控制工程论文.docx

1、System Theory on Group Manifoldsand Coset Spaces群流形和陪集空间的系统理论姓名： 学号：班级： 群流形和陪集空间的系统理论摘要 这篇文章的主要目的是讨论关于空间矢量是微分流形同时还是一个集合或者从广义上说，它同时还是一个陪集空间的系统的可控性、可观测性和可实现性。在本文中，我们将阐述在自控系统中给可达集和不易表达集一个特别清晰的表达式可能的。我们同样建立了一种状态空间同构定理。这些类似的或者部分类似的结果适用于能够被描述为 的相似情况。我们的目的是减少所有关于从系数矩阵中产生的李代数问题，使得它们更加直观和易于测试。1.简介在现代控制理论中，一个

2、普遍的假设是状态矢量空间是向量空间。这个假设在大多数情况下是有效和自然的，但在有些重大的问题上，这个假设是不成立的。这类问题的典型情况通常出现在控制刚体位置的时候。在这种情况下，状态矢量空间不是向量空间。线性化常常会破坏问题的本质尽管它可以解决局部问题，但我们需要新的和不同的方法来解决总体的问题。现在我们用下面的假设来替代通常的向量空间假设。我们令和为矩阵，则有：当A和Bi属于关于的李代数时，ui是控制信号，那么表达式就被解释为的陪集。我们还研究了一个类似的向量系统，在该系统中，我们可以认为它们的变化发生在状态矢量空间。这个结果考虑到准确地建立这个可达集以及它的特征是容易观测的。我们主要的观点

3、是：这一类系统在很多方面不比Rn这一类的线性系统困难。包括Hermann、Kucera、Hermes、Haynes、Lobry的文献在内的有大量的文献使用了Chow的结果以及相关的观点去研究可控制性。这项工作在这里，但到目前为止，我们对可控性真正感兴趣的仅仅是那些有助于构建完整的系统理论（包括可观测性理论和可实现性理论）的框架的工作。我们应该注意到，由于二元性没有清晰地概念，所以在目前的设置下我们不能直接从可控性的结果得出可观测性的结果。这项工作的主要动机首先源于当我们面临一些重大的物理问题时，线性理论是不充分的，其次是一些用李代数方法研究微分方程的项目。这篇文章还提到了Jurdjevic 和

4、Sussmann的一些没有公开发表的工作。特别是他们不仅为我们的定理五提供了有力的证明还认真研究了不对称事件（本文只在定理七中有所提及）。我们还提到了一片最近由Elliott发表的文章。2范例为了找到一些例子来证明这些假设成立的原因及方法，我们花了足够长的时间来研究这项工作。例1（控制系统的设计）考虑到系统中决定增益k的问题为了让这个索引形式达到良好的性能若在初始状态被确定的同时选择k的时候尽量的值，那么这个系统的性能可能不如其他初始条件下那么好。在初始状态未知的情况下，更现实的操作是选择一组初始状态的向量和k去减小独立系统的加权平均值。事实上，为了确保稳定性，我们需要平均至少有n个独立的线性

5、初始状态。若n已经被确定了，那么k就应该被看作是控制矩阵方程的演变。然后状态空间就是一个n*n的非奇异阵。例2（刚体控制）刚体的位置可以在一个固定的坐标系中由一个满足一下微分方程3*3的正交矩阵来表示：本身通常是由以下方程组来决定的：第一组方程的状态空间是一个3*3的正交矩阵。第二组的状态空间是笛卡尔三维坐标R3。为了我们现在的目的，假设物体的中心是固定的并且结果是通过一个固定在物体内部的光源发出的一束光线输出的，这束光线所在直线会穿过物体的重心。在这个情况下，输出就是，其中是一个与这束光线旋转（一种无法察觉的运动）角度有关的子群。图1.观察刚体的图解例3（直流-直流变换模型）电路图如图2所示

6、，我们可以通过控制开关的闭合来实现将电容1的能量转移到电容2 。为了有一个明显的物理模型，我们需要有一条通过电感的在任何时候都导通的通路。图2.一个能量被保存的电路其运动方程如下：其中，S1和S2开关的状态来决定取1或者0。左侧开关闭合的时候S1=1 S2=0；当右侧开关闭合时S1=0 S2=1。3李代数和李群让Rnn表示一个n*n的实数矩阵；Rnn是一个维度为n*n的向量空间。由Rnn中的李代数可知，Rnn有一个子集是向量空间并且还有这样一个性质：若A和B属于，所以A,B=AB-BA。若1和2是Rnn的李代数，那么它们的交集也是李代数，若A和B分别属于1和2且都是李代数，那么A,B就同时属于

7、1和2。两个李代数的集合，两个李代数的和1+2，以及两个李代数的交换子1,2就不一定是李代数。确定Rnn的任意一个子集，我们可以通过添加任意条件来将它嵌入到李代数中去。为了获得包含给定集N的最小李代数，我们首先给N添加所有的线性组合元素来获得一个真正的向量空间N1。然后通过交换N1中的元素来得到N2，且满足N2= N1+ N1, N1；若这不包含在N1中，那么我们得到N3，且满足N3= N2+ N2, N2等等。很显然，这个过程不会一直持续下去，因为我们在这个过程的每一步都至少增加了一个维度，但维度的上限是n2。我们把这种李代数叫做由N产生的李代数，用NA表示。若M是Rnn中的一个非奇异阵，我

8、们用MG来表示由M产生的矩阵群的乘法，在Rnn中包含M的最小群在乘法和反演过程中是闭性的。若N是属于Rnn的一个线性子空间，那么对一下集合：若满足则不含奇异阵。很明显M在乘法和反演过程中是闭性的，我们记为：定义属于李代数。对于M在中的每一个取值都有一个一对一的属于的0的邻域或者属于的M的由下式定义的领域的映射。这个映射是可逆的，表明是一个空间维数等于的维数的欧几里得空间。我们可以验证映射满足-流形在11,P.97意义下的条件。因此我们就可以给一个微分流形结构。这也证明了我们把看作是一个流形组是正确的。若A是Rnn的一个线性子集，但不一定是李代数，我们可以研究一下exp，AG和exp，AAG之间

9、的关系。很显然，后者包含前者。下面的定理证明了它们是一样的。定 理1： 令A1。A2。Ap是属于Rn*n的线性子集，则：在证明定理1之前，我们应该先就它和可控性著作之间的关系加以说明。假设方程是一个属于的微分方程。我们可以从Frobenius的理论中很清晰的得到解集是包含于的，因为在每一个点X都属于。集合是相交的正切空间于X的对合分布。Wei和Norman通过给出微分方程ui的解和Ai(没有指出微分几何解释的结果)产生的李代数的结构常数证实了这个结果。另一方面，若我们将看作是控制问题，接下来的问题不是说什么流形包含这个结果，而是什么集可以满足一个属于u1，u2，um点。Chow的结果1(参见赫

10、尔曼2)适用于这里。Chow表示一个合适的正则条件下的对于向量系统的可达点集使用分段常数控制可表示为：，在这其中gi(x)是一个由fi(x)产生的对合分布的基础。也就是说gi(x)跨过了包括fi(x)在内的向量空间并且在李氏括号运算中是闭合的。在我们的例子中，AiX和AjX的李氏括号运算结果是Ai,AjX。因此我们可以看到，在考虑包括expAiAG在内的可达集的微分方程时，Frobenius的理论确保它包含而已。通过运用这些思想，下面给出的定理1的证明过程可以被缩短很多。喜欢长的证明过程的理由是它是有建设性的，是独立的（没有比隐函数的应用更难的了）而且它还有个好处是运用符号和工具来证明了关于n

11、*n的矩阵的定理。证明 ：我们给一个证据证明依赖于一个隐函数定理，在适当的假设下，确保存在一个方程的解，当未知的时候。我们同样需要Baker-Hausdorff公式来证明：我们应当注意到在这个系列中，第n+1项的范数小于，所以级数是被 优化的，因此对任意的T而言，它绝对会收敛于。令是A1+A2+.+Ap的基础，同时令L是由产生的李代数。假设这是一个维数为q的代数，则L的存在形式有如下几种：我们在这里非常清晰，因为很重要的一点是在我们的证明中，有必要将这些表达看做是像逆矩阵一样的正常表达。我们介绍以下的特殊符号。运算符EXP与矩阵之间是通过公式相映射的。它被义为Ai，并且它的交换子如下：这个定义

12、是通过递归完成的。如果A和B是正式的表达式，那么：如果B是正式的表达式，那么：当t趋近于0的时候，o(t)/t也趋近于0。我们将每一个正式的表达式和一个整数联系起来，称作是它的度，是这个表达式中最大的数。为了引出这个证明，我们对这个表达式进行一个度的归纳。假设A和C是两个度数不大于n的正式表达式。假设我们已经知道对度数不大于n的表达式有：现在考虑到EXP的定义，我们可以在收敛幂级数t扩展EXP At和EXP Ct。当E和G涉及到t的介于t1和t2的幂E和F分别是t2的系数。幂级数展开后的逆阵：通过EXP At和EXP Ct相应的独立的表达式作为验证。我们可以得出以下表达式（t是非负数）：并且当

13、t0时，EXP Bt是连续可微的。以上理论证明EXP Bt是关于t在t=0的邻域内是可微的，且有：因此我们就有一个基础元素Ly，。现在假设函数u =(u,u2,., uq)和v =(v,v2,., vq)是Rq*Rq映射到Rn*n的，有如下定义：很明显F(0,0)=0。现在F在（u,v）=(0,0)时的线性逼近值为因此的空间范围是包含Li的Rn*n的q维子空间。现在F（u, v) + I是一个有限的指数，我们写成在贝克-豪斯多夫公式中有，我们看到eA1tAkeAit属于按A，s计算所产生的一种李代数。此外, 这是连续t和在t = 0时,需要一个值Ak。利用这个结果我们反复看到,对于每个Uik,

14、我们可以发现关于Rik的表达式仅仅通过推动Ak过去的指数是一次一个。显然，因此我们看到a和b的值小。这是关于和的关系式。当，且Si和Hi满足论点,则雅可比图一定把q排列在旁边；因此，引用隐函数定理，存在0和映射，这样，当，则：我们可总结出：存在，若 且，则现在对于任意L，遵循1mL 0和给定两个非奇异的模型X 1和X2 ，存在连续控制从X 1在t = 0到X 2在t = t。当且仅当属于证明：定理1断言任何矩阵M在可以被写为一个有限的结果，即。假设，凭借划分区间成m相等的间隔。在区间，所有控件是零,除了控制。在区间上t1、t2)所有控件是零，除了。到最后的间隔,所有控件除了是零。定 理 6 ：

15、考虑系统的定理5。给定一个时间和给予两个非奇异的n*n矩阵x1和x 2与，存在分段连续控制哪些引导国家从X 1在t = 0到X 2 t =证 明:众所周知,任何非奇异矩阵可以写成或R = R o 。同时，真正的正交矩阵与积极的因素和真正的对称正定矩阵有真正的对数。此外，在例(iii)那些因素在极坐标表示法继承财产的集团，本身也就是说和R在极坐标表示矩阵。完成证明我们只需要调用定理5 因为前面的言论证明与都在适当的李代数。定 理 7：考虑线性动力系统假设， v=k =，然后给出一个时间t 0和两个nn矩阵X1和X 2，当且仅当存在使，则存在连续控制即引导系统从t = 0时的矩阵X 1到t = 时

16、的矩阵X 2 。证明首先,注意因此若（），则=0。而且：现在使，,从而对于所有的和有为解这个微分方程，我们引入Z(t)=e-AtX(t)，观察到由于，积分后可得这是一个著名的等式，作为这个结果的一个应用,我们得到一个熟悉的关系：例 4 考虑系统， ，X(0)是给定的。与此相关的矩阵系统在：给定，可得到关于t的表达式：5可观测性为了得到一个与线性理论比较的边界理论性，有必要仔细观察。选择一个合适的形式的观测方程对整体理论的成立是决定性的。因为它的结果是,自然选择是指定的第二个例子。定义为一个矩阵群、为一个子群，把这个方法以展开，则我们的本意,并不是直接观察X(t)，而是我们观察到等价类X(t)属

17、于通过定义的关于的等价关系。因此y(t)需要值陪集空间通常不是一个李群(参见7)。定 理 8： 定义为一个矩阵群，假设点集可由标识系统获得，则是一个子群，然后初始矩阵群是区别于已给出的等式是和的一个普通子群。证 明：假设X是一个给定的不同于该等式的初始状态方程。这意味着对于每个在i中的R存在C(R) 满足。如果和是群集，我们可以逆阵得到。因此，正是这些不可区分的等式，这个剩余的结论来自定理3。定 理 9 ：定义和为在Rnn的李代数，假设所有要点可从得到，则当且仅当时，初始状态是不可区分的包含的等式。因此一个必要的条件是不包含子代数，即。证 明：定理8给出了一个的特性表示，它允许被用于支撑定理4

18、。一个可能得出的结论：若没有重要的代数符合定理9的条件，然后所有的初始状态是可以区分的。这是不对的，因为可以是一个离散子群，然而对于任何李代数像不可表述的。接下来的一个例子阐明了这个。例 5 在数值积分的运动方程的一个刚体，通常避免欧拉角表示和使用相反四元数或方向余弦表示。正如我们所知道的，该群集的单位四元数涵盖了两次。这导致一个模棱两可的东西从到群单位四元数。这个例子说明了这个观点。考虑一个方程群单位四元数，我们以普通的方式a2+b2+c2+d2=1表示是给定的群。现在它是正确的， 包括和，该元素形成的一个正规子群也是正确的。因此作为一个初始状态不能有别于。因而没有像的非平凡的李代数。6实现

19、理论 一个中心的结果在线性系统理论事实上是任何两个定常、可控性和可观测的实现的鉴于不变时的输入-输出地图上彼此相关一个非常简单的方法。我们的目的是建立一个类似的定理。假设我们有两个系统：我们假定：1、该系统是可以观察到的，在这个意义上,没有两个初始状态引起的相同的响应，y为所有分段连续输入和。2、存在一对一的映射，比如和两个映射到集合S。这样，若每个系统在同一状态开始、每个系统有相同的输入，为未来所有的时间。作为系统，满足这些标准将被说成是看得见的实现相同的输入输出映射。我们强调X(t)和Z(t)是平方矩阵但不一定有相同的维度。假设我们有两个可观察到的实现相同的输入输出映射。当应用于X系统需要

20、状态X(O)= I到状态X(l)= I，定义为一个非零的分段常数，区间在0，1，则当然必定和Z系统相同，因为他们是可观测的实现相同的输入输出映射。因此我们看到，若是一个集合，是任何实数，则且定义是与相关的换向器表达式，这样， 形成为；定义为一个类似的表达式，替换，替换，等等；定义S为一个以形式的换向器表达式，定义T为以形式的类似换向器表达式，则存在可微函数满足由于是可微的，我们可以写成因此，如果，那么。从这里我们可以看出来，代数GiA是由Bi产生的，就像BiA从Bi中产生的方法一样，所以它们是同形代数。我们将这些讨论归结为如下理论：定 理10：假设有两个系统当X和Z是相对独立的n*n和q*q。

21、假设这些系统在同一个输入输出图上是可以观测的。那么BiA和GiA和李代数是同形的，进一步说，如果L1,L2. Lr是Bi的交换子表达式并且是BiA的基础组成元素，如果K1,K2.Kr是通过替换Bi,Gi获得的Gi的相似表达式，那么K1,K2.Kr就是GiA的基础组成元素。如果，那么当然，这并不意味着I的被称作exp BiAG和exp GiAG可达集是同形的。例如，单位四元素集和3*3的正交矩阵集有同构李代数，但它们并不是同构集。7.关于陪集空间的系统理论在这一节中,我们将以一个不同的方式来重新解释我们的结果。这些重定义解释了一些关于流形不包含群结构的事实。特别是众所周知，n维球面除了当n=1或

22、3的时候并不包含李群结构。让是一个流形。让是属于Rnn的矩阵群。我们就说作用于M如果对每一个，都有，Gx属于M。通过关于x的轨迹我们可以得到点集：。如果作用于M，并且对M中每一个点（x,y），在中都存在一个G，使得Gx=y，我们就说可传递地作用于M。如果可传递地作用于M，在任何一个的点，都会有一个子集，所以对每一个，都有Hx=x。很显然，如果且，那么且，所以是一个子群。我们称是x中的各向同性群。注意到如果Gx=y，那么，因此在y是一个各向同性群，所有的各向同性群在共轭。现在假设M是一个事实上存在于的群。选一个的点。给定义一个等价关系，对，对当且仅当。在这些空间和等价类之间有一一对应的关系和M。

23、在这种情况下，我们就称M为陪集空间。我们研究状态被描述为n维向量且满足下式的系统：.(1)通过我们可以定义一个等价类的向量，对于C属于当且仅当是x1等价于x2。令是一个由产生的李代数，是一个作用于它的流形。上述方程可以看作是由群进化产生的，当时，不考虑控制，当t0时都有。如果存在一个微分流形使得作用于M，我们就说（1）式适用于M。例6假设有一个n维球面Sn。令是(n+1)*(n+1)的斜对称矩阵。很显然，系统是适用于Sn的，当包含正交矩阵或者经过变换的正交矩阵。如果我们可以观察到只有第一个成分的x，我们就应该让是的子集，包含那些第一行第一列为1的矩阵。也就是说：对于可控性我们可以说给出任何两个

24、向量Xl和X2属于Sn存在一个分段连续控制引导系统从x1到x2，当且仅当x2= Rx1时，对于一些R属于, 是一个由Ai产生的李代数。同样,一个任意点可以被转移到一个任意点，当且仅当在Sn中是可传递的。同时我们可以观察任何满足的x0，从而可以推断出任何满足|x1|=1的x1，当且仅当在Sn中是可传递地。这第二个观点是有用的,因为它将问题Sn的可控制性和标准结果在几何上联系在一起。特别是当李群可传递地作用于Sn是已知的时候。至于可观测性，我们注意到两个初始状态x1和x2zai Sn中，引起同样的y，当且仅当对中所有的R而言，在中存在C(R)使得，也就意味着。我们现在讲这个例子的基本特征和状态抽象

25、化，来形成这个发展的总结。定 理11：对动力系统而言适用于流形。令是一个由Bi产生的李代数。一个给定的状态x2是可以通过x1实现的，当且仅当对有些N属于有x2=Nx1时。令。两个状态x1和x2是不可区分的，当且仅当x2=Px1当P属于且属于任何像一样的李代数。例7假设Rn+1的子流形M包含那些最后坐标是1的点。那么M的状态方程：化简后也就是：。运用定理7我们可以得到相关方程组可达集在时间点t可以被描述为如下形式的矩阵：因此如果贯穿Rn，那么可达集在M上是可传递的，我们就有了可控性。至于可观测性，我们应该注意到：的子代数和在变为C的线性子空间的过程中都是封闭的，C是属于A的一个不变的值。感谢：很

26、多人在早期的博览会上给我提了很多有用的建议，特别是D. Elliott, V.、Jurdjevic, H、Sussmann, Jacques Willems以及Jan Willems。我同样想感谢很多年前就了解我关于微分方程和李代数的相关研究的H. Rosenbrock。参考文献I W. L, CHOW. llber System ron linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung, Math.Ann. 117(1939), pp. 98-105.2 R. HERMANN, 0 the accessibility pro

27、blem in control 11,-or.1. Proc, International Symposium on Nonlinear Differential Equations and Nonlinear Mechanics, Academic Press. New York.1963. pp. 325-332.3 J. Kt:(,RA, S01U1ioll ill large or control problem: ,x .: (A( I - II) + But, Czech. Math. J. 16(1966). no. 91. pp. 600-623. 4J J. KUCERA,

28、Solution in large 0/ control problem: :i = (Au + BI!)X, Czech. Math. J. 17 (967).no. 92, pp. 91-96.(5) C.Lobry, Controlabililte des systems nun linearies, this Journal, 8 (l970), pp. 573-605.6 G. W. HAYNESAND H. HERMES. Nonlinear controllability via Lie theory. this Journal. 8 (1970).pp. 450-460.7 W

29、. MAGNUS, On the exponential solution of differential equations for Q linear operator, Comm. Pure Appl. Math., 7 (1954). pp. 649-673.(8 K. T. CHEN, Decomposition of differential equations. Math. Ann . 146(1962). pp. 263 278.9 J. WEI AND E. NORMAN, On global representations of the solutions of linear

30、 differential equations as Q product of exponentials. Proc. Amer. Math. Soc. 15 (1964). pp. 327-334.10-, Lie algebraic Solution 0f linear differential equations, J. Mathematical Phys. 4 (1963).pp.575581.11 I. M. SINGER AND J. A. THORPE. Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, Scott.Foresm

31、an and Co., Glenview, III., 1967.(12 S. STERNBERG, Lectures on Differential Geometry, Prentice-Hall. Englewood Cliffs. N.J. 1964.13 L. AUSLANDER AND R. MACKENZI Introduction to Differentiable Manifolds. McGraw-Hill. New York, 1963.14 J. J.ROTMANN, The Theory o/Groups, Allyn and Bacon, Boston, 1965.1

32、5 1. F. P. MARTIN, Some results on matrices which commute with their derivatives, SIAM J. Appl. Math., IS (1967),pp. 1171-1183.16 R. W. BROCKETT Finite Dimensional Linear Systems, John Wiley, New York. 1970.17 H. SAMELSON, Topology of Lie groups, Bull. Amer. Math. Soc. S8(1952), pp. 2-37.(18 H. J. S

33、USSMANN AND V.JURDJEVIC. Controllability of nonlinear systems, J. Differential Equations.to appear.19 V. JURDJEVIC AND H. J. SUSSMANN. Control systems on Lie groups, J. Differential Equations. To appear.20 D. L. ELLIOTT, A consequence of control ability, J. Differential Equations. 10(1971). pp. 364-370.362.感想：本篇文章系统阐述了有关群流形和陪集空间的系统理论，并结合实际例子、理论推导，反面证明了本文所阐述的理论，具有很好的实用性。通过阅读本篇文章，我们初步了解了群流形和陪集空间的系统理论在实际中的某些应用，在科学技术飞速发展的今天，该理论还有巨大的发展空间。虽然在翻译阅读本文的过程中遇到某些困难，但最后还是坚持下来，从中学到了许多，自己也有许多地方有所欠缺，比如缺乏对专业英语的了解、对专业知识了解少等等，在这仅有的一年多大学时光中，应该多多了解与专业相关的知识，扩大自己的见识，为以后更好的生存奠定一个好基础。