正交试验设计的方差分析.ppt

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1、 正交试验设计的方差分析一一.方差分析的意义方差分析的意义 前前面面我我们们介介绍绍了了正正交交设设计计方方案案及及其其结结果果的的直直观观分分析析，该该方方法法简简单单明明了了，通通俗俗易易懂懂，计计算算工工作作量量少少，便便于于普普及及和和推推广广。但但直直观观分分析析方方法法不不能能把把实实验验中中由由于于实实验验条条件件的的改改变变而而引引起起的的数数据据波波动动同同实实验验误误差差引引起起的的数数据据波波动动区区分分开开来来，也也就就是是说说，不不能能区区分分因因素素各各水水平平所所对对应应的的实实验验结结果果间间的的差差异异，究究竟竟是是由由于于因因素素水水平平不不同同引引起起的的

2、，还还是是由由于于实实验验误差引起的。误差引起的。为了弥补直观分析方法的不足，可采用方差分析为了弥补直观分析方法的不足，可采用方差分析方法对实验结果进行计算分析。方法对实验结果进行计算分析。所谓方差分析所谓方差分析就是将就是将因素水平因素水平(或交互作用或交互作用)的变化引起的实验结果间的差的变化引起的实验结果间的差异与误差的波动所引起的实验结果间的差异区分开来异与误差的波动所引起的实验结果间的差异区分开来的一种数学方法。的一种数学方法。方差分析的中心要点是方差分析的中心要点是：把实验数据总的波动分：把实验数据总的波动分解成两部分，一部分反映因素水平变化引起的波动，解成两部分，一部分反映因素水

3、平变化引起的波动，另一部分反映实验误差引起的波动。即把数据总的偏另一部分反映实验误差引起的波动。即把数据总的偏差平方和差平方和(S(S总总)分解为因素的偏差平方和分解为因素的偏差平方和(S(SA A、S SB B、S SC C)与误差的偏差平方和与误差的偏差平方和(S(Se e)，并计算它们的平均偏，并计算它们的平均偏差平方和差平方和(也称均方和，或均方也称均方和，或均方)，然后进行检验，最，然后进行检验，最后得出方差分析表。后得出方差分析表。二二.方差分析中的一些基本概念方差分析中的一些基本概念1.1.偏差平方和偏差平方和 方差分析的关键是对偏差平方和的分解，因此，方差分析的关键是对偏差平方

4、和的分解，因此，充分理解这一概念是至关重要的。充分理解这一概念是至关重要的。所谓偏差平方和是指一组数据中，各个数所谓偏差平方和是指一组数据中，各个数(y(y1 1,y,y2 2,y y3 3yyn n)与它们的算术平均数与它们的算术平均数y y之差的平方和。用符号之差的平方和。用符号S S来表示。即：来表示。即：则为了计算方便，上式可简化为一种更常见的形式：为了计算方便，上式可简化为一种更常见的形式：若令：则 偏差平方和偏差平方和(S)(S)反映了该组数据的分散或集中程度。反映了该组数据的分散或集中程度。显然，显然，S S越大，该组数据越分散；反之，越大，该组数据越分散；反之，S S越小，说明

5、该越小，说明该组数据越集中。组数据越集中。2.2.平均偏差平方和与自由度平均偏差平方和与自由度为了合理地比较由不同个数所组成的两组数据的分散或为了合理地比较由不同个数所组成的两组数据的分散或集中的程度，通常采用平均偏差平方和集中的程度，通常采用平均偏差平方和(简称均方和简称均方和)平平均偏差平方和的计算方法是：将均偏差平方和的计算方法是：将n n个数个数(y(y1 1,y,y2 2,y,y3 3,y,yn n)的偏差平方和的偏差平方和 除以平方项的个数减除以平方项的个数减1 1，即除以即除以(n-1)(n-1)，就得到平均偏差平方和。，就得到平均偏差平方和。为什么不除以为什么不除以n n而要除

6、以而要除以(n-1)(n-1)呢？这是因为呢？这是因为n n个个数数(y(y1 1,y,y2 2,y,y3 3,y,yn n)之间并非彼此毫无关系，它们满之间并非彼此毫无关系，它们满足的关系是：足的关系是：即n个数之和的均值为一定值，因此，n个数中只有(n-1)(n-1)个个可“自由”变动，所以，求平均偏差平方和时除以(n-1)(n-1)，数学上将这个，数学上将这个(n-1)(n-1)称为称为S S的自由的自由度。度。当实验所测得的当实验所测得的n个数(y(y1 1,y,y2 2,y,y3 3,y,yn n)数值较数值较大时，为了简化计算，可将每一个原始数据大时，为了简化计算，可将每一个原始数

7、据y yi i(i=1,(i=1,2,32,3n)n)都减去同一个常数都减去同一个常数C C，这并不影响偏差平，这并不影响偏差平方和的计算结果，但计算的工作量却简化了许多。方和的计算结果，但计算的工作量却简化了许多。上述推论可通过以下简单换算予以证明。上述推论可通过以下简单换算予以证明。若令若令X Xi i=y=yi i-C(i=1,2,n)-C(i=1,2,n)则于是3.F3.F比比与与F F分布表分布表(1)F(1)F比比 F F比比是指因素水平的改变引起的平均偏差平方和与误是指因素水平的改变引起的平均偏差平方和与误差的平均偏差平方和的比值。即：差的平均偏差平方和的比值。即：(2)F F分

8、布表及其查阅方法分布表及其查阅方法为了判断为了判断F F比比值的大小所表明的物理意义值的大小所表明的物理意义(即即F F比比值多大值多大时，可以认为实验结果的差异主要是由因素水平的时，可以认为实验结果的差异主要是由因素水平的改变所引起的；其值多小时，可以认为实验结果的改变所引起的；其值多小时，可以认为实验结果的差异主要是由实验误差所引起的差异主要是由实验误差所引起的)，这就需要有一个，这就需要有一个标准来衡量标准来衡量F F比比值，此标准就是根据统计数学原理编值，此标准就是根据统计数学原理编制的制的F F分布表，分布表，F F分布表列出了各种自由度情况下分布表列出了各种自由度情况下F F比比的

9、临界值。的临界值。在在F F分布表上横行分布表上横行(n(n1 1：1,2,3)1,2,3)代表代表F F比比中分子的自中分子的自由度；竖行由度；竖行(n(n2 2：1,2,3)1,2,3)代表代表F F比比中分母的自由度；表中分母的自由度；表中的数值即各种自由度情况下中的数值即各种自由度情况下F F比比的临界值。的临界值。例如，某因素例如，某因素A A的偏差平方和的自由度的偏差平方和的自由度f fA A=1=1，误差，误差(e)(e)的偏差平方和的自由度的偏差平方和的自由度f fe e=8=8，查得，查得F F0.10.1(1,8)=3.64(1,8)=3.64，这，这里里0.10.1是信度

10、。是信度。在判断时在判断时(如判断因素如判断因素A A的水平的改变对实验结果的水平的改变对实验结果是否有显著影响是否有显著影响)，信度，信度a a是指我们对做出的判断有多大是指我们对做出的判断有多大的把握，若的把握，若a=5%a=5%，那就是指当，那就是指当F FA AFF0.050.05(f(fA A,f,fe e)时，大概时，大概有有95%95%的把握判断因素的把握判断因素A A的水平改变对实验结果有显著的水平改变对实验结果有显著影响。对于不同的信度影响。对于不同的信度a a，有不同的，有不同的F F分布表，常用的分布表，常用的有有a=1%a=1%，a=5%a=5%，a=10%a=10%等

11、。根据自由度的大小，可等。根据自由度的大小，可在各种信度的在各种信度的F F表上查得表上查得F F比比的临界值，分别记作的临界值，分别记作F F0.010.01(n(n1 1,n,n2 2)，F F0.050.05(n(n1 1,n,n2 2)，F F0.10 0.10(n(n1 1,n,n2 2)等。等。4.4.因素的显著性判断因素的显著性判断设因素设因素A A的的F F比比为为F FA A：当当F FA A F F0.01 0.01(n(n1 1,n,n2 2)时，说明该因素水平的改变时，说明该因素水平的改变对实验结果有很显著的影响，记作对实验结果有很显著的影响，记作*。当当F FA A

12、F F0.05 0.05(n(n1 1,n,n2 2)时，说明该因素水平的改变时，说明该因素水平的改变对实验结果有显著的影响，记作对实验结果有显著的影响，记作*。当当F FA A F F0.10 0.10(n(n1 1,n,n2 2)时，说明该因素水平的改变时，说明该因素水平的改变对实验结果有一定的影响，记作对实验结果有一定的影响，记作O O。三三.正交试验设计的方差分析正交试验设计的方差分析 现以实验室制取现以实验室制取H H2 2为例，来说明正交设计的方为例，来说明正交设计的方差分析的基本方法。若该实验所考察的因素、水平差分析的基本方法。若该实验所考察的因素、水平如表如表1 1和表和表2

13、2所示。所示。因素水平AwH2SO4(%)BmCuSO45H2O(g)CmZn (g)一200.44二250.55三300.66表1.因素水平表表2.2.实验方案及实验结果的直观分析实验方案及实验结果的直观分析 列号实验号AwH2SO4(%)BmCuSO45H2O(g)CmZn (g)空白列10min内H2的产率1111232.622212140.403313341.074123134.975221336.536322245.757132336.628233239.199331144.53 列号实验号AwH2SO4(%)BmCuSO45H2O(g)CmZn (g)空白列10min内H2的产率K

14、1104.21114.09122.77119.9最佳实验条件是A3B3C1K2116.12117.25115.23117.56K3131.35120.34113.68114.22k134.7838.0340.9239.96k238.7039.0838.4139.18k343.7840.1137.8938.07R9.052.083.031.89上述正交试验设计所获得的数据，从直观分析的角度上述正交试验设计所获得的数据，从直观分析的角度来看，提供给我们如下有用的信息：来看，提供给我们如下有用的信息：第一：从极差值的大小可以判断各个因素对实验指标第一：从极差值的大小可以判断各个因素对实验指标影响的主

15、次关系，即：影响的主次关系，即：主主-次次 AAw wH2SO4H2SO4 C Cm mZnZn B Bm mCuSO45H2OCuSO45H2O 但是，极差值仅仅反映了各因素影响实验指标的主次但是，极差值仅仅反映了各因素影响实验指标的主次关系，它不能告诉我们各个因素对实验指标影响的程关系，它不能告诉我们各个因素对实验指标影响的程度。也就是说，它既不能指明这些因素中哪个是影响度。也就是说，它既不能指明这些因素中哪个是影响实验指标的关键因素，也不能提供一个标准，用来考实验指标的关键因素，也不能提供一个标准，用来考察、判断各个因素的作用是否显著。察、判断各个因素的作用是否显著。第二：就因素第二：就

16、因素A A而言而言(因素因素B B、C C也类同也类同)，其中，其中k k1 1、k k2 2、k k3 3值之间的差异是如何产生的？是由于值之间的差异是如何产生的？是由于A A因素水平不因素水平不同引起的呢？还是由于实验误差所造成的呢？还是同引起的呢？还是由于实验误差所造成的呢？还是两者综合作用的结果？从直观分析角度是无法说清两者综合作用的结果？从直观分析角度是无法说清楚的。楚的。正是由于直观分析存在着上述的缺点，所以需正是由于直观分析存在着上述的缺点，所以需要采用方差分析的方法来弥补上述的不足。要采用方差分析的方法来弥补上述的不足。1.1.单因素实验的方差分析单因素实验的方差分析 为了便于

17、讨论，我们仍以实验室制取为了便于讨论，我们仍以实验室制取H H2 2的因素的因素之一之一-A-A因素因素(硫酸的质量分数硫酸的质量分数)为例，来说明单个为例，来说明单个因素的实验数据的方差分析方法。因素的实验数据的方差分析方法。方差分析是把实验数据总的波动方差分析是把实验数据总的波动(即数据的总的偏差平方即数据的总的偏差平方和和S S总总)分解成两部分：一部分反映因素水平变化引起的波动分解成两部分：一部分反映因素水平变化引起的波动(即因素的偏差平方和即因素的偏差平方和)，对本例而言仅为，对本例而言仅为S S w wH2SO4H2SO4；另一部分；另一部分反映实验误差引起的波动反映实验误差引起的

18、波动(即误差的偏差平方和即误差的偏差平方和S Se e)。即：。即：(1)S(1)Se e的计算的计算 参与wH2SO4某一水平的实验编号 10minH2产率A1(20%)A2(25%)A3(30%)A1(20%)A2(25%)A3(30%)12332.6240.4041.0745634.9736.5345.7578936.6239.1944.53 平均值y34.7438.7143.78表3.实验结果分析若以若以S S1 1表示表示A A1 1水平下实验误差所引起的波动，其值应水平下实验误差所引起的波动，其值应为：为：S S1 1=(32.62-34.74)=(32.62-34.74)2 2+

19、(34.97-34.74)+(34.97-34.74)2 2+(36.62-34.74)+(36.62-34.74)2 2=8.0870=8.0870。同理可以求出。同理可以求出A A2 2、A A3 3水平下实验误差所引起水平下实验误差所引起的波动，其值分别为的波动，其值分别为S S2 2=7.8389=7.8389，S S3 3=11.7875=11.7875则，则，A A因素的各个水平下总的偏差平方和应为：因素的各个水平下总的偏差平方和应为：S Se e=S=S1 1+S+S2 2+S+S3 3=8.0870+7.8389+11.7875=27.71=8.0870+7.8389+11.7

20、875=27.71(2)S(2)S总总的计算的计算总的偏差平方和总的偏差平方和S S总总是指全部实验数据中，每个数据是指全部实验数据中，每个数据(y(yi i)与总平均值与总平均值(y(y总总)之差的平方和，即：之差的平方和，即：由表3知:y总=1/9(32.62+34.97+36.62+40.40+44.53)=39.08则：S总=(32.62-39.08)2+(34.97-39.08)2+(44.53-39.08)2=151.08 S总反映了实验数据总的波动情况，如果硫酸质量分数水平的改变对实验指标不发生影响，而且实验中也没有误差产生的话，那么全部实验数据理应都一样，即S总应等于零，但情况

21、并非如此。(3)S(3)S w wH2SO4 H2SO4(S(SA A)的计算的计算对于因素对于因素A A来讲，当它取一水平时，来讲，当它取一水平时，3 3次实验次实验(即即1 1、4 4、7 7实验实验)结结果的均值果的均值(y)(y)应为：应为：y y1 1=1/3(y=1/3(y1 1+y+y4 4+y+y7 7)=1/3(32.62+34.93+36.62)=34.74)=1/3(32.62+34.93+36.62)=34.74y y1 1代表了代表了3 3次一水平实验对次一水平实验对H H2 2产率的影响。同理：产率的影响。同理：y y2 2=1/3(y=1/3(y2 2+y+y5

22、5+y+y8 8)=38.71)=38.71 y y3 3=1/3(y=1/3(y3 3+y+y6 6+y+y9 9)=43.78)=43.78y y2 2、y y3 3分别代表了分别代表了3 3次二水平和三水平实验对次二水平和三水平实验对H H2 2产率的影响。因产率的影响。因此，因素水平变化所引起的波动，即因素此，因素水平变化所引起的波动，即因素A A的偏差平方和的偏差平方和S SA A应为：应为：S SA A=(yi-yyi-y总总)2 2=(34.74-39.08)=(34.74-39.08)2 2+(38.71-39.08)+(38.71-39.08)2 2+(43.78-39.08

23、)+(43.78-39.08)2 2=123.37=123.37 上述计算结果我们可以通过上述计算结果我们可以通过S S总总=S=SA A+S+Se e式来检验式来检验S SA A和和 S Se e计算正确与否。计算正确与否。(4)(4)自由度和平均偏差平方和的计算自由度和平均偏差平方和的计算 为了消除个数不同对实验指标所产生的影响，为了消除个数不同对实验指标所产生的影响，应采用平均偏差平方和，其计算公式为：应采用平均偏差平方和，其计算公式为：因素因素A A的平均偏差平方和的平均偏差平方和=S=SA A/f/fA A误差的平均偏差平方和误差的平均偏差平方和=S=Se e/f/fe e式中式中S

24、 SA A、S Se e分别代表因素分别代表因素A A和误差的偏差平方和和误差的偏差平方和f fA A=A=A因素的水平数因素的水平数-1-1，它代表，它代表S SA A的自由度的自由度f fe e=f=f总总-f-fA A，它代表，它代表S Se e的自由度的自由度 f f总总=总的实验次数总的实验次数-1-1，它代表，它代表S S总总的自由度的自由度在本例中在本例中f f总总=9-1=8=9-1=8，f fA A=3-1=2=3-1=2，f fe e=8-2=6=8-2=6(5)F(5)F值的计算及因素显著性的检验值的计算及因素显著性的检验 因素水平的变化引起的平均偏差平方和与误差因素水平

25、的变化引起的平均偏差平方和与误差的平均偏差平方和的比值称为的平均偏差平方和的比值称为F F值，即：值，即：用F值的大小来判断因素水平对实验指标的影响。显然，只有当比值大于1时，才能表明因素水平的改变对实验指标的影响，即超过了实验误差所产生的影响。为了判断因素对实验结果形象的显著性的大小，为了判断因素对实验结果形象的显著性的大小，须将计算得到的须将计算得到的F F值与从值与从F F分布表上查到的相应临界分布表上查到的相应临界值进行比较。当值进行比较。当F F值大于临界值时，表明该因素对实值大于临界值时，表明该因素对实验结果影响显著。验结果影响显著。就本例而言：就本例而言：F FA A=(123.

26、37/2)/(27.71/6)=13.36=(123.37/2)/(27.71/6)=13.36查查F F检验的临界值表可知：检验的临界值表可知：F F0.100.10(2,6)=3.46(2,6)=3.46，F F0.050.05(2,6)=5.14(2,6)=5.14，F F0.010.01(2,6)=10.9(2,6)=10.9由于由于F FA A F F0.100.10(2,6)(2,6)，所以我们可以认为，有，所以我们可以认为，有99%99%以上以上的把握判断因素的把握判断因素A A的水平改变对实验结果有极为显的水平改变对实验结果有极为显著的影响，以著的影响，以“*”“*”标记。由此

27、可得出如下结论：标记。由此可得出如下结论：对对10minH10minH2 2产率的影响是由硫酸浓度的差异所引起的。产率的影响是由硫酸浓度的差异所引起的。2.2.多因素实验的方法分析多因素实验的方法分析 和单因素实验的情况一样，多因素实验方差分和单因素实验的情况一样，多因素实验方差分析的目的仍然是将实验误差所引起的结果与实验条析的目的仍然是将实验误差所引起的结果与实验条件的改变件的改变(即各因素水平的改变即各因素水平的改变)所引起的结果区分所引起的结果区分开来，以便能抓住问题的实质，此外，多因素实验开来，以便能抓住问题的实质，此外，多因素实验的方差分析还要将影响实验结果的主要因素和次要的方差分析

28、还要将影响实验结果的主要因素和次要因素区分开来，以便集中力量研究主要因素。因素区分开来，以便集中力量研究主要因素。我们仍以实验室制取我们仍以实验室制取H H2 2为例，来阐明多因素单指标为例，来阐明多因素单指标实验方差分析的基本步骤。实验方差分析的基本步骤。(1)(1)因素的偏差平方和的计算因素的偏差平方和的计算自由度f=3-1=2，为了简化计算，上式可写为其中CT=G2/n则则将数据带入上式CT=G2/9=(351.68)2/9=13742.09S SA A=(104.21=(104.212 2+116.12+116.122 2+131.35+131.352 2)/3-(13742.09)/

29、9=123.37)/3-(13742.09)/9=123.37同理，可以计算出因素B和因素C的偏差平方和SB B、SC C(其自由度fB B=fC C=3-1=2)，SB B=6.51，SC C=15.77，SA A、SB B、SC C反映了因素A、B、C的3个水平所引起的实验结果的差异。(2)(2)误差的偏差平方和的计算误差的偏差平方和的计算 对于误差的偏差平方和对于误差的偏差平方和(S(Se e)，可用正交表中未安，可用正交表中未安排因素的空白列的偏差平方和来计算。因为空白列排因素的空白列的偏差平方和来计算。因为空白列未安排因素，它们的偏差平方和中不包括因素水平未安排因素，它们的偏差平方和

30、中不包括因素水平的变化所引起的实验结果的误差，仅仅反映了实验的变化所引起的实验结果的误差，仅仅反映了实验误差的大小。误差的大小。本例中：本例中：S Se e=S=SD D=(K=(K1 12 2+K+K2 22 2+K+K3 32 2)/3-CT=5.43)/3-CT=5.43误差的自由度：误差的自由度：f fe e=f=f总总-f-fA A-f-fB B-f-fC C=(9-1)-2-2-2=2=(9-1)-2-2-2=2应当指出，当正交表中空白列不是一列时，可将空应当指出，当正交表中空白列不是一列时，可将空白列的白列的S S值相加作为误差的估计值。值相加作为误差的估计值。(3)(3)因素的

31、显著性检验因素的显著性检验分别计算出因素分别计算出因素A A、B B、C C的的F F值：值：查F分布表可知：F0.10(2,2)=9.00，F0.05(2,2)=19.0F0.01(2,2)=99.0由于F0.05(2,2)FA F0.01(2,2)，FB F0.10(2,2)FC F0.10(2,2)由此可见，显著性分别为：硫酸的质量分数硫酸的质量分数 *(显著显著)硫酸铜晶体加入量和锌加入量硫酸铜晶体加入量和锌加入量 (不显著不显著)本例通过方差分析表明：硫酸质量分数的改变对本例通过方差分析表明：硫酸质量分数的改变对H H2 2产率有显著影响，依据产率有显著影响，依据K K值可知，选取硫酸的质量值可知，选取硫酸的质量分数的三个水平，即分数的三个水平，即30%30%为最好；硫酸铜的加入量为最好；硫酸铜的加入量对对H H2 2产率无显著影响，在最佳实验条件中，取三水产率无显著影响，在最佳实验条件中，取三水平为好；锌的加入量对平为好；锌的加入量对H H2 2产率无显著影响，同样，产率无显著影响，同样，在最佳实验条件中取一水平为好。在最佳实验条件中取一水平为好。