概率论与数理统计模板.ppt

1、授课教师:单位：数学与计算科学学院email:、2概率论的简史概率论是一门研究随机现象规律的数学分支,起源于 17 世纪中叶；刺激数学家思考概率论问题确是来自赌博问题。布莱士 帕斯卡（Blaise Pascal 16231662）法国著名的数学家、物理学家、哲学家和散文家。主要贡献是在物理学上，发现了帕斯卡定律，并以其名字命名压强单位。费马(Pierre de Fermat，1601 1665）法国著名数学家，被誉为“业余数学家之王”。3赌徒分赌金问题 两赌徒 A、B 下赌金后约定谁先赢满 6局，谁就获得全部赌金，赌了半天，A 赢了 5 局，B 赢了 2 局，时间很晚了，他们都不想赌了。假设每

2、一盘 A 获胜的概率为p，B 为 1-p。问：赌金应该怎么分？4Pascal 和 Fermat 从不同理由出发，在1654 年给出正确的解法。1657 年，荷兰数学家惠更斯亦用自己的方法解决这一问题，更写成了论赌博中的计算一书，这就是概率论中最早的论著。三人提出的解法中都首先涉及 到数学期望这一概念，并由此 奠定了古典概率论的基础。5江山代有人才出，各领风骚数百年使概率论成为数学分支的另一奠基人是瑞士的数学家雅各布-伯努利 （1654-1705）他的主要 贡献是建立了概率论中的 第一个极限定理。我们称 之为“伯努利大数定 理”。这一定理在他死后 1713 年发表在他的遗著猜度论中。61750

3、年，法国数学家棣莫弗（1667-1754）出版其著作分析杂论，当中包含著名的“棣莫弗-拉普 拉斯定理”，这就是概率论中 第二个极限定理的原始初形。1812 年法国数学家拉普拉斯（1749-1827）出版的概率分析理论 中，首先明确地 对概率做了古 典的定义。7另一个在概率论史上的代表人物是法国数学家泊松（17811840），他推广了伯努利形式下的大数 定律，研究得出一种新的分布，即泊松分布。概率论即他们之后其中心课题 则集中在推广和改进伯努利大 数定律及中心极限定理。1781 年 6 月 21 日生于法国卢瓦雷省的皮蒂维耶，1840 年 4 月 25 日卒于法国索镇。1798 年入巴黎综合工科

4、学校深造。1806 年任该校教授，1812 年当选为巴黎科学院院士。8忽如一夜春风来 千树万树梨花开最早对概率论来严格化进行尝试的，是俄国数学家伯恩斯坦（18801968）和奥地利数学家冯 米西斯（18831953）。他们都提出了一些公理来作为概率论的前提，但他们的公理理论都是不完善的。作为测度论的奠基人，博雷尔（Borel）在1905 年指出概率论理论如果采用测度论术语来表述将会方便许多，并首先将测度论方法引入概率论重要问题的研究，特别是1909 年他提出并在特殊情形下解决了随机变量序列，服从强大数定律的条件问题。9博雷尔的工作激起了数学家们沿这一崭新方向的一系列探索，其中尤以原苏联数学家科

5、尔莫戈罗夫（19031987）的研究最为卓著他给出了概率的公理化定义。概率论不仅是“数学之树”的一庞大支条，而且还有若干强壮的根，直接扎在实际应用环境的大地上“芳草有情皆碍马，好云无处不遮楼”。正如英国的逻辑学家和经济学家杰文斯（18351882）所说，概率论是“生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，无所作为。”10现实中有趣的概率的例子以 1 年 365 天计（不考虑闰年因素），你如果肯定在某人群中至少要有两人生日相同，那么需要多少人？大家不难得到结果，366 人，人数只要超过 365 人，必然会有人生日相同。但如果一个班有 50 人，他们中间有人生日相同的概率是多少？

6、11据统计，飞机旅行是目前世界上最安全的交通工具，它绝少发生重大事故，造成多人伤亡的事故率约为三百万分之一，假如你每一天坐一次飞机，这样飞上 8200 年，你才有可能会不幸遇到一次飞行事故，三百万分之一的事故概率，说明飞机这种交通工具是最安全的，它甚至比走路和骑自行车都要安全。走路时被汽车撞死：危险概率是 1 40000；骑自行车时死于车祸：危险概率是 1 130000；死于车祸：危险概率是 1 5000。12“36 选 7”玩法的头奖命中概率为1/8347680，七乐彩中一等奖的概率为 203万分之一，双色球全中红球的中奖概率为110 万分之一，而双色球中一等奖的概率大概是 1800 万分之

7、一。有笑话说全世界的数学家都不会去买彩票，因为他们知道，在买彩票的路上被汽车撞死的概率远高于中大奖的概率。科学日益发展，数学于生活中之应用愈来愈广，概率统计在我们的生活中几乎无处不在，学好概率确是较难，可探究过程于我们却是受益匪浅。13第一章 随机事件及概率第一章 随机事件及概率 随机事件随机事件随机事件的概率随机事件的概率古典概率模型（等可能概率模型）古典概率模型（等可能概率模型）条件概率条件概率随机事件的独立性随机事件的独立性141.1 随机事件随机事件一、一、随机试验随机试验随机现象：随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象，称为随机现象。结果的现

8、象，称为随机现象。例：抛一枚硬币，观察出现正面或反面的情例：抛一枚硬币，观察出现正面或反面的情况况。思考：思考：随机现象是否有规律？随机现象是否有规律？15（3）试验中一切可能出现的结果可以预先）试验中一切可能出现的结果可以预先知知道。道。必然性必然性（统计规律性统计规律性）随机试验随机试验:对随机现象加以研究所进行的观对随机现象加以研究所进行的观察或实验，且满足：察或实验，且满足：（1）在相同条件下，可以进行大量次重复）在相同条件下，可以进行大量次重复试验。试验。可重复性可重复性（2）每次试验中可以出现不同的结果，而）每次试验中可以出现不同的结果，而不不能预先知道发生哪种结果。能预先知道发生

9、哪种结果。偶然性偶然性随机试验随机试验一般用字母一般用字母 E 表示。表示。16例例 1 E1：掷一枚硬币，观察其正面（：掷一枚硬币，观察其正面（H）和）和反面（反面（T）出现的情况。试验的条件是掷一）出现的情况。试验的条件是掷一枚硬币，条件实现（一枚硬币掷出）就完成枚硬币，条件实现（一枚硬币掷出）就完成一次试验。一次试验。例例 2 E2：将一枚硬币掷：将一枚硬币掷 2 次，观察正、反面次，观察正、反面出现的情况。试验的条件就是把硬币掷出现的情况。试验的条件就是把硬币掷 2 次，次，条件实现（硬币掷了条件实现（硬币掷了 2 次）就完成一次试验。次）就完成一次试验。17随机事件：随机事件：样本空

10、间 样本空间 的子集称为 随机试的子集称为 随机试验验 E 的随机事件的随机事件。简称。简称事件事件。基本事件：基本事件：试验试验 E 的每一可能的结果叫做的每一可能的结果叫做样样本点本点 ，一般用，一般用 表示，表示，表示基本事件表示基本事件。样本空间样本空间 随机试验 随机试验 E 的所有可能结果组成的所有可能结果组成的集合称为 的集合称为 E 的样本空间的样本空间。记作：。记作：。二、随机事件二、随机事件样本点：样本点：随机试验 E 的每一个可能结果称为样本点 事件发生：事件发生：在试验中，当且仅当事件的一个样本点 出现时，称此事件发生。18必然事件：必然事件：试验中必然发生的事件，记为

11、试验中必然发生的事件，记为S。不可能事件：不可能事件：试验中不可能发生的事件试验中不可能发生的事件称为不可能事件，记为称为不可能事件，记为。（1）样本空间的构成是由试）样本空间的构成是由试验的条验的条件和观察的目的所决定件和观察的目的所决定。注意注意注意注意19（2）基本事件是事件的一种，一般的事件是）基本事件是事件的一种，一般的事件是由若干个基本事件共同组成的，因而是样本空由若干个基本事件共同组成的，因而是样本空间的间的子集子集，通常又称其为复合事件。，通常又称其为复合事件。（3）随机事件的另一个定义：样本空间）随机事件的另一个定义：样本空间 的某个子集。的某个子集。事件事件 A 发生当且仅

12、当试验中出现发生当且仅当试验中出现A 的某个基本事件。的某个基本事件。20三、三、事件之间的关系和运算事件之间的关系和运算 定义：定义：若事件若事件 A 发生必导致事件发生必导致事件 B 发生，则发生，则称称事件事件 B 包含事件包含事件 A。记为记为:B A 或或 A B。（1）事件的包含关系）事件的包含关系结论：结论：若事件若事件 A B 且且 A B，则称事件则称事件 A和事和事件件 B 相等，记为相等，记为 A B。即：事件即：事件 A、B所包含所包含的基本事件是一样的。的基本事件是一样的。21定义：定义：事件事件 A，B 至少有一个发生，称为至少有一个发生，称为事件事件 A 与与 B

13、 的和（或称为并），记为的和（或称为并），记为 AB（2）事件的和）事件的和定义：定义：2 个事件个事件 A，B 都都发生，称为事件发生，称为事件 A与与 B 的交（或积），记为的交（或积），记为 AB（或或AB）。）。（3）事件的交）事件的交定义：定义：“事件“事件 A 发生而事件发生而事件 B 不发生”也是不发生”也是一个事件，称为一个事件，称为 A 与与 B 的差。记为的差。记为 A B。（4 4）事件的）事件的差差 22定义：定义：在一次试验中，若事件在一次试验中，若事件 A、B 不能同不能同时发生，即时发生，即 AB ，则称事件，则称事件 A、B 是互是互不相容的事件不相容的事件。结

14、论：结论：从基本事件说，互不相容事件就是没从基本事件说，互不相容事件就是没有公有的基本事件。显然，在一次试验中，有公有的基本事件。显然，在一次试验中，两个基本事件不能同时发生，所以任何两个两个基本事件不能同时发生，所以任何两个基本事件都是互不相容事件。基本事件都是互不相容事件。（5）事件的互不相容性）事件的互不相容性23定义定义：若：若 A B ，AB ，则称则称A、B 为相互对立的事件（简称互逆），事为相互对立的事件（简称互逆），事件件 A 的逆事件又可记为 。的逆事件又可记为 。A结论结论：A、B 互逆 互逆 A、B 互不相互不相容；容；A、B 互不相容 互不相容 A、B 互逆。互逆。（6

15、）逆事件）逆事件(对立事对立事件件)24交换律交换律：A B B A，AB BA（AB BA）（7）事件的运算规律）事件的运算规律；BABA;BABA德摩根公式德摩根公式：AA.1BAABABA.2注注结合律结合律：(A B)C A(B C)，(AB)C A(BC)分配律分配律：(AB)C(A C)(B C)，(A B)C(AC)(BC)25例例 1、在一个口袋里装有红、黄、白三种球，、在一个口袋里装有红、黄、白三种球，每种球都不止一个，一次任取两个球，观察每种球都不止一个，一次任取两个球，观察它们的颜色。设它们的颜色。设 A 两个同色球两个同色球 ，B 至少至少一个红色球一个红色球 ，问，问

16、 A B由哪些基本事件组成？由哪些基本事件组成？例例 2、设、设 A、B、C 为三个事件，试为三个事件，试将下将下列事件用列事件用 A、B、C 表示出来。表示出来。（1）三个事件都发生；）三个事件都发生；（2）三个事件都不发生；）三个事件都不发生；26（3）三个事件至少有一个发生；）三个事件至少有一个发生；（4）A 发生，发生，B、C 不发生；不发生；（5）A、B 都发生，都发生，C 不发生；不发生；（6）三个事件中至少有两个发生；）三个事件中至少有两个发生；（7 7）不多于一个事件发生）不多于一个事件发生；（8）不多于两个事件发生。不多于两个事件发生。27例 3.在数学系的学生中任选一名学生

17、。若事件 A 表示被选中学生为男生，事件 B 表示该生是三年级学生，事件 C 表示该生是运动员。（1）叙述 ABC 的意义（2）在什么条件下，ABC=C（3）在什么条件下，BA（1）该生是三年级男生，且是运动员（2）全系运动员都是三年级男生（3）全系女生都在三年级28例 4.指出下列关系中哪些成立，哪些不成立(1)A B=A B(6)(8)(3)(4)(2)(5)(7)BBABA)(BAABBCACAB则且若BBABA则若AABBA则若ABBA则若CBACBA)(分析：(1)对（2）错（3）对（4）对（5）对（6）对（7）对（8）错291.2 随机事件的概率随机事件的概率一、事件的频率一、事件

18、的频率定义定义：如果在如果在 n 次重复随机试验中，事件次重复随机试验中，事件 A发发生了生了 nA次，那么就称比值 次，那么就称比值 fn(A)为事件为事件 A发生发生的频率，其中 ，的频率，其中 ，nA称为称为 A 在这在这 n次试验中发生的频数次试验中发生的频数。nnAfAn)(30说明说明说明说明由频率的定义可见，如果事件由频率的定义可见，如果事件 A 发生发生的的可能性愈大，频率就愈大；另一方面，频率可能性愈大，频率就愈大；另一方面，频率还有还有稳定性稳定性，即当，即当 n 很大时，频率稳定在一很大时，频率稳定在一个个固定值附近摆动。固定值附近摆动。31（1）对任意事件）对任意事件

19、A，。1)(0Afn（2）。1)(nf（3）对任意有限多个互不相容的事件）对任意有限多个互不相容的事件 A1、A2 Am 有 有 。miinmiinAfAf11)()(对任意随机试验对任意随机试验 E，频率具有性质频率具有性质：32二、概率的定义二、概率的定义（1）概率的统计定义）概率的统计定义定义定义 1：在同一组条件下所作的大量重复试在同一组条件下所作的大量重复试验验中，如果事件中，如果事件 A 发生的频率总是在一个确定发生的频率总是在一个确定的的常数 常数 p p 附近摆动，并且逐渐稳定于附近摆动，并且逐渐稳定于p p，那那末末数 数 p p 就表示事件就表示事件 A 发生的可能性大小，

20、并发生的可能性大小，并称称它为事件它为事件 A 的概率，记作 。的概率，记作 。)(AP33（2）概率的公理化定义）概率的公理化定义定义定义 2：设设 E 是随机试验，是随机试验，是是 E 的样本空间的样本空间，对于对于 E 的每一个事件的每一个事件 A 对应唯一的实数值，记对应唯一的实数值，记为为 ，称为事件，称为事件 A 的概率，如果的概率，如果集合函集合函数数 满足下列条件：满足下列条件：)(AP)(P0)(AP（1）非负性）非负性：1)(P（2）规范性：）规范性：34（3）可列可加性：可列可加性：是任意无穷多个互不相容的事件，有是任意无穷多个互不相容的事件，有 12,nA AALL11

21、()()iiiiPAP A=U这这 3 条也是概率的三个基本性质，此外概率条也是概率的三个基本性质，此外概率还有一些其他性质：还有一些其他性质：351.0()0.Pf=性质不可能事件的概率为，即12112.:,()()nnniiiiA AAPAP A=LU性质有限可加性两两互不相容，则有3.AB ()()()()().ABP BAP BP AP BP A-=-性质对任意事件、，若，则有，且性质：性质：)()()(ABPBPABP)()()()()()(BAPABPBPBAABBBAAB且注：364.()1.AP A性质对任一事件，5.()1().AP AP A=-性质对任一事件，6.()()(

22、)().ABP ABP AP BP AB=+-U性质对任意两事件，有)()()()()(1ABBPAPBAPABBAABBABA且：注注 2：性质 6 给出了P(AUB)与 P(AB)间的关系 37概率的加法公式可推广到有限个事件的并的概率的加法公式可推广到有限个事件的并的情形。如：情形。如：12()nP AAA热既111112()()()(1)().niijiij nijkij k nnnP AP A AP A A AP A AA=-=-+-邋KK这个式子称为这个式子称为这个式子称为这个式子称为“多除少补原“多除少补原“多除少补原“多除少补原理”理”理”理”.38例 1.设 A,B 为两事件

23、，P(A)=0.5，P(B)=0.3，P(AB)=0.1.求：(1)A 发生但 B 不发生的概率(2)A 不发生 B 发生的概率(3)至少有一个事件发生的概率(4)A,B 都不发生的概率(5)至少有一个事件不发生的概率解答：(1)0.4 (2)0.2(3)0.7(4)0.3(5)0.939 若某事情可以分成 k 个阶段来完成，完成第 1个阶段有 m1种方法，完成第 k 个阶段有 mk 种方法，则完成该事情共有 种方法。1kiim=古典概型古典概型 的的 预备知识 预备知识 若完成某事情有 k 种途径来完成，第 1 种途径有 m1种方式，第 k 种途径有 mk 种方式，则完成该事情共有 种方式。

24、1、乘法原理2、加法原理1kiim=40 从 n 个不同元素中任意抽取 r 个个不同元素，按一定顺序排成一列，称此一列元素为从 n 个个不同元素中任意抽取 r 个不同元素所组成的一种排列。!()!rrnnnPAnr=-3、排列 关注：从 n 个不同元素中任意抽取 r 个不同元素进行排列，共有多少种？个数之积rrnnn)1()1(41 从 n 个不同元素中任意抽取 r 个个，得到的这一组 r 个元素称为从 n 个个不同元素中任意抽取 r 个元素所构成的一个组合。!()!rnnCnrr=-4、组合 关注：从 n 个不同元素中任意抽取 r 个元素，共有多少种组合？n12)1()1()1(rrrnnn

25、42三、古典概型古典概型（等可能概型）（等可能概型）古典概型古典概型（等可能概型）：如果一个随机试（等可能概型）：如果一个随机试验验 E 具有如下的特征，则称为等可能概型。具有如下的特征，则称为等可能概型。（1）样本空间是由有限个基本事件组成的）样本空间是由有限个基本事件组成的；（2）每一个基本事件在一次试验中发生的可）每一个基本事件在一次试验中发生的可能性是相同的。能性是相同的。即即：)()(,11nnPP且，nPi1)(则43定理定理：在古典概型中，若样本空间包含的基：在古典概型中，若样本空间包含的基本事件总个数为本事件总个数为 n，其中事件其中事件 A 包含的基本包含的基本事事件个数为件

26、个数为 k，则事件则事件 A 的概率为的概率为 ()kP An=古典概型中概率的计算古典概型中概率的计算.21kiiiA分析：4445例例 2、盒中有、盒中有 a 个黑球，个黑球，b 个白球，把球随个白球，把球随机地一只只取出（不放回），求事件机地一只只取出（不放回），求事件A：“第：“第 k（1 k a b）次取到黑）次取到黑球”的概率。球”的概率。应用46分析：考虑随机试验分析：考虑随机试验 E E：把：把 a+ba+b 个球全部取出依个球全部取出依次放在排列成一直线的次放在排列成一直线的 a+ba+b 个位置上，观察可能得到个位置上，观察可能得到的的 a+ba+b 个球的全排列，事件个球

27、的全排列，事件 A A：第：第 k k 次取到次取到黑球，则排列的第黑球，则排列的第 k k 个位置上必定放的是黑球，个位置上必定放的是黑球，这个黑球是这个黑球是 a a 个黑球的任意一个黑球，一旦第个黑球的任意一个黑球，一旦第 k k 个位个位置上的黑球放定，而另外的置上的黑球放定，而另外的 a+b-1a+b-1 个位置应该是剩下个位置应该是剩下的的 a+b-1a+b-1 个球的全排列，故随机事件个球的全排列，故随机事件 A A 是由是由 a a（a+b-a+b-1 1）！个基本事件组成，故）！个基本事件组成，故P(A)=a(a+b-1)!/(a+b)!=a/a+bP(A)=a(a+b-1)

28、!/(a+b)!=a/a+b发现：第发现：第 k k 次取到黑球的概率与次取到黑球的概率与 k k 无关。无关。抽签与顺序无关！抽签与顺序无关！47例例 3 3、一盒中含有、一盒中含有 N 1 1 个黑球，一个白球，个黑球，一个白球，每每次从盒中随机地取一只球，并还入一只黑球，次从盒中随机地取一只球，并还入一只黑球，这样继续下去，求事件这样继续下去，求事件 A：“：“第第 k 次取到黑次取到黑球”球”的概率。的概率。48解：显然，这是一个古典概型的问题，样本解：显然，这是一个古典概型的问题，样本空间的大小为 ；而要求概率的事件空间的大小为 ；而要求概率的事件 A所包所包含的基本事件个数就不容易

29、计算了，但可考含的基本事件个数就不容易计算了，但可考虑其逆事件，包含的基本事件数为：虑其逆事件，包含的基本事件数为：kN11(1)kN-kkNNAPAP1)1(1)(1)(49 例 4.将一颗骰子接连掷两次，试求下列事件的概率：(1)两次掷得的点数之和为 8；(2)第二次掷得 3 点.365)(AP61366)(BP 分析：求样本空间A.;50例 5.某城市电话号码升位后为 8 位数，且第一位为6 或 8，求：(1)随机抽取的一个电话号码为不重复的 8 位数的概率；(2)随机抽取的电话号码末位数是8 的概率72 9 8 7 6 5 4 3()0.0181442 10P A创创创=()0.1P

30、B=51 例 6（抽样问题）一批产品共有 N 个，其中 M 个是不合格产品，N-M 个是合格品。从中随机取出 n 个，试求事件 A=“取出的 n 个产品中有 m 个不合格产品”的概率。(),mn mMN MnNCCP Amn mM nNC-=思考：如果是放回抽取的情形结果是怎样的？52 例 7（抽奖问题）某超市投放 n 张奖券，只有 1 张有奖，每位顾客可抽 1 张，求第 k（1kn）位顾客中奖的概率。1()P An=53!()nnP AN=例 8（分房问题）n 个人，每个人被分配到 N 个房间中的任意一间去住的可能性是相等的（nN），求下列事件的概率：(1)指定的 n 个房间各有一人住；(2

31、)恰好有 n 个房间，各有一人住。!()nNnCnP BN=思考：（生日问题）n 个人的生日全不相同的概率是多少？（n365）54 例 9（品茶问题）一位常饮牛奶加茶的女士称：她能从一杯冲好的饮料中辨别出是先放茶还是先放牛奶。在接下来的10 次试验中她都正确地辨别出来。问该女士的说法是否可信。101()0.00097662P A=55（1）几何概率的定义 若随机试验的样本空间有无数多个样本点,且每个样本点发生的可能性相等，称这样的随机试验为几何概型。四、四、几何概率（古典概率的推广）几何概率（古典概率的推广）在几何概型中，若样本空间可以用空间的某个区域 来表达，A 为任意一个事件，事件 A 可

32、以用区域 的一个子区域 DA来表达，定义事件 A 的概率为为:=WW()AADDP A的度量的度量度量：长度、面积与体积等。56(1)几何概型的判断方法（无限性、等概性）（无限性、等概性）。注意注意:(2)几何概率的确定方法：弄清试验是否为几何概型;确定样本空间与随机事件对应的区域;计算区域的度量，列出比式进行概率计算。57 例 1（等车问题）某公共汽车站从上午 7 时起，每隔 15 分钟来一趟车，一乘客在 7:00 到 7:30 之间随机到站，求：(1)该乘客等候不超过 5 分钟上车的概率。(2)该乘客候车时间超过 10 分钟的概率。1()(B)3P AP=58 例 2（会面问题）甲、乙两人

33、约定在下午 6 时到 7 时之间在某处会面，并约定先到者等候另一人 20 分钟，过时不候，求两人能会面的概率。5()9P A=59 例例 3 从区间从区间(0,1)内任取两个数，试求这内任取两个数，试求这两个数的积小于两个数的积小于 1/4 的概率。的概率。解：设从区间解：设从区间(0,1)内任取两个数内任取两个数 x 与与 y,则 则 0 x1,0y10 xy11 样本空间 是边长为样本空间 是边长为1 的长的长方形。两个数的积小于方形。两个数的积小于 1/4的充要条件是的充要条件是 xy1/4,0 x1,0y0 0，称为A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率。1)()(BAPBAP如：

34、如：注意：注意：（1 1）条件概率也是概率，所以，它满足概率）条件概率也是概率，所以，它满足概率的一切性质的一切性质。a.对每个时间对每个时间 B,有有 P(B|A)0;b.P(|A)=1;c.设设 B1，B2，.是两两互不相容的事件则是两两互不相容的事件则)()()|(APABPABP)|()|(11ABPABPiiii62（2）一般的，概率与条件概率之间没有大小）一般的，概率与条件概率之间没有大小关系，但是有一种情况例外。关系，但是有一种情况例外。()(|)(),(|)()ABBAP B AP B P A BP A烫吵若或者则有（3）在古典概型中，设样本空间是由）在古典概型中，设样本空间是

35、由 n 个基个基本事件组成，若事件本事件组成，若事件 B 包含包含 m 个基本事件 个基本事件(m0)，AB 包含包含 k 个基本事件，则个基本事件，则()/(|)()/P ABk nkP A BP Bm nm=63例例 1：有：有 10 个产品，其中个产品，其中 4 个是次品，从中不放回个是次品，从中不放回的抽取的抽取 2 个，已知取出的一个是次品的条件下另外个，已知取出的一个是次品的条件下另外一个也是 次品的概率。一个也是 次品的概率。解：令解：令 A：“第一个的是次品”，：“第一个的是次品”，B：“第二个是：“第二个是次品”，则所求的是次品”，则所求的是 P(B|A)，根据条件概率的求，

36、根据条件概率的求法，法，24211446()1(|)()5CP ABP B AP ACC C=+64例例 2.设某动物活到 20 岁的概率为 0.8，活到25 岁的概率为 0.4.试求现龄 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率。解：A=这种动物活到 20 岁 ；B=这种动物活到 25 岁 ；则所求为5.08.04.0)()()|(APABPABP65计算计算 P(B|A)的方法：的方法：(1)在原来的样本空间中计算在原来的样本空间中计算；(2)在缩减的样本空间中计算在缩减的样本空间中计算例例 3：一袋中有 10 只球，其中 3 只黑球，7只白球。一次从袋中不放回取两球。(1)已知第一次取出的

37、事黑球，求第二次取出仍事黑球的概率；(2)已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率。66解：记 Ai=第 i 次取到黑球 92)|(12AAP(1)可以在缩减的样本空间A1上计算。因为 A1已发生，即第一次取到的是黑球，第二次取球时，所有可取得球只有 9 只。故A1中所含的基本事件数为 9.其中黑球剩下 2 只，故67(2)由于第二次取球是在第一次之后，故由于第二次取球是在第一次之后，故A2不好计不好计算。因此，直接在 用定义计算。算。因此，直接在 用定义计算。;15191023)(21AAP103)(2AP92)()()|(22121APAAPAAP68二、概率的乘法公式二、概率

38、的乘法公式 定理：定理：两个事件的交的概率等于其中一个事件两个事件的交的概率等于其中一个事件的概率与另一事件在前一事件发生下的条件概的概率与另一事件在前一事件发生下的条件概率的乘积。即：率的乘积。即：P(AB)=P(B)P(A|B)P(A)P(B|A)这是两个事件的交，我们可以推广到求有这是两个事件的交，我们可以推广到求有限多个事件的交：限多个事件的交：6911121111()0()()()()niininniPAPAP A P A AP A AA-=-=LLII若，则例如 例如 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)70例例 2.判断题判断题（1）n 张奖券中有张奖券中有 k 张有

39、奖（张有奖（k-所求的概率为：（2）若已知第一个人未中奖，则第二个人中奖的概率将若已知第一个人未中奖，则第二个人中奖的概率将增大。增大。分析：对分析：对72例例 3：为了防止意外，矿井中装有为了防止意外，矿井中装有 A，B 两两种报警设备，已知种报警设备，已知 A 单独使用时有效的概率单独使用时有效的概率为为 0.92，设备，设备 B 单独使用时有效的概率为单独使用时有效的概率为0.93，在设备，在设备 A 失效的条件下，设备失效的条件下，设备 B 有有效的概率为效的概率为 0.85，求发生意外时至少有一个，求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率。报警设备有效的概率。解：令解：令 A：“：“

40、A 设备有效”，设备有效”，B：“：“B 设备设备有效”，有效”，已知：已知：P(A)=0.92，P(B)=0.93,(|)0.85P B A=()P AB求：73()()()(|)()1()()0.862()()()()0.988P ABP BP ABP B AP AP AP ABP ABP AP BP AB-=-=+-=Q74三、全概率公式和贝叶斯公式三、全概率公式和贝叶斯公式 1 1、划分：、划分：设设 为随机试验为随机试验 E 的样本空的样本空间，间，为为 E 的一组事件，若的一组事件，若 12,nA AAL.()ijA Aij=F12nAAA=WUULU（1）（2）则称 为样本空间的

41、一个有穷划则称 为样本空间的一个有穷划分（或称为完备事件组）。分（或称为完备事件组）。12,nA AAL75设设 为随机试验为随机试验 E 的样本空间，的样本空间，为样本空间的一个划分。则：为样本空间的一个划分。则：12,nA AALL1()()()iiiP BP A P B A=(1)全概率公式：2 2、全概率公式与、全概率公式与贝叶斯公式贝叶斯公式1()(|)2()()()iiiiiiP A P B AP A BP A P B A=()贝叶斯公式：76例2.某电子设备厂所用的晶体管由甲、乙、丙三家元件制造厂提供。三家制造厂提供的晶体管的数量比是1：2：3，三家制造厂生产的晶体管的次品率分别

42、为 4%，3.5%，3%。随机的从设备厂所用的晶体管中抽取一只，求：1.取出的晶体管是次品的概率。2.若取出的晶体管是次品，则它是由甲厂生产的概率。77 例 1 每箱产品有 10 件,其中次品数从 0 到 2 是等可能的.开箱检验时,从中依次抽取两件(不重复),如果发现有次品,则拒收该箱产品.试计算:(1)一箱产品通过验收的概率;(2)已知该箱产品通过验收,则该箱产品中有 2 个次品的概率.);2,1,0(该箱产品通过验收件次品箱中有设BiiAi解201();S,()(0,1,2);3ijiiiA AijAP Aif f=谷=谷n n且.)|(;)|(;1)|(2102822102910CCA

43、BPCCABPABP(1)P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)807.031311312102821029CCCC257.0807.031)()|()()|()2(21028222CCBPABPAPBAP78解：设 A 表示“产品为次品”事件。B1，B2，B3分别表示产品是甲乙丙车间生产的事件。则：P(B1)=1/6;P(B2)=2/6;P(B3)=3/6 P(A|B1)=0.04;P(A|B2)=0.035;P(A|B3)=0.03(1).P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.0118/6

44、(2).P(B2|A)=P(AB1)/P(A)=P(A|B1)P(B1)/P(A)59461118.06204.079例例 3、产品整箱出售，每箱、产品整箱出售，每箱 20 个。各箱有个。各箱有0，1，2 个次品的概率分别为个次品的概率分别为0.7，0.2，0.1。一位顾客欲购买一箱产。一位顾客欲购买一箱产品，在购买时，营业员随机地取一箱，而顾客品，在购买时，营业员随机地取一箱，而顾客从中任取从中任取 4 只检查，若无次品，则买下该箱产只检查，若无次品，则买下该箱产品，否则退货，求（品，否则退货，求（1）顾客买下该箱产品的）顾客买下该箱产品的概率；（概率；（2）已知顾客买下一箱产品，则该箱）已

45、知顾客买下一箱产品，则该箱都是正品的概率为多少？都是正品的概率为多少？80解：设 Ai表示“有 i 个次品”事件，则 P(A0)=0.7;P(A1)=0.2;P(A2)=0.1 设 B 表示“顾客买下所察看的产品”事件。则 P(B|A0)=1;P(B|A1)=;P(B|A2)=54420419CC1912420418CC(1)P(B)=P(B|A0)P(A0)+P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)0.92(2)P(A0|B)=76.092.017.0)()|()()()(000BPABPAPBPBAP81例例 4、袋中、袋中 N 个球，其中红球个数从个球，其中红球个数从 0 N等

46、可能，每次从中任取等可能，每次从中任取 1 球，观察其颜色球，观察其颜色后放回，如此重复了后放回，如此重复了 k 次。结果次。结果 k 次都观察次都观察到红球，问袋中全是红球的概率。到红球，问袋中全是红球的概率。82解：设 Bi=袋中有 i 个次品 ，i=0,1,2,.,N P(B0)=P(B1)=P(B2)=.=P(BN)=1/N 设 A=k 次取到红球 N1ikkkkkkkkNN1100iN1NN.N2N1N0N1)B|)P(AP(B.)B|)P(AP(B)B|)P(AP(BP(A)NikkNikkNNNNiNiNNAPBAPBPAPABPABP111111)()|()()()()|(83

47、解：设事件解：设事件 A 第一次抽到次品第一次抽到次品 ，事件事件 B 第二次抽到次品第二次抽到次品，（1）因是有放回的：）因是有放回的：P(B|A);101（2）因是有放回的：因是有放回的：P(B)P(B|A)101所以，所以，P(B|A)P(B)。84一、两个事件的独立性一、两个事件的独立性1.4 事件的独立性事件的独立性例例 1、在、在 20 个产品中有个产品中有 2 个次品，从中接连抽个次品，从中接连抽两两个产品，第一个产品抽得后放回，再抽第二个个产品，第一个产品抽得后放回，再抽第二个产品，求产品，求（1）已知第一次取得次品的情况下，第二次）已知第一次取得次品的情况下，第二次取取得次品

48、的概率；得次品的概率；（2）第二次取得次品的概率。第二次取得次品的概率。85定义定义:设事件设事件 A、B 是某一随机试验的任意是某一随机试验的任意两个两个事件，若满足 事件，若满足 ，则称事件则称事件A、B 互相独立，记为互相独立，记为 i.d.i.d.。注意:从直观上讲,A 与 B 独立就是其中一个事件出现的概率不受另一个事件出现与否的影响.思考思考：独立和互不相容间的关系？：独立和互不相容间的关系？)()()(BPAPABP86定理：定理：(1)若若 P(A)0,则则事件事件 A 与与 B 相互独立相互独立 P(B|A)=P(B)(2)若若 P(B)0,则则事件事件 A 与与 B 相互独

49、立相互独立 P(A|B)=P(A)87独立扩张定理：独立扩张定理：若事件若事件 A 与与 B 独立，则独立，则,BA,BA,BA、也相互独立。也相互独立。88二、多个随机事件的独立性二、多个随机事件的独立性 11()()()1()()()()1()()ijijijkijknniiiiP A AP A P AijnP A A AP A P AP AijknPAP A=MI定义：定义：设事件 设事件 ，若若有有则称 相互独立。则称 相互独立。12,nA AAL12,nA AAL89（1）相互独立）相互独立，则其中任取，则其中任取 k 个事件 个事件 也相互 也相互独立；反之不一定。独立；反之不一定

50、。定理定理定理定理12,nA AAL12,(2,3,1)kiiiAAAkn=-LL1212,nniiiA AAB BBBAA=LL（2）独立，则也相互独立，其中或1211111,()()()1()1(1()nnniiiinnniiiiiiA AAPAP APAP AP A=-=-照LIU（3）独立，则90特殊情形，n=3 时，即 3 个事件的独立性为：,3()()()()()()()()()()()()()A B CP ABP AP BP ACP A P CP BCP B P CP ABCP A P B P C=定义：设是 个随机事件，若则称A,B,C是相互独立的。思考：两两独立能否推出相互独