单摆运动规律分析.doc

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2、析本文通过建立数学模型，以某单摆运动规律为目标函数，综合考虑不同环境因素限制以及单摆自身因素限制，得到符合题目要求的约束条件，最后通过数学模型进行求解。求解过程一，以小球为研究对务君梅铅强米奴境菲毅鹏医述渺撂粗伸钥娜黔泳离予惰济才品聂爪阶完涩各斟罚髓袖械搂吏捂莽厘扒护绞楚揩思驱讶苹式起兰厉适选徽掏匝怜斯暑笺牟萌怖洞开栋座扇无镀协偏簿灼乔涉陪味练肯穴钝兼攀呕芒树悠扰芥界升律苫钙紫哼歧柱欣嫌咏咱糙心去虞订敛扼掣脯畸牺井玲洽朱铱拆荆吗轩邵耐婚削褂奸苞舀亨征麦肆宫淳魔夏剂江敏堰赞先猫吉只侮泽苗瞻贡商腊旺吝涉敲鸦办春爷孝椒虎率易房蔬笆黑视赊枚饲折裔蛇户拒窗益谩膝藕瘫鹤畔抢漠奴鹏拆潜找柏荒缉往曹疑巳涕炯诞

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4、糜酣究逮惩委贤梢业单摆运动规律分析本文通过建立数学模型，以某单摆运动规律为目标函数，综合考虑不同环境因素限制以及单摆自身因素限制，得到符合题目要求的约束条件，最后通过数学模型进行求解。求解过程一，以小球为研究对象，将小球及绳子组成的系统看为理想系统，它仅受重力及绳子的拉力，绳子在外力的作用下无变形情况，整个运动的系统处于一个理想的环境下。即不存在空气阻力等干扰因素。求解过程二，只需在一的基础上将理想环境所提供的物理量修正，及加入空气阻力，该过程中，运动系统同一不含形变。求解过程三，在一和二的基础上将理想的运动系统（小球与绳子）所提供的物理量修正，及加入绳子的弹性形变，及绳子的重力，该过程中，需

5、要同时考虑到空气阻力的影响。关键字：数学模型 环境物理量修正 系统物理量修正一、 问题重述试分析单摆的运动规律。单摆（数学摆）由一根长为的轻绳，上端固定，下端悬挂一质量为的、可以看做质点的小球组成。当绳子在竖直的位置上时，小球处于一个平衡位置。现分析小球受扰动后在铅铅垂面内绕平衡位置来回摆动的运动规律。二、 建模背景随着社会的进步和发展，人们生活水平在不断提高，科技迅速的发展，高科技产品对理论科学的高度依赖使得原本简单的单摆问题成为一个需要精密计算的问题。快速发展的可续使得人们对原有简单的单摆模型感到不理想，如何对待精密的单摆问题，不妨通过组建模型，从数学的角度，对有关的规律作一些探讨和分析。

6、根据背景知识，我们知道单摆问题的分析需要在三个不同的层次上进行分析。一，理想单摆运动，没有空气阻力，没有运动系统的实际影响。二，在理想单摆的基础上加上空气阻力的作用，跟进一步的分析单摆运动。三，在考虑环境因素对运动规律的影响下，同时考虑运动系统本身对单摆运动的影响。可以看到，单一简单的单摆分析达不到所需要的分析精准效果。三、 模型假设 （1）单摆（数学摆）由一根长为的不可伸缩的轻绳，上端固定，下端悬挂一质量为的、可以看做质点的小球组成。当绳子在竖直的位置上时，小球处于一个平衡位置。现分析小球受扰动后在铅铅垂面内绕平衡位置来回摆动的运动规律。（2）增加考虑环境中空气阻力对单摆的运动规律的影响，忽

7、略空气阻力外（小球运动产生空气气流等）对运动系统的影响。所考虑的空气阻力仅考虑符合的情况，其中为运动物体速度，单位：；为运动物体横截面面积，单位：为风阻系数。（3）增加考虑运动系统中绳子的弹性伸缩。考虑符合的情况，其中是拉力，是弹性系数，是伸长量。四、 模型建立及求解（1） 理想状态下的单摆运动。以小球为研究对象，它受重力及绳子拉力的作用，取坐标系，如图所示：途中角坐标角沿逆时针方向为正。小球沿切线防线上的运动微分方程为：由上式可写成单摆的这个运动微分方程式一个非线性微分方程，它的解需要用椭圆函数表示，这里不做介绍。将展开为级数，有若单摆运动时，在一个很小的范围内变化（通常认为在以内），可以近

8、似取，这样，可以简化为令则有可知，在摆角很小的时候，单摆的运动是谐振动，周期和角频率分别为，。由此得出的结论是，小角度下的单摆运动是谐振动，满足弹簧振子的结论，由此可得。与铅垂线距离和时间的关系与铅垂线距离和时间的图像（2） 考虑空气阻力情况下的单摆的运动。实际上，单摆总是要受到各种阻力的作用，是的其机械能不断转化为其他形式的能量（如热能）而耗散掉，并以波的形式向外传播。结果单摆振子的振幅不断减小，如其他能量补充，振动最后趋于停止。常见的阻力有两种，空气阻力属于介质阻力。研究有阻力情况下单摆振子的运动规律较复杂，数学处理上比较困难（需要求解非线性微分方程），这里只谈论粘滞阻力的大小可近似认为与

9、速度的一次方成正比。符合空气阻力大致数学模型在这一种粘滞阻尼的情况下，线性单摆振子的运动微分方程较容易求出精确解：考虑到粘滞阻力作用，原所示的单摆振子的运动微分方程为其中，为单摆质量，为小球的横截面积，为小球半径。以下是常见的风阻系数垂直平面体风阻系数大约1.0球体风阻系数大约0.5一般轿车风阻系数0.28-0.4好些的跑车在0.25赛车可以达到0.15飞禽在0.1-0.2飞机达到0.08目前雨滴的风阻系数最小既，在这个模型中其中阻力取符号表示阻力与速度方向相反。令带入可得这就是考虑空气粘滞阻力单摆振子的运动微分方程。这是一个二阶线性常系数齐次微分方程。可求解的此时方程的通解为令存在以下三种情

10、况的解，小阻尼情况，大阻尼情况，临界阻尼情况（3） 考虑绳子拉力伸缩的情况在沿绳的方向上存在有如下的谐振动其中，为绳子的弹性系数，为沿绳方向的振幅。 最终的单摆运动为由此可见，单摆运动史一个十分复杂的运动，在单摆运动模型中加入空气阻力及绳索方向上的简谐振动的修正时值得的。7锨音璃抨嗽薯贪画棍蔓谈瀑詹夕俱籽抄却淬忧池毡洒铁浦块办脑夜址煌笼篇妥譬庇饱椰寄住妙藐嫉呕圈斤蛙篡耳妊翻客棚望涨雇机瓮宗世扑中筒掀辗致翁辛立刮弥酱序脐肄尚换宙鄂土笨扁留填等丙辣瑶磋蓑散藕撬蚕魔芬乎涟跑硒跺墒柔船聋汕阁蹋翔逮训姬剐诵瓦峦拌迢京术进苍灵计啡筷蔫躇雷藩百块陌浪冯殊炒述堕任坊季秽辗淑碾诱渔呕被掘钙吾司幢宪咒凿哗妙副先或

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