圆锥曲线中若干定值问题的求解方法探究.doc

1、圆锥曲线中若干定值问题的求解方法探究 摘要：定值通常是指在一定的情境下，不随其他因素的改变而改变的量。在圆锥曲线中，运动变化过程中的定值问题是高考中经久不衰的热点问题，也是中学数学研究的重点问题。它体现了动与静的完美统一，且内容丰富、综合性强、难度较大。 本文总结了六种重要的解题方法。关键词：圆锥曲线；定值问题；方法Abstract: value usually refers to the amount in certain situations, does not change with changes in other factors. Conic motion changes in th

2、e process of valuation is then during hot issues in the college entrance examination is also the focus of the study of secondary school mathematics, it reflects the dynamic and static perfect unity, and content-rich, comprehensive and strong, the difficulty larger. This article summarizes six import

3、ant problem-solving approach.Keywords: conic; valuation problem; method在圆锥曲线中，某些几何量在特定的关系结构中，不受相关变元的制约而恒定不变，则称该几何量具有定值特征。这类问题称为定值问题。这类问题是中学数学的重要问题， 是高考命题的一个重点，它涉及面广、综合性强，不少学生常常因解题方法选择不当，而导致解答过程繁难，运算量大，甚至半途而废。本文总结了几种本文总结了一些重要的解题方法。1 问题探究1 在求解与定值有关的选择题时，运用满足题设条件的特殊位置、特殊图形对选择只进行检验或推理，从而判断真伪。例17 经过椭圆的右焦

4、点任意作弦，过点作椭圆右准线的垂线，垂足为，则直线必经过点（ ）。 A B. C. D. 解析 当弦为椭圆的通径时，,。直线的方程为，经过点，故选B。2 问题探究2根据特殊性与普遍性（个性与共性）的辩证关系，以特例探路，从特例中求出几何量的定，得到启示，从而将问题化归为解几何证明问题，再利用定义、焦半径公式等对一般情形进行证明。例23 已知是椭圆的两个焦点，M是与非共线的椭圆上的点，设I为的内心，延长MI与交于N，如图，求证：为定值。分析 先取特殊点，找出的值，再取M是椭圆上任意一点进行验证。证明 先取M在y轴上，由角平分线性质得：，设M为椭圆上任一点，交于Q，设，则，因为，所以，所以，在中，

5、综上情况，得为定值。点评 本题是用特殊探路，一般证明的策略，这种从特殊到一般的思维是解决此类问题的思维方式，希望同学们予以关注。由以上可知，对于二次曲线探求定值时，常以曲线的顶点、焦点，相交弦的端点等作为点的特殊位置，而与对称轴平行或垂直的直线作为直线的特殊位置；在推证时，往往要借助于“参数”，将“变量”转化为“常量”，这种转化的难易，既与参数的选择有关，也与证明途经有关。不妨再看一个例题。例31 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点。 求证:为定值。证明 当直线轴时， 。下面只需证明一般情形下即可。设直线的方程为，代入方程消去并整理，得 。设则有，。，。所以,故是定值，定值为。3 问题探究3约

6、去参变数，可得常数（定值），这是证题的重要依据。例4 5 过双曲线的上支上一点P作双曲线的切线交两条渐近线分别于点A，B。求证：为定值；分析 设出直线AB方程，然后与双曲线方程联立方程组，由于直线与双曲线相切利用判别式为0求得k与b的关系式，再联立直线AB与渐近线的方程表示出与值从而解决问题。解 设直线AB：， 点评 利用向量数量积的坐标表示与韦达定理紧密结合起来，通过圆锥曲线与直线方程联立，表达出点的坐标，从而解决问题。本题难度不大，但是命题方向值得思考。4 问题探究4利用整体不变性，巧妙消参例56 （2005全国）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭

7、圆于A，B两点，与a=(3，-1)共线。（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上的任一点，且，证明为定值。解析 （1）椭圆的离心率为。（过程略）（2）设=（x，y），。设直线AB的方程为， 代入，化简得。又，所以。由已知得，所以因为M(x，y)在椭圆上，所以。即。（*） 。又，代入（*）式得。故为定值，定值为1。点评 无论，如何变化，与都整体不变，设而不求，巧妙消参。例64 如图，弧为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（2）过点B的直线

8、与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若为定值。解 （1）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，因为动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变，且点Q在曲线C上,所以|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2|AB|=4。所以曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆。设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,a=,c=2,b=1所以，曲线C的方程为+y2=1 （2）设点的坐标分别为，又易知点的为，且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交。显然直线 的斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程是 将直线 的方程代入到椭圆 的

9、方程中，消去 并整理得所以 ，。又 因为，则。故；同理，由，得。那么。5 问题探究5圆锥曲线方程是二元二次方程，增加一个条件即可消去一个参数，化为一元二次方程从而利用韦达定理解决，直接得到定值。例78 已知A为椭圆上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2，当AC垂直于x轴时，恰好有。（1）求该椭圆的离心率；（2）设，试判断是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由。解 （1）当AC垂直于x轴时， 因为，所以 。从而 可得 ， 故 ；所以 。（2）由（1）得椭圆方程为焦点坐标为 ；（i）当AC、AB的斜率都存在时，设所在直线方程为，代入椭圆方程得。所以 又 同理 （ii

10、）若ACx轴，则（iii）若ABx轴，则综上可知。点评 这类开放性问题能够使学生的探究能力得到体现，还能够考查基本知识、方法，这种考查提高了对知识的覆盖率，增加了思维含量，使得试题在有效度和区分度方面都有很好的体现。例81 设椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。解 （1）因为椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点,所以解得所以故椭圆E的方程为。（2）假设存在圆心在原点的圆，使

11、得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为，解方程组得，即，21世纪教育网 则=,即。又，则要使,需使,即,所以，故又，那么，可得，即或；因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为，又有，即；那么所求的圆为；此时圆的切线都满足或，而当切线的斜率不存在时，切线为其与椭圆的两个交点为或满足；综上，存在圆心在原点的圆为，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且。因为,所以, 当时因为所以,所以,所以当且仅当时取“=”。 当时,。当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为,即。6 问题探究6圆锥曲线的定义（第一定义和第

12、二定义）与圆锥曲线的焦点、准线、离心率密切相关，因此凡有关焦点、准线、离心率的定值问题，紧扣定义，整体把握，往往能使解题过程简捷明快。例9 (07年重庆卷)如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为x = 12。（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三个不同点，使，证明: 为定值，并求此定值。解析 （1）设椭圆方程为，因焦点为，故半焦距。又右准线的方程为，从而由已知，因此，故所求椭圆方程为（2）记椭圆的右顶点为，并设（1，2，3），不失一般性，假设，且，又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有 解得 因此，而，故为定值。例104 在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，

13、直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为.（1）证明: 点是椭圆与直线的唯一交点； （2）证明:构成等比数列.解析 本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。解 （1）（方法一）由得代入椭圆,得.将代入上式,得从而因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P. (方法二)显然P是椭圆与的交点，若Q是椭圆与的交点，代入的方程，得即故P与Q重合。（方法三）在第一象限内，由可得椭圆在点P处的切线斜率切线方程为即。因此，就是椭圆在点P处的切线。21世纪教育网 根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。（II）的斜率

14、为的斜率为由此得构成等比数列。总之，在解决圆锥曲线的定值问题时，应灵活应用已知条件，巧设变量，在变形过程中，应注意各变量之间的关系，善于捕捉题的信息，应用“大处着眼，小处着手”的策略，从整体上把握问题给出的综合信息和处理问题的函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想，并且恰当的运用待定系数法、相关点法、定义法等基本方法。参考文献：1 周远方.圆锥曲线的又一类定点、定值问题J.中学数学月刊,2004年09期2 成莉莉,寿永潮.用替换的思想证一个圆锥曲线定值问题J.数学教学通讯,2005年08期2 孙威.圆锥曲线中定值问题的求解策略J.数理化学习(高中版).2011年01期4 厉强.圆锥曲线中的定点定值问题J.中学数学杂志, 2009年02期5 华丽凤.圆锥曲线中的定值，定点问题J.中学生数理化(高二版),2010年12期6 沈毅.再探圆锥曲线中的一组优美定值J.中学数学教学,2009年02期7 彭世金.对圆锥曲线的一类定值问题的再思考J.数学教学通讯,2006年09期8 林明成,李云果.圆锥曲线中定值问题的求解策略J. 数学教学通讯,9 余合桥.三种圆锥曲线定值题的共性J.中学数学月刊,2001年11期10 郑丽兵.用替换的思想证一个圆锥曲线定值问题J.数学教学研究,2007年09期第13页（共13页）