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1、材料力学习题第1章 引 论 11 图示矩形截面直杆，右端固定，左端在杆的对称平面内作用有集中力偶，数值为M。关于固定端处横截面AA上的内力分布，有四种答案，根据弹性体的特点，试分析哪一种答案比较合理。习题2-1图正确答案是 C 习题2-2图 12 图示带缺口的直杆在两端承受拉力FP作用。关于AA截面上的内力分布，有四种答案，根据弹性体的特点，试判断哪一种答案是合理的。 正确答案是 D 习题2-3图 13 图示直杆ACB在两端A、B处固定。关于其两端的约束力有四种答案。试分析哪一种答案最合理。 正确答案是 D 习题2-4图 14 等截面直杆在两端承受沿杆轴线的拉力FP。关于杆中点处截面AA在杆变

2、形后的位置（图中虚线所示），有四种答案，根据弹性体的特点，试判断哪一种答案是正确的。 正确答案是 D 。 15 图示等截面直杆在两端作用有力偶，数值为M，力偶作用面与杆的对称面一致。关于杆中点处截面AA在杆变形后的位置（对于左端，由；对于右端，由），有四种答案，试判断哪一种答案是正确的。习题2-5图 正确答案是 C 。习题2-6图 16 等截面直杆，其支承和受力如图所示。关于其轴线在变形后的位置（图中虚线所示），有四种答案，根据弹性体的特点，试分析哪一种是合理的。 正确答案是 C 。第2章 杆件的内力分析 21 平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定？简支梁受力及Ox坐标取向如图所示。试分析下

3、列平衡微分方程中哪一个是正确的。 （A）；习题2-1图 （B），； （C），； （D），。 正确答案是 B 。 22 对于图示承受均布载荷q的简支梁，其弯矩图凸凹性与哪些因素相关？试判断下列四种答案中哪几种是正确的。习题2-2图 正确答案是 B、C、D 。习题2-3图 23 已知梁的剪力图以及a、e截面上的弯矩Ma和Me，如图所示。为确定b、d二截面上的弯矩Mb、Md，现有下列四种答案，试分析哪一种是正确的。 （A），； （B），； （C），； （D），。 上述各式中为截面a、b之间剪力图的面积，以此类推。习题2-4图 正确答案是 B 。 24 应用平衡微分方程，试画出图示各梁的剪力图和弯矩图

4、，并确定 。 解：（a），（） ，（） (a-1) (b-1) （b），（） ，（），（）(a-2) (b-2) （c），（） ， (c) (d) ， (c-1) (d-1) （d） （） ，（） ，(c-2) (d-2) ， （e），FRC = 0 (e) (f) ， ， ， (e-1) (f-1) （f），（） ，（）(f-2)(e-2) ， ， (a) (b) 25 试作图示刚架的弯矩图，并确定。 解： 图（a）：， （） ，（）(c) (d) ，（） 弯距图如图（a-1），其中，位于刚节点C截面。 图（b）：，（） ，（）(a-1)(b-1) ，（） 弯距图如图（b-1），其中。 图（

5、c）：，（） （）(c-1)(d-1) ，（） 弯距图如图（c-1），其中。 图（d）：， ，（）弯距图如图（d-1），其中。习题2-6和2-7图 26 梁的上表面承受均匀分布的切向力作用，其集度为。梁的尺寸如图所示。若已知、h、l，试导出轴力FNx、弯矩M与均匀分布切向力之间的平衡微分方程。 解： 1以自由端为x坐标原点，受力图（a） ， (a) ， 方法2，(b) ， 27 试作26题中梁的轴力图和弯矩图，并确定和。 解：（固定端） （固定端） 28 静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。若已知A端弯矩，试确定梁上的载荷及梁的弯矩图，并指出梁在何处有约束，且为何种约束。习

6、题2-8图 解：由FQ图线性分布且斜率相同知，梁上有向下均布q载荷，由A、B处FQ向上突变知，A、B处有向上集中力；又因A、B处弯矩无突变，说明A、B处为简支约束，由A、B处FQ值知 FRA = 20 kN（），FRB = 40 kN 由 ， q = 15 kN/m(c) 由FQ图D、B处值知，M在D、B处取极值 kNm kNm(d)梁上载荷及梁的弯矩图分别如图（d）、（c）所示。 29 已知静定梁的剪力图和弯矩图，如图所示，试确定梁上的载荷及梁的支承。习题2-9图 解：由FQ图知，全梁有向下均布q载荷，由FQ图中A、B、C处突变，知A、B、C处有向上集中力，且 FRA = 0.3 kN（）

7、FRC = 1 kN（） FRB = 0.3 kN（） kN/m（）由MA = MB = 0，可知A、B简支，由此得梁上载荷及梁的支承如图（a）或（b）所示。(a)(b) 210 静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。若已知截面E上的弯矩为零，试：习题2-10图 1在Ox坐标中写出弯矩的表达式； 2画出梁的弯矩图； 3确定梁上的载荷； 4分析梁的支承状况。 解：由FQ图知，全梁有向下均布q；B、D处有相等的向上集中力4ql；C处有向下的集中力2ql；结合M，知A、E为自由端，由FQ线性分布知，M为二次抛物线，B、C、D处FQ变号，M在B、C、D处取极值。 ，FQB = 4ql

8、 (a) 1弯矩表达式： ， ， (b) 即 习题2-11图 2弯矩图如图（a）； 3载荷图如图（b）； 4梁的支承为B、D处简支（图b）。 (a) 211 图示传动轴传递功率P = 7.5kW，轴的转速n = 200r/min。齿轮A上的啮合力FR与水平切线夹角20，皮带轮B上作用皮带拉力FS1和FS2，二者均沿着水平方向，且FS1 = 2FS2。试：（分轮B重FQ = 0和FQ = 1800N两种情况） 1画出轴的受力简图； 2画出轴的全部内力图。 解：1轴之扭矩：F Nm Nm(b) N N N(c) 轴的受力简图如图（a）。 2 FQ = 0时， N N FQ = 1800 N时，(d

9、) N N C1335(e) N ，N Nm Nm(f) Nm FQ = 0时，FQ = 1800 N时，NmD(g)CD(h)习题2-12图 212 传动轴结构如图所示，其一的A为斜齿轮，三方向的啮合力分别为Fa = 650N，F = 650N，Fr = 1730N，方向如图所示。若已知D = 50mm，l = 100mm。试画出： 1轴的受力简图； 2轴的全部内力图。 解：1力系向轴线简化，得受力图（a）。(a) Nm Nm ，N ，N ，Nz ， ，N(b) 2全部内力图见图（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）、（g）所示。(d)(c)(g)(e)(f)第3章 弹性杆件横截面上

10、的正应力分析(a)习题3-1图 31 桁架结构受力如图示，其上所有杆的横截面均为20mm50mm的矩形。试求杆CE和杆DE横截面上的正应力。 解：图（a）中，（1） 截面法受力图（a） ，（2） FCE = 15 kN ，（3） （1）代入（3），得FDE = 50 kN MPa MPa(a)习题3-2图 32 图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度= 10kN/m，在自由端D处作用有集中呼FP = 20 kN。已知杆的横截面面积A = 2.010-4m2，l = 4m。试求： 1A、B、E截面上的正应力； 2杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用位置。 解：由已知，用截

11、面法求得 FNA = 40 kN FNB = 20 kN FNE = 30 kN （1）MPa MPa MPa （2）MPa（A截面） 33 图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆，轴向拉伸载荷FP通过两端的刚性板加在杆上。试： 1写出杆横截面上的正应力与FP、d、D、Ec、Ea的关系式；习题3-3图 2若已知d = 25mm，D = 60mm；铜和铝的单性模量分别为Ec = 105GPa和Ea = 70GPa，FP = 171 kN。试求铜芯与铝壳横截面上的正应力。 解：1变形谐调： （1） （2） 2 MPa MPa 34 图示由铝板钢板组成的复合材料柱，纵向截荷FP通过刚性平板沿着柱的中心线施加

12、在其上。试： 1导出复合材料柱横截面上正应力与FP、b0、b1、h和Ea、Es之间的关系式；习题3-4图 2已知FP = 385kN；Ea = 70GPa，Es = 200GPa；b0 = 30mm，b1 = 20mm，h = 50mm。求铝板与钢板横截面上的最大正应力。 解：变形谐调： （1） （2） 1 2 MPa（压） MPa（压） 35 从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸如图所示。试求下列两种情形下h与b的比值： 1横截面上的最大正应力尽可能小； 2曲率半径尽可能大。习题3-6图习题3-5图 解：1 （正应力尽可能小） 2 ，得 （曲率半径尽可能大） 36 梁的截面形状为正方形去掉上

13、、下角，如图所示。梁在两端力偶Mz作用下发生弯曲。设正方形截面时，梁内最大正应力为；去掉上、下角后，最大正应力变为，试求： 1k值与h值之间的关系； 2为尽可能小的h值，以及这种情形下的k值。 解：， （1） ，h = 0（舍去）， 代入（1）： 37 工字形截面钢梁，已知梁横截面上只承受Mz = 20 kNm一个内力分量，Iz = 11.3106mm4，其他尺寸如图所示。试求横截面中性轴以上部分分布力系沿x方向的合力。习题3-7图 解： kN 即上半部分布力系合力大小为143 kN（压力），作用位置离中心轴y = 70mm处，即位于腹板与翼缘交界处。习题3-8图 38 图示矩形截面（bh）直

14、梁，在弯矩Mz作用的Oxy平面内发生平面弯曲，且不超出弹性范围，假定在梁的纵截面上有y方向正应力存在，且沿梁长均匀分布。试： 1导出的表达式； 2证明：，为中性面的曲率半径。 解：1先求表达式： (a) 即 ，（） 即 （a）- 2由（a）式，令，得y = 0，则 （b） 39 图示钢管和铝管牢固地粘成复合材料管，在两端力偶Mz作用下发生平面弯曲，试： 1导出管横截面上正应力与Mz、D1、D2、D3和钢的Es、铝的Ea之间的关系式； 2已知D1 = 20mm，D2 = 36mm，D3 = 44mm；Mz = 800Nm；Es = 210GPa，Ea = 70GPa。求钢管和铝和铝管横截面上的最

15、大正应力。习题3-9图 解：静力平衡： （1） 变形谐调：得 （2） ，（3） 由（2）（4） 代入（1），得 （5） （6） 1 ，（） ，（） 2 MPa MPa 310 由塑料制成的直梁，在横截面上只有Mz作用，如图所示。已知塑料受拉和受压时的弹性模量分别为Et和Ec，且已知Ec = 2Et；Mz = 600Nm。试求： 1梁内最大拉、压正应力；习题3-10图 2中性轴的位置。 解：根据平面假设，应变沿截面高度作直线变化 Ec = 2Et， 沿截面高度直线的斜率不同 中性轴不过截面形心。 1确定中性轴位置。设拉压区高度分别为ht、hc 由，得：(a)ht 即 （1） 又（2） 由（1）、

16、（2），得 即 （中性轴的位置） 2 其中 MPa（压）习题3-11图 MPa（拉） 311 试求图a、b中所示的二杆横截面上最大正应力的比值。 解：（a）为拉弯组合 （b）为单向拉伸 习题3-12图 312 桥墩受力如图所示，试确定下列载荷作用下图示截面ABC上A、B两点的正应力： 1在点1、2、3处均有40 kN的压缩载荷； 2仅在1、2两点处各承受40 kN的压缩载荷； 3仅在点1或点3处承受40 kN的压缩载荷。解：Mpa MPa 1 MPa 2 MPa 3在点1加载： MPa MPa 由对称性，得 在3点加载：MPa，MPa 313 图示侧面开有空洞的正方形截面管，管壁厚= 5mm，

17、管在两端承受轴向载荷FP。已知开孔处截面的形心为C，形心主惯性矩m4，Fp = 25kN。试求： 1开孔处横截面上点F处的正应力；习题3-13图 2最大正应力。 解：kN Nm m2 1 MPa2 MPa（在y正向最大位置）习题3-14图 314 图示矩形截面杆在自由端承受位于纵向对称面内的纵向载荷FP，已知FP = 60kN。试求： 1横截面上点A的正应力取最小值时的截面高度h； 2在上述h值下点A的正应力值。 解： （1） 1令， h = 3d = 75mm（2） 2由（1）、（2）式得： MPa习题3-15图 315 图中所示为承受纵向载荷的人骨受力简图，假定实心骨骼为圆截面。试： 1确

18、定截面BB上的应力分布； 2假定骨骼中心部分（其直径为骨骼外径的一半）由海绵状骨质所组成，且忽略海绵状承受应力的能力，确定截面BB上的应力分布；(b) 3确定1、2两种情况下，骨骼在截面BB上最大压应力之比。(a)(c)OB(d)O 解：1MPa MPa MPa MPa 沿y方向应力分布如图（c）所示，中性轴为zc。2 MPa MPa Mpan MPa zC为中性轴，沿y轴应力分布如图（d） 3 ，或(a)习题3-16图 316 正方形截面杆一端固定，另一端自由，中间部分开有切槽。杆自由端受有平行于杆轴线的纵向力FP。若已知FP =1kN，杆各部分尺寸示于图中。试求杆内横截面上的最大正应力，并

19、指出其作用位置。 解：m2 m3 m3 FNx = 1 kN Nm Nm MPa 最大正应力作用位置位于中间开有切槽的横截面的左上角点A，如图（a）所示。习题3-17图 317 钢制立柱上承受纵向载荷FP如图所示。现在A、B、D三处测得x方向的正应变，。若已知钢的弹性模量E = 200GPa。试求： 1力FP的大小； 2加力点在Oyz坐标中的坐标值。 解：m2 m3 m3 （1） （2） （3） （4） 由（1）、（4）， 即 （5） 由（2）、（4），（6）习题3-18图 由（3）、（4），（7） 解（5）、（6）、（7）：mm mm FP = 240 kN 318 矩形截面柱受力如图所示，

20、试证明： 1当铅垂力FP作用在下面方程所描述的直线上的任意点时，点A的正应力等于零：(a) 2为了使横截面的所有点上都不产生拉应力，其作用点必须位于由类似上述方程所描述的直线围成的区域内（图中虚直线围成的区域）。 解：1写出K点压弯组合变形下的正应力（图a）。 (b) （1） 将代入（1）式，并使正应力为零，得FP所作用的直线方程 整理得： 2若FP作用点确定，令（1）式等于零，得截面的中性轴方程（图b）：(c) （2） 中性轴nn的截距：（3） 说明中性轴nn，与力FP作用点位于形心C的异侧，说明nn划分为FP作用下的区域为压应力区，另一区域是拉应力区（见图b）。 如果将（2）改写为（4）

21、并且把中心轴上一点（y, z）固定，即中性轴可绕该点顺时针转动（从11转到22） 由（4）式，FP作用必沿直线移动。由（3）式，22直线的截距值大于11直线的。所以，当中性轴11顺时针转向中性轴22时，FP作用点FP1、FP2沿直线，并绕形心也顺时针转向。(d) 如果中性轴绕A点从11顺时针转动至33（中性轴始终在截面外周旋转），则截面内就不产生拉应力，将A坐标代入（4）式：，即FP沿该直线移动。从FP1FP2FP3，反之铅垂力FP从FP1FP2FP3直线移动，截面不产生拉应力，同理过B、F、D分别找另三条FP移动的直线。这四条直线所围区域为截面核心。铅垂压力在截面核心内作用，则横截面上不会有

22、拉应力。 319 矩形截面悬臂梁受力如图所示，其中力FP的作用线通过截面形心。试： 1已知FP、b、h、l和，求图中虚线所示截面上点a的正应力； 2求使点a处正应力为零时的角度值。习题3-19图 解：， ， 令，则， 320 矩形截面柱受力如图所示。试：习题3-20图 1已知= 5，求图示横截面上a、b、c三点的正应力。 2求使横截面上点b正应力为零时的角度值。 解： ， 1 MPa MPa MPa习题3-21图 2 ，= 4.76 321 交通信号灯柱上受力如图所示。灯柱为管形截面，其外径D = 200mm，内径d = 180mm。若已知截面A以上灯柱的重为4kN。试求横截面上点H和K处的正

23、应力。 解：，=22.62 N Nm MPa习题3-22图 MPa 322 No. 25a普通热轧工字钢制成的立柱受力如图所示。试求图示横截面上a、b、c、d四点处的正应力。解：m2 m3 m3 kN Nm Nm(a) MPa MPa MPa MPa MPa习题3-23图 Mpa 323 承受集度为q = 2.0kN/m均布载荷的木制简支梁，其截面为直径d = 160mm的半圆形。梁斜置如图所示。试求梁内的最大拉应力与最大压应力。(a) 解：， Nm(b) m4 m4 (c) yC MPa（左下角A点） 最大压应力点应在CD弧间，设为 （1） ，得： 代回（1）式， MPa习题3-24图 32

24、4 简支梁的横截面尺寸及梁的受力均如图所示。试求N截面上a、b、c三点的正应力及最大拉应力。 解：kNm MPa（压应力） MPa（拉应力） MPa（拉应力） MPa（拉应力） 325 根据杆件横截面正应力分析过程，中性轴在什么情形下才会通过截面形心？试分析下列答案中哪一个是正确的。 （A）My = 0或Mz = 0，； （B）My = Mz = 0，； （C）My = 0，Mz = 0，； （D）或，。 正确答案是 D 。 解：正如教科书P168第2行所说，只要，则其中性轴一定不通过截面形心，所以本题答案选（D）。 326 关于中性轴位置，有以下几种论述，试判断哪一种是正确的。 （A）中性轴

25、不一定在截面内，但如果在截面内它一定通过形心； （B）中性轴只能在截面内并且必须通过截面形心； （C）中性轴只能在截面内，但不一定通过截面形心； （D）中性轴不一定在截面内，而且也不一定通过截面形心。 正确答案是 D 。 解：本题解答理由可参见原书P167倒数第1行，直至P168页第2行止，所以选（D）。 327 关于斜弯曲的主要特征有四种答案，试判断哪一种是正确的。 （A），中性轴与截面形心主轴不一致，且不通过截面形心； （B），中性轴与截面形心主轴不一致，但通过截面形心； （C），中性轴与截面形心主轴平行，但不通过截面形心； （D）或，中性轴与截面形心主轴平行，但不通过截面形心。 正确答案

26、是 B 。 解：本题解答理由参见原书P167第2-3行。 328 承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图a、b、c所示。图a中的截面为一整体；图b中的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图c中的截面由两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正应力分别为、。关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正确的。 （A）； （B）；习题3-28图 （C）； （D）。 正确答案是 B 。 解： 选（B）。第4章 弹性杆件横截面上的切应力分析 41 扭转切应力公式的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。 （A）等截面圆轴，弹性范围内加载； （B）等截面圆轴； （C）等截面圆轴与椭圆轴

27、； （D）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。 正确答案是 A 。 解：在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。 42 两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为和，切变模量分别为G1和G2。试判断下列结论的正确性。 （A）； （B）； （C）若G1G2，则有； （D）若G1G2，则有。习题8-4图 正确答案是 C 。 解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即由剪切胡克定律知时，。 43 承受相同扭矩且长度相等的直径为d1的实心

28、圆轴与内、外径分别为d2、的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。关于二者重之比（W1/W2）有如下结论，试判断哪一种是正确的。 （A）； （B）； （C）； （D）。 正确答案是 D 。 解：由得 即 （1） （2）（1）代入（2），得 44 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1 = 2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中所示的四种结论，试判断哪一种是正确的。 正确答案是 C 。习题4-5图解：因内、外层间无相对滑动，所以交界面上切应变相等，因，由剪切胡克定律得交界面上：。 45 等截面圆轴材料的

29、切应力切应变关系如图中所示。圆轴受扭后，已知横截面上点的切应变，若扭转时截面依然保持平面，则根据图示的关系，可以推知横截面上的切应力分布。试判断图中所示的四种切应力分布哪一种是正确的。 正确答案是 A 。 46图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kNm。试求： 1轴横截面上的最大切应力； 2轴横截面上半径r = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比； 3去掉r = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。习题4-6图 解：1MPa 2 3 习题4-7图 47 图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一体；在D处无接触。已知芯轴直径d = 66

30、mm；轴套的外径D = 80mm，壁厚= 6mm。若二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过60MPa。试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T。 解： Nm Nm NmNm 48 由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。设实心轴半径为R0，空心圆轴的内、外半径分别为R1和R2，且R1/R2 = n，二者所承受的外扭转力偶矩分别为Ts和Th。若二者横截面上的最大切应力相等，试证明： 解：由已知长度和质量相等得面积相等： （1） （2） （3） 由（2）、（3）式 （4） 由（1） 代入（4） 习题4-9图 49 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为D、壁厚均为，横截面上的扭矩均为T = Mx。试： 1证明闭口圆管受扭时横截面上最大切应力 2证明开口圆管受扭时横截面上最大切应力 3画出两种情形下，切应力沿壁厚方向的分布。 解：1(b)(a) 即： 2由课本（818）式 习题4-10图 410 矩形和正方形截面杆下端固定，上端承受外扭转力偶作用，如图所示。若已知T = 400Nm，试分别确定二杆横截面上的最大切应力。 解：MPa MPa 411 图示三杆受相同的外扭转力偶作用。已知T = 30Nm，且最大切应力均不能超过60MPa。试确定杆的横截面尺寸；若三者长度相等，试比较三者的重量。