线性代数 考研 习题.ppt

1、熟练掌握矩阵的基本运算与性质熟练掌握矩阵的基本运算与性质加法、数乘、乘法、幂、转置加法、数乘、乘法、幂、转置熟练掌握初等行变换化阶梯形熟练掌握初等行变换化阶梯形熟练掌握方阵可逆的有关结论熟练掌握方阵可逆的有关结论可逆性的判别、逆矩阵的计算、解矩阵方程可逆性的判别、逆矩阵的计算、解矩阵方程熟练掌握熟练掌握GaussGauss消元法消元法解的判别、求解解的判别、求解小结小结例例 解矩阵方程的解矩阵方程的初等变换法初等变换法：（1）已知矩阵方程）已知矩阵方程 AX=B，其中，其中A可逆。可逆。A，B I，A1B=I，X（2）已知矩阵方程）已知矩阵方程 XA=B，其中，其中A可逆。可逆。解解 （法一）

2、（法一）故故 。（A，B）=（法二）（法二）例例 已知结论已知结论“若方阵若方阵 A满足满足 且且 ，则，则A不可逆不可逆”的下述两种证明，请指出哪个方法正确。的下述两种证明，请指出哪个方法正确。对对不正确的方法，请举例说明其问题所在：不正确的方法，请举例说明其问题所在：（法一法一）因为因为 ，故，故.因为因为 ，故，故 。于是由。于是由 得，得，A=0。因此。因此A不可逆。不可逆。（法二法二）反证：若反证：若 A可逆，则由可逆，则由 得得即即 A=I，与已知条件矛盾。因此，与已知条件矛盾。因此 A不可逆。不可逆。例例 可逆的上可逆的上(下下)三角矩阵的逆矩阵也是上三角矩阵的逆矩阵也是上(下下

3、)三三角矩阵。角矩阵。证明证明 对上三角矩阵的阶数作归纳法：对上三角矩阵的阶数作归纳法：n=2：可逆，则可逆，则故结论对故结论对2阶上三角矩阵成立。阶上三角矩阵成立。设设n-1：设结论对：设结论对 n-1阶上三角矩阵成立。阶上三角矩阵成立。n：证明结论对：证明结论对 n阶上三角矩阵成立。阶上三角矩阵成立。设设 若若A可逆，则可逆，则 均不为零。而均不为零。而 也也是上三角阵，故是上三角阵，故 可逆。又可逆。又 是是 阶的，故由归阶的，故由归纳法假设可得：纳法假设可得：的逆矩阵也是上三角矩阵。的逆矩阵也是上三角矩阵。根据根据 A，对，对 A的逆矩阵的逆矩阵 分块分块其中其中 是是 n-1阶方阵。

4、因阶方阵。因 由此得由此得因因 可逆，故可逆，故所以，所以，因因 是上三角矩阵，故是上三角矩阵，故 也是上三角矩阵。也是上三角矩阵。例例 设设 A=是是n阶方阵。若下列方阵阶方阵。若下列方阵（称为（称为A的的顺序主子阵顺序主子阵）均满秩，则）均满秩，则 A可表示成可表示成A=LU 其中其中L是主对角元全为是主对角元全为1的的n阶下三角矩阵，阶下三角矩阵，U是是n阶可阶可逆上三角矩阵。上式称为逆上三角矩阵。上式称为A的的三角分解三角分解（LU分解分解）。对线性方程组对线性方程组若系数矩阵若系数矩阵 A有三角分解有三角分解 A=LU，则上述方程组的求，则上述方程组的求解可转化为解下述两个阶梯形方程组解可转化为解下述两个阶梯形方程组对对 LY=b 只需前代、对只需前代、对 UX=Y 只需回代既可求解。只需回代既可求解。1 1设设阶矩阵阶矩阵及及阶矩阵阶矩阵都可逆都可逆,求求解答：解答：习题习题2.举反例说明下列命题是错误的：举反例说明下列命题是错误的：（1）若）若 A2=0，则，则 A=0；（2）若）若 A2=A，则，则 A=0 或或 A=I.解答：(1)选取但 (2)选取则但