山东省自学考试复变函数与积分变换强化实践习题及答案.doc

1、第一篇第1章1.已知，求，。2.已知，求及。3.设、是两个复数。求证：。4.证明：函数在原点不连续。5.证明：z平面上的直线方程可以写成（a是非零复常数，c是常数）第2章1.试判断函数的可微性和解析性。2.解方程3.求4.设确定在从原点z=0起沿负实轴割破了的z平面上，并且（这是边界上岸点对应的函数值），试求的值。5.设，问在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值。第3章1.计算其中C为单位圆周|z|=12.求积分3.已知：，求解析函数4.计算积分,其中积分路径为(1)中心位于点,半径为的正向圆周(2) 中心位于点,半径为的正向圆周第4章1将函数在点展开为洛朗(Laurent)级数2讨论级数

2、的敛散性3求下列级数的和函数.(1) (2)4用直接法将函数在点处展开为泰勒级数,(到项),并指出其收敛半径.第5章1. 计算积分2求出在所有孤立奇点处的留数3 4 c:|z|=2取正向第6章1求一映射，将半带形域映射为单位圆域.2求上半单位圆域在映射下的象.3求把区域映射到单位圆内部的共形映射第二篇第1章1证明：如果f(t)满足傅里叶变换的条件，当f(t)为奇函数时，则有其中当f(t)为偶函数时，则有 其中2 求下列函数的傅里叶变换(2)3.已知函数的傅里叶变换求4.设函数f(t)的傅里叶变换，a为一常数. 证明第2章1用Laplace变换求解常微分方程：2.求下列函数的拉普拉斯变换 （1）

3、(2)3. 计算下列函数的卷积 （1） （2）作业答案第一篇第1章1.解：2.解：所以3.证明：4证明： 当点沿趋于时， 故当k取不同值时，趋于不同的数在原点处不连续5证明：设直线方程的一般形式为（a，b，c均为实常数，a，b不全为零） 因为：代入化简得： 令得 反之，设有方程（复数，c是常数） 用代入上式，且令化简即得第2章1.解：因， 而， 由于这四个偏导数在z平面上处处连续，且满足C-R方程。 由定理知，f(z)在z平面上处处可微且解析2解：3解：4解：设，则这里（1） 由一定条件定k：Z=-2时，要 ，则必有k=1（2） 求的值因则5解：均连续，要满足条件，必须要成立 即仅当和时才成立

4、，所以函数处处不解析； 第3章1解： 因奇点z=-2,-3在单位圆外部，所以在处处解析。 由柯西积分定理：2解：由于在z平面上解析所以在z平面内积分与路径无关因此，选取最简单的路径为0与的直线段0,则：3解：由C-R条件则又因为即则 即又所以故4解：(1)内包含了奇点(2)内包含了奇点,第4章1解：，在复平面上以原点为中心分为三个解析环：， ， (1) 在内，(2) 在内，(3) 在内，2解 因为部分和，所以，不存在.当而时（即），和都没有极限,所以也不收敛.故当和时, 收敛.3解: （1）故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：所以于是有：(2)令：故R=, 由逐项求导性质由此得到即有微分方程

5、故有：，A, B待定。所以 4 解:因为奇点为所以又于是，有展开式第5章1解：显然，被积函数在圆周|z|=2的内部只有一阶极点z=0及二阶极点z=1故由留数定理得2 解：函数 有孤立奇点0与，而且在内有如下Laurent展开式：故 3 解：令，在内，函数有两个奇点为可去奇点，为一阶极点，原式4解：因为在c内有z=1，z=-i两个奇点所以第6章 1解：2解：令，则，故将上半单位圆域映射为且沿0到1的半径有割痕. 3 (z1)(z)(z2)解：(z3)(z4)(w)第二篇第1章1证明：因为其中为f(t)的傅里叶变换当f(t)为奇函数时，为奇函数，从而为偶函数，从而故 有为奇数。 =所以，当f(t)

6、为奇函数时，有同理，当f(t)为偶函数时，有.其中 2（1）解： （2）解：因为所以根据傅里叶变换的微分性质可得3解:4.当a0时,令u=at.则当a0时,令u=at,则.故原命题成立.第2章1解：在方程两边取拉氏变换，并用初始条件得即故 2. 解: (1)(2)3. （1） （2）复变函数与积分变换 综合试题（一）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设z=cosi，则（）AImz=0 BRez= C|z|=0 Dargz=2复数的三角表示式为（）A BC D3设C为

7、正向圆周|z|=1，则积分等于（）A0B2i C2 D24设函数f(z)=，则f（z）等于（）A B C D5z=-1是函数的（）A 3阶极点B4阶极点C5阶极点D6阶极点6下列映射中，把角形域保角映射成单位圆内部|w|0映射为上半平面Im0B.将上半平面0映射为单位圆|1C.将单位圆|z|0D.将单位圆|z|1映射为单位圆|18. 若f(z)=u(x，y)+iv(x，y)在Z平面上解析，则u(x，y)=（ ）A.)B.C.D.9.f(z)=在0|z-2|1内的罗朗展开式是（）A.B.C.D.10.=（ ）A.sin9B.cos9C.cos9D.sin9二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，

8、共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11方程Inz=的解为_。12幂极数的收敛半径为_。13设，则Imz_。14设C为正向圆周|z|=1，则=_。15设C为正向圆周| |=2，其中|z|0;（4）w=f(z)把D映射成G。27利用拉氏变换解常微分方程初值问题：复变函数与积分变换 综合试题（二）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 复数的辐角为（）A B C D2设,则等于（）A BC D3 函数把Z平面上的扇形区域：映射成W平面上的区域（）AB

9、CD4若函数f(z)在正向简单闭曲线C所包围的区域D内解析，在C上连续，且z=a为D内任一点，n为正整数，则积分等于（）A B C D5幂级数的收敛区域为（）ABCD6是函数f(z)=的（）A 一阶极点B可去奇点C一阶零点D本性奇点7，则(A)(B)(C)2(D) 以上都不对8，则(A).(B).(C).(D) 以上都不对9C为的正向，(A).1 (B)2 (C)0 (D) 以上都不对10. 沿正向圆周的积分 =(A).0. (B).2 (C).2+i. (D). 以上都不对.二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.C为正向，则

10、=12.为解析函数，则l, m, n分别为 .13.14. 设C为正向圆周| |=2，其中|z|2，则=_15. 级数.收敛半径为16. -函数的筛选性质是三、计算题(本大题共8小题，共52分)17. 计算复数z=的值.18，设C为正向圆周。19，C为正向圆周。20. 利用牛顿-莱布尼兹公式计算积分21. 计算积分,其中为22.用直接法将函数在点处展开为泰勒级数,(到项),并指出其收敛半径.23. 设z沿通过原点的放射线趋于点，试讨论f(z)=z+ez的极限24. 将函数在有限孤立奇点处展开为Laurent级数.四、综合题(下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，

11、共16分)25证明题：设在内解析，在上连续，试证：当时，26求一保形映射，把区域映成单位圆内部。27用Laplace变换求解常微分方程：复变函数与积分变换 综合试题（三）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1方程所表示的平面曲线为（）A 圆 B直线 C椭圆 D双曲线2复数对应的点在（）A第一象限B第二象限 C第三象限 D第四象限3设C为正向圆周z+1|=2,n为正整数，则积分等于（）A 1B2iC0 D4设积分路线C是帖为z=-1到z=1的上半单位圆周，则等于（）A B

12、CD5幂极数的收敛半径为（）A 0B1 C2D6设Q（z）在点z=0处解析，,则Resf(z),0等于（）A Q（0）BQ（0）CQ（0）DQ（0）7下列积分中，积分值不为零的是（）ABCD8映射下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（）ABCD9. f(z)=在0|z-2|0。（4）。(Z)1-10-ii(W1)0(W)0(W2)027. 设F(p)=(y(t)，对方程两边取拉氏变换，有p2F(p)+1-2Pf(p)+F(p)=，从中解得再求拉氏逆变换，得=1-et或利用卷积定理得到1*et =1- et综合试题（二）答案一、1.B 2.B 3.A 4.D 5.B 6.B 7.B 8.C 9.

13、C 10.A二、11. 12. 13. 1 14.或 15.1 16.三、 17.解:18. 解：令 ，则由高阶求导公式得：原式 19解: 在C内，有本性奇点，由留数定理：原式在 内将 展为Laurent级数：故：20.解:21.解：在所围的区域内解析从而故22. 解:因为奇点为所以又于是，有展开式解：令z=rei，对于，z时，r故所以24. 解：的有限孤立奇点为及1）当时2）当3）当4）当四、证明题25、证：令 因为 在 内解析，在 上连续，所以也在内解析，在上连续。根据Cauchy积分公式有：26、解：xyz-1 1111 uv27、解：在方程两边取拉氏变换，并用初始条件得即故 综合试题（

14、三）答案一、1D2A3C4C 5D 6B 7D 8A 9.D 10. C二、 11, 12. 013. 14. 1 15. 16. 三、17.解：，即又n2 z1从而18. 解：即19解：因在复平面上处处解析由柯西积分公式知，在内，所以 而点 在内，故20.解：21解：由三角函数公式令，则，于是被积函数在内只有一阶极点，由公式故由留数定理22解：是复平面上的解析函数，则在平面上满足CR方程，即：故 对 成立，23. 解：在复平面有孤立奇异点与，（1）时，（2） 时（3） 时（4） 时24. 解: 因为部分和，所以，不存在.当而时（即）,和都没有极限,所以也不收敛.故当和时, 收敛.四、25. 解：（1） 故是调和函数。（2）利用CR条件，先求出的两个偏导数。则由故26.解:27解：对方程两边取拉氏变换并代入初值得求解得求拉氏逆变换得