几类不同增长的函数模型.ppt

1、在书本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉在书本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋。筋。1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到个澳大利亚，数量达到75亿只。可爱的兔子变得亿只。可爱的兔子变得可恶起来，可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所亿只羊所吃的牧草，草原的载

2、畜率大大降低，而牛羊是澳吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口。这使澳大利亚头痛不已，他大利亚的主要牲口。这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气方案一：每天回报方案一：每天回报40元；元；方案二：第一天回报方案二：第一天回报10元，以后每天比前元，以后每天比前一天多回报一天多回报10元；元；方案三：第一天回报方案三：第一天回报0.4元，以后每天的元，以后每

3、天的奖励比前一天翻一番奖励比前一天翻一番.请问：你会选择哪种回报方案？请问：你会选择哪种回报方案？选择回报方案选择回报方案的标准的标准回报量回报量日日回报量回报量累计回报量累计回报量例例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：X思考：在本例中涉及哪些数量关系？如何思考：在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？用函数描述这些数量关系？方案一：每天回报方案一：每天回报40元；元；方案二：第一天回报方案二：第一天回报10元，以后每天比前元，以后每天比前一天多回报一天多回报1

4、0元；元；方案三：第一天回报方案三：第一天回报0.4元，以后每天的元，以后每天的回报比前一天翻一番回报比前一天翻一番.40404040401010+10=10210+10+10=10310+10+10+10=10410+10+10+10+10=1050.40.420.422=0.4220.4222=0.4230.42222=0.424方案一方案一方案二方案二方案三方案三12345则方案一可以用函数则方案一可以用函数_进行描述；进行描述；方案二可以用函数方案二可以用函数_描述；描述；方案三可以用方案三可以用_描述。描述。设第设第x天的回报是天的回报是y元，元，y=40(x N*)y=10 x(x

5、 N*)y=0.42x-1(x N*)x天天 方案一方案一方案二方案二方案三方案三 y 元 增加量 元y 元 增加量 元y 元增加量 元1234567891030404040404040404040404000000000001020304050607080901003001010101010101010101012.80.81.63.26.412.825.651.2102.4204.8214748364.80.40.81.63.26.40.425.651.2102.4107374182.4图像图像xy2040608010012014042681012我们看到，底为我们看到，底为2的指数函数模

6、的指数函数模型比线性函数模型比线性函数模型增长速度要快型增长速度要快得多得多.从中你对从中你对“指数爆炸指数爆炸”的含的含义有什么新的理义有什么新的理解？解？81940920410250.8251262.81.20.4三三660550450360280210150100603010二二4404003603202802402001601208040一一1110987654321天数天数回报回报/元元方案方案429496729465012001312 三种方案的三种方案的累计回报量累计回报量16天，应选择方案一；天，应选择方案一；7天，应选择方案一或方案二；天，应选择方案一或方案二；810天，应选

7、择方案二；天，应选择方案二；11天（含天（含11天）以上，应选择方案三天）以上，应选择方案三.结结论论常数函数常数函数一次函数一次函数指数型函数指数型函数几种常见函数的增长情况：几种常见函数的增长情况：保持不变保持不变直线上升直线上升匀速增长匀速增长急剧增长急剧增长指数爆炸指数爆炸没有增长没有增长巴菲特是世人景仰的巴菲特是世人景仰的“股神股神”，但是在投资领域，其实有一个人的收益率在连续，但是在投资领域，其实有一个人的收益率在连续17年年里远远超过了他。这个人不是索罗斯，也不是罗杰斯，而是同著名数学家陈省身一起里远远超过了他。这个人不是索罗斯，也不是罗杰斯，而是同著名数学家陈省身一起提出提出“

8、陈一西蒙斯理论陈一西蒙斯理论”的世界级数学家詹姆斯的世界级数学家詹姆斯西蒙斯。西蒙斯。詹姆斯詹姆斯西蒙斯是世界级的数学家，也是最伟大的对冲基金经理之一。西蒙斯是世界级的数学家，也是最伟大的对冲基金经理之一。2005年，西年，西蒙斯成为全球收入最高的对冲基金经理，净赚蒙斯成为全球收入最高的对冲基金经理，净赚15亿美元，差不多是索罗斯的两倍。从亿美元，差不多是索罗斯的两倍。从1988年开始，他所掌管的大奖章基金年均回报率高达年开始，他所掌管的大奖章基金年均回报率高达34，15年来资产从未减少过。年来资产从未减少过。去年西蒙斯以去年西蒙斯以40亿美元跻身亿美元跻身福布斯福布斯400富人榜第富人榜第6

9、4位。位。詹姆斯詹姆斯西蒙斯西蒙斯(JamesSimons)几乎从不雇用华尔街的分析师，他的几乎从不雇用华尔街的分析师，他的“文艺复兴科技文艺复兴科技公司公司”（RenaissanceTechnologiesCorp.）里坐满了数学和自然科学的博士。用）里坐满了数学和自然科学的博士。用数学模型捕捉市场机会，由电脑作出交易决策，是这位超级投资者成功的秘诀数学模型捕捉市场机会，由电脑作出交易决策，是这位超级投资者成功的秘诀 老师殷切希望同学们学好数学，老师殷切希望同学们学好数学，将来为社会创造更多财富，象将来为社会创造更多财富，象“指数指数爆炸爆炸”一样，为祖国的繁荣富强作出一样，为祖国的繁荣富强

10、作出更大的贡献更大的贡献学以致用，用以致优情景问题解答情景问题解答假如某公司每天给你投资假如某公司每天给你投资1万元，共投资万元，共投资30天。公司天。公司要求你给他的回报是：第一天给公司要求你给他的回报是：第一天给公司1分钱，第二天分钱，第二天给公司给公司2分钱，以后每天给的钱都是前一天的分钱，以后每天给的钱都是前一天的2倍，共倍，共30天，你认为这样的交易对你有利吗？天，你认为这样的交易对你有利吗？你你30天内给公司的回报为天内给公司的回报为:0.01+0.012+0.0122+0.01229=10737418.231074(万元万元)30万元万元解答如下：公司解答如下：公司30天内为你的

11、总投资为天内为你的总投资为:实际应用问题实际应用问题分析、联想、抽象、转化分析、联想、抽象、转化构建数学模型构建数学模型解答数学问题解答数学问题审 题数学化寻找解题思路还原（设设）（列列）（解解）（答答）解答例解答例1的过程实际上就是建立函数模型的过程，的过程实际上就是建立函数模型的过程，建立函数模型的程序大概如下：建立函数模型的程序大概如下：某公司为了实现某公司为了实现10001000万元利润的目标，准备制万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到1010万万元时，按销售利润进行奖励，且奖金元时，按销售利润进行奖励，且奖金y

12、(单位：万元单位：万元)随随着销售利润着销售利润x(单位：万元单位：万元)的增加而增加，但资金数不的增加而增加，但资金数不超过超过5 5万元，同时奖金不超过利润的万元，同时奖金不超过利润的25%25%。现有三个奖励。现有三个奖励模型：模型：y=0.250.25x，y=log7 7x+1+1，y=1.0021.002x，其中哪个模型，其中哪个模型能符合公司的要求呢？能符合公司的要求呢？本题中涉及了哪几类函数模型本题中涉及了哪几类函数模型?实质是什么实质是什么?思考思考例例2你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗?销售利润达到销售利润达到10万元时，按

13、销售利润进行奖励，且万元时，按销售利润进行奖励，且部门销售利润一般不会超过公司总的利润部门销售利润一般不会超过公司总的利润1000万元，万元，所以销售利润所以销售利润x可用不等式表示为可用不等式表示为_.依据这个模型进行奖励时，奖金不超过利润的依据这个模型进行奖励时，奖金不超过利润的25%，所以奖金所以奖金y可用不等式表示为可用不等式表示为_.依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，万元，所以奖金所以奖金y可用不等式表示为可用不等式表示为_.10 x10000y50y25%x通过观察图象，你认为哪个模型符合公司的奖励方案？通过观察图象，你认为哪个模型

14、符合公司的奖励方案？2004006008001000234567810对于模型对于模型y=0.25x,它在区间它在区间10,1000上递增上递增,当当x20时时,y5,因此该模型不符合要求因此该模型不符合要求;对于模型对于模型y=1.002x,它在区间它在区间10,1000上递增上递增,观察图象并结合计算可知观察图象并结合计算可知,当当x806时时,y5,因此因此该模型不符合要求该模型不符合要求;对于模型对于模型y=log7x+1,它在区间它在区间10,1000上递增上递增,观察图象并结合计算可知观察图象并结合计算可知,当当x=1000时时,y=log71000+14.555,所以它符合奖金总

15、数不超过所以它符合奖金总数不超过5万元的要求；万元的要求；按模型按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？呢？解：当解：当x 10,1000时时,要使要使y0.25x成立成立,令令f(x)=log7x+10.25x,当当x 10,1000时时,是否有是否有f(x)0恒成立恒成立?即当即当x 10,1000时时,f(x)=log7x+10.25x的的图象是否在图象是否在x轴下方轴下方?作作f(x)=log7x+10.25x的图象如下：的图象如下：只需只需log7x+10.25x成立，成立，即即log7x+10.25x0。根据图象观察根据图象观察,f

16、(x)=log7x+10.25x的图象在区间的图象在区间10,1000内的确在内的确在x轴的下方轴的下方.f(x)=log7x+10.25x这说明这说明,按模型按模型y=log7x+1奖励奖励,奖金不会超过利润的奖金不会超过利润的25%.yx123456780f(x)=log7x+10.25x1-1实际应用问题实际应用问题审 题（设设）分析、联想、抽象、转化分析、联想、抽象、转化构建数学模型构建数学模型数学化（列列）寻找解题思路（解解）解答数学问题解答数学问题还原（答答）1 1.请同学谈谈你对几类不同增长的函数模型（一次函数、指一次函数、指数函数、对数函数数函数、对数函数）差异的认识。2 2.几类增长函数建模的步骤列列解解析析式式具具体体问问题题画出图像（画出图像（形形）列出表格（列出表格（数数）不不同同增增长长确确定定模模型型预报和决策预报和决策控制和优化控制和优化3 3.你还有其他感悟吗？随 堂 小结常数函数一次函数指数函数对数函数增长量为零增长量为零增长量相同增长量相同增长量迅速增加增长量迅速增加增长量减少增长量减少没有增长没有增长直线增长直线增长指数爆炸指数爆炸对数增长对数增长 在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么！毕达哥拉斯