浅谈无理数 的发现与其应用.doc

1、浅谈无理数的发现与其应用摘要本文研究无理数的发现与其应用，是数学的重要常数之一，数的起源与对数的发明有一定的联系，也是历史上第一个用极限来定义的数。从的发现到现在，经历了漫长的历程，无数的数学家对其进行研究，使得到广泛的发展与应用。不仅在数学，物理学上应用广泛，在其他学科中也有妙用，如欧拉公式中当时，得到。而的两种极限形式应用更广泛，极限理论少不了，积分学中更少不了，生活中也缺少不了。人们利用E可以容易地解决许多难题。本文从的起源、性质及其发展进行剖析，研究与指数、对数的关系，及的两种极限形式，通过数的两种极限形式，计算的近似值，并指出数与指数、对数的关系，进而论述在几何学，物理学及其他学科的

2、应用。关键字：无理数，指数，对数，超越数，微积分。Shallow to tall detection and its application of irrational number “e”AbstractThis passage analyses from the source, character, and its evolutionary; study and points out the relationship among e, index number and logarithms, the two limit forms of e; account es two limit fo

3、rms. Whats more , this passage discusses es approximation in geometry physics and other subjects. This passage divides into 4 parts to exposition the rational number e. The first part exposition the source of e. The character and develop of e. Knowing it from primary to exactly, the development of e

4、 and left, will play a good role to this passage. The second part expositions the success in math area, and tell the research of the two limit form of e. Whats more, it calculation the approximate of number e, and tells the relationship among e, index number, logarithms, and the form of e in trigono

5、metry. The third part takes several examples to expositions the application in life, physic and other subjects, so the number can be promotion. The fourth part gives several problems about e, for the later researchers solve it.Key words: logarithms, index number, the rational number e, surmounts num

6、ber, calculus目录引言1数的起源、性质、发展 1.1数的起源 5 1.2 数的性质6 1.3 数的发展82数学殿堂中的 2.1 的两种极限形式92.2 与指数，对数的关系 112.3 三角中的152.4 与的完美结合 183无处不在的3.1生活中的193.2物理学上的 203.3 在其它学科中的应用 214有待探索的4.1 与的缘分 224.2 的谜团 22参考文献 231 数的起源、性质、发展1.1 数的起源1614年，英国数学家纳皮尔(J.Napier,15501617)在爱丁堡出版他的著作论述奇妙的对数（MirificiLogarithmorum Canonis Descri

7、ption）,成为历史上第一个公布对数表的人，也是第一个给对数命名的人。瑞士钟表制造者比尔吉（J.Brg,15521632）于1620年以算术与几何级数表（Arithmetisticbe und GeometrischeProgressTabulen）为题也公布了对数表，他们俩从出发，避开了使用小数指数的困难，凭借天才的直觉，选择了非常接近1的数作为底数。比尔吉取=1.0001,纳皮尔取=0.9999999。但是，他们只能取接近于的值而无法给出的确定值。奇怪的是，首次被发现根本不是通过对数学符号的研究，而是通过对一个复利问题的研究。1683年，瑞士著名数学家雅各伯努利（Jacob Bernou

8、lli,16451705）考查了这个复利问题，在检查这个连续的复利时，他努力寻找当 时的极限。他利用二项式定理，指出这个极限在23之间，这是对的近似值的首次估计，也是数学史上第一次用极限来定义这个数，即 ，当然他还没有认识到这个数与对数之间的联系。容易证明数列 是一个单调有界数列，因而极限是存在的，用来记此极限，这个符号是瑞士数学家欧拉（Euler,17071783）在1727年首先引进的。1690年，德国大数学家莱布尼茨（G.W.Leigniz,16461716）在给惠更斯的一封信中首次用字母来表示自然对数的底，使得“自然对数的底”终于有了它的名字而被认同。而现在用来表示自然对数的底应归功于

9、瑞士大数学家欧拉（L.Euler,17071783）。在俄罗斯彼得堡科学院写的一部手稿中，欧拉建议“将对数为1的数记作，即=2.718281”（当时的对数是自然对数），并在书中16次出现代替2.718至于欧拉为什么用字母来表示自然对数的底，有人认为来自他自己名字的首字母，当然这个说法是滑稽的。有人认为，来自于指数（esponential）的首字母，这个说法也是不可靠的，无论什么理由，符号首次公开出现是在1731年欧拉写给哥德巴赫（C.Goldbach,16901764）的一封信中。奇迹般地出现，还可举出数学上最值得称道的发现之一的“素数分布定理”。这定理是说：从1到任何自然数之间所含素数的百分

10、比，近似等于的自然对数的倒数，且越大，这个规律越准确。这是被称为“数学王子”的德国数学家高斯（Gauss,17771855）在1792年仅15岁时发现的，但直到1896年才被法国数学家阿德玛（Hadamard,18651963）和大致同时代的比利时数学家布散所证明。（参考李文林数学史教程）1.2 数的性质 是的近亲他们都是无理数，也都是超越数。什么叫超越数？凡是能够满足某个整数系数代数方程的复数，叫做代数数；凡不是代数数的数叫做超越数。但是，要证明是无理数却比证明是无理数容易得多1744年，欧拉首先给出了证明：欧拉在其名著无穷分析引论中给出了的级数形式并给出了的18位小数值=2.718 281

11、 828 459 045 235和的两个连分数形式，还给出了以及著名公式，因此有时也被称作欧拉数。之后，又以连分数为基础证明了是无理数。因为他已经证明了每一个有理数都能表示一个有限的连分数，而， ，是一个无限连分数，所以必定是无理数。还可以看作是证明不是有理数的第一次尝试。因此，欧拉被认为是历史上第一个指出是无理数的人。法国著名数学家刘维尔（J.Liouville,18091882）于1844年第一次证明了超越数的存在，并且证明了不可能是有理数系数的二次方程的根。1873年，法国著名数学家埃尔米特（C.Hermite,18221901）证明了是一个超越数。（参考米山国藏数学的精神、思想和方法）

12、1.3 数的发展1727年欧拉在一篇未发表的手稿中引入了作为自然对数的底。于是也就正式出现。这表明对数的发明在指数函数之前。1748年欧拉有给出的极限形式，即=，并且进一步揭示出指数函数和三角函数的联系，这就是著名的欧拉公式，这实际上已经把指数概念推广到了复数领域。的出现是指数函数历史上的一件大事。在实践中它为一切自然过程，如存款复利率的增长、人口的增长以及放射性物质的蜕变等，提供了合理的数学表示。人们称为自然滋长函数就是这个道理。 在理论上它引起了数学家们对级数的兴趣，促进了级数理论的研究。1715年泰勒提出了函数的级数表示公式。在此公式下，的值由代入级数=1+中而获得。当x=1时，就可得出

13、=1+=2.718281828即e是无理数，同时又可以用有理数的无限和表示，它是人类最初认识的超越数（不是任何有理系数多项式的零点或相应方程的根）之一。2 数学殿堂中的2.1数的两种极限形式1848年，欧拉在无穷分析引论艺术中研究了指数函数和对数函数，给出了著名的表达式=设其中=1，就得到=1665年，牛顿写成了包含指数级数（幂级数）、对数级数、二项级数、正弦级数、余弦级数、反正弦级数展开式方面的、不太严谨且过于复杂的论文。牛顿给出的幂级数展开式为 =1+当然这个式子也可以用泰勒公式展开得到。设这个式子中=1，就得到我们熟悉的=1+=2.718281828在一般教科书中，通常所给的极限形式是=

14、，这也是所有分析课程都要介绍的两个重要极限之一，但该形式不便于近似计算，因而在求的近似值时通常使另 一种形式： 。它们的证明都是利用单调有界定理。以下证明的存在性。证：先建立一个不等式。设对任一正整数n有-（+1）（-），整理后得不等式 (+1)- （2.1.1）以代入（2.1.1）式。由于故有 。这就证明了为递增数列。再以代入（2.1.1）式，得，故有上式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，联系到该数列的单调性，可知对一切正整数都有，即数列有上界。于是由单调有界定理推知数列 是收敛的。 通常用拉丁字母代表数列的极限，即=它是一个无理数，其前十三位数字是。 以下证明为无理数 证 借助泰勒公式

15、（2.1.2）由（2.1.2）式得 （2.1.3）倘若(，为正整数），则当时，为正整数，从而 （2.1.3）式左边为整数。因为 所以当时右边为非整数，矛盾。从而只能是无理数。我们看以下例子：例1求解 例2 求 8解 2.2 与指数，对数的关系 数学家都说：“和在高等数学中特别重要，而 则是微积分中的一个重要基本公式。 我们来看一个例子。如果那么，很显然，只有当的时候才具有最简洁的形式。当然，这还不是严格的证明，但是微积分理论可以完成这个证明。同时，除了1以外的任何数做底的代数函数，进行微积分运算以后，都会出现以为底的函数。有趣的是，当作底的时候，函数和它的倒数相等,而其它任何数作底都不会这样。

16、在数学分析中，要牵涉到求导、微分、积分等，就必定会出现一些关于指数、对数的式子，必然涉及“底数”的问题，因此数学家们都希望选取使得这些式子具有最简洁形式的底数。我们知道，对数的引进对于简化运算有很大的好处，除1以外的正数都可作为对数的底，由于我们习惯使用十进位小数，因此从实际计算的角度看，采用以10为底“常用对数”是比较方便的。但是，常用对数的真数与其对数的增长表现出明显的不对称性，而且当真数均匀增长时，的增长却不均匀。从美学角度讲，这是不十分理想的。而在寻求表现对称美的对数美的对数底数尝试中，发现了以数列中各项依次作底，会使对称性越来越好，因此若采用为底，就可以达到完全的对称；另一方面，在理

17、论研究中，使用以为底的对数比常用对数更为方便。特别是，反映自然界规律的函数关系，若是以指数形式或对数形式出现，则必定是而且只是以为底的，所以以为底的对数叫自然对数和自然对数以为底也就不足为怪了。早在15-16世纪，随着天文和航海等技术研究的广泛开展，解决天文计算的困难成了当时最紧迫的任务。如何把数的乘、除、乘方、开方运算转化为加、减运算成为当时的一种强烈要求，也引起了大家的思考。1544年，德国数学家斯蒂菲尔（M.Stifel,14681567）在整数算术（Arithmetica Integra）一书中论述了等差数列很等比数列的关系。对于下面两个数列-3，-2，-1,0,1,2,3,4,5,6

18、18,14,12,1,2,4,8,16,32,64他把上面一行命名为指数，并指出：“上行的加、减、乘和除分别对应于下行的乘、除、乘方和开方”。由这个关系，我们可以认为他已懂得了对数计算原理。若将上行的数记为，下行的数记为，则上下两行中相应的数满足。 一般地，若以1为公差的等差数列与以为公比的等比数列相互对应，则等比数列中任意两个数的积或商就可以用等差数列中对应上述两数的和或商求得，且两行中相应的数恒有关系：，在此关系中，以为真数，为底，为对数，则可利用x与y进行简单的计算。但是，这种关系对于简化计算而言尚不具有实用价值，因为在上表中只能做与偶数及12的整数幂有关的计算，而不可能做其它数的计算。

19、因此，要把这种想法发展到能够实用的程度，就必须使两个数列的数间距足够小，这就需要在等差数列中插入中项：还必须算出对应的数列,然而，因当时还不能计算指数为小数的幂，因此这种想法就不可能推广使用。(参考宋秉信自然对数漫谈数学传播)。 另外，复数或虚数的对数的定义是，已知复数，对于正数，有无限多个复数（它们的模相等，幅角相差的整数倍），如果成立，那么叫做以为底的复数的对数，记作。这个定义是瑞士数学家雅格布伯努力（16541705）即詹姆士伯努力（James Bernoulli）给出的。 下面，我们用对数函数（这里是不等于1的正数）求导来说明这一点： 当时，由于，就有，用换底公式的一种公式，它更一般的

20、形式是，把上式中的变成，就得到。 显然，如果不用做底，而是以另一个数（例如）做底的话，就会出现这种比更复杂的形式，这是数学家们不愿意看到的。 上面，我们从求一个一般对数函数（这里是不等于1的正数）的导数出发，发现只有用为底结果才更简洁，而用其它数做底，形式就会复杂些。由此可以看出，是“自然”选择做自然对数，数学家们不过是“发现者”、“执行人”罢了。（参考陈仁政不可思议的）。2.3 三角中的 在数学中，有一类有计算双曲线的面积引出的函数，叫双曲函数。在三角函数和对数函数之间也有一种含有虚数的对应关系。至今，人们已经构造出以下6种双曲函数双曲正弦函数 ,双曲余弦函数 ,双曲正切函数 ,双曲余切函数

21、 ,双曲正割函数 ,双曲余割函数 ,有趣的是，利用欧拉公式，把6个三角函数用指数函数或复数函数的指数式表示出来的时候，会发现他们很相似，但却又有所不同。正弦函数 ,余弦函数 ,正切函数 ,余切函数 ,正割函数 ,余割函数 ,现在我们来证明欧拉公式，由可以得到 (2.3.1)由于复数的三角函数式的幅角，所以 ,又根据棣莫弗公式 将(2.3.2)式两边取极限并结合(2.3.1)式，就有 （2.3.3）以下分别求式中的两个极限：设，得到，当时，由此得 （2.3.4）再设，就得到，且，当时，于是有 （2.3.5）把和式代入式，就得到欧拉公式 另外，在级数中，有一个著名的级数-三角级数，也就是“傅里叶级

22、数”， 其中和可以用 表示。我们知道，三角级数在数学、物理学、天文学和工程技术中都有广泛应用。当然，式也可以展开为法国数学家和物理学家泊松和他的前辈们，还把傅里叶级数和傅里叶积分联系在一起，他的最简单的情形是 在这个式子中也“现身”了。这里提到的傅里叶积分，是指任意函数，有它是一个偏微分方程的解（参考陈仁政不可思议的）2.4 与的完美组合我们知道，数学中有著名的“五朵金花” 。来自算术，来自代数，来自几何，来自分析学。妙不可言的是这“五朵金花”同时绽开在一个公式-中，它发表在欧拉1748年的名著，无穷分析引论中。在欧拉公式中，取，得或，这个等式中出现的五个数都是数学中十分重要的常数。在法国巴黎

23、的发明宫中的数学陈列室的墙上，就悬挂着这个公式，这是非常值得深思的。因为和是最重要的超越数，负数和虚数又标志着数系发展的两个阶段，他们在这个公式中奇妙地统一起来，这是十分有意义的。德国数学家克莱因也称其为数学中最卓越的公式之一。它显示了数学对象的无穷魅力。它联系着5个极其重要的数。欧拉首次用字母表示-1的一个平方根。而是圆的周长及其直径的比率，和是人们最早认识的无理数，它们都直接来源于实践，恰好同的来源相同，遗憾的是，古希腊人认为，只有那些可以用整数比表示的数才是数。因为正方形的对角线与其边长之比，圆的周长与其直径长之比都不是整数比，所以他们不承认和是数。中国人却不同，他们看到了的无穷性，刘徽

24、九章算术注云：割之弥细，失之弥小，割而又割以至于不可割，则与圆合体也。中国人已经认识到圆内接正多边形周长同圆周长的极限关系。然而，尽管中国南北朝祖冲之用刘徽割圆术计算出在3.1415926与3.1415927之间，虽然接纳了无穷的概念但却缺乏逻辑力量，所以同希腊人一样留下了遗憾，同现代数学失之交臂。3无处不在的3.1 生活中的 为了使收藏的衣服不被虫蛀，就要放置一些樟脑丸即卫生球。放卫生球也要讲数学。设密度为的卫生球的半径，升华一个月后，求升华完毕的时间显然，单位时间内卫生球升华的多少与卫生球的表面积成正比。这样就有 式中是卫生球的体积，是比例常数。式可变形为 积分后得到 把初始条件和代入式，

25、解得。把和代入式，得到。于是和的函数关系是 卫生球升华完的时候，代入式得到。也就是说，在开始放入卫生球的2个月后，它就升华完了。由于我们不可能经常去翻衣柜看看卫生球是否升华完了，所以做上面的“预算”，以便“心中有数”，做到及时添加卫生球。3.2 物理上学的我们知道，在摆幅很小的时候，单摆和复摆的振动周期分别是（式中是单摆的摆长）和（式中是复摆对转动轴的转动惯量，是复摆的质量，是复摆的重心到转动轴的距离），两个式子中的是当地的重力加速度。那么，这些摆的摆幅又如何随时间变化的呢？物理学家给出了答案。在有阻尼的空气中，遵循的规律。这里是刚开始时的摆幅，是一个正值的“阻尼系数”。从这个公式中可以看到，

26、将随的增加而减小。这就不难解释为什么摆幅将越来越小，直到摆幅为零而使摆较快停下来。事实上，是一切阻尼振动的规律。一经发现就与“自然”结下了不解之缘，自然界中到处充满的奥秘，揭开很多数理过程的面纱都有一张的笑脸。我们先做一个实验：有两满杯体积相同的溶液和，彼此可以互溶。现在将溶液缓慢倒入溶液中，且任意时刻两溶液均充分混合，求溶液全部倒出后，混合液中的含量。因为理想稀释是连续的，不易直接建立起量间关系，所以考虑用是无穷多个不连续的物理过程替代，先将溶液倒入一个大杯中，将溶液分为等份，依次将每一份倒入大杯并与大杯溶液充分混合，随后倒出同体积的混合液，直到份全部完成。下面列出依次增大时，混合液中的含量

27、的取值：易知，当时，所以再考虑理想稀释中溶液的体积为的倍时，第一杯溶液理想稀释后，；第二杯稀释后，；第杯后，；其中不仅可以是正整数，还可以是任意正实数。若理想稀释中溶液以速度匀速倒出，则混合液中的含量。自然界中的稀释现象随处可见，如室内空气的通风，湖泊水体的更新等都可以建立起类似理想稀释的模型，但是由于实际混合速度较慢且不均匀，所以需要辅以适当的参数。3.3 在其它学科中的应用 鼠疫病是一种流行病，它为何传播得这么快呢？这就要靠来揭开“秘密”了。设是患鼠疫的人数，y是接近这些人而被传染的人数，它们都是时间t的函数，那么x和y就满足 其中m和n分别是不一定相同的正的常数。式中的表示容易被传染人群

28、中变成鼠疫患者的增速，表示患鼠疫者因病而减少的速度。式中的表示容易被传染人群因感染鼠疫病后，被传染人群减少的速度。用式除以式，就得到 即 把式两边积分，并用初始条件，就得到 从式可以得到以下两个结果：一是当的时候，x是以y为自变量的单调递增函数。二是当的时候，x是以y为自变量的单调递增函数。这两个结果告诉我们，鼠疫初期（即的时候）。感染鼠疫的人增加很快，我们应加强这早期的控制，得到鼠疫后期（即的时候），虽然感染鼠疫的人增加较慢，但已经造成许多人死亡。总之，应加强早期的控制，才能有效减少灾难的损害。总之，的应用极其广泛，不仅在数学上，物理学，甚至在天文学上也有很广泛的应用。4有待探索的4.1 与

29、的缘分我们知道，和都是无理数。然而，我们至今仍不知道是不是无理数或超越数。 可能有人会说，既然和都是无理数，那么无理数相加，或者两个无理数相除不就是无理数么！我们看下面的例子：和都是无理数，但却不是无理数，我们知道是无理数，但却不是无理数。事实上，几个无理数经过某些数学运算之后是不是超越数的问题，也可如上进行讨论。4.2 的迷团 我们在许多近似计算中，都可以看到，究竟有哪些没有发现的近似计算公式中还有，在近似计算中出现有没有规律，可不可以预测？有根式表达吗？这些问题都有待探索。致谢本文在选稿到论文完成的过程中得到叶芳慧老师的帮助和指导，并给我提出许多宝贵的意见，在此对叶芳慧老师表示衷心的感谢并致以崇高的敬意。参考文献1李文林数学史教程 高等教育出版社 20022米山国藏数学的精神、思想和方法 四川教育出版社19863宋秉信自然对数漫谈 怀化师专学报 1998年02期4陈仁政不可思议的 科学出版社 2005年5刘琳数e漫谈 期刊-核心期刊 数学通报2005年 第08期 6陈仁政说不尽的 科学出版社 2005年23