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1、第四章 三角函数 总 第1教时4.1-1角的概念的推广（1）教学目的：1、 推广叫的概念，引入正角、负角、零角；象限角、坐标上的角的概念；终边相同角的表示方法。2、 让学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义，以及相应的表示方法。3、 从“射线绕其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化的观点审视事物；通过与数（轴）的类比，理解“正角”“负角”“零角，让学生感受图形的对称美、运动美。教学重点：1、 理解并掌握正角、负角、零角、象限角的定义；2、 掌握总边相同角的表示方法及判定。教学难点：把终边相同角用集合和符号语言正确的表示出来。过程：一、

2、提出课题：“三角函数” 回忆初中学过的“锐角三角函数”它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。二、角的概念的推广1 回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘” 2 讲解：“旋转”形成角（P4）突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于轴正半轴 3 “正角”与“负角”这是由旋转的方向所决定的。记法：角或 可以简记成4 由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩

3、大了。1 角有正负之分 如：a=210 b=-150 g=-6602 角可以任意大 实例：体操动作：旋转2周（3602=720） 3周（3603=1080）3 还有零角 一条射线，没有旋转三、关于“象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角 角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30 390 -330是第象限角 300 -60是第象限角 585 1180是第象限角 -2000是第象限角等四、关于终边相同的角 1观察：390，-330角，它们的终边都与30角

4、的终边相同2终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与个周角的和 390=30+360 -330=30-360 30=30+0360 1470=30+4360 -1770=30-5360 3所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合 即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和4（P6例1）例1 在0到360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角(1)-120；(2)640；(3)-95012解：(1)-120=240-360，所以与-120角终边相同的角是240角，它是第三象限角；(2)640=280+360，所以与640角终边相同的角是280角

5、，它是第四象限角；(3)-95012=12948-3360，所以与-95012角终边相同的角是12948，它是第二象限角 （P5）五、小结： 1 角的概念的推广,用“旋转”定义角 角的范围的扩大 2“象限角”与“终边相同的角”六、作业： P7 练习1、2、3、4 习题1.4 1 总 第2课时 4.1-2 角的概念的推广(2)教学目的：1、 进一步理解角的概念，能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；2、 能进行角的集合之间的交与并运算；3、 讨论等分角所在象限问题。教学重点与难点：1、 角的集合之间的交与并运算；2、 判断等分角的象限。过程：一. 复习、作业讲评.二. 新课：例一、（P6例2

6、） 写出终边在y轴上的角的集合(用0到360的角表示)解：在0到360范围内，终边在y轴上的角有两个，即90，270角(图4-4)因此，所有与90角终边相同的角构成集合S1=|=90+k360，kZ=|=90+2k180，kZ，而所有与270角终边相同的角构成集合S2=|=270+k360，kZ =|=90+180+2k180，kZ =|=90+(2k+1)180，kZ，于是，终边在y轴上的角的集合S=S1S2=|=90+2k180，kZ|=90+(2k+1)180，kZ=|=90+180的偶数倍|=90+180的奇数倍=|=90+180的整数倍=|=90+n180，nZ例二、（P6例3）、写

7、出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S 中适合不等式 -360720的元素写出来： (1)60 (2)-21 (3)36314解：(1)S=|=60+k360，kZS中适合-360720的元素是60-1360=-300，60+0360=60，60+1360=420(2)-21不是0到360的角，但仍可用上述方法来构成与-21角终边相同的角的集合，即S=|=-21+k360，kZS中适合-360720的元素是-21+0360=-21，-21+1360=339，-21+2360=699(3)S=|=36314+k360，kZS中适合-360720的元素是36314-2360=-35646，363

8、14-1360=314，36314+0360=36314例三、用集合表示：（1）第二象限的集合；（2）终边落在y轴右侧的角的集合。解：（1）因为在0o360o范围内，第二象限角的范围为90o0180o，而与每个0角终边相同的角可记为o+k360o,(kZ),故该范围内每个角适合90o+k360o 090o+k360o,(kZ)所以第二象限的集合为|-90o+k360o 90o+k360o,kZ。（2）因为在-180o180o范围内，y轴右侧的角的范围为-90o0+90o，而与每个0角终边相同的角可记为o+k360o,(kZ),故该范围内每个角适合-90o+k360o 0180o+k360o,(

9、kZ)所以第二象限的集合为|90o+k360o 180o+k360o,kZ。说明：特殊位置（或给定区域内）的角的集合的表示过步骤:1) 在0o360o范围内，找到特殊位置（或给定区域内）的角并记为0；然后写出与上述终边相同角的集合(二)习题4.1 .5(1)已知是锐角,那么2是 ( )(A)第一象限角. (B)第二象限角.(C)小于180的角. (D)不大于直角的角.三. 练习：课本第7页练习5, 习题4.1 .5(2)四. 作业：习题4.1. 3 (2)、(4)、(6)、(8) , 4总 第3教时4.2-1弧度制（1）教学目的：1、 理解1弧度的角及弧度的定义，掌握弧度制与角度制互化，并能熟

10、练的进行角度与弧度的换算；熟记一些的数角的弧度数。并进而建立角的集合与实数集一一对应关系的概念。2、 通过弧度制的学习，使学生认识到角度与弧度都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下角的加、减运算可以象十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的转化，化简了六十进制给角的加减、运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简洁美。教学重点：使学生理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。教学难点：1、弧度制的概念及其与角度的关系，2、角的集合与实数集一一对应关系。过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制角度制的定义。二、提出课题：弧度制另一种度量角的单位制，

11、它的单位是rad 读作弧度 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。 如图：AOB=1rad ，AOC=2rad 周角=2prad 1 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0；2 角a的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）3 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。三、角度制与弧度制的换算 抓住：360=2prad 180=p rad 1= 例一 把化成弧度 解： 例二 把化成度 解： 注意几点：1度数与弧度数的换算也可借助“计算器”中学数学用表进行； 2今后在具体运算时，“弧度”二字和单位

12、符号“rad”可以省略 如：3表示3rad sinp表示prad角的正弦 3一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表） 4应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。正角零角负角正实数零负实数 任意角的集合 实数集R四、练习（P11 练习1、 2） 例三 用弧度制表示：1终边在轴上的角的集合 2终边在轴上的角的集合 3终边在坐标轴上的角的集合 解：1终边在轴上的角的集合 2终边在轴上的角的集合 3终边在坐标轴上的角的集合 五、 小结：1弧度制定义 2与弧度制的互化六、作业： 课本 P11 练习 3、4 P12习题

13、4.2 2、3总 第4教时4.2-2弧度制（2）教学目的：1、 加深学生对弧度制的理解，理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活的在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。2、 通过弧度制与角度制的比较使学生认识到映入弧度制的优越性，激发在学生的学习兴趣和求知欲望，培养良好的学习品质。教学重点:弧度制下的弧长公式，扇形面积公式及其应用。教学难点：弧度制的简单应用。1、过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。 口答 二、由公式： 比相应的公式简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 例一 （课本P10例三） 利用弧度制证明扇形面积公式其中是扇形弧长，是圆的半

14、径。oRS 证： 如图：圆心角为1rad的扇形面积为：l 弧长为的扇形圆心角为 比较这与扇形面积公式 要简单 例二 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 解： ： ： oAB 例三 如图，已知扇形的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。解：设扇形的半径为r，弧长为，则有 扇形的面积例四 计算 解： 例五 将下列各角化成0到的角加上的形式 解：R=4560 例六 求图中公路弯道处弧AB的长（精确到1m）图中长度单位为：m 解： 三、练习：P11 6、7 、8、9、10四、作业： 课本 P11 -12 P12-13 习题4.2 514总 第5教时4.3-1任意角的三角函数（

15、定义）教学目的：1、 生掌握任意角的三角函数的定义，熟悉三角函数的定义域及确定方法；2、 理解a角与b=2kp+a(kZ)的同名三角函数值相等的道理。重点难点：三角函数的定义域及确定方法，终边相同角的同名三角函数值相等。过程：一、提出课题：讲解定义：1 设a是一个任意角，在a的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）则P与原点的距离（见图4-10）2比值叫做a的正弦 记作： 比值叫做a的余弦 记作： 比值叫做a的正切 记作： 比值叫做a的余切 记作： 比值叫做a的正割 记作： 比值叫做a的余割 记作： 注意突出几个问题： 角是“任意角”，当b=2kp+a(kZ)时，b与a的同名三角函数值应该是

16、相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。 实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下面有例子说明） 三角函数是以“比值”为函数值的函数 ，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定（今后将专题研究） 定义域： 二、例题：例一 已知a的终边经过点P(2,-3)，求a的六个三角函数值 解： sina=- cosa= tana=- cota=- seca= csca=- 例二 求下列各角的六个三角函数值 0 p 解： 的解答见P16-17 当a=时 sin=1 cos=0 tan不存在 cot=0 sec不存在 csc=1 例三 求函数的值域解： 定义域：cosx0

17、 x的终边不在x轴上 又tanx0 x的终边不在y轴上当x是第象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| y=2 ,|cosx|=-cosx |tanx|=-tanx y=-2 , |cosx|=-cosx |tanx|=tanx y=0例四 已知角a的终边经过P(4,-3),求2sina+cosa的值 已知角a的终边经过P(4a,-3a),(a0)求2sina+cosa的值 解：由定义 ： sina=- cosa= 2sina+cosa=- 若 则sina=- cosa= 2sina+cosa=- 若 则sina= cosa=- 2sina+cosa=三、小结：定义及有关注意

18、内容四、作业： 课本 P19 练习1 P20习题4.3 3 总 第6教时4.3-2三角函数线教学目的：1、 理解有向线段的概念、正弦线、余弦线、正（余）切线。2、 要求学生掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。过程：一、复习三角函数的定义，指出：“定义”从代数的角度揭示了三角函数是一个“比值”二、提出课题：从几何的观点来揭示三角函数的定义：用单位圆中的线段表示三角函数值三、新授：2 介绍（定义）“单位圆”圆心在原点O，半径等于单位长度的圆3 作图：（图4-12 ） 设任意角a的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，角a的终边也与单位圆交于P，坐标轴正

19、半轴分别与单位圆交于A、B两点 过P(x,y)作PMx轴于M，过点A(1,0)作单位圆切线，与a角的终边或其反向延长线交于T，过点B(0,1)作单位圆的切线，与a角的终边或其反向延长线交于S4 简单介绍“向量”（带有“方向”的量用正负号表示）“有向线段”（带有方向的线段）方向可取与坐标轴方向相同，长度用绝对值表示。例：有向线段OM，OP 长度分别为 当OM=x时 若 OM看作与x轴同向 OM具有正值x 若 OM看作与x轴反向 OM具有负值x5 有向线段MP,OM,AT,BS分别称作 a角的正弦线,余弦线,正切线,余切线 四、例题：例一利用三角函数线比较下列各组数的大小：1 与 2 tan与tan 3 cot与cot 解：如图可知： ， tan tan cot cot例二 利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角xyoTA21030xyoP1P21 sina 2 tana 解： 1 2 30a150 30a90或210a270例三、求证：若时，则sina1sina2xyoP1P2M1M2证明： 分别作a1,a2的正弦线x的终边不在x轴上 sina1=M1P1 sina2=M2P2 M1P1 M2P2 即sina1sina2五、小结：单位圆，有向线段，三角函数线六、作业： 课本 P15 练习 P20习题4.3 2 补充：解不等式：() 1sinx 2 tanx 3sin2x