基于牛顿—拉夫逊法的电力系统潮流计算.doc

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1、摘要电力系统的潮流计算在电力系统稳态分析和电力系统设计中有很重要的作用，潮流计算也是电力系统暂态分析的基础。潮流计算是根据给定的系统运行条件来计算系统各个部分的运行状况，主要包括电压和功率的计算。到目前为止，利用电子计算机进行电力系统的潮流计算的算法已经出现了很多，其中应用最为广泛的是基于牛顿拉夫逊法的潮流计算方法。在利用计算机进行电力系统的潮流计算之前，需要对网络的节点进行划分和编号，建立电力网络的数学模型，即电力系统的网络方程式。本文主要介绍了节点导纳矩阵的形成方法。在形成节点导纳矩阵之前，需要将电力网络进行等值电路的变换，其中主要包括输电线路和变压器的等值电路的变换。由于牛顿拉夫逊潮流计

2、算对于初值的给定有比较高的要求。因此在进行牛顿拉夫逊迭代计算前，先采用高斯赛德尔迭代法产生一组比较精确的初值。本文详细介绍了高斯赛德尔法和牛顿拉夫逊法迭代计算的过程。其中主要内容有迭代方程式的建立，雅克比矩阵的计算，功率和电压的计算，以及在迭代过程中PV节点转化为PQ节点时的处理方法。开发工具采用Matlab编程语言，采用读写Excel电子表格的方法进行数据的输入和输出。本文采用一个5节点的网络进行实例分析，用Matlab开发的计算程序进行潮流计算，计算结果表明程序的算法具有良好的收敛性和实用性。关键字：潮流计算，节点导纳矩阵，牛顿拉夫逊，高斯赛德尔，MatlabAbstractPower f

3、low calculation has a very important role in power system steady-state analysis and power system design, and it is also the basis of transient analysis in power system. Flow calculation is based on given conditions of the power system and calculates the operational status of every part of the system

4、, including voltage and power. So far, there are kinds of algorithm which use the electronic computer in power flow calculation, the most widely used algorithm is the Newton - Raphson power flow calculation method.Before we the computer in power flow calculation, we need to need to have the nodes of

5、 the network classified and numbered and establish a mathematical model of power network, namely the power system network equations. This paper describes the formation of the node admittance matrix . In the formation of the node admittance matrix, we need to transform the power network to equivalent

6、 circuit, which includes transformation of transmission lines and transformers.The Newton - Raphson power flow calculation has a relatively high demand for a given initial value. So before the Newton - Raphson iteration, we use Gauss - Seidel iterative method to produce a more precise initial value.

7、 This paper describes the process of Gauss - Seidel and Newton - Raphson iteration. The main contents are the establishment of iterative equation, the calculation of Jacobian matrix and the calculation of power and voltage, as well as how to deal with the situation when a PV node transform to a PQ n

8、ode iteration process.We use the Matlab programming language as development tools, the input and output of the data process in the Excel spreadsheets.In this paper, we utilize a system contains 5 nodes to analyze , the result of the calculation by the Matlab program shows that the algorithm is conve

9、rgence and practice.Key Words：Power flow calculation，node admittance matrix，Newton Rap son，Gauss Seidel，Matlab.目 录第一章 绪论1一、电力系统潮流计算的背景及意义1二、潮流计算的发展历史及现状2三、潮流计算的发展趋势4四、本文主要工作5第二章 电力网络的数学模型6一、节点电压方程6二、节点导纳矩阵的形成7（一）输电线路的等值电路7（二）变压器的等值电路8（三）节点导纳矩阵的计算 9第三章 电力系统的潮流计算11一、迭代法简介11二、高斯赛德尔潮流计算11（一）功率方程和变量、节点的分

10、类12（二）高斯赛德尔潮流计算16（三）算例分析21三、牛顿拉夫逊潮流计算24（一）牛顿拉夫逊法简介24（二）潮流计算时的修正方程26（三）算例分析31第四章 实例分析与程序设计34一、输入数据和输出数据35（一）输入数据35（二）输出数据36二、数学模型计算36（一）支路导纳矩阵的计算36（二）节点导纳矩阵的计算38三、潮流计算38（一）高斯赛德尔潮流计算38（二）牛顿拉夫逊潮流计算40四、程序设计42（一）主程序的设计42（二）子程序的设计43（三）数据的输入与输出44第五章 总结45参考文献46附录48附录1 源程序481 高斯赛德尔潮流计算源程序482 牛顿拉夫逊潮流计算程序50附录2

11、 英文文献翻译63英文文献63中文翻译73第一章 绪论第一章 绪论电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的一种计算，它根据给定的运行条件以及系统的界限情况确定整个电力系统各个部分的运行状态：各母线的电压。各元件中流过的功率，系统的功率损耗等等。电力系统的潮流计算的电力系统稳态分析、暂态分析和故障分析的基础。一、电力系统潮流计算的背景及意义在电力系统规划设计和现有的电力系统的运行方式的研究中，都需要用潮流计算来定量的分析比较供电方案或运行方式的合理性、可靠性和经济性。此外，电力系统潮流计算也是计算系统动态稳定和静态稳定的基础。所以潮流计算是电力系统一种最重要最基本的运算。电力系统的潮流计算也

12、分为离线计算和在线计算两种，前者主要用于系统的规划设计和安排系统的运行方式，后者则用于正在运行系统的实时监视和控制。在电网的设计规划阶段，通过潮流计算，合理的规划接入电源的容量和接入点，合理规划电网的结构，选择无功补偿方案，满足规划水平的大、小方式下的交流交换控制、调峰、调相、调压的要求。在编年制运行方式时，在预计负荷增长及新设备投运基础上进行潮流计算，可以预计电网的运行情况，发现电网中的薄弱环节，供调度员日常调度控制参考，并为电网改造提供建议和依据。正常检修以及特殊运行方式下的潮流计算，用于日常运行方式的编制，指导发电厂的开机方式，为有功、无功调整方案和负荷调整方案的制定提供依据，以满足电力

13、网络正常运行的要求。预测因事故或者电网负荷发生变化时，电网运行状态的变化，并以此来制定相应的处理方案。二、潮流计算的发展历史及现状 在数字计算机出现之前，电力系统的潮流计算主要是借助于交流台通过人工计算完成，交流台模拟了电力系统，因此在交流计算台上计算潮流分布时，计算人员可以随时监视系统各个部分运行状态是否满足要求，如果发现某些部分不合理，则可以立即进行调整。这种方法直观，但是人工操作工作量大且易出错。电力系统的潮流计算的计算量非常巨大，通过人来计算是非常困难的。随着电子计算机的产生和发展，人们开始探索利用计算机来进行潮流计算的方法。从50年代开始到现在，潮流计算曾采用了不同的方法，这些方法主

14、要围绕着对潮流计算的一些基本要求进行的。对潮流计算的要求可以归纳为以下几点：（1）计算方法的可靠性和收敛性（2）对计算机内存量的要求（3）计算速度（4）计算的方便性和灵活性其中第一个要求是最主要最基本的要求，即计算方法可行，计算的次数在计算过程中逐渐减少，而不是计算次数越来越多。电力系统的潮流计算在数学上是一组多元非线性方程式的求解问题，其方法都离不开迭代。因此，对潮流计算方法，首先要求它能可靠的收敛，并给出正确答案，由于电力系统结构及参数的一些特点，并且随着电力系统的不断扩大，潮流计算的方程式的阶数越来越多。(一般在几十阶甚至几百阶以上)，对这样的方程式不是任何是任何数学方法都能保证给出正确

15、答案的。这种情况称为促使电力系统计算人员不断线的更可靠方法的重要因素。在用数字计算机解电力系统潮流计算的开始阶段，普遍采用以节点导纳矩阵为基础的逐次带入法，即导纳法。这个方法的原理比较简单，要求数字计算机的内存比较小，适应50年代的电子计算机的制造水平和当时的电力系统理论水平。但它的收敛性比较差，当系统的规模增大时，迭代次数急剧上升，在计算中往往出现迭代不收敛的情况。这就迫使电力系统的计算人员转向以阻抗矩阵为基础的逐次代入法，即阻抗法。60年代初期，数字计算机已发展到第二代，计算机的内存和速度发生了很大的飞跃，从而为阻抗法的采用创造了条件。阻抗法要求数字计算机贮存表征系统接线和参数的阻抗矩阵，

16、这就需要大量的内存。而且阻抗法每迭代一次都要求顺次取阻抗矩阵中的每一个元素进行计算，因此，每次迭代的运算量很大。这两种情况都是过去电子管计算机无法适应的。阻抗法改善了系统潮流计算的收敛性问题，解决了导纳法无法求解的一些系统的潮流计算，在60年代获得了广泛的应用，曾为我国的电力系统的设计、运行和研究做出了很大的贡献。阻抗法的缺点是占用的计算机 的内存比较大，每次迭代的计算量大。当系统不断扩大时，这些缺点就更加突出。一个内存16K的计算机在采用阻抗法时只能计算100个节点以下的系统。这样，我国很多电力系统为了采用阻抗法潮流计算就不得不对系统进行相当的简化工作。为了克服阻抗法在内存和速度上的缺点，6

17、0年代中期发展了以阻抗矩阵为基础的分块阻抗法。这个方法把一个大系统分割为几个小的地区系统，在计算机内只需要存储各个地区系统的阻抗矩阵及他们之间的联络线的阻抗，这样大幅度的节省了内存容量，提高了计算速度。克服阻抗法的缺点的另一个方法是采用牛顿拉夫逊法。牛顿拉夫逊法是数学中解决非线性方程式的典型方法，有较好的收敛性。在解决电力系统的潮流计算问题时，是以导纳矩阵为基础的，因此只要我们能在迭代过程中尽可能保持方程式的系数矩阵的稀疏性，就可以大大提高牛顿拉夫逊法潮流程序的效率。自从60年代中期，在牛顿拉夫逊法中利用了最佳顺序消去法以后，牛顿法在收敛性、内存要求和速度方面都超过了阻抗法，成为60年代末期以

18、后广泛采用的优秀方法。与此同时，为了保证可靠的收敛，在我国还进行了利用非线性规划法计算潮流计算的研究。随着电力系统的日益扩大和复杂化，特别是电力系统逐步实现自动控制的需要，对系统潮流计算在速度、内存以及收敛性的方面都提出了更高的要求。70年代以来，潮流计算方法通过不同的途径继续向前发展，其中比较成功的就是PQ分解法。这个方法，根据电力系统的特点，抓住主要矛盾，对出数学的牛顿拉夫逊法进行了改进，从而在内存容量以及计算速度方面都大大向前迈进了一步。使一个32K内存容量的数字计算机可以计算1000个节点的潮流计算问题，此方法计算速度以能用于在线计算，做系统静态安全监测。目前，我国很多电力系统都采用了

19、PQ分解法潮流程序。近20多年来，潮流算法的研究仍然非常活跃，但是大多数研究都是围绕改进牛顿法和P-Q分解法进行的。此外，随着人工智能理论的发展，遗传算法，人工神经网络和模糊算法也被逐渐引入到潮流计算当中，但是到目前为止，这些新的方法还不能取代牛顿拉夫逊法和P-Q分解法的地位。由于电力系统规模的不断扩大，对计算速度的要求不断提高，计算机的并行计算技术也将在潮流计算中得到广泛的应用，成为重要的研究领域。三、潮流计算的发展趋势现在应用最为广泛的牛顿拉夫逊法是将非线性的潮流方程逐次线性化，为了进一步提高算法的收敛性和计算速度，人们考虑采用将泰勒级数的高阶项或非线性项也考虑进来，于是产生了二阶潮流算法

20、。后来又提出了根据直角坐标形式的潮流方程是一个二次代数方程的特点，提出了采用直角坐标的保留非线性快速潮流算法。 对于一些病态系统，应用非线性潮流计算方法往往会造成计算过程的振荡或者不收敛，从数学上讲，非线性的潮流计算方程组本来就是无解的。这样，人们提出来了将潮流方程构造成一个函数，求此函数的最小值问题，称之为非线性规划最优潮流的计算方法。优点是原理上保证了计算过程永远不会发散。如果将数学规划原理和牛顿潮流算法有机结合一起就是最优乘子法。另外，为了优化系统的运行，从所有以上的可行潮流解中挑选出满足一定指标要求的一个最佳方案就是最优潮流问题。最优潮流是一种同时考虑经济性和安全性的电力网络分析优化问

21、题。OPF 在电力系统的安全运行、经济调度、可靠性分析、能量管理以及电力定价等方面得到了广泛的应用。 另外随着直流输电技术的研究和发展，直流输电网络和交流混合电力系统的潮流计算也有了一定发展，随着直流输电技术的不断应用，混合电力系统的潮流计算必将获得一个广阔的发展空间。四、本文主要工作 本文主要工作主要是详细介绍牛顿拉夫逊法的原理、算法设计和Matlab程序的编写。以及牛顿拉夫逊法的优缺点以及对于其缺点的改进方法。牛顿拉夫逊法，把非线性方程式的求解过程变成反复对相对应的线性方程式的求解过程，通常称为逐次线性化过程，这是牛顿拉夫逊法的核心。每一次的迭代都要先解修正方程，然后用解得的各节点电压变量

22、（修正量）求个节点的新值（修正后值）。步骤是：（1）设一组结点电压；（2）求功率和电压的不平衡量；（3）求雅克比矩阵的各个元素；（4）解修正方程式。牛顿拉夫逊法最重要的一步是计算雅克比矩阵。这是将非线性潮流方程线性化的关键步骤。牛顿拉夫逊法具有很好的收敛性，计算速度快，计算结果准确。但是牛顿拉夫逊法对于初值有比较高的要求，当给定的初值与精确值相差较大时，计算结果会产生很大的误差，甚至不能收敛。为了解决这个问题，通常先利用高斯赛德尔法进行计算，将计算得到的结果作为牛顿拉夫逊法的初值进行计算。本文还介绍了电力网络数学模型的建立，这是利用数字计算机进行潮流计算的基础，主要包括输电线路和变压器数学模型

23、的建立和节点导纳矩阵的计算。80第二章 电力网络的数学模型第二章 电力网络的数学模型电力网络的数学模型指的是将网络的有关参数和变量及其相互关系归纳起来所组成的，可以反映网络性能的数学方程式组。在利用计算机的复杂电力系统的潮流计算中用的最多的是节点电压方程。节点电压方程用节点电压和来表示支路电流，根据基尔霍夫电流定律列出方程组。一、节点电压方程如图2.1所示是一个电力系统的等值网络图，它共有三个节点。图2.1 电力系统的等值网络图根据基尔霍夫电流定律，对该电路图列写节点电压方程得：（2.1）式（2.1）就是图2.1所示电力网络等值电路的数学模型。将其用矩阵形式表式为：(2.2)式（2.2）可以展

24、开为(2.3)在式（2.2）中是节点注入电流的列向量。在电力系统计算中，节点注入电流可以理解为与该节点相连的正电流源与负电流源之和，其中规定注入该节点的电流为正，流出该节点的电流为负。有的节点不与电流源相连，则其注入电流为零，如图2.1中的节点3。是节点电压列向量，节点电压是该节点对参考地的电压。是一个阶的节点导纳矩阵，其就等于网络中出参考地之外的节点数。二、节点导纳矩阵的形成节点导纳矩阵在利用计算机进行潮流计算中具有十分重要的地位，它是电力网络的数学表示形式。电力网络拓扑结构经过一系列的等效之后，形成类似于图2.1所示的等值电路。在等值电路的求解过程中，输电线路和变压器的等值电路的求取是主要

25、的工作。（一）输电线路的等值电路输电线路等值电路一般以图2.2所示的形式表示。图2.2 输电线路的等值电路、和都是导纳，单位是西门子。在计算输电线路的等值电路时，一般要先知道线路的长度，单位长度线路的阻抗和单位长度线路的导纳。对于小于100公里的输电线路一般忽略其导纳，即在图2.2中的和都等于零，等于线路阻抗的倒数。当线路长度在100公里到300公里之间时，要考虑线路的导纳，导纳用集中参数表示。此时、和的计算方法为：(2.4)当线路长度大于300公里时，则要考虑线路的分布参数。此时线路的等值电路的计算方法为：(2.5)其中称为线路特性阻抗，成为线路传播常数。(2.6)（二）变压器的等值电路在变

26、压器的等值电路的计算中，我们将变压器看做是一个理想变压和一个阻抗的串联，并且忽略了变压器的漏抗。理想变压器的变比是实际的变压器变比，而阻抗一般是折算到低压侧的变压器短路阻抗，串联在理想变压器的低压侧。如图2.3所示。图2.3 变压器的等值电路图2.3所示的等值电路仍然不能直接形成节点导纳矩阵，需要进一步化为图2.2所示的等值电路，此时的计算方法为：(2.7)而对于三绕组的变压器，则可以将其中一个绕组看成是低压绕组，另外两个绕组看成为高压绕组，把绕组变压器化为两个双绕组的变压器。如图2.4所示。图2.4 三绕组变压器的等值电路将三绕组变压器化为两个双绕组变压器后就可以按照双绕组变压器等值电路的求

27、法进行进一步的化简。（三）节点导纳矩阵的计算将电力网络的拓扑化为如图2.1所示的等值电路后，就可以进行节点导纳矩阵的计算了。节点导纳矩阵求取时，注意一下几点。（1）节点导纳矩阵是方阵，其阶数就等于网络中除参考地之外的节点数。节点导纳矩阵是稀疏矩阵，其各非零非对角元数就等于与该行相对应节点所连接的不接地支路数。如图2.1所示，与节点2对应的第二行非零非对角元数为2.（2）节点导纳矩阵的对角元就等于与该节点所连接的导纳的总和。如图2.1中，与节点2对应的对角元。（3）节点导纳矩阵的非对角元就等于连接节点，支路导纳的负值。如图2.1所示，。（4）节点导纳矩阵一般是对称矩阵。第三章 电力系统的潮流计算

28、第三章 电力系统的潮流计算一、迭代法简介在电力系统的计算中，迭代法主要用于求解非线性方程。但在某些情况下，迭代法也适用于线性方程，下面以一个线性方程为例介绍迭代法。【例 3.1】解方程组【解】用消去法求得它的解是，。下面用迭代法求解。把该方程组变形为：取，的初值，代入上式的右边，即可从左边解得 ，。然后再将，代入上式，解得又一组解，经过三次迭代后可得，误差已经减小到了千分之一。二、高斯赛德尔潮流计算建立了节点导纳矩阵，就可以进行潮流计算。潮流计算的额主要思想是迭代法。其关键是要建立一个方程组。但是由于在工程实践中，通常我们已知的既不是节点电压，也不是节点电流，而是节点功率，实际计算中几乎无一例

29、外的要迭代解非线性的节点电压方程（*表示复数的共轭）。（一）功率方程和变量、节点的分类设有简单系统如图3.1所示。图中，分别为母线1、2的等值电源功率；，分别为母线1、2的负荷功率；它们的合成，分别为母线1、2的注入功率，与之对应的电流，分别为母线1、2的注入电流。于是，(3.1)图3.1 简单系统及其等值网络（a）简单系统；（b）简单系统的等值网络；（c）注入功率和注入电流(3.2)如令 (3.3)并将式（3.3）代入式（3.2）展开，将有功功率和无功功率分列，可得(3.4)式（3.4）就是这个简单系统的功率方程。由式（3.4）可见，在功率方程中，母线电压的相位角是以差=的形式出现的，亦即决

30、定功率大小的是相对相位角或相对功率角，而不是绝对相位角或绝对功率角。由式（3.4）可得(3.5)它们都是母线电压，和相位角，相对相位角或的函数。由式（3.4）还可见，在这四个一组的功率方程组中，除网络参数、外，共有十二个变量，它们是：负荷消耗的有功、无功功率、；电源发出的有功、无功功率、；母线或节点的大小和相位角、；因此，除非已知其中的八个变量，否则将无法求解。在这十二个变量中，负荷消耗的有功、无功功率无法控制，因它们取决于用户。它们就称为不可控变量或扰动变量。之所以称扰动变量是由于这些变量出现事先没有预计的变动时，系统将偏离它们的原始运行状况。不可控变量或扰动变量用列向量表示。余下的八个变量

31、中，电源发出的有功、无功功率是可以控制的自变量，因而它们就称为控制变量。控制变量用列向量表示。最后余下的四个变量母线电压或节点电压的大小和相位角是受控制变量控制的因变量。其中、主要受、的控制；、主要受、的控制。这四个变量就是系统的状态变量。状态变量一般用列向量表示。变量的这种分类也适用于个节点的复杂系统。只是对于这种复杂的系统，变量数将增加到个，其中扰动变量、控制变量、状态变量各个。换言之，扰动向量、控制向量、状态向量，都是阶的列向量。看来似乎将变量做如上分类后，只要已知或给定扰动变量和控制变量就可以运用功率方程式（3.4）解出状态变量。其实不然，因已如上述，功率方程中，母线或节点电压的相位角

32、是以相对值出现的，以致式（3.4）中的、变化同样大小时，功率的数值不变。从而也不可能运用它们求取绝对相位角，也如上所述，系统的功率损耗本身就是状态变量的函数，在解得状态变量前，不可能确定这些功率损耗。为克服上述困难，可对变量的给定稍作调整：在一个有个节点的系统中，只给定对控制变量、，余下的一对控制变量、待定。这一对控制变量、将使系统的功率保持平衡。在这系统中，给定一对状态变量、，只要求确定对状态变量、。给定的通常为零。这实际上就是相当于取节点s的电压相量为参考轴。这样，原则上可以从个方程中解出个未知量。但是实际上，这个解还应满足以下的约束条件，这些约束条件是保证系统正常运行所不可缺少的。其中对

33、控制变量的约束条件是；对没有电源的节点则为；这些限制条件取决于一系列技术经济因素，应根据实际情况而定。对于状态变量的约束条件则是：这条件表示，系统中各节点的电压大小不得越出一定的范围，因系统运行的基本要求之一就是要保证良好的电压质量。对于某些状态变量还有如下的约束条件这条件主要是保证系统运行的稳定性所要求的。对于扰动变量、不可控，对它们没有约束。考虑到这些约束条件后，对于某些节点，不是给定控制变量、而留下状态变量、待求，而是给定这些节点的和而留下和待求。这其实意味着让这些电源调节它们发出的无功功率以保证与之连接的节点电压为定值。这样，系统的节点就因给定变量的不同而分为三类。第一类称PQ节点。对

34、这类节点，等值负荷功率、和等值电源功率、是给定的，从而注入功率、是给定的。待求的则是节点电压的大小和相位角。属于这一类的节点又按给定有功、无功功率的发电厂母线和没有其它电源的变电所母线。第二类节点称PV节点。对这类节点，等支负荷和等值电源的有功功率、是给定的，从而注入有功功率是给定的。等值负荷的无功功率和节点电压的大小也是给定的。待求的则是等值电源的无功功率，也就是要求注入无功功率和节点电压的相位角。有一定无功功率储备的发电厂和有一定无功功率电源的变电所母线都可选作PV节点。第三类节点称平衡节点。潮流计算时，一般都只设一个平衡节点。对这个节点，等值负荷功率、是给定的，节点电压的大小和相位角是给

35、定的。待求的则是等值电源功率、，从而要求注入功率、。担负调整系统频率任务的发电厂母线往往被选作平衡节点。进行计算时，平衡节点是不可少的；PQ节点是大量的，PV节点是较少的，甚至可以没有。（二）高斯赛德尔潮流计算自1956年成功地运用数字计算机计算潮流分布以来，曾先后出现过许多种结算方法。目前常用的有运用节点导纳矩阵的牛顿拉夫逊法和由该法派生的P-Q分解法。但是由于牛顿拉夫逊法对初值的选取要求严格，某些程序的第一、二次迭代又往往采用高斯赛尔德法估计初值。以下是对高斯赛尔德的法的具体介绍。高斯赛尔德法比较简单，是由于它可以直接迭代解节点电压方程。因将节点电压方程展开，可得(3.6)移项后，又可得(

36、3.7)将式（3.7）进一步展开后，就可以用高斯赛尔德法迭代求解。例如，对节点1为平衡节点，其余都是PQ节点的网络，上式可展开如式（3.8）。(3.8)式中 给定的各节点注入功率的共轭值 给定的平衡节点电压 迭代次数上式是按高斯塞尔德法解方程式组时的标准模式书写的，按这种模式，式中等号右侧的采用经次迭代后的值；等号右侧的，当时，采用次迭代后的值；当，采用次迭代后的值。迭代解式（3.8）的步骤是：先假设一组，一般可设，将它们代入第一式，可解得。然后将、代入第二式，可解得。再将、代入第三式，又可解得。依次类推，直至解得。这就是第一次迭代。第一次迭代结束时，解得了所有的。再将解得的这组再一次代入式（

37、3.8）进行第二次迭代。先代入第一式，解得。然后将、代入第二式，可解得。再将、代入第三式，又可解得。依次类推，直至解得。这就是第二次迭代。第二次迭代结束时，解得了所有的。如此不断迭代，直至某一次迭代后的解得的与前一次迭代后的值相差小于事先给定的允许误差，即而停止。因这个条件满足就是迭代结束的标志。网络中往往还会有PV节点，而且，这中PV节点的注入无功功率由于受到电源供应的无功功率的限制，对于这些节点，如上的计算步骤应修改如下。设节点是PV节点，则由于已经给定，在每次迭代求得后，应首先将求得的修正为，即将求得的电压大小由改为，而求得的相位则不改动。然后，将它和其它节点一起代入式（3.9）以求取,

38、亦即按式（3.10）计算(3.9) (3.10)求得后，再将其代入下式以求取(3.11)显然，上两式中的都应为修正后的值，而列出上两式时设PV节点的编号。迭代过程中往往会出现越限，即按式（3.10）求得的不能满足的情况。考虑到实践中对节点电压的限制不如对节点功率的限制严格，出现这种情况时，只能用或代入式（3.11）以求取，而在求得后，不在像对那样修正它的值。换言之，这时只能满足约束条件而不能满足=给定值。而事实上，这时PV节点以变为了PQ节点。迭代收敛后，就可以计算平衡节点的功率(3.12)并计算各线路上流动的功率 (3.13a)(3.13b)以及各线路上的功率损耗(3.14)这样由式（3.1

39、1）求得了所有PQ节点的电压大小和相位；由式（3.10）、（3.11）求得了PV节点的无功功率和电压的相位角；由式（3.12）求得了平衡节点的视在功率，由式（3.13）、（3.14）求得了所有线路上流动的功率；换言之，网络中所有支路的功率和功率损耗都已经确定，潮流分布的计算已经完成。图3.2 高斯赛德尔程序框图高斯赛德尔潮流计算的程序流程图如图3.2所示。对于图3.2，作如下说明。（1）设节点1、2、3m中，除去一个平衡节点s外，其余的为PQ节点。节点m+1、m+2n则全为PQ节点。在输入数据时，节点的编号要按照上述要求进行编号。（2）框1和框2的步骤在调用高斯塞尔德子程序之前完成，在调用高斯

40、塞尔德程序时输入的数据有：平衡节点的电压；PQ节点的视在功率；PV节点的无功功率和节点电压的大小，；PV节点的无功功率限额，；（3）对于框4，迭代次数k的设置，是为了防止迭代不收敛时来终止迭代的。变量f是标志变量，当某一个PV节点在计算过程中因没有满足限制条件而转化为PQ节点时，f中的对应位变为1，否则为0；（4）对于框8，在修正时，应保持其大小始终等于给定的PV节点的电压大小，只对其相位角进行修正。（三）算例分析【例3.2】三节点等值网络如图3.3所示。图中，节点1为平衡节点，给定=1.0+j0，节点2为PQ节点，给定；节点3为PV节点，给定，。各支路导纳以示于图3.3。图3.3 三节点等值

41、网络【解】图3.3是一个已经经过转换的等值网络，我们先建立一个矩阵，是一个阶的矩阵，其中第1、2、3节点分别对应的第1、2、3行（列），参考地对应第4行（列），的每一个元素表示连接第个节点和第个节点的导纳，或者表示连接第个节点和地之间的导纳的值。我们称矩阵为支路导纳矩阵，以区别于节点导纳矩阵，于是，由图3.3我们可得矩阵为然后根据前文1.3.3节中介绍的节点导纳矩阵的形成方法，得到节点导纳矩阵，我们设定精确度为0.00001，=10，=0.02，将数据代入根据图3.2的流程图编写的程序中进行计算，以下是计算结果。表3.1 第一次迭代后的节点电压节点编号123节点电压1.0000+j0.0000

42、0.9680-j0.02601.0988+j0.0518最大电压变化量dumax为：dumax=0.0519;表3.2 第二次迭代后的节点电压节点编号123节点电压1.0000+j0.00000.9662-j0.02601.0987+j0.0534最大电压变化量dumax为：dumax=0.0018;表3.3 第三次迭代后的节点电压节点编号123节点电压1.0000+j0.00000.9661-j0.02601.0987+j0.0534最大电压变化量dumax为：dumax=;表3.4 第四次迭代后的节点电压节点编号123节点电压1.0000+j0.00000.9661-j0.02601.09

43、87+j0.0534最大电压变化量dumax为：dumax=;由以上计算结果可以看出，经过四次迭代后，计算结果的精确度就达到了，从dumax可以看出，迭代计算能很快的收敛。迭代计算结束后，再根据式（3.10）和式（3.12）计算PV节点的无功功率和平衡节点的视在功率，并根据式组（3.13）计算线路上的视在功率，根据式（3.14）计算线路上的功率损耗。计算结果如下：表3.5 节点注入功率节点编号123节点注入功率0.4437+j0.2405-0.8000-j0.60000.4000+j0.0624表3.6 各线路上的流动功率ij123100.8107+j0.6429-0.3670-j40242-

44、0.8000-j.60000030.3818+j0.06240-j0.39930表3.7 各线路上的损耗功率ij123100.0107+j0.04290.0147-j0.340020.0107+j0.042900-j0.399330.0147-j0.34000-j0.39930三、牛顿拉夫逊潮流计算牛顿拉夫逊是广泛采用的解非线性方程式组的方法，也是当前广泛采用的计算潮流分布的方法。这里的非线性方程式组就是非线性功率方程。（一）牛顿拉夫逊法简介设有非线性方程式组如下(3.15)其近似解为、。设近似解与精确解分别相差、则如下的关系式应该成立(3.16)上式中任何一式都可按泰勒级数展开。以第一式为例

45、式中、分别表示以、代入这些偏导数的表示式时计算所得；则是一包含、的高次方与的高阶偏导数乘积的函数，如果初值与精确解相差不大，则可以略去。于是式（3.16）可以写为：(3.17)这是一组线性方程式组或线性化了的方程式组，成为修正方程式组。将它改写为矩阵形式为：(3.18)或简写为(3.19)式中，称为雅克比矩阵。将代入，可得、中的各元素。然后运用解线性矩阵方程的解法，可求的，从而可以求得经第一次迭代后的新值=。再将代入，从而可以求得。如此不断迭代，直至满足对精确度的要求。运用这种方法计算时，的初值要选择得比较接近它们的精确解，否则迭代的过程可能不收敛。正因如此，在运用牛顿拉夫逊法的潮流计算中，第

46、一、二次的迭代先采用高斯赛德尔法得到一个比较精确的初值，然后在用牛顿拉夫逊法进行迭代。（二）潮流计算时的修正方程运用牛顿拉夫逊法计算潮流分布时，节点导纳矩阵的形成，平衡节点和线路功率的计算都和运用高斯赛德尔法时相同，不同的知识迭代过程。迭代过程中，两种方法应用的基本方程式又都是，只是高斯赛德尔将其展开为电压方程式，用牛顿拉夫逊法时，将其展开为功率方程式。(3.20)式中，第一部分为给定的节点注入功率，第二部分为由节点电压求得的节点注入功率，它们二者的差就是节点功率的不平衡量。有待解决的问题就是各节点功率不平衡量都趋近于零时，各节点电压应具有何值。将式（3.20）与式（3.15）对照，式（3.15）中的就对应这里的节点功率不平衡量，而式（3.15）中的、，则对应于这里的节点电压。建立了这种对应关系，就可以