人寿保险的赢利问题.docx

1、概率论与数理统计大作业研究课题： 人寿保险的赢利问题 课程名称： 概率论与数理统计 班 级： 电气信息 学 号： 姓 名： 摘要：中心极限定理是阐明有些即使原来并不服从正态分布的一些独立的随机变量，它们的总和渐近地服从正态分布。对概率论中的三个重要中心极限定理进行了论述，并总结了它们各自在实际中的应用。关键词：中心极限定理；正态分布；概率在概率论中，随机现象的统计规律性只有在对大量随机现象的考察中才能体现出来，往往采用极限的方法去研究这些大量的随机现象。而在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响而形成的，而其中每一个因素在总的影响中所起的作用都是很微小的，均匀的，

2、没有一项因素起特别突出的影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布。中心极限定理就是用来描述随机变量和的概率分布的极限的一系列定理，就是阐明有些即使原来并不服从正态分布的一些独立的随机变量，它们的总和的分布近似地服从正态分布。1 相关定理及其特例1.1 独立同分布的中心极限定理limnpi=1nXinnx=x12et22dt=x该定理表明：当n充分大时，Yn=Snnn的分布近似服从N（0，1），Sn=i=1nXi。又由于Sn=nYn+n，即Sn为Yn的线性函数，故Sn的分布也近似于服从正态分布，且Sn的分布近似于Nn，n2。于是我们知道，相互独立同分布且存在期望和方差的随机变量的和也近似服从正态

3、分布。故而独立同分布的中心极限定理给我们提供了近似计算独立同分布的随机变量之和的概率的方法。Sn近似服从正态分布Nn，n2，当n较大时，可先将Sn标准化，然后再查标准正态分布表得之。这个定理的另一个形式是均值为 ，方差为2的独立同分布序列X1，X2，Xn，其算术平均值X=1ni=1nXi在n充分大时，渐近服从均值为，方差为2n的正态分布，这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础。独立同分布的中心极限定理主要适用以下两个方面：应用一：求随机变量之和Sn落在某区间的概率。对这类情形，首先构造一列独立同分布且期望和方差已知的随机变量，其次将所求事件的概率转化为此列随机变量之和Sn在某一区间取值的概率

4、，最后再用正态分布的概率公式计算。应用二：已知随机变量之和Sn取值的概率，求随机变量的个数n。对这类问题，其解法的顺序同上述情形刚好相反。首先是利用独立同分布极限定理将所给概率转换成一个与n有关的标准正态分布的函数值fn，通过查表求出fn，再解出fn中所含的未知数n。1.2 棣莫弗拉普拉斯定理limnPXnnpnp1px=x棣莫弗拉普拉斯定理是独立同分布中心极限定理的一个特例。如果将服从二项分布的随机变量X n看成n个相互独立的服从(0，1)分布的随机变量之和时，棣莫弗拉普拉斯定理就是独立同分布中心极限定理。该定理主要适用于以下几个方面：应用一：近似计算服从二项分布的随机变量在某范围内取值的概

5、率。我们知道，正态分布可近似二项分布，而泊松分布可近似二项分布，当二项分布b(n，p)n较大而p较小时，可用泊松分布近似计算其概率；如果P接近1，由于q=1P很小，这时也可用泊松分布近似计算。但当n较大，且P不太接近0或1时，再用泊松分布近似估算二项分布的概率就不够精确了，这时应选用棣莫弗拉普拉斯定理来计算。应用二：已知服从二项分布的随机变量在某范围内取值的概率，估计该范围(或该范围的最大值)。1.3 李雅普诺夫定理limnPi=1nXii=1niBnx=x李雅普诺夫定理说明了不论各个随机变量Xi (i=1，2， ，n)服从什么样的分布，只要满足条件，则当n很大时，它们的和i=1nXi。渐近服

6、从正态分布。上述三个中心极限定理都是研究可列个相互独立的随机变量和的分布函数。在一定条件下，当n充分大时，转化为正态分布，它们的区别仅仅是各自的条件有所差异。除中心极限定理外，切比雪夫大数定律也可用于近似计算。设EXi=，D(Xi)=20，则由切比雪夫大数定律可知，对任意给定的 0，有limnpP1ni=1nXi=1而由独立同分布的中心极限定理有P1ni=1nXi=Pi=1nXinnnn=2n1由此可见，在所设条件下，中心极限定理比大数定理在上述近似计算中更为精确。中心极限定理以严格的数学形式阐明了在大样本条件下，不论总体的分布如何，样本均值总是近似地服从正态分布。正是这个结论使得正态分布在数

7、理统计和误差分析中占有特殊的地位，是正态分布得以广泛应用的理论基础。2 定理在实际问题中的应用生活中经常会看到路边有人在推销保险，也经常接到很多推销保险的电话。推销时经常会说参加保险的好处，以人寿保险为例，每个月只需要缴纳少量的保险金，当出现以外伤害事故或者死亡时就可以从保险公司领取到几十万元的高额赔付。许多人也因此参加了保险。可是我们才交了这么点钱，保险公司却赔付了我们那么多，保险公司不是赔本了？同时也听说保险行业是暴利行业，可以赚到很多钱。推销保险的人经常可以拿到12万元的月薪，内勤人员也经常一个年发18个月的工资。保险公司的高层人员就更不用说了。保险公司在赔付我们高额保金的同时又怎么会有

8、如此大的利润？根据这两个问题，本课题研究人寿保险的赢利问题以新华人寿保险公司为例，在新华人寿保险公司里有3000个同一年龄的人参加人寿保险。在一年里，这些人死亡的概率为0.1%。参加保险的人每个月交付保险金100元，死亡时，家属可以从保险公司领取20万元。（a）求新华人寿保险公司一年中获利不小于160万元的概论；（b）保险公司亏本的概率是多少？解：设一年中死亡的人数是X人，X=0,，3000。死亡概率p=0.001，把考虑3000个人在一年中是否死亡看成3000重伯努利试验，故X服从二项分布，即XB（3000，0.001）。保险公司每年收入300010012=3600000元，付去200000X元。（a）P保险公司获利不少于160万元=P3600000200000X1000000=P0X10np=30000.001=3np1p=30.999=1.7312 由公式Pab=Panpnp1p3600000=PX18=1PX18=1P0X18=1P31.7312X31.73121831.73121151.731231.7312=111.733=11.733=10.9582=0.0418可见保险公司亏本的概率很小。