《高等数学》导数.ppt

1、第二章第二章 导数与微分导数与微分（一）学习目标（一）学习目标 1、了解导数、微分的几何意义；微分在近似计算中的应用。2、理解导数和微分的概念，可导和连续的关系。3、掌握导数和微分的基本公式与运算法则；掌握复合函数求导法；隐函数求导法；对数求导法。（二）学习重点和难点（二）学习重点和难点 重点 导数的概念；可导性与连续性的关系；复合函数求导法；隐函数求导法；对数求导法。难点 复合函数求导法；隐函数求导法；对数求导法。导数（导数（derivative）的概念）的概念变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度 由物理学知道，物体作等速直线运动时，它在任意时刻的速度可用公式 来计算。只能反映物体在

2、一段时间内的平均速度，不能反映物体在某一时刻的速度（瞬时速度）。设物体作变速直线运动，其运动方程为 s=s(t)，考察物体在时刻的瞬时速度。导数的概念导数的概念处的导数（亦称变化率），记作 即 2、导函数的定义即 在不发生混淆的情况下，导函数也称为导数。利用导数定义求导数利用导数定义求导数（1）求函数的增量（2）算比值（3）取极限 例题1 求函数y=C(Constant常数)的导数解：（1）求函数的增量（2）算比值（3）取极限 即（C）=0，常数的导数是零。公式1解：（1）求函数的增量（2 2）算比值 （3 3）取极限 解：（1 1）求函数的增量 （2）算比值 (3)取极限即 一般地，对于幂函

3、数幂函数的导数公式。公式2导数的几何意义导数的几何意义 例题 求曲线在点（-1,1）处的切线方程和法线方程可导与连续的关系可导与连续的关系 由此可知，函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件。求导法则求导法则 本节,我们将介绍导数的几个基本求导法则和基本初等函数的导数公式。借助这些法则和公式,可以比较方便地求出一些常见的导数.导数的四则运算法则导数的四则运算法则 注：（1）法则（1）可推广到有限个可导函数代数和的情形，例如 （2）法则（2）可推广到有限个可导函数之积的情形，例如 复合函数的求导法则复合函数的求导法则 注：（1）复合函数的求导公式也可推广到任意有限个函数复合的情形。因此，复合

4、函数的求导法则又称为链式法则。对于复合函数的分解比较熟练后,就不必写中间变量。复合函数求导法则熟练后，层层求导得出最后结果。复合函数求导歌复合函数求导歌 分层层分层层 剥皮皮剥皮皮 莫忘层层打撇撇莫忘层层打撇撇反函数的求导法则反函数的求导法则定理 如果单调连续函数 结论 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 把一个隐函数化成显函数的过程，叫做隐函数的显化。如对数求导法对数求导法解：这种函数既不是幂函数也不是指数函数，通常称为幂指函数。底也变底也变 指也变指也变 对数求导最方便对数求导最方便先在两边取对数，得 解：由几个因式通过乘、除、乘方、开方构成的比较复杂的函数。因子多因子多 指数繁指数繁 对数求导少麻烦对数求导少麻烦先在两边取对数，得由参数方程所确定的函数的求导法由参数方程所确定的函数的求导法 研究物体运动的轨迹时，常遇到参数方程。例如，研究抛射物的运动时，如果空气阻力忽略不计，则抛射物的运动轨迹可表示为 消去时间t,得一般说来，参数方程 利用复合函数求导法则与反函数的导数公式，就有 代人点斜式方程，椭圆在点处的切线方程为高阶导数高阶导数 类似地，二阶导数的导数，叫作三阶导数，三阶导数的导数叫作四阶导数，。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。求高阶导数就是多次接连地球导数，仍然用前面学过的方法。