偏微分方程在图像处理中的应用.doc

1、2007年5月安徽教育学院学报May. 2007第 25 卷第 3 期Journal of Anhui Institute of EducationVol. 25 No. 3偏微分方程在图像处理中的应用周晓朱才志2 (1.安徽教育学院教育系，安徽合肥230061,2.中国科学技术大学电子工程与信息科学系，安徽合肥230027)摘要低级的图像处理一直是制约计算机视觉发展的重要因素。由于涉及的数学理论很浅，经典的图像处理一直采用 简单的启发式方法，虽偶能产生立竿见影的效果，但却有着致命的缺陷：我们不知道为什么、什么情况下该算法能奏效，而什么 时候、为什么它又会失灵。近年来研究表明，偏微分方程（PD

2、E)理论可为图像处理提供统一的理论框架，已在多个图像处理领 域取得经典算法无法比拟的效果。文章首先介绍了基于PDE的图像处理方法的发展历程及相关理论背景，重点分析了其在图 像恢复领域中的应用。63关键词偏微分方程；图像处理；图像恢复；各向异性扩散中图分类号TP317.4文献标识码A1引言1在当今信息时代，可以说我们是生活在“图像世 界”里，这不仅是由于图像是一种强有力的、广泛使 用的通讯媒介，同时由于它是表达物理世界的最简 易、紧凑与普遍的方法。图像无时无刻不存在于我 们的生活中，我们也离不开它。这种现象的原因之 一是由于图像采集设备的进步，使获取各式各样的 图像数字信息成为可能；同时由于计算

3、机处理能力 的不断增强，使我们可以处理越来越大的数据量，同 时也促成了图像处理、计算机视觉等新学科的产生。图像处理的历史至少可以上溯到二十世纪60 年代，在过去的四十多年里该领域吸引了大量计算 机学家与电子工程师们的参与，但一直未有引起数 学家的注意，这种局面导致图像处理方法涉及的数 学理论很浅，长时间停留在十九世纪的数学水平。 虽然这种简单的启发式方法，如直方图均衡等，可产 生立竿见影的效果，但却有着致命的缺陷：我们不知 道为什么、什么情况下这些算法能凑效，而什么时候、为什么又会失灵。尽管图像处理与分析与计算机科 学有很强的联系，但在相当长的一段时间里算法在特 定假设条件下的正确性的证明闻所

4、未闻。这种情况 近年来得到改观，首先由于计算机学家与电子工程师 们的数学功底的增强，其次，该领域的巨大市场需求 吸引了越来越多的数学工作者的加人。可以说图像 处理与计算机视觉正处于转型的关键时期。与图像处理相关的数学分支包括：微分与黎曼 几何，几何代数学，泛函分析（包括变分与PDE)，概 率与数理统计，奇异值理论等，可以说二十世纪发展 起来的数学理论都与图像处理与机器视觉有关。这 种相关性体现在：我们可以把特定的图像处理问题文章编号1001 5116(2007)03 0062 04抽象为数学问题，在假定条件下证明问题的解的存 在性、唯一性与求解算法的正确性。得益于现代数 学理论的支撑，而今已形

5、成三个主要的图像处理方 法分支：随机过程建模、小波理论与PDE方法。随 机过程建模主要基于马尔科夫随机场理论，直接对 数字图像进行处理；小波理论从一维信号处理中继 承开来，依赖于分解技术；本文主要研究PDE方法， 这种方法在1990年以来被广泛应用于图像处理领 域，具体涉及微分几何，PDE，变分理论，数值分析等 多个数学领域。近年来国际上图像处理与计算机视觉领域顶级 学术期刊（如：IEEE Trans, on PAMI、IEEE Trans. on Image Processing 与 International Journal of Computer Vision,Journal of Vi

6、sual Communication and Image Representation等）分别专门发表过以 PDE应用为主题的特刊，国际学术会议CVPR，IC- CV，ICIP等也为此召开了特别国际会议。目前美 国加州大学洛杉肌分校、法国Sophia Antipolis等机 构在该领域内研究领先。近年来国内也非常重视对 该领域的研究，中科院自动化所等单位也为此召开 了专题研讨会。本文的组织结构如下：第二部分介绍PDE在图 像处理中的发展历程，第三部分简述PDE的数学理 论基础，第四部分介绍PDE在图像恢复中的应用， 最后总结了 PDE在图像应用中的优点。2 PDE在图像处理中的发展历程2PDE

7、在图像处理领域的应用研究最早可以追溯收稿日期207 0210第一作者简介周晓，安徽教育学院教育系教师。到Gabor和Jain的工作。然而该领域研究的真正 兴起起源于Koenderink与Witkin各自独立的研 究。他们严格引入尺度空间的概念，他们的这种原 创性工作是PDE在图像处理领域中应用的基础。Perona与Malik在各向异性扩散方面的论文是 图像正则化领域最有影响的研究成果。他们建议用 一种保边界的扩散来替代基于热传导等式的各向同 性扩散的高速光滑滤波。在此基础上Osher与Ru- din等提出冲击滤波器，Rudin提出的全变分下降 法，Price等提出的反应一扩散等式，都成为当前

8、PDE在图像恢复领域成功应用的典范与当前的研 究热点。在图像处理与计算机视觉中应用的PDE大多 数研究如何用基于曲率的速率流来改变曲线或曲面 的位置。在该领域，Osher与Sethian提出的水平集 数值方法具有深远的影响，该方法的基本思想是用 高维的超曲面的水平集表征变形的曲线、曲面或图 像。该技术不但提供了 PDE的非常精确的数值解 法，而且解决了非常棘手的拓扑问题。此外Mumford与Shah提出的M S图像分割 方法，Kass提出的snake活动轮廓模型等都是PDE 在图像分割与目标提取领域开创性的研究成果。3 PDE的数学理论基础在空间中，令自变量x = (Xi，x2 ,，:r)，未

9、 知函数zKjOzmO!，x2 ,，x )，偏微分方程的基本 形式可写为：F(Xl,L,x,u,L,p,L,a (1)dxndxn n )称的阶为偏微分方程 问题由两部分组成：1)偏微分方程表达式；2)求解区 域及其边值条件，我们把方程的解必须满足的事先 给定的条件叫做定解条件。若的解存在、唯一 且关于定解条件稳定，就称为适定的。3.1 二阶半线性两自变量的分类3在二维图像处理中，自变量为像素坐标（_r，y)， 涉及的为两个自变量的二阶半线性方程，其一 般形式是：anu +2a12uxy +a22uyy,mv) =0(2)记Zi(x，：y) =aL aiifl22，可得二阶半线性两个自变 量方

10、程在点x 的分类：1) 双曲型：方程（2)在x处有Z(x,y)0。双 曲型方程的第一标准型为=A _ + B | + CM，第二标准型为急一2) 椭圆型：方程（2)在x处有Z(x,y)0。其标准型为+_ + B笋+ CM。rjOq OTj3) 抛物型：方程（2)在x处有z(x,w = o。其标准型为f| = A| + Cm。Tjof drj3. 2 偏微分方程的数值求解 偏微分方程的数值求解主要有以下三种方法， 以第一种方法最为普遍。(1) 有限差分法其特点是：从原始偏微分方程出发直接离散化， 程序简单，计算量少，缺点是通用性差，难以处理复 杂区域与边值条件。如一Mu M.vy = / 离散化

11、为一!。+ m,+ i,j mj+i =h2 fitJ(2) 有限元法特点是：从微分方程的等效积分形式（弱形式） 出发，通用性强，善于处理复杂区域与边值条件，缺 点是程序复杂，计算量大。V (x，：y) G仏一= /的等效积分形式是 I= | /(Jm + |J QJ Q J(3) 有限体积法特点是:直接从原始偏微分方程的积分形式出 发，复杂度介于差分法和有限元法之间，常用于求解 流体问题。4 PDE在图像恢复中的应用图像质量的好坏在许多图像处理应用中尤为重 要，然而由于传感器瑕疵、噪声、干扰与传输损耗等 不利因素的存在，我们得到的是降质后的图像。寻 找一种计算有效的方法自动除去引入的噪声就是

12、图 像恢复的研究内容。历史上图像恢复是最早考虑的 图像处理问题之一，直到今天，它仍是许多图像处理 应用必不可少的预处理步骤。图像恢复方法很多， 包括线性滤波、随机建模等等，本节主要介绍基于 PDE的图像恢复方法4。4. 1 图像退化模型众所周知，在图像信息的形成、传输与记录过程 中存在着信息丢失，从而引起图像质量的退化。在 图像恢复过程中，总是尽可能是选择与实际情况相 吻合的退化模型，这种模型一般用概率分布描述，多 数情况下我们假定服从高斯分布。然而，对于实际维普资讯 http:/www.cqvip.图像我们通常不可能知道其噪声的具体类型，对于 图像退化模型未知的情况，我们通常假设其服从加 性

13、噪声与线性模糊卷积的简单退化模型：u=Ru+”(3)这里为真实图像，M。表观测图像 (亦即的退化图像），7表加性白噪声，为线性卷 积算子。在已知退化模型（3)的情况下，要从M。中恢 复实际上是个反问题，我们可以通过解以下最小 平方能量泛函问题得到的近似解：infj | u Ru |2dx(4)a这里卜I为欧氏范数。如果（4)的极小取值M 存在，其必定满足相应的欧拉等式：R * u R * Ru = 0(5)这里是的伴随矩阵，式（5)实际上是不适 定的，为解决上述不适定问题，Tikhonov等人提出 在（4)能量泛函中添加一个正则项，从而得到如下最 小化问题：F(u) = J | m Ru 12

14、dx + aJ I Vm 12dx (6)an这里A是正的权值常量，第一项测量数据的保真 度，第二项是光滑项。亦即搜索既与观测图像最佳匹 配，又能确保梯度足够低（从而除去噪声）的解图 像正则化效果取决于第二项，在Tikhonov等人之后， 科研工作者提出了许多改进的图像正则化方法。4. 2各向同性扩散各向同性光滑是最早的一种图像正则化方法， 来自Tikhonov能量泛函正则化项的极小取值问题：infj | Vm 12dn(7)a式（7)对应的欧拉等式是Am = 0。通过求解其 梯度下降PDE的稳态解，可得初值为噪声图像 的扩散等式：3m/3z = Am(初值 m,=。= M。(8)上式实际上是

15、热传导等式，后来研究表明，等式 (8)在特定时刻的取值是原图像M。与高斯核(7=#)的卷积，从而对应于经典的髙斯低通滤波。 这种方法的缺陷在于各向同性，即在空间任何方向 以同一权重光滑滤波，在降噪的同时，模糊了图像的 轮廓特征。4.3 Perona-malik各向异性扩散为此Perona与malik提出各向异性扩散，他们 发现等式(8)可写成散度形式3m/3 = Am = A(V m),从而提出在散度项中添加递减函数gG):，+ 646，1来控制不同方向的扩散权重：du/dt = div(g( | Vm | ) Vm)(9)由于II II )在光滑区域内（梯度II II 很小)趋近于1，等式（

16、9)退化为各向同性光滑滤波 等式（8);而在图像边界处（梯度| |取大值）消 失，从而终止扩散，因此是一种选择性方向滤波，在 滤去噪声的同时可很好地保持图像边界特征。Per-ona-malik 建议 | Vm | )= exp ( | m | 2 / K2)，K为固定的梯度阈值，用于区分均匀区域与轮 廓边界。4. 4泛函光滑滤波泛函光滑滤波方法统一了上述扩散方法，并 为新的算法设计提供了依据，其基本思想是最小化p泛函V|)如，其极小取值满足其欧拉等式加(y(ll二1l )v“)=。，可通过以下梯度下降 PDE的进化求解：尝=必(丨丨丨丨丨1丨1 )“)（初值一。=“0)(10)不难发现，当取时

17、即为Tikhonov各 向同性扩散；当9) = 1 exp( ?/K2)时则为Pe- rona-malik各向异性扩散。事实上，我们可以把公式（10)中的散度项分解 为梯度方向与等灰度线方向 ，的1D有向拉普拉斯算子与“的加权和 ，=，其中权重 C7 = 且 /( II II )2 在边界区域的各向异性扩散：要求在等灰度 线方向6的扩散程度强于梯度方向从而避免对边 界的过度模糊，公式如下：lim r, = 0且II v ! + clim cv/ce = 0| Vu II -* +c3 在均匀区域的各向同性扩散：另一方面，在均 匀区域内部必须各向同性光滑，从而：lim c= lim =0|丨|丨

18、o满足上述准则的有超曲面最小函数= yirz，具有比前两种扩散滤波更好的性能。维普资讯 5总结总的来说,PDE在图像处理应用中具有以下优 点：PDE为图像处理问题提供了统一的理论框 架，几乎涉及所有图像处理领域，包括图像恢复，分 割，图像修补，视频运动目标跟踪，光流，立体视觉等。使我们可以在连续域上分析图像，与像素大 小无关，简化了图像分析体系。当假定栅格网孔大 小趋于零时，我们可以在PDE框架内研究离散局部 非线性滤波器，甚至可把离散滤波器写成偏微分算 子的形式。这种在PDE框架内的解释使得我们可 以统一与分类大量已知的滤波器，更加容易理解物 理现实，并可更直观地推导出新的滤波器。基于PDE

19、在数值分析中的现有研究成果， 我们可以取得快速、精确与稳定的图像处理算法。 特别的，PDE中的粘性解理论为在经典意义上非光滑可微的图像信号提供了严格的偏微分理论框架。PDE领域的独特的分析理论为研究更好的图象处理算法与有意义的理论结果，如解的存在性、唯一性等提供了可能。参考文献Gilles Aubert, Pierre Kornprobst. Mathematical Prob-lems in Image ProcessingM. New York； SpringerVer- lag, 2002.Guillermo Sapiro. Geometric Partial Differential

20、Equa-tions and Image Analysis Mj. Cambridge： Cambridge University Press, 2001.陈祖墀.偏微分方程M.合肥.中国科学技术大学出版 社，2002.D. Tschumperle, PDEs Based Regularization of Multi-valued Images and Applications， PhD thesis， Universite de Nice-Sophia Antipolis，Dec. 2002.65A Tentative Discussion about Application of PDE

21、 in Image ProcessingZHOU Xiao1，ZHU Cai-zhi2(1. Department of Education , Anhui Institute of Education , Hefei 230061 ； 2. Department of ElectricEngineering and In formation Science，the University of Science and Technology ofChina Hefei 230027, China)Abstract： The low-level image processing is always

22、 an important factor containing vision development of computer. The recent study shows PDE theory provides the theoretical framework for image processing, has produced incomparable effects in several image processing fields. This paper introduces the development history and related theoretical backg

23、round based on PED image processing, chiefly focusing on the applica-tion of PED in image restoration.Key Words： partial differential equation； image restoration； anisotropic diffusion(上接第55页）参考文献冯士雍.回归分析方法M.北京：科学出版社.1985.D. P. Ausubel/F. G. Robinson, School Learning - An Introduction to Educational

24、 Psychology. 1969,455.邵瑞珍.学与教的心理学M.上海：华东师范大学出版社.1990. 368.李新乡.毕业生的反馈信息J.物理教育研究.1992, (1). 26.唐松林.论我国高等师范课程结构改革J.课程、教材、 教法.2002,（6). 66An Analysis on the Effect of Physics Majors Academic Achievements in Normal Universitieson Their Teaching AbilityMEI Zhong-yi, ZHANG Yun-liSchool of Science Hefei Uni

25、versity of Technology 9 Hefei 230009, China)Abstract： Statistics of normal university physics major graduates reveal that, their teaching ability is signifi-cantly related to academic achievements of such courses as experiment and physics pedagogy, but less rele-vant to academic achievements of some

26、 specialized courses of traditional importance. This analysis tells us academic achievements are related to teaching ability to some extent, but there still exists lack in training of some basic teaching skills, such as experimental skill.Key Words： physics major in normal universities； academic achievements； teaching abilities