实数完备性定理在整个数学分析中的基础性地位.doc

1、济南大学毕业论文摘 要本文阐述了实数集上七个基本定理及其相关内容. 以实数系的连续性为公理, 顺序证明.先以单个定理证明其他.其中重点证明了区间套定理及有限开覆盖定理与其他定理之间的等价关系.之后用不同于一般教材的证明顺序进行七个定理之间的循环证明, 从而得出它们相互等价的结论.最后，介绍其在连续函数性质等领域的重要应用，并进行了推广，进一步说明实数完备性定理在整个数学分析中的基础性地位.关键词：实数完备性；实数连续性；收敛点；有限开覆盖ABSTRACTIn this paper, seven fundamental theorems and related content set on th

2、e real number are described . To the continuity of the real number system for the justice, order that. First, I use a single theorem prove the others. The relationship between interval sets of theorems, finite open covering theorem and other theorems are focused on in this paper. After the cycle pro

3、of which is different from the normal one, I draw the conclusion of their equivalence to each other. Finally, I introduce the important application in the fields of continuous function of its nature. In the following, the application is extended. The basic position of the real completeness theorem i

4、n the mathematical analysis is showed strongly. Key words：Completeness of real numbers；real numbers continuity；convergent spots；limited open cover 目 录摘要.IABSTRACT.II1 前言.11.1.实数的引入.1 1.1.1域公理.1 1.1.2 全序公理.11.1.3 Archimedes公理.1 1.1.4完备性公理.21. 2实数七个基本定理的引入.2 1.2.1确界原理.2 1.2.1单调有界定理.21.2.3柯西准则.21.2.4致密

5、性定理.21.2.5聚点定理.21.2.6区间套定理.21.2.7有限开覆盖定理.32实数完备性定理的相互证明.43实数完备性定理的循环证明.10 3.1确界原理证明单调有界定理.10 3.2单调有界定理证明区间套定理.10 3.3 区间套定理证明有限开覆盖定理.10 3.4有限开覆盖定理证明聚点定理.103.5聚点定理证明致密性定理.113.6致密性定理证明柯西准则.113.7柯西准则证明确界原理.124实数完备性定理的应用14 4.1.实数完备性定理在闭区间上连续函数性质证明中的应用.144.2 应用推广.175结论.196参考文献.207致谢.21- 21 -1前言1.1.实数的引入 人

6、类对数的认识有着漫长的历史过程.最先了解的是自然数系，但随着人类认识的发展，自然数系的缺陷也暴露出来.首先，自然数系是离散的，其次自然数系中只能进行加法与乘法运算，不能进行逆运算.负数与分数的出现克服了这些缺陷.看似完美的有理数系也有缺陷，尽管它在直线上是“稠密”的，但仍然留有数不胜数的“空隙”，后来人们由不可公度发现了一种数（15世纪，达芬奇将其称为“无理的数”）可以与这些“空隙”对应.于是无理数逐渐被人们接受.关于实数，历史上出现过各种定义，传统的定义方法有两种，一是戴德金(Dedekind)用“划分法”定义实数，二是康托(Contor)用有理数的“基本数列”之等价类来定义实数.此处不做详

7、述，关于实数的各种定义形式不同，但彼此等价.以下引入4组公理：1.1.1域公理 ,有1）交换律:, ；2）结合律:+(+)； 3）分配率:(+)+；4）有特殊成员0与1 ,且满足 , ； 5），有逆元，关于加为，关于乘为且满足+()0,.1.1.2全序公理1）必有且仅有以下关系之一成立，=，2）传递性,则；3）“加法”相容 ,R,则；4）乘法相容 , .1.1.3 Archimedes公理, ,使得.与有理数不同，实数具有完备性.1.1.4完备性公理有上界的非空集合必有上确界.人们发现用什么样的方法来定义实数并无太大关系，有了以上4组公理，数学分析的全部理论就可以建立起来，人们干脆以公理系统来

8、定义实数.所谓的实数空间是这样的集合：其上定义“+”“”运算，以及关系满足上述四组公理，中的元素称为实数.实数的完备性公理等价于说，如果把实数分为上下两个集，当下集没有最大值时，上集必有最小值，这说明实数具有连续性，填满整个数轴.1.2实数七个基本定理的引入实数的七个基本定理从不同的形式刻画了实数的连续性，其实他们是彼此等价的.定理1.2.1 确界原理 任何非空集合，若它有上界必有上确界 (若有下界必有下确界）.定理1.2.2 单调有界原理 任何单调递增（递减）有上界（下界）数列必有极限.定理1.2.3 柯西准则 序列收敛，等价于当,时，.定理1.2.4 致密性定理 任何有界无穷数列必有收敛子

9、列.定理1.2.5 聚点定理 任何有界无穷数列，至少有一个聚点.定理1.2.6 区间套定理 1）单调递增，单调递减，且, 2）则 称为区间套，这时必存在唯一的一点使得 .定理1.2.7有限开覆盖定理 闭区间上任意一个开覆盖，必有有限子覆盖，设为闭区间，上一个开覆盖，则从中可以选出有限个开区间来覆盖，.定理1.2.11.2.6指出，在某一条件下，有某种“点”存在，分别为“确界点”，“极限点”，“子列收敛点”，“聚点”，“公共点”.定理1.2.7属于前6个定理的逆否形式.2实数完备性定理的相互证明 由于区间套定理与有限开覆盖定理在证明问题时往往需要较高的构造技巧，下面我们分别给出这两个定理与其他定

10、理之间的等价关系证明.2.1用定理1.2.11.2.5证明定理1.2.6区间套定理2.1.1定理1.2.1定理1.2.6证明：假设1）单调递增，单调递减， 2）由得有上界，所以有上确界,，且.易见有下界，由确界原理有下确界，且满足.又由条件2）即所求公共点.再证唯一性， 假设存在满足条件，则，故有.证毕.2.1.2定理1.2.2定理1.2.6证明：由区间套的定义可知, 各闭区间的端点满足:所以, 为递增有界数列, 依单调有界定理, 数列必有极限.设 且 , （1） 同理递减有界数列也有极限, 又由区间套定义2) ()0得 且, （2） 联合（1），（2）即得，下证是唯一的.设另有一数满足 ,则

11、有-,而 (-)0故=，证毕.2.1.3定理1.2.3定理1.2.6证明：由可得，所以，存在,当时，由柯西准则，收敛，即存在使得，此处即为所求的公共点.2.1.4定理1.2.4定理1.2.6证明：是单调无穷有界数列，由致密性定理，其含收敛子列，又由单调数列与其收敛子列收敛于同一极限，设，此处即为所求的公共点.2.1.5定理1.2.5定理1.2.6此处证明是显然的，无须赘述.2.2用定理1.2.6证明定理1.2.11.2.52.2.1定理1.2.6证明定理1.2.1证明：设为的上界（）来证明, 若有最大值，即为上确界，自不必证； 若无最大值，将，二等分，若右半部分中含有的点，则取右半部分，且记为

12、,否则记左半部分,.然后将,再二等分，同样方法记为,，如此无限进行下去，得一区间,，单调递增,单调递减，且-（）0（）.由区间套定理可知存在唯一的，. 下证为的上确界，由，得取法可知，对，由保号性得为的上界.又,得,即为的上确界. 证毕. 2.2.2定理1.2.6证明定理1.2.2证明：设单调递增，且，同上将,分割.取法如上，得区间套，及其公共点.对每个区间，肯定有，且， ，由迫敛性得 证毕. 2.2.3定理1.2.6证明定理1.2.3证明：由已知，,当,时，现取定得,得,即有界，得存在,使得.将，二等分，其中含无穷多项的一半记为，然后将，再二等分，其中含无穷多项的一半记为,.如此无限进行下去

13、，得一区间，且-（）0（）.所以，存在公共点.下证其为的收敛点，U（），又，中含有的无穷多项，所以U（）中含有的无穷多项，换言之对在U（）外只有有限项，即得，证毕. 2.2.4定理1.2.6证明定理1.2.4证明：无穷列且,证明如上将，二等分，其中含无穷多项的一半记为，然后将，再二等分，其中含无穷多项的一半记为，如此无限进行下去，得一区间套，.在每个，中相应的取，由且，可得，得为的收敛子列，证毕. 2.2.5定理1.2.6证明定理1.2.5证明：方法同上，得区间套，且，含有公共点.，U（），而U（）中含有的无穷多项，所以，为的聚点，证毕.2.3用定理1.2.7证明定理1.2.11.2.6(反证

14、法)2.3.1定理1.2.7证明定理1.2.1证明：设且,有.,考虑闭区间，假若没有上确界，那么，）1） 当为的上界时，必有更小的上界，因而存在，使得=U(,),其中皆为的上界；2） 当不为的上界时,必有中的点, 存在，使得=U(,),其中每一点皆不是的上界.,上每一点都找出一个邻域，它要么是第一类，要么属于第二类.这些邻域:，,组成闭区间，的一个开覆盖.由有限开覆盖定理，必存在有限子覆盖.点所在的开区间应为第一类，与点所在区间相邻接的区间与所在区间有公共点，为第一类，如此下去，经过有限次相邻接，可知所在的开区间也是第一类的，这就得出矛盾.证毕.2.3.2定理1.2.7证明定理1.2.2证明：

15、设单调递增，且，假设不存在，得区间，.由单调递增知，对，存在一个邻域，使得中除中心点外，其余与不相交，这些邻域:， 组成闭区间，的一个开覆盖.由有限开覆盖定理，必存在有限子覆盖，由的有限性，必存在某个邻域其中含有的无穷多项，这与的极限不存在矛盾，证毕.证明柯西准则与致密性定理方法同上，此不做赘述. 2.3.3定理1.2.7证明定理1.2.5证明：设为无穷集，且，存在,使得,.假设中没有聚点，则存在，的开覆盖:，使得中除中心点外，与再无交点.由有限开覆盖定理，必存在有限子覆盖.由该覆盖的有限及的无穷知，必存在某个邻域其中含有的无穷多项，矛盾，证毕.2.3.4定理1.2.7证明定理1.2.6证明：

16、设单调递增，单调递减，0（）假设不存在这样的，满足，且.则对每一点,可以找到开邻域U(，)使得至少某个，与不相交，否则即为所求的.像这样的邻域U(，)：组成 ，的一个覆盖，由有限开覆盖定理，必存在有限子覆盖.对每个至少某个，与之不相交.取,当时，与每个不相交，这与子覆盖覆盖整个，矛盾.2.4用定理1.2.11.2.6证明定理1.2.7（反证法与二等分法）2.4.1定理1.2.6证明定理1.2.7证明：假设某一区间，的某一开覆盖没有有限子覆盖，将，二等分，至少有一半不能被有限个子覆盖所包含.此处仅以定理1.2.6为例做一证明.将不能为的有限子覆盖盖住的半个区间记为，再二等分，如上，仍然至少有半个

17、区间不能为的有限子覆盖盖住，记为，如此无限进行下去，得一区间套，其中单调递增，单调递减,且（）.其中每一个+皆不能被的有限子覆盖盖住.有区间套定理，存在一点，为,的唯一公共点，由于，所以当足够大以后，存在以为中心的邻域（，），使得,显然说明，已被（,）所覆盖，与假设矛盾，证毕.同理可用定理1.2.11.2.5证明之，所不同之处是，分别为的上确界，极限，子列极限，聚点，此处不做赘述.3.实数完备性定理的循环证明上面以区间套定理，有限开覆盖定理两个极具特殊性的定理为例论述了实数完备性七个基本定理中个别定理与其余定理之间的相互推证关系，以下采用不同于一般教材的方法顺序进一步对七个定理做循环证明，说明

18、他们之间的等价关系.实数完备性的七个基本定理，只是形式不同，其实都是描述实数连续性（完备性）的，是等价的.以下按照这样的循环来证明：确界原理单调有界定理区间套定理有限开覆盖定理聚点定理致密性定理柯西准则确界原理.3.1由确界原理证明单调有界定理证明: 不妨设是递增有上界数列.由确界原理, 数列有上确界, 令sup, 下证明就是的极限.事实上, 任给 ,依上确界的定义, 存在数列中某个项. 使得, 又由的递增性, 当 时, 都有-.另一方面, 由于 是的一个上界, 故对一切 都有 , 因而更有 + .于是有: 任给0, 存在自然数, 使得当时, 都有-+ , 即同理可证, 有下界的单调数列也有极

19、限.3.2由单调有界定理证明区间套定理证明: 由区间套的定义可知, 各闭区间的端点满足:因为所以,为递增有界数列,依单调有界定理, 数列必有极限.设 且 , （3） 同理递减有界数列也有极限, 又由区间套定义2) ()0有 且, （4） 联合（3），（4）即得，.下证是唯一的.设另有一数 满足 , 则有,而()0故，证毕.3.3由区间套定理证明有限覆盖定理证明：用反证法. 假设定理的结论不成立, 即“不能用中的有限个开区间来覆盖” ，.现将,二等分, 则其中至少有一个子区间 “不能用中的有限个开区间来覆盖” , 记这个子区间为, 且().再将，等分为两个子区间, 同样其中至少有一个子区间 “不

20、能用 中的有限个开区间来覆盖” , 记这个子区间为,且 ().重复上述步骤并无限地进行下去, 则得到一个闭区间列，有，,，() (),且每一个闭区间都 “不能用中的有限个开区间来覆盖” .由区间套定理, 存在唯一一点 ，.但由本定理的假设必含于 某一个开区间(，)内, 又由区间套定理的推论, 只要充分大, 就有，(，)这说明，必须用 中的一个开区间(，)就能覆盖, 这与挑选，时的假设“不能用的有限个开区间来覆盖”相矛盾, 从而推得必存在属于的有限个开区间能覆盖，.证毕.3.4用有限覆盖定理证明聚点定理证明: 设为直线上的有界无穷点集, 则存在0, 使得-,中任何点都不是的聚点.则对每一个-,

21、必存在相应的0,使得在U (,) 内至多含有 的有限多个点.=U(, ):-, 则是-,的一个开覆盖.由有限覆盖定理,中存在有限个开覆盖U(,) 构成-,的一个开覆盖, 当然也覆盖了.由邻域U(, ) 的原意, 在其内至多含有的有限多个点.故为有限点集, 这与题设为无穷点集相矛盾.故-,中至多有的一个聚点.3.5 用聚点定理证明致密性定理 证明: 若数列中含有无限多个相等的项,则由这些项组成的子列是一个常数列, 显然收敛.若数列不含有无限多个相等的项, 则由聚点定理,点集至少有一个聚点,记为, 由聚点的等价定义令= 1, 存在U且,令, 存在U(,)且(显然),如此进行下去，令, 存在U（，

22、)且 (显然,) ; 从而得到的子列, 它的各项互不相同,且.于是收敛于.证毕.3.6用致密性定理证明柯西收敛准则证明: 必要性 设 , 由极限定义, 对于任给正数, 存在自然数 , 当, 时, 都有 ，从而 + .充分性先证满足柯西收敛准则条件的数列是有界的.为此,取1, 由柯西收敛准则条件, 存在自然数,当=+1, 和时,有1或-1+1,令= max，.，+1，则对一些自然数, 均有, 再由致密性定理知, 有界数列必有收敛子列, 设=对任给正数, 存在自然数,只要,则同时有(由柯西收敛准则),（子列收敛于）.因而当 时, 取() 得到+.这说明是一收敛于的数列.证毕.3.7用柯西准则证明确

23、界原理证明: 设为非空有上界数列.由实数的阿基米德性, 对任何正数, 恒存在整数, 使得=,为的上界, 但= ()不是的上界(即存在, 使得().设是一个趋于零的正数列, 由上述知道,对每一个恒存在相应的, 使得为S 的上界, 但 - 不是S 的上界.由于0 () ,故对任意0, 总存在自然数N ,当, 时,有,.现考虑它们相应的和.由于- 不是的上界, 故存在, 满足-,又由于为S 的上界, 因而有,于是- . 同理有-. 故 (, )于是依柯西收敛准则数列收敛.记= (5) 现在就证明是的上确界.首先是的一个上界,事实上,对任何S 和自然数都有,由（5）式得,其次,对任何正数,当时, 同时

24、有0 和，即 和-. 但对于,存在, 使得-.所以-= （6） 这说明对任意 0, 恒存在, 有（6）式成立, 即为的上确界.同理可证若为非空有下界数集, 则必存在下确界，证毕.由上实数完备性的基本定理的循环证明已经完成，并由此进一步验证了实数完备性的七个基本定理是等价的这一结论.事实上，实数完备性定理在理论上非常有用，在分析的很多领域有重要的应用.接下来再对它的应用做进一步的探讨.4.实数完备性定理的应用4.1 用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的性质例4.1.1（证明连续函数的有界性定理）若函数在闭区间，上连续，则在闭区间，上有界.方法一：应用有限开覆盖定理证明：由连续函数的局部有界性，

25、,正整数，使得，在U（，）上，满足. 考虑开区间=U（，）: ，,显然，是，的一个开覆盖.由有限开覆盖定理，存在子覆盖=U ( ):，且存在，使得，对一切 U (，)，有.令=,则对，证毕.方法二：应用致密性定理证明：假设在，上无上界，则对任何正整数，存在，使得,得数列，,由致密性定理，含有收敛子列，记=. ,由保不等式性得，.有连续函数的性质=，而=,矛盾.同理可证有下界，证毕.例4.1.2（证明连续函数的介值性定理）证明：设在，上连续，且,若为介于与之间的任何实数，（不妨设）则存在，使得=.该处的证明转化为根的存在性定理的证明，即令=-,则g也是，上的连续函数，且=-0，=-0.于是问题转

26、化为证明：存在，使得，=0.方法一：应用区间套定理证明：将，平分，得，,，,若=0，则即为所求；当0 若0，=，,若0，则记，=，.此时，0 , 0,且-=().重复上述步骤，得0，0.且=()0（n），如此得一系列区间，,中间可能出现两种情况：a) 某个，满足=0，则，即为所求；b) 不存在这样的满足=0，此时在所得的这些区间上，满足0 0.有区间套定理，存在，满足.下证=0.假设0，不妨设其大于零，有连续函数的保号性，存在的邻域U（，），满足 U（，），所以0.矛盾，故必有=0，证毕.方法二：应用确界原理证明：记=: 0，.由0,得,又，,所以非空有界集.有确界原理，存在下确界，设.下证=

27、0.0, 0,有保号性，存在，使得（，+）.0，（，）, 0.所以 .所以（，b）假设0，不妨设其大于零.由连续函数的保号性，存在的邻域U（，）使得，对于任意，满足0.特别有0，所以 .这与为的下确界矛盾，证毕.方法三：不同于一般证明方法，此处用有限开覆盖定理证明：由上的定义，0, 0，现证=0在，上至少有一个实根.假设=0在，上没有实根，则对每一点，0.由连续，存在及邻域U(，),使得在U (，)，上的函数值与同号.令= U (，)：，是,的一个覆盖，由有限开覆盖定理，中存在子覆盖=U(,):,.在每个U (，)内不变号. 中的邻域中两两不相包含（若相包含，去掉被包含的）.于是U (,)U（

28、），即相邻邻域相交.由此得出U(，)内不变号，故在，上 不变号.这与题设0, 0，异号矛盾.例4.1.3（证明一致连续性）设在，上连续，则在，上一致连续.方法一：（用致密性定理）证明：用反证法，假设在，上不一致收敛，则存在某0对0，都存在相应的两点，尽管，但有.令=，则与它相应的两点记为，尽管，但有当取遍所有正整数，得数列，由致密性定理存在的收敛子列，（）,同时有，进而得+，即也收敛于.因此=，而，矛盾，所以在，上一致收敛.方法二：用有限开覆盖定理证明：在，上连续，0，对每一点， ，存在0，使得 U(，)时，有.开区间所组成的集合=U（，）: 是闭区间，的一个覆盖，由有限开覆盖定理，必存在有限

29、子覆盖=U(，): ，.记=,对任何， ，属于的某个开区间，不妨设 U(，)，即.此时有 +，故有 和 .由此 .4.2 应用推广：事实上实数完备性定理不仅在连续函数的性质上有重要应用，其在函数其他领域的研究上都有重要的应用.例4.2.1设在的每一点的极限存在并皆为0.试证在可积. 证明：设为任意一点，因，当时，有 . 如此：组成区间的一个开覆盖.由有限覆盖定理，其中存在有限子覆盖 .至此证明了除有限个点外，恒有.令 .取，作一分割，使含有的各小区间之总长.则 .可积获证.例4.2.2 在可积，则的连续点在上处处稠密. 证明：问题归于证明在内至少有一个连续点.事实上若能如此，则，因为上可积，故

30、在内有连续点，这就证明了连续点处处稠密. 采用区间套定理证明：在内至少有一个连续点.因为在可积，所以，对，存在分割使得， 如此至少存在一个小区间，使得其上的振幅.否则，使它的两端点在内，记为，则，-.在的振幅.同样推理作用于，可知对任意的=，存在，-（-），在的振幅.如此进行下去，可得一区间套.-（b-a）0（）根据区间套定理，存在唯一一点， ，且，下证在点连续.，可取，使得，从而令=-，-，则，时，,，从而，所以在点连续.证毕.此处仅以二例说明，实数完备性定理的广泛应用，尤其适用区间套定理找收敛点，连续点等，用有限开覆盖定理，子覆盖的有限性来限制，找特殊值例如最大值，或用反证推翻某一命题等.

31、至此实数完备性定理的重要性可见一斑.5结 论结尾回顾一下论文主题，本文是围绕实数的七个基本定理，对其等价性做一证明，然后总结了它们的应用.极限理论是数学分析的理论基础, 而反映实数连续性的完备性定理又是极限理论的基础.因此，整个这一块的内容是数学分析的基础，对其有一个正确的把握，尽量多的掌握其在某些领域的应用对于数学分析及后续课程的学习都是有必要的.实数七个基本定理从根本上讲是等价的，其阐述的角度不同，以不同的形式刻画了实数的连续性，各自又有不同的应用.我通过课本基本知识的学习，并进行大量的资料阅读，尽可能全面的总结出定理之间的相互证明关系，并尝试用不同的办法，不常用的证明方法，顺序进行证明.

32、对其应用更做了汇总与推广，通过其在连续函数方面的应用，可以看出它在极限函数理论方面的基础性作用.试着进行推广，虽是拓广了思路，仍未跑出实数领域，至于完备性定理能否推广到更广的数域，还尚待解决.6参 考 文 献1 华东师范大学数学系. 数学分析（第二版）上册M. 高等教育出版社，1991：161-176.2 山东大学数学系. 数学分析（上）M.山东科学技术出版社，2004：159-171.3 复旦大学数学系. 数学分析（上）M. 高等教育出版社 ，2004：198-213.4 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法M.高等教育出版社，2006：116-126.5 王建午. 实数的构造理论M . 北

33、京: 人民教育出版社, 1981: 112-120.6 强文久. 数学分析的基本概念与方法M . 北京: 高等教育出版社, 1989：59-64 .7 孙淑荣 .实数完备性定理的相互证明J.济南大学学报 ，1995，5（4）：57-618 北京大学数学系. 数学分析新讲M. 北京大学出版社，2005：160-171. 9 沈燮昌. 数学分析第二册M . 北京: 高等教育出版社, 1986：50-55.10 李湘云. 有关实数完备性基本定理的循环证明J. 湖北财经高等专科学校学报，2002，14（4）：57 -60.11 盖盈.于实数完备性定理的统一处理方法J天津师范大学学报，1999,19(4

34、)：25-28.12 Botsko M W. A unified trestment of various theorems in elementary analysis, Amer J . M ath,Monthly, 1987 (94):310-312.13 G. 波利亚等著. 张奠宙等译. 数学分析中的问题和定理第一卷M . 上海: 上海科学技术出版社,1981 .14 B lair, C. E. Null seguences and convergent series, AmerJ.Math. Monthly.1977,18(4)：300-310.15 (美)Walter Rudin.

35、 数学分析原理(原书第3版) M. 机械工业出版社， 2004：123-125.16 田立平，李洪齐. 实数基本定理的等价性J.河北理工学院学报，2002,14(5)：102-104.17 庄陵等. 实数完备性定理的循环证明J.重庆工商大学学报 ，2003，16（3)：81-84.致谢在长达三个多月的论文设计结束之际，在大学最后的毕业之际，首先，我要感谢在四年里面那些曾经帮助过我的老师们，感谢这样一支愿意从事基础科学研究的数学系教师队伍；还要感谢在数学领域辛勤塌实工作的人们，你们是我从事数学、热爱数学的榜样和楷模，以及被我选中作为我毕业论文参考文献的文章作者和各位数学前辈.在毕业论文的完成过程

36、中,我的指导老师吕老师以治学严谨, 严格要求给了我深刻的印象,也同时给了我莫大的帮助还有耐心的指导.从选题、定题开始，到论文任务书和开题报告,再到最后论文的反复修改、润色，吕老师始终认真负责地给予我深刻而细致地指导，耐心的为我解答论文设计过程中遇到的种种问题,帮助我开拓研究思路，正是吕老师的无私帮助与耐心讲解，我的毕业论文才能够得以顺利完成.感谢她利用紧张忙碌的教学任务之余,利用个人休息时间帮我指点论文以及搜集外文翻译资料.谢谢!在有不到一个月就要离校了,无论这四年是成功还是遗憾,有收获或是失落,我衷心感谢在这里的默默给以我最大支持的每个人.文档来源网络，版权归原作者。如有侵权，请告知，我看到会立刻处理。