数学模型在金融市场中的应用.doc

1、学长论文，留存参考毕 业 论 文 题目： 数学模型在金融市场中的应用系 别： 数 理 系专 业： 数学与应用数学姓 名： 杨 永 光学 号： 171408156指导教师： 胡 素 敏2012年 5月 15日河南城建学院 毕业论文任 务 书题 目数学模型在金融市场中的应用系 别数理系专业 数学与应用数学班级1714081学号 171408156学生姓名杨永光指导教师胡素敏发放日期2012年2月20日河南城建学院本科毕业论文任务书一、 主要任务与目标：主要任务：本文主要是研究金融市场的发展过程、数学模型如何应用到金融市场中、及数学模型在金融市场中的运用情况及发展方向。 主要目标：1.收集相关金融市

2、场资料，了解金融市场运营模式。探讨数学模型是怎样结合到金融市场中的。2.对金融数学模型进行系统学习，研究几种重要数学模型在金融市场中的应用方式。3.分析几个重要数学模型在金融市场中应用的典型案例。应用数学模型进行实际操作。4. 探讨数学模型在金融市场中应用的发展前景。二、 主要内容与基本要求： 主要内容：金融市场应用中的几个重要数学模型，主要分为四个大部分。第一部分从金融数学的发展及数学模型和金融市场结合过程等加以阐述。第二部分分别从证券投资组合模型、资产定价模型、金融衍生工具定价模型等系统地论述数学模型在金融市场中的应用形式、方法。第三部分对数学模型最新进展进行介绍。第四部分对数学模型在金融

3、市场中的实际应用情况进行阐述。基本要求：要有刻苦钻研、勤于实践、勇于创新的精神，要经常向指导老师汇报情况，虚心听取指导老师的意见。严格遵循科学研究规律、遵守科研道德。认真完成设计报告。三、计划进度：2011年11月至12月论文选题；2012年3月（第6周）填写任务书和开题报告；在4月份(第7-11周)收集论文资料并初步完成毕业论文的初稿；到5月份(第12周)，认真的对论文进行进一步的修改，使论文达到指导老师的要求对论文不完善的部分进行补充；5月份（第13周），按照互审意见进行更进一步修改，对论文进行认真细致的学习，了解论文的意义，为答辩做好准备；5月份（第14周），开始准备答辩。四、主要参考文

4、献：1 （美）斯塔夫里 、（美）古德曼，蔡明超.金融数学M, 机械工业出版社，2004.(3)2 郑振龙.金融工程M.高等教育出版社，2003.(4)3 赵胜民.金融工程M.厦门大学出版社，2011.(7)4 蔡明超.金融数学M.机械工业出版社，2008.(8)5 宋逢明.金融工程原理M.清华大学出版社，2007. (11)6 李海蓉.浅谈数学模型在金融市场中的应用.科技经济市场，2007. (9)7 宋威.金融数学模型M.华南理工大学出版社，1999. (8)8 孙福.金融数学概述J.呼伦贝尔学院报，2005.(8)9 夏玉森.金融数学模型J.中国管理科学，1998.(3)10 王乐毅.期权

5、价格及定价模型分析J.贵州工业大学学报，2006.(4)11 郭尊光，仉志余.二叉树模型在股票及股票期权定价中的应用J.太原师范学院学报，2011.(3)12 黄少明.对冲基金透视M.中国金融出版社，2001.(5)指导教师（签名）： 年 月 日教研室审核意见：教研室主任签名： 年 月 日注：任务书必须由指导教师和学生互相交流后，由指导老师下达并交教研室主任审核后发给学生，最后同学生毕业论文等其它材料一起存档。成绩评定成绩评定说明一、答辩前每个学生都要将自己的毕业设计（论文）在指定的时间内交给指导，教师，由指导教师审阅，写出评语并预评分。二、答辩工作结束后，答辩小组应举行专门会议按学校统一的评

6、分标准和评分办法，在参考指导教师预评结果的基础上，评定每个学生的成绩。系对专业答辩小组提出的优秀和不及格的毕业设计（论文），要组织系级答辩,最终确定成绩，并向学生公布。三、各专业学生的最后成绩应符合正态分布规律。四、具体评分标准和办法见平顶山工学院毕业设计（论文）工作条例中附录2。五、答辩小组评分包括两部分：（1）学生答辩情况的得分和评阅教师评分；（2）指导教师对学生毕业设计（论文）的评分毕业论文成绩评定班级 姓名 学号综合成绩： 分（折合等级 ）答辩小组组长签字 年 月 日答辩小组评定意见一、评语（根据学生答辩情况及其论文质量综合评定）。二、评分（按下表要求评定）评分项目答 辩 小 组 评

7、分评 阅 教 师 评 分合计（40分）完成任务情 况（5分）毕业设计（论文）质量（5分）表达情况（5分）回答问题情 况（5分）质 量（正确性、条理性、创造性、实用性）（10分）成果的技术水平（科学性、系统性）（10分）答辩小组成员签字 年 月 日 毕业答辩说明1、答辩前，答辩小组成员应详细审阅每个答辩学生的毕业设计（论文），为答辩做好准备，并根据毕业设计（论文）质量标准给出实际得分。2、严肃认真组织答辩，公平、公正地给出答辩成绩。3、指导教师应参加所指导学生的答辩，但在评定其成绩时宜回避。4、答辩中要有专人作好答辩记录。指导教师评定意见一、对毕业论文的学术评语（应具体、准确、实事求是）： 签字

8、： 年 月 日二、对毕业论文评分按下表要求综合评定。（1）理工科评分表评分项目（分值）工作态度与 纪 律（10分）毕业设计（论文）完成任务情况与水平（工作量与质量）（20分）独 立工作能力（10分）基础理论和基本技能（10分）创 新能 力（10分）合 计（60分）得分（2）文科评分表评分项目（分值）文献阅读与文献综述（10分）外文翻译（10分）论文撰写质量（10分）学习态度（10分）学术水平（20）论证能力与创新（40分） 合 计（100分）得分 指导教师签字： 年 月 摘 要数学模型，即数学公式。它能把现实中许多现象和结论浓缩在简洁的符号之中。利用数学方法解决实际问题，首先要把实际事物之间的

9、联系抽象为数学形式，这就是建立数学模型。在现代金融市场中，对所研究的对象进行量化，建立适当的数学模型，进而应用现代数学理论知识研究金融资产及其衍生资产定价、复杂投资技术与公司的金融政策，已经成为现代金融分析的主要发展趋势。数学模型对于金融市场中的交易者有着非常重要的作用, 数学模型应用于金融市场研究的重大突破是证券组合投资模型和金融衍生工具定价模型的出现, 资本资产定价模型是由此发展起来的具有重大应用价值的金融数学模型。这些模型的发展和应用仍是当今金融领域的研究热点问题。本文先系统地介绍金融市场的发展及数学模型应用于金融市场的历史背景。从基础性的简单数学模型单利和复利模型着手，概括性地介绍一些

10、模型和利用它们分析各种金融产品（证券、期权）的价格，探讨投资最优化理论，从理论上引导市场化解、防范金融风险。最后对一些最新金融理论做简单介绍，展望金融数学模型的发展前景。关键词：金融数学模型，证券组合，资产定价，金融衍生工具定价，金融风险AbstractMathematical model, also called mathematical formula，can turn many phenomena and conclusions concentrated on concise symbols. Using mathematical methods to solve the actual

11、problem, first of all you need to abstract the actual connections between things into a mathematical form, which is the establishment of mathematical model. In the modern financial markets, the research object is quantified, the establishment of an appropriate mathematical model, and then the applic

12、ation of modern mathematics theory on financial assets and derivative pricing, complex investment technology and the companys financial policies, has become the main development trend of modern financial analysis. Mathematical model for financial market traders have a very important function, the ma

13、jor breakthrough of Mathematics model application in the financial market research is the appear of securities portfolio investment model and financial derivatives pricing model, the emergence of the capital asset pricing model is developed which has important application value of financial mathemat

14、ics model. Development and application of these models is a hot issue in the field of modern financial. This paper firstly introduces the development of financial market and the historical background of the application of mathematical model in the financial market. From the foundation of simple math

15、ematical models of simple interest and compound interest model to proceed, briefly introduce some models and use them to analyze various financial products (securities, options) price, discusses investment optimization theory, from the theory to guide the market to resolve, to guard against financia

16、l risks. At the end do a brief introduction of some the latest financial theory, prospect the development foreground of financial mathematic model.Key words: financial mathematics model, portfolio, asset pricing, financial derivatives pricing, financial risk 意 目录摘 要IAbstractII1数学模型与金融市场12金融市场中应用的几个重

17、要数学模型22.1金融领域中最基础的模型22.1.1单利与复利22.1.2名义利率与实际利率32.1.3现值理论32.1.4证券价格的评估模型42.1.5债券价格的评估模型62.2证券投资组合模型72.2.1期望方差模型72.2.2一些其它证券组合选择模型92.3资产定价模型112.3.1资本资产定价模型(CAPM)112.3.2套利定价模型(APT)122.4期权定价模型132.4.1BlackScholes模型132.4.2期权价值的二叉树模型152.5对冲173金融数学研究的最新进展193. 1随机最优控制理论193. 2鞍理论193. 3微分对策理论193. 4最优停时理论203. 5

18、智能优化204金融数学研究面临的问题与前景214. 1美式期权问题214. 2利率的期限结构问题214. 3市场价格波动问题214. 4突发事件问题215结束语23参考文献24致 谢25河南城建学院本科毕业论文 1数学模型与金融市场1数学模型与金融市场数学模型在金融市场中具有重要作用，金融数学作为一门边缘学科，应用大量的数学理论和方法研究，解决金融中一些重大理论问题，实际应用问题和一些金融创新的定价问题等，由于金融问题的复杂性，所用到的数学知识，除基础知识外，大量的运用现代数学理论和方法(有的运用现有的数学方法也解决不了)。金融数学模型的最初出现可以追溯到1900年Louis Bachelie

19、r（路易巴舍利耶）的投机理论, 这一理论的出现标志着连续时间的随机过程和连续时间的期权定价理论的诞生。然而,在其后的半个世纪中,尽管Macaulay（麦考利）于1938年建立了对债券交易市场上的发行者和投机商非常有用的债券价格对利率的敏感性分析模型等，但这些模型在实际中并没有得到很好的重视，五十年代末和六十年代初，投资分析和资本市场的金融数学建模有了大的突破, 开始了现代金融理论研究的新纪元。Markowitz（马柯维茨ci）于1959年提出的期望方差模型是这一时期最有代表性及影响力的工作。因而理论界称之为二十世纪发生在华尔街的第一次金融革命，这一模型的提出吸引了一大批的数学家和经济学家开展这

20、一领域的研究，从而使得这一模型得到了不断的完善，伴随地出现了一些新的证券组合选择模型。金融理论的另一次革命性的成果是Black和Scholes于1973年提出了基于无红利支付股票的任何衍生证券的价格必须满足一组微分方程。之后，金融衍生工具的定价理论不断出现新的成果，并在九十年代形成了一门崭新的金融学科金融工程。随着国际金融业的不断发展，数学在金融市场中的应用也越来越广泛。人们越来越深刻地认识到数学模型的研究已经成为金融学研究中的关键技术。数学模型正在不断推动着金融实践的发展。因此，数学模型在金融市场中具有广泛的应用前景。1河南城建学院本科毕业论文 2金融市场中应用的几个重要数学模型2金融市场中

21、应用的几个重要数学模型2.1金融领域中最基础的模型2.1.1单利与复利利息是资金的时间价值的一种表现形式百分比，是使用资金应付出的代价。利率是利息所占本金的百分比，即： 商业银行的利率分存款利率与贷款利率。存款利率高，对投资者有利，但是银行因为负债成本高，为了获利，它必须以更高的贷款利率贷出。而企业可能因为利息太高借不起钱，银行获利机会相应减少。因此，过高的银行利率不利于经济的发展。利率是宏观控制信贷的重要手段，中央银行的放款利率若增加（或减少）一个百分点，都会对社会发展产生重大影响。计算利息的方式有两种：单利与复利。（1）单利仅按本金计算利息，利息本身不再支付利息的计算方式。一般地，设本金为

22、p，年利率为r，n年后的本利和为：。即单利模型： 单利计算方便，但不能反应资金周转的规律与扩大再生产的现实。在国外很少使用，一般仅用来与复利进行对比。（2）复利：即本金要逐年计息，利息也要逐年生息。它具有重复计利的效应，因此俗称“利滚利”。复利是现值理论中一个非常重要的概念。假定本金为p，利率为r，计算n年后的本利和F。即复利公式：连续复利公式：假定本金为p，年利率为r，每满1/m年计息一次，按复利计算，求n年后的本利和。分析：一年计m次利息，n年共计息mn次，年息为r，则每次计息为r/m，按基本复利公式，n年后的本利和为：又假定m无限增大，即在也越来越短的时间内将利息计入本金，其极限情况意味

23、着随时将利息计入本金里。则满n年后的本利和为： 以上计算利用了极限基本公式： 2.1.2名义利率与实际利率贷款不仅可以具有固定的年利率，也可以在一年中具有月利率，按月进行复利计算，这样一年就要进行几次复利计算，这种投资过程称为具有复利频率的投资。特别指出，对于具有复利频率的贷款活动或投资活动，有两种年利率，即名义利率和实际年利率。一般来说，若求复利的频率m以及名义年利率r为已知，则实际年利率i由下式决定：故 上式说明名义利率与实际利率之间的关系。一般实际年利率大于名义年利率。2.1.3现值理论现值理论讨论的是资金的现在价值，终值及折现，它是价格理论的基础。设p表示本金（现值），利率为r，n年后

24、的本利和（终值）记为F。有复利公式可得：，本公式即为现值公式。其中F表示终值，称为折现系数，记为。现值公式可记为。市场经济时代，银行为了搞活业务，企业为了促进产品推销，纷纷推出各种各样的银行按揭。如商品房银行按揭，购车银行按揭等，他们的共同特点是：以客户的信誉作担保，或以一定的资产作抵押，先在银行贷款，然后在分期等额偿还。银行为了方便客户查询，一般制成一张按揭表，客户可以查表计算，选择按揭期限与方式。银行按揭可归结为数学问题:贷款P元，年利率为r，分n期等额偿还，每期应偿还多少？考虑资金的时间价值，不能简单地平均处理。应该考虑偿还数值的折现。一般以一个月为一期，月末偿还，年息为r，月息为i=r

25、/12，设每期偿还A元，则n期还款折现为现在价值的总和应等于贷款总额（不考虑手续费及中间交易税等项）。有现值公式可知：第一期还款A的折现值为第二期还款A的折现值为第n期还款A的折现值为所以 故 上述公式即银行按揭的数学模型，又称资金还原公式（已知P求A）。称为资金还原系数，常用表示，可查复利表计算。2.1.4证券价格的评估模型投资可以获利。人们之所以愿意购买证券是因为它能够带来预期收入（差价与利息）。证券一般常指股票、债券等有价证券。证券价格受多种因素的影响，如政治、经济、心理等，但决定因素是股息（债息）及银行利率。而证券价格也有多种形式，大体可分为：理论价格与市场价格。理论价格，又称内在价值

26、。在理性市场中，市场价格总是围绕内在价值上下波动。人们持有股票，是为了从中获取收益。从理论上说，股票的价格可以看作是股票投资者对未来各期每股预期收益的现值之和，是一种适当利率的贴现。设第t期每股预期股息收入为，贴现率为r（或股东要求的实际收益率），n期后股票的理论价格记为W，则： 设时刻t-1的股利为，t时刻的股利为，从t-1到t时间内，股利增长，股利增长率为：（1）零增长模型 假定未来各期预期股息不增长，及各期固定为，或=则：。前n项的和为： 当投资者持有期很长时，即，有上述公式即零增长模型。当贴现率r为银行利率时，上述公式变为：上述公式具有非常重要的意义：它表明股价与股息成正比，与银行利息

27、成反比。它反应降息促使股价上扬这种现象。（2）固定增长模型假设股利以恒定的增长率g增长，设第一年股利为D，则第二年股利为D(1+g)，第三年股利为股票的价格W则为各期股利的折现之和，即： （若gr,当，。这不大可能。）在永久持有股票且gr时，上式可简化为将上式与零增长模型比较：这就是前景看好、增长潜力较大的公司股票市价较高的理论依据。被被称为增长机会现值（Present Valule of Growth Oportunities，PVGO），根据PVGO的值可将股票分为三种： 可见，股利恒定增长评估模型也适用股利恒定减少的情况，此时g0。零增长模型实际上是固定增长模型的一个特例。当固定增长率为

28、零时，固定增长模型变为零增长模型。（3）三阶段模型股利长期不变，或永久以固定增长模型都是不现实的。任何公司的发展都是阶段性的，很多公司在起步阶段发展快，经过一段时间调整，才进入稳定的发展阶段。为此，我们设想股利变化经过三个阶段。这种模型也许更接近现实。第一阶段：股利以固定比率增长，持续k年；第二阶段：从k+1到n年，经历一个转换时期，在这一时期，股利增长率以直线形状变化；第三阶段：进入持续稳定状态，股利以新的比率恒定增长。如下图1.1knt 图1.1 第二阶段中的增长率有直线方程决定：当t=n时，正是过渡时期的末尾。由直线方程可知，给定，k，n，和最近一年的股利，就可以计算出任何将来时间的股利

29、，然后在给定一个合适的折现率，可以计算出预期股利的现在价值。其股票价格可由下式估计得到：其中为最近一年的股利，为第n+1年的股利。三阶段折扣模型的最后一部分，实际上是固定增长模型，即前两阶段退化（n=0）时，三阶段模型变为固定增长模型。三阶段模型计算比较麻烦。且无法利用模型直接求折现率，为此，有人已提出了改进模型如H模型，P/E模型等，限于篇幅，其他情况略。2.1.5债券价格的评估模型债券价格的评估与股票相似，也以其收益作为该种债券的评估价。债券价格的评估根据付息方式不同有两种情况。（1）每年支付利息到期还本的债券记PV为债券价格，C为年利息收入，D为债券面值，n为债券尚存的偿还期，为各年的贴

30、现率。则： 若将各年的贴现率近似地用一个平均的贴现率r代替，则上式可简化为： （2）到期一次还本付息的债券这类债券的评估模型比较简单，如下式所示： 由于债券的面值、期限、发行利率在发行时已经确定，债券价格的高低完全由贴现率决定。如果银行利率上调，贴现率增大，债券的价格就会下跌，甚至跌破面值；相反，贴现率下降，债券价格上升。2.2证券投资组合模型证券组合理论是研究怎样在未来不确定的竞争中如何选择分配资源(如股票、债券)的理论。证券组合问题在许多的决策领域都存在，金融市场上的投资者当然要决定股票和债券及其衍生工具的组合。现代投资组合理论是由美国经济学家马柯威茨提出的。投资组合理论认为投资组合是一个

31、各种资产的集合，组合中的每项资产都有和其相联系的平均收益和收益方差。下面分别介绍资产组合的收益和收益方差的数学模型。2.2.1期望方差模型为了分散投资风险并取得适当的投资收益，投资者往往采用证券组合投资方式，把一笔资金同时投资于若干种不同的证券。投资者最关心的问题有两个，一是预期收益率的高低，二是预期风险的大小。Markowitz建立的这一模型中，预期收益率是证券组合的收益率的期望值，预期风险指证券投资组合收益率的方差。 在多元证券组合投资条件下，从理论上讲，给定了预期收益率，能有无穷多种证券组合可以实现该预期收益；同样地，给定了预期风险，也可能有无穷多种证券组合可以实现该预期风险。如果以预期

32、收益率为纵坐标，预期风险为横坐标，则任一可行的证券组合唯一地确定平面上的一个点，所有可行的证劵组合就组成了可行集。Markowitz假定投资者厌恶风险，理性的投资者总是希望在已知风险的条件下获得最大的期望收益。而在已知期望收益的条件下投资风险达到最小。具有这种性质的证券组合称为有效证券组合，其在平面上确定一要弧线，被称为有效边界。证券能否卖空和投资者是否可以以无风险利率借贷是证券组合选择中的两个重要问题，证券的卖空(Short Sale)是指投资者无证券而可以预先卖出，相当于发行证券的情况，数学上表示为0。若无风险借贷相对于投资者而言，则贷(Lending)相当于投资于无风险的国库券或进行储蓄

33、；借(Borrowing)是从银行贷款，然后投资于风险证券组合。令n表示证券的数目，表示投资在证券组合P中证券i的相对投资量， =1，；表示第i种证券的实际收益率，期望收益率, ，；表示无风险借贷利率,表示收益率r 的方差协方差矩阵，则证券组合P的期望收益率为；证券组合P的方差为x。若考虑卖空和无风险借贷，则可以得到如下四种不同的证券组合模型:（1）允许卖空和无风险借贷。这种情况下的最优证券组合可通过求解如下的规划问题来确定: =1 这一模型可以转化为一线性规划模型。（2）允许卖空，但不允许无风险利率借贷。在这种情况下，不同的无风险利率对应不同的最优证券组合。把作为未知变量可以得到与上面类似的

34、模型。（3）不允许卖空，但允许无风险的借贷。这种情况下的最优证券组合可由求解如下的二次规划来确定: =1 （4）既不允许卖空也不允许无风险借贷。这种情况下的最优证券组合可通过求解如下的二次规划来确定: 或 以上四个模型都是在证券的预期收益率和方差协方差矩阵已知的情况下进行求解的。而这些数据的获得共需要个估计量。显然当n很大时，这些数据的估计是比较复杂的。为了减少估计量，一些学者提出了如下三种模型:（1）单指数模型假设证券价格的变化唯一是由市场的作用引起d的，可得到: 其中的独立于市场因素的收益部分，为市场证券组合的收益率，为证券i的收益率对于市场作用的敏感系数，为残差项。于是证券组合P的期望收

35、益率为： 其中，而证券组合P的方差为，单指数模型使输入数据的估计量减少到3n+2。 （2）多指数模型显然仅假设证券的价格与市场指数同升同降是不合适的, 因为这明显不能解释股票市场上每天都会有的股票价格上升, 而有的股票价格下降。多指数模型同时描述了别的一些影响证券收益的因素。多指数模型的标准形式为： 其中为证券i的不依赖于指数的收益部分，为影响证券收益的第k个指数，各指数间是相互独立的，为证券i的收益率对指数的敏感系数，为残差项。多指数模型往往使用因子分析等方法处理数据，这往往会引入一些新的误差数据。因此多指数模型尽管较好地描述了收益率的属性，但其应用效果往往不如单指数模型的好。（3）平均技术

36、为了消除在对历史数据的处理中引入新的误差，可以对协方差矩阵数据进行成对平均。显然这样做在消除误差的同时也就丢失了一些真实的信息。2.2.2一些其它证券组合选择模型（1）几何期望收益模型不考虑投资者的效用函数形式及证券收益的概率分布, 几何期望收益准则选择具有最大的几何期望收益的证券组合:其中为证券组合j的第i种可能收益, 为发生的概率大小。运用这一准则进行证券组合选择,在一段时间后最终财富具有最大的期望值。如果证券的预期收益率服从对数正态分布,则几何期望收益模型将得到与Markowitz的期望方差模型一致的有效集。（2）保险首要模型这类模型能避免决策者取得非常不利的头寸(Position)情形

37、。有三种准则可以得到三种不同的保险首要模型。第一种准则由Roy提出:最优证券组合的预期收益小于某一给定限定值的概率最小： 。第二种准则由Kataoka提出:给定一个小的概率，令证券组合收益的最小限定值达到最大： 。第三种准则由Teleser提出:给定一个小的概率􀀁和某一限定值令证券组合的预期收益率达到最大: 。（3）随机优势模型有三种随机优势准则可以用来选择证券组合。第一种随机优势是投资者认为财富多比少好，对应着递增的效用函数，效用函数的一阶导数大于0。运用第一种随机优势可以排除一部分证券组合。第二种随机优势是投资者认为财富多比少好，投资者是厌恶风险的，对应着递增的凹效用函数

38、，效用函数的一阶导数大于0，二阶导数小于0。运用这一种随机优势进行证券组合选择时，其结果与Markowitz的期望方差模型所得结果一致。第三种随机优势对应着递减的厌恶风险的效用函数，效用函数的三阶导数大于0。（4）偏斜度偏斜度是对概率分布不对称性测定的指标。偏斜度可正、可负、可零。投资者大多是喜欢正的偏斜度。偏斜度的引入使证券组合择优地求解拓展到三维空间中。投资者希望证券组合具有最大的期望收益，最小的方差以及最大的偏斜度。由于偏斜度引入后需要太多的估计值，从而限制了这一模型的实际应用。（5）最优后悔比率模型定义策略S的最优后悔比率为: ，其中x为未来的结果值，为在未来结果不确定的情况下策略S的

39、值，为信息完全已知下的最优值, 则最优的策略为: ，把这一决策分析方法应用到证券组合的选择, 可求解如下的线性规划问题: 其中为证券i的相对投资比例，为证券i的价格，为证券i价格下降的最大比率。2.3资产定价模型2.3.1资本资产定价模型(CAPM)资本资产定价模型主要描述了当市场处于均衡状态下，如何决定资产的相关风险以及收益和风险的相互关系。在均衡的市场中，理性的投资者都会持有市场证券组合的比例。市场证券组合是包含对所有证券投资的证券组合，其中每一种证券的投资比例等于它的相对市场价值。一种证券的相对市场价值等于这种证券总的市场价值除以所有证券总的市场价值。诺贝尔经济学奖获得者Sharpe和L

40、intner作了十条十分严格的假设。例如，所有资者都追求当期报酬最大化，并以各组合的期望报酬和标准差为基础进行投资组合选择；市场是完全有效的，所有投资者拥有同样的预期，即投资者对所有资产的预期报酬、方差和协方差等均有完全相同的估计；所有投资者都可以无风险利率无限制的借入或贷出资金；没有税金和交易成本；所有投资者都是价格接受者，任何一个投资的买卖行为都不会对股票价格产生影响；所有资产的数量是固定不变的；所有的资产都可以被完全细分，拥有充分的流动性。最终得到了如下资本资产定价模型: 其中为证券i的预期收益率，为无风险利率，为市场证券组合的期望收益率, 为市场证券组合收益率的标准差，为证券i的收益率

41、的标准差。若定义为时间的市场价格，定义为风险的市场价格，则资本资产定价模型可以直观地理解为:预期收益= 时间的市场价格+ 风险的市场价格*风险的数量 资本资产定价模型把风险证券在均衡状态下的投资收益分成两部分：第一部分是，即无风险资产的收益率，它是由于资金被占用、消费被推迟而获得的时间报酬。第二部分是，表示证券的风险溢价。证券的系统风险越大，这部分收益越高。因而，这部分收益是承担系统风险而获得的风险报酬。资本资产定价模型以投资家回避风险的特征为前提,通过设定按期望方差准则选择证券组合。另外,亦考虑了市场的均衡,是关于均衡价格的模型。但这一理论的假设过于严格，有的太过于理想化，不少经济学家从各个

42、方面对此模型加以了完善。这方面的主要成果有:（1）税款: 资本资产定价模型没有考虑所得税，而实际上资本增值是要交税的。因此，任何资产或证券组合的收益率为:其中为市场证券组合M的红利收益, 为证券i的红利收益, 为所得税率，为系统风险系数。（2）资产并不是都可以在市场上交易的:由于各种因素的存在,投资者有的资产是不能在市场上交易的。若记RH为在市场上不能交易的资产的收益率，PH为在市场上不能交易的资产的总价值，PM为可以在市场上交易的资产的总价值，那么所有资产的预期收益率为:（3）不允许卖空的CAPMCAPM模型推导过程中，假定允许卖空。事实上，在资本市场达到均衡时，再不允许卖空条件下，CAPM模型也成立。再不允许卖空，但CAPM其他假定条件成立的条件下，设每个投资者持有的风险资产组合相同，各资产在其中所占的比例，最优组合模型为： 利用Langrange函数及Kuhn-Tucker条件，可得证券收益与风险的关系： 即在不允许卖空的条件下，CAPM模型亦成立。上述结论表明，这并不影响CAPM的应用，故我们也可以用CAPM