第六章 二阶线性常微分方程的幂级数解法.ppt

1、第六章第六章 二阶线性常微分方程二阶线性常微分方程 的幂级数解法的幂级数解法 数学物理方法数学物理问题中的二阶线性常微分方程的标准形式为 方程的系数解的解析性级数解法得到的解总是指某一指定点 z0 的邻域内收敛的无穷级数。p(z)、q(z)在 z0 点的解析性 级数解在 z0 点的解析性。超几何方程6.1 二阶线性常微分方程的常点和奇点 定义 若 p(z)、q(z)在 z0 点解析，称 z0 点为方程的常点。若 p(z)、q(z)中至少有一个在 z0 点不解析，称 z0 点为方程的奇点。举例举例有限远处 p(z)、q(z)有两个奇点，z=0 和 z=1。所以，z=0 和 z=1 是超几何方程的

2、奇点，有限远处的其它点为方程的常点。勒让德方程 举例举例有限远处 p(z)、q(z)有两个奇点，z=1 和 z=-1。所以，z=0 和 z=1 是勒让德方程的奇点，有限远处的其它点为方程的常点。要判断 z=是否为方程的奇点，作自变量变换二阶线性齐次常微分方程可以化为标准形式为若 t=0 是常点/奇点，则 z=就是常点/奇点。和 不含 t 负幂项 t=0(z=)为方程常点的条件可见，z=是勒让德方程和超几何方程的奇点。将 代入方程得 例题例题解求二阶线性常微分方程，使其解为 和 。设所求方程为即 (1)代入(2)得将 代入方程得即 即所求方程为 若 p(z)和 q(z)在圆 内单值解析，则在此圆

3、内常微分方程初值问题(c0，c1 为任意常数)有唯一的一个解 w(z)，且 w(z)在这个圆内单值解析。6.2 方程常点邻域内的解 定理 均可展开为幂级数：求解方法说明 其中an，bn 已知，c0，c1 已知，确定出 cn 可求出方程的解。将展开为级数的 p(z)，q(z)和 w(z)代入方程：p(z)和 q(z)在圆 内单值解析，可知幂次项(z-z0)n 的系数全为0考察各幂次项系数常数项系数为一次项系数为以此类推 cn 均可用 c0 和 c1 表示 例题例题解求勒让德方程在 z=0 邻域内的解，l 为已知参数。统一求和指标，k 均从 0 记z=0 为常点，有代入方程得zk 同次幂合并后，得

4、合并 ck 的系数，得即得递推关系为偶次幂系数为同理，奇次幂系数为引进记号则勒让德方程在 内的解就是任意给定初始条件 c0 和 c1，就可得到一个特解。尤其当 和 时，即得特解二者的任意线性组合即为通解。求解过程中，ck+2 只与ck 有关，而与ck+1 无关，w1(z)是偶函数，w2(z)是奇函数。对于 z -z 变换，勒让德方程的形式不变，故 w(-z)也是方程的解，且 w(z)+w(-z)是偶函数，w(z)-w(-z)是奇函数。在常点邻域内求级数解的一般步骤 1、将方程常点邻域内的解展开为泰勒级数，代入方程；2、比较系数，获得系数间的递推关系；3、反复利用递推关系，求出系数 ck 的普遍

5、表达式（用 c0 和 c1 表示），最后得出级数解。线性方程线性递推关系w1(z)和 w2(z)是两个线性无关的特解 例题例题解求方程 在 z=0 邻域内的两个级数解。代入方程得z=0 是方程的常点，令 考察同次幂系数零次幂系数一次幂系数二次幂系数三次幂系数四次幂系数五次幂系数n 次幂系数同理所以对应 和 有两个线性无关的特解：例题例题设 是方程 的解，在区域 G1 内解析，若 是 在区域 G2 内的解析延拓，即 试证明：仍是方程的解。设证明g(z)在 G2 内的解析是方程在 G1 内的解，故在 内仍满足方程而 时，故 在 G2 内满足方程即 ，由解析函数唯一性可知 和 线性无关 朗斯基行列式

6、 例题例题设 和 是 的两个线性无关解，且均在区域 G1 内解析，若 和 是 和 在 G2 内的解析延拓，即 时，试证：和 仍线性无关 上个例子已经证得 和 仍是方程的解证明所以，和 在 G2 内仍线性无关。由解析函数的唯一性可知在 G2 内解析设 由以上例题可知，方程在不同区域内的解式互为解析延拓，因此，可以由方程在某一区域内的解式出发，通过解析延拓推出方程在其它区域内的解式。若 z0 是方程 的奇点，则在 p(z)和 q(z)都解析的环域 内，方程的线性无关解是6.3 方程正则奇点邻域内的解 定理其中 为常数。当 或 不是整数，或 ，方程的解均为多值函数，z0 为其支点。将 和 代入方程，

7、难以求出系数的普遍公式（无穷多正幂项与负幂项），当级数解中只有有限个负幂项，总可以调整 值，使级数中没有负幂项。说明称为正则解。方程在奇点邻域内有两个正则解的条件是什么？定理充分必要条件富克斯定理 方程 在其奇点 z0 的邻域内有两个正则解 和 在 z0 点解析z=0 和 z=1均为超几何方程 的正则奇点。举例举例z0=0 时，和在 z0=0 处解析。z0=1 时，和在 z0=1 处解析。z=1 和 z=-1均为勒让德方程 的正则奇点。举例举例z0=1 时，和在 z0=0 处解析。z0=1 时，和在 z0=1 处解析。要判断 z=是否为方程的奇点，作自变量变换（前面已推得）方程化为在 t=0

8、处，解析。则 z=是方程 的正则奇点。判断 z=是否为超几何方程和勒让德方程的正则奇点。例题例题超几何方程：在 t=0 处解析，t=0 为正则奇点。z=为超几何方程的正则奇点。勒让德方程：在 t=0 处解析，t=0 为正则奇点。z=为勒让德方程的正则奇点。将 代入方程比较系数，求出指标 和系数递推关系在正则奇点 z0 处将 代入方程正则奇点邻域内级数解的求解思路整数求得两个线性无关解只求得一个解求解过程设 z=0 是方程 的正则奇点，在 z=0 的邻域内，方程的系数作洛朗展开：设解为 代入方程，有由于 的存在，c0 不会因求导而消失，k 仍从 0 取起。约去 ，整理得 的系数为即指标方程其中获

9、得指标，其中 和 （规定 ）的系数为系数递推关系反复利用系数递推关系，得到 若 整数，分别代入 和 可得两个线性无关的特解 若 ，第二特解必含对数项 若 （整数），第二特解可能含有对数项补充讨论：当 （整数）时，若第二特解含有对数项，其系数 有因此，时，无解；时，任意。对于，一定含有对数项；对于，同时依赖于 和 ，有两项，一 项正比于 ，一项正比于 ，而此时 可取任意值，取 。因此，（整数），第二特解可能含有对数项补充证明：普遍理论 对二阶常微分方程 ，若已求出 ，总可以通过积分 求出第二解的级数。得 证明即 可知两端同除以 得 积分得 再积分，即 例题例题解求方程 在 z=0 邻域内的两个级

10、数解。又知z=0 是方程的正则奇点。方程的标准形式为易知 在 z=0 点解析 z=0 是方程的奇点 指标方程 为指标为将 代入系数递推公式可得即所以当 时，由系数递推公式可得所以 不是指标。n 不能取 1，意味着不存在 ，令 A=1，代入 得方程在 z=0 邻域内的两个级数解为 可知 是方程的奇点。6.4 贝塞耳方程的解在柱坐标中对亥姆霍兹方程 或拉普拉斯方程 分离变量，可以得到贝塞耳方程（g 阶贝塞耳方程）g 是常数，均在 解析，所以 是方程的正则奇点。讨论：讨论：贝塞耳方程在贝塞耳方程在 的邻域的邻域 内的解内的解设 代入方程有约去 ，得 时 时 任意由级数展开的唯一性可知，作系数比较项的

11、系数：可得指标方程即项的系数：即项的系数：可知递推关系：反复使用递推关系：用 代入系数通式，可得则取 就有解：g 阶贝塞耳函数用 代入系数通式，可得则当 整数时，取 就有解：-g 阶贝塞耳函数当 时，以上只给出同一解补充讨论 的情形，任意，若 ，则此时 即 ，则 只是又增加了一项当 时，以上只给出同一个解因为 时，递推关系无意义；，不合法，意味 ；即使 ，有意义与第一解线性相关所以第二解一定含有对数项分析知，线性无关，朗斯基行列式 即 (6.3 节证明过)将 和 的级数解代入上式，并找出 项的系数 对应 项，所以 再次证明 时，与 线性相关。但若将 取为线性组合，适当选择 与 ，使 对任何 均不为零，就可以消除 和 的线性相关性。取 则 与 的选取无关。要使 有意义，选取 c，使 中的分子在 时也为零，例如则贝塞耳方程的第二解是 g 阶诺依曼函数 当 时，洛必达法则 其中