高数论文浅谈定积分与不定积分的联系与区别.doc

1、浅谈定积分与不定积分的联系与区别 摘要 本文主要从概念和性质两方面分别讨论了不定积分、定积分之间的联系与区别.它们“形式”相像，相互之间又存在内在的联系，但如果忽视他们本质上的不同之处，将会导致很多错误.为此，本文就他们之间在定义上和性质上的联系与区别展开讨论，这将会有助于正确理解和掌握这类积分.关键字 不定积分 定积分 性质 区别 本文所涉及的包括不定积分、定积分的内容.主要讨论这两类积分在概念和性质两方面的联系与区别.能够比较系统地分析和总结这两类积分关系，便于解决实际问题.1概念1.1不定积分 正如加法有其逆运算减法，乘法有其逆运算除法一样，微分法也有它的逆运算积分法.我们知道，微分法的

2、基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数，那么与之相反的问题是：求一个未知函数，使其导函数恰好是某一已知函数. 定义1 设函数与在区间上都有定义，若,则称为在区间上的一个原函数. 定义2 函数在区间上的全体原函数称为在上的不定积分，记作，其中称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为被积变量. 由定义2可见，不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若是的一个原函数，则的不定积分是一个原函数族，其中是任意常数.为方便起见，通常写作.这时又称为积分常数，它可以任取一实数值.1.2定积分 定义1 设闭区间上有个点，依次为，它们把分成个小区间,.这些分点或这些闭子区间构成对的一个分割，记为 或.小

3、区间的长度为，并记 ,称为分割的模.注 由于，因此可用来反映被分割的细密程度.另外,分割一旦给出，就随之而确定；但是，具有同一细度的分割却又无限多个.定义2 设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数.若对任给的正数，总存在某一正数，使得对的任何分割，以及在其上任意选取的点集，只要，就有,则称函数在区间上可积；数称为在区间上的定积分，记作.其中，称为被积函数，称为积分变量，称为积分区间，、分别称为这个定积分的上限和下限.2不定积分与定积分的联系与区别2.1定义上求定积分，即是在闭区间上对某个量进行分割、累积的过程.英文短语definite integral恰好反映了这个计算过程的本质.而不定积分

4、表示的是的全体原函数，既没有分割，也没有积累，为什么也称为“积分”呢？下面将通过重新定义不定积分，证明把“不定积分”称为“积分”也是合理的.设是闭区间上的连续函数,不妨设.一方面，变上限定积分是在上的一个原函数.另一方面，把连续延拓到，得到，使满足条件：，.让下限变动到，得到变动上限与变动下限的定积分，.则.因为是的连续函数，且，,所以，对于任意常数，根据连续函数的介值性定理，存在，使得.以上的分析结果可以总结为：令变动上限为自变量，变动下限为参数，则形式定积分就是在上的不定积分.也就是说，不定积分是一种特殊形式的定积分，是上限与下限都不定的定积分.因此可以说明，把不定积分称为积分是合理的.

5、当时，或当在上不定号时，也可以类似讨论，并得到同样的结果.注：这里说形式定积分就是在上的不定积分，此时被积函数是，而不是原来的函数.在很多教科书中，对不定积分的定义是强加的，并没有说明为什么能够将称为“积分”，就更谈不上不定了.这里揭示了这两种积分的内在联系：定积分就是积分上、下限都确定的积分，不定积分就是积分上、下限都不定的积分.因此，两种积分在本质上是相似的.虽然，不定积分与定积分本质相似，不定积分是一种特殊形式的定积分，但是，在概念上，两种积分是根本不同的.的不定积分就是它的全体原函数，而在区间上的定积分是一个极限值，即为是一个常数，这个常数仅仅依赖于被积函数和积分区间，与积分变量的字母

6、表示无关.不定积分与定积分所分别表示的几何意义也是不同的.的不定积分的几何意义是以为其方程的一簇积分曲线.而在区间上的定积分的几何意义是由曲线在直线以及轴所围成的曲边梯形的面积.2.2性质上 定理2.1 若函数在上连续，且存在原函数，即，则在上可积，且 .则称为牛顿莱布尼茨公式.定积分，原为求函数的极限，计算复杂.牛顿莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系起来了，为求定积分提供了一个很有效的方法，实质上是将定积分的求解归结为求不定积分的原函数.只要求出的一个原函数，那么定积分就等于的原函数在区间上的增量.牛顿莱布尼茨公式体现了原函数与定积分的关系，但是原函数存在与函数可积并非充分条件，

7、因此，运用牛顿莱布尼茨公式时必须注意条件.例 函数存在原函数，但在上不可积，因为在上无界.此外，对于定积分的计算，不定积分的换元积分法和分部积分法也适用.换元积分法定理2.2 设在上有定义，在上可导，且，并记 ，.(i)若在上存在原函数，则在上也存在原函数,，即 .(ii)又若，则上述命题（i）可逆，即当在上存在原函数时，在上也存在原函数，且，即 .定理2.2 若函数在上连续，在上连续可微，且满足 ，则有定积分换元公式： . （1）所以在用还原法计算定积分时，一旦得到了新变量表示的原函数后，不必作变量还原而只要用新的积分限带入并求其差就可以了，这就是定积分换元积分法与不定积分换元法的区别，这一

8、原因在于不定积分所求的是被积函数式的原函数，理应保留与原来相同的自变量；而定积分的计算结果是一个确定的数，如果式一边的定积分计算出来了，那么另一边的定积分自然也求得了.分部积分法 定理2.3 若与可导，不定积分存在，则也存在，并有 . （2）定理2.3 若，为上的连续可微函数，则有定积分分部积分公式： . 不定积分的性质性质1 不为0的常数因子可以移到积分号前.性质2 不定积分的线性性质 .推广：，其中、为常数，且.定积分的性质性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前,即（为常数）.性质2 函数的代数和的定积分等于他们的定积分的代数和，即 .这个性质对有限个函数代数和也成立.性质3 积分

9、的上下限对换则定积分变号，即.性质4 如果将区间分成两个子区间及，那这子区间分成有限个的情形也成立.性质5 如果在区间上，则，.通过对比可以看出，不定积分与定积分有相同性质1与性质2.即，不定积分的两个性质对定积分都适用.4总结本文从积分的定义入手，用定积分的形式来重新定义不定积分，揭示不定积分与定积分的内在联系，同时证明了不定积分也称为积分的合理性.又根据概念和性质上的不同，将不定积分与定积分区分开来. 参考文献1华东师范大学数学系.数学分析 (第三版) 上册 M，北京：高等教育出版社，2006.2陈小平 无穷积分与定积分、瑕积分的区别J 北京：中国科技信息2010年第23期.3崔信 试论数学积分的几种性质J 北京：中国商界2010年第10期.4孙宝法 用定积分形式定义的不定积分J 南京：大学数学第24卷第5期.5熊国敏 定积分与瑕积分J 贵州：安顺师专学报（自然科学版）1994年第2期.6范君好Riemann积分和Lebesgue积分的联系和本质区别J 广西：桂林师范高等专科学校学报第24卷第3期. word文档 可编辑复制