCD,LCM,是布尔代数吗?为什么?b) L2,GCD,LCM,是布尔代数吗?为什么?解 a) L1,GCD,LCM,不是布尔代数。因

    27、为L1,GCD,LCM,虽是分配格(N,1,GCD,LCM,的子格)但不是有补格,元素2,6没有补元。所以不是布尔代数。 b) L2,GCD,LCM,也不是布尔代数。因为虽然L2,GCD,LCM,是分配格(N,1,GCD,LCM,的子格),但不是有补格,元素2,4,6,12没有补元。所以也不是布尔代数。20设B,*,是布尔代数。证明下列布尔恒等式。 a) a (a*b)=abb) a* (ab)=a*bc) (a*c) (a*b) (b*c)=(a*c) (a*b)d) (a b) * (b c) * (c a)=(a b) * (b c) * (c a)e) (a b) * (b c) *

    28、(c a)=(a*b) (b*c) (c*a)证 a) a (a*b)=(aa) * (ab)(分配律)=1* (ab) (由aa=1)=ab (01律) b) a (ab)=(a*a) (a*b)(分配律)=1 (a*b) (由a*a=0)= a*b (01律) c)由于(a*c) (a*b) =(aa) * (ab)* (a*c) * (b*c)(分配律,结合律,交换律)= (ab)* (ac) * (bc) (由aa=1)并且因为b*ab,c*ac,从而由保序性,得到b*c(ab) * (ac)又由b*cbc及下确界的性质,得到b*c(ab) * (ac) * (bc)所以b*c(a*c

    29、) (a*b)所以(a*c) (a*b) (b*c)= (a*c) (a*b) d) 令B=(ab) * (bc) * (ca),C=(ab) * (bc) * (ca) 于是为证B=C,根据布尔代数的性质:消去律。 = a*b*c (交换律)所以 a*B=a*c从而由消去律,有B=C 即 (ab) * (bc) * (ca)=(ab) * (bc) * (ca) e) 令B=(ab) * (bc) * (ca) C=(a* b)(b* c)(c* a) 由于a* B=a* (ab) * (bc) * (ca) =a* (bc) * (ca) (吸收律) =a* (ac) * (bc) (交换

    30、律) =a* (bc)(吸收律) a* C=a* (a* b)(b* c)(c* a) =(a* a* b)(a* b* c)(a* a* c) (分配律,交换律) =(a* b)(a* b* c)(a* c) (幂等律) =(a* b)(a* c) (分配律)所以 a* B=a* C又由于 a* B=a* (ab) * (bC) * (ca) = a* b* (bc) * (ca) (反身性,及本题b) = a* b*(ca) (吸收律) = a* b* c (交换律,反身律,本题b) a*C= a(a* b)(b* c)(c* a)=(a* a* b)(a* b* c)(a* a* c)(

    31、分配律,交换律)=(0* b)(a* b* c)(0* c) (由a* a=0)=0(a* b* c)0 (11律)=a* b* c只需证a* B=a* C和a* B=a* C 即可由于 a* B=a* (ab) * (bc) * (ca)= a* (bc) * (ca) (吸收律)= a*(a c) * (bc) (交换律)=a* c* (cb) (本题b)及交换律)=a* c* b (本题b)=a* b* c (交换律)a* C=a* (ab) * (bC) * (ca)=a* b* (bC) * (ca) (本题b)=a* b* c* (ca) (本题b)=a* b* c* a (本题b

    32、)=a* a* b* c (交换律)=a* b* c (幂等律)所以 a* B=a* C又由于 a* B=a* (ab) * (bc) * (ca)=a* (a) b) * (bc) * (ca) (反身性)=a* b* (b)c) * (ca) (本题b)及反身性)=a* b* c* (c)a) (本题b)及反身性)=a* b* c* a (本题b)=a* a* b* c (交换律)=a* b* c (幂等性)a*C= a* (ab) * (bc) * (ca)= a* (bc) * (ca) (吸收律)= a* (a) c) * (bc) (交换律及反身性)= a* c* (c)b) (本

    33、题b)及反身性交换律)= a* c* b (本题b)所以 a* B=a* C故根据消去律得到B=C,即(ab) * (bC) * (ca)=(a* b)(b* c)(c* a)21设B,*,是布尔代数,简化下列布尔表达式。 a) (a* b)(a* b* c)(b* c)b) (a* b)(a* b* c)(b* c) c) (a* b)(a* b* c)(b* c)d) (a* b)c) * (ab) * c解 a) (a* b)(a* b* c)(b* c)= (a* b) (b* c) (因为吸收律)=b* (ac) (分配律) b) (a* b)(a* b* c)(b* c)=(a*

    34、b)(a* b)b)* c (分配律)=(a* b)(a* b)* c) (20题a)=(a* b)(a* c) (b* c) (分配律)c) (a* b)(a* b* c)(b* c) =( b *( a(a* c)(b* c) (分配律) =( b *( aa)* (ac)(b* c) (分配律) =(b* (a c)(b* c) (互补aa=1) =b* (acc) (分配律) =b (互补cc=1)d) (a* b)c) * (ab) * C =(a* b)c) * c* (ab) (交换律) =c* (ab) (吸收律)22设B,*,是布尔代数。在B上定义二元运算如下a,bB,ab=

    35、(a*b)(a*b)证明:B,是交换群证 封闭性对于任何a,bB,由于*,运算的封闭性,可知ab=(a*b)(a*)B,因此运算具有封闭性。结合律对于任何a,b,cB, (ab)c (ab)*c)(ab)*c) =(a*b)(a*b) *c)(a*b)(a*b)*c) =(a*b*c)(a*b*c)(ab) * (ab) *c) (分配律,deMorgan律,反身律) =(a*b*c)(a*b*c)(a*b) (ab) *c) (分配律,互补律,01律) =(a*b*c)(a*b*c)(a*b*c) (a*b*c) =(a*b*c)(a*b*c)(a*b*c) (a*b*c)(交换律) a(bc) =(a*


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