数字电路与逻辑设计.ppt

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1、第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部第第1章章 数字逻辑之数字逻辑之逻辑代数逻辑代数 本章重点：本章重点：识别基本逻辑符号，尤其是同或、异或符识别基本逻辑符号，尤其是同或、异或符号。号。掌握逻辑代数的基本规则和定理掌握逻辑代数的基本规则和定理理解最大项、最小项的意义及相互关系。理解最大项、最小项的意义及相互关系。和每种变量取值组合对应的最小、大项。和每种变量取值组合对应的最小、大项。熟练掌握公式法化简、卡诺图化简。熟练掌握公式法化简、卡诺图化简。熟练掌握真值表、逻辑函数、卡诺图三者熟练掌握真值表、逻辑函数、卡诺图三者之间的转化。之间的转化。掌握逻辑函数与逻辑图的相互转化关系。掌握逻辑函数与

2、逻辑图的相互转化关系。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部掌握将函数转化为：与或（与非与掌握将函数转化为：与或（与非与非）圈非）圈1合并，或与（或非或非）圈合并，或与（或非或非）圈0合并，与或非式圈合并，与或非式圈0合并。合并。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部2.1 逻辑代数逻辑代数 2.1.1 逻辑变量与逻辑函数逻辑变量与逻辑函数 逻逻辑辑代代数数中中的的变变量量称称为为逻逻辑辑变变量量，一一般般用用大大写写字字母母A、B、C、表表示示，逻逻辑辑变变量量的的取取值值只只有有两两种种，即即逻逻辑辑0和和逻逻辑辑1。逻逻辑辑0和和1本本身身并并没没有有数数值值意意义义，它它们们并并不

3、不代代表表数数量量的的大大小小，而而仅仅仅仅是是表表示示事事物物二二元元存在状态。存在状态。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部逻逻辑辑函函数数描描述述具具有有二二元元状状态态的的事事件件之之间间的的逻逻辑辑关关系系，逻逻辑辑函函数数随随逻逻辑辑变变量量变变化化而而变变化，但化，但自变量、函数取值都为自变量、函数取值都为0和和1。数数字字电电路路的的输输入入、输输出出具具备备二二元元关关系系，因此可以用数字电路来实现逻辑函数。因此可以用数字电路来实现逻辑函数。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部2.1.2 三种基本逻辑函数三种基本逻辑函数1.与运算与运算(逻辑乘逻辑乘)与运算与运算(逻

4、辑乘逻辑乘)表示：表示：只有当决定一只有当决定一事件结果的所有条件同时具备时，结果事件结果的所有条件同时具备时，结果才能发生才能发生。与逻辑可以用逻辑表达式（范例）表示为与逻辑可以用逻辑表达式（范例）表示为F=AB 意义：意义：输入都为一时，输出才为一输入都为一时，输出才为一。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 图 2-1 二极管与门 0.3v0.3v导通0.3v导通0.3v3.6v导通0.3v截止3.6v3.6v导通3.6v导通第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部表表 2-1 与逻辑运算真值表与逻辑运算真值表 A BF0 00 11 01 10001第2章 逻辑代数及其简化 信号基

5、础教学部所谓所谓真值表，就是将自变量的各种可能的真值表，就是将自变量的各种可能的取值组合（与关系）与函数的结果一一对取值组合（与关系）与函数的结果一一对应列出来的表格形式应列出来的表格形式。真值表与逻辑表达式是等价的，二者真值表与逻辑表达式是等价的，二者可以相互转化。可以相互转化。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部图 2-2 与门的逻辑符号与门的逻辑符号 第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部2.或运算或运算(逻辑加逻辑加)当决定一事件结果的一个或几个条当决定一事件结果的一个或几个条件具备时，结果发生。件具备时，结果发生。这种因果关系称这种因果关系称为逻辑加（或）为逻辑加（或）。或逻辑

6、可以用逻辑表达式表示为或逻辑可以用逻辑表达式表示为F=A+B 意义：输入有一，输出就为一意义：输入有一，输出就为一 第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 图图 2-3 二二极管或门极管或门 0.3v0.3v截止0v截止0.3v3.6v截止3.6v导通3.6v3.6v导通3.6v导通第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部表表 2-2 或逻辑运算真值表或逻辑运算真值表 A BF0 00 11 01 10111第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部图 2-4 或门的逻辑符号或门的逻辑符号 第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 3.非运算非运算(逻辑非逻辑非)非非运运算算(逻逻辑辑反反)的

7、的意意义义是是函函数数值值为为输入值的反输入值的反。其逻辑表达式为其逻辑表达式为 通常称通常称A为反变量，为反变量，A为原变量。为原变量。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 图图 2-5 三极管非三极管非 0.3v截止5v3.6v饱和0.3v第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部图 2-6 非门逻辑符号非门逻辑符号 第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部4.复合逻辑运算和复合门复合逻辑运算和复合门 1.与非、与非、或非、或非、与或非逻辑运算与或非逻辑运算与非逻辑运算是与运算和非运算的组与非逻辑运算是与运算和非运算的组合，合，即即 第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 或非逻辑运算

8、的特点是当且仅当或非逻辑运算的特点是当且仅当A、B全零全零F才为一。才为一。与非逻辑运算的特点是当且仅当与非逻辑运算的特点是当且仅当A、B全一全一F才为零。才为零。或非逻辑运算是或运算和非运算的组或非逻辑运算是或运算和非运算的组合，合，即即 第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部与或非逻辑运算是与、或、非三种运与或非逻辑运算是与、或、非三种运算的组合，即算的组合，即 课堂思考：课堂思考：如何作出它们的真值表。如何作出它们的真值表。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部(a)与非门；与非门；(b)或非门；或非门；(c)与或非与或非门门 第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 2.异或和同或

9、逻辑运算异或和同或逻辑运算 异异或或逻逻辑辑的的特特点点是是：当当两两个个输输入入变变量量相异时，输出为相异时，输出为1；相同时输出为相同时输出为0。异异或或逻逻辑辑的的真真值值表表如如表表2-5所所示示，其其逻辑表达式为逻辑表达式为 第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部A BF0 00 11 01 10110表表 2-5 异或逻辑真值表异或逻辑真值表 第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 同同或或逻逻辑辑与与异异或或逻逻辑辑相相反反，它它表表示示当当两两个个输输入入变变量量相相同同时时输输出出为为1；相相异异时输出为时输出为0。同或逻辑的真值表如表同或逻辑的真值表如表2-6所示，所示

10、，其逻辑表达式为其逻辑表达式为 F=A B第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部表表 2-6 同或逻辑真值表同或逻辑真值表 A BF0 00 11 01 11001第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 异或门和同或门的逻辑符号异或门和同或门的逻辑符号(a)异或门；异或门；(b)同或门同或门 1第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部课后复习：课后复习：熟练掌握各种基本逻辑关系的运算规则。熟练掌握各种基本逻辑关系的运算规则。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部2.1.3逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的两种标准形式 最小项和最小项表达式最小项和最小

11、项表达式 最最小小项项是是全全部部输输入入变变量量构构成成的的乘乘积积项项。其其中中每每个个变变量量都都以以原原变变量量或或反反变变量量的的形形式式出现一次且只能一次。出现一次且只能一次。n个个变变量量有有2n个个取取值值组组合合。一一个个取取值值组组合合对对应应一一个个最最小小项项，组组合合只只有有带带入入其其对对应应的的最最小小项项逻逻辑辑运运算算结结果果才才为为1，带带入入其其他他最最小小项项逻逻辑辑运运算算结结果果都都为为0。n个个输输入入变变量量有有2n个最小项。个最小项。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部表 2-8 三变量逻辑函数的最小项三变量逻辑函数的最小项 第2章 逻辑代

12、数及其简化 信号基础教学部最小项也可用代号最小项也可用代号mi表示。表示。其其下标下标i i为为取值组合所表示的十进制数；取值组合所表示的十进制数；第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部最小项具有以下性质：最小项具有以下性质：n变量的全部最小项的逻辑和恒为变量的全部最小项的逻辑和恒为1，任意两个不同的最小项的逻辑乘恒为任意两个不同的最小项的逻辑乘恒为0 第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 2.最小项表达式最小项表达式标准与或式标准与或式 如如果果在在一一个个与与或或表表达达式式中中，所所有有与与项项均均为为最最小小项项，则则称称这这种种表表达达式式为为最最小小项项表表达达式式，或称为标

13、准与或式、标准积之和式。或称为标准与或式、标准积之和式。它也可以简写为它也可以简写为 第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部非标准与或式向标准与或式的转化。非标准与或式向标准与或式的转化。标准与或式能够清楚表明那些输入组标准与或式能够清楚表明那些输入组合可以使函数为合可以使函数为1，那些可以使函数为，那些可以使函数为0。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部逻辑函数与真值表的相互转化逻辑函数与真值表的相互转化 将真值表中使函数为将真值表中使函数为1的所有输入组的所有输入组合所对应的最小项相或便可得出标准与合所对应的最小项相或便可得出标准与或式。它表明那些输入组合使函数值为或式。它表明那些输

14、入组合使函数值为1。将真值表中使函数为将真值表中使函数为0的所有输入组的所有输入组合所对应的最小项相或，便可得出合所对应的最小项相或，便可得出反反函数函数的标准与或式。它表明那些输入组合使的标准与或式。它表明那些输入组合使函数值为函数值为0。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101101011显而易见，一个逻辑关系的原函数最小项表达式和反函数最小项表达式是互补的。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 2.4.2 最大项和最大项表达式最大项和最大项表达式 1.最大项最大项 最最大大项项是是全全部部

15、输输入入变变量量的的或或项项，其其中中每每个个变变量量都都以以原原变变量量或或反反变变量量的的形形式式出出现现一次且只能一次。一次且只能一次。一一个个取取值值组组合合对对应应一一个个最最大大项项，组组合合只只有有带带入入其其对对应应的的最最大大项项逻逻辑辑运运算算结结果果才才为为0，带带入入其其他他最最小小项项逻逻辑辑运运算算结结果果都都为为1。n个变量可以构成个变量可以构成2n个最大项。个最大项。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部表 三变量逻辑函数的最大项三变量逻辑函数的最大项一个取值组合可以对应一个最大项和一个最小项。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部最大项也可用代号最大项也可

16、用代号Mi表示表示(见表见表2-10)。其下标其下标i i为对应为对应的取值组合所表示的十进制的取值组合所表示的十进制数；数；第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部2.最小项与最大项之间的关系最小项与最大项之间的关系 1.一一个个取取值值组组合合所所对对应应的的最最小小项项与与最最大大项项的的下下标标是是相相同同的的。它它们们之之间间互互为为逻逻辑辑非非关系。关系。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 最大项具有以下性质：最大项具有以下性质：n变量的全部最大项的逻辑乘恒为变量的全部最大项的逻辑乘恒为0，n变量的任意两个不同的最大项的逻辑变量的任意两

17、个不同的最大项的逻辑和必等于和必等于1，即，即 第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 3.最大项表达式最大项表达式标准或与式标准或与式 在在一一个个或或与与式式中中，如如果果所所有有的的或或项项均均为为最最大大项项，则则称称这这种种表表达达式式为为最最大大项项表表达达式式，或或称称为为标标准准或或与与式式、标标准准和和之之积积表表达达式。式。将将真真值值表表中中函函数数为为0所所对对应应的的所所有有最最大大项项相相与与便便可可由由真真值值表表得得到到该该函函数数的的最最大大项项表达式。它表明那些输入组合使函数为表达式。它表明那些输入组合使函数为0。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部表

18、 2-11 真值表真值表 A B C F0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 11 1 0 0 1 1 0 0 一个逻辑关系的原函数的最大项表达式和反函数的最小项表达式是等价的（包含相同输入组合）。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部2.1.4 逻辑函数与逻辑图的相互转化逻辑函数与逻辑图的相互转化 用逻辑符号及其连线表示基本单元用逻辑符号及其连线表示基本单元电路及其组合称为电路及其组合称为逻辑图逻辑图。逻辑图也是。逻辑图也是逻辑函数的一种表示方式。逻辑函数的一种表示方式。用逻辑符号及其连线来代替逻辑函用逻辑符号及其连线来代替逻辑函数中的逻辑运算，就可

19、得到函数的逻辑数中的逻辑运算，就可得到函数的逻辑图。图。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部绘出绘出 Z=AB+BC+CA的逻辑图。的逻辑图。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部Z=(A B)C 第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部2.2 逻辑代数的基本定律和逻辑代数的基本定律和规则规则 2.2.1 基本定律基本定律 交换律交换律 AB=BA A+B=B+A结合律结合律 (AB)C=A(BC)(A+B)+C=A+(B+C)分配律分配律 A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部3.逻辑代数中的逻辑代数中的特殊定律特殊定律反演律反

20、演律 (De Morgan定律)：还原律还原律：第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部目的：便于物理实现逻辑表达式。目的：便于物理实现逻辑表达式。方法：与或式两次取反。方法：与或式两次取反。最简与或式转化为与非与非式最简与或式转化为与非与非式例1第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部.第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 2.2.2 三个重要规则三个重要规则 1.代入规则代入规则代代入入规规则则的的实实质质是是将将表表达达式式视视为为变变量参与运算量参与运算。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 2.反演规则反演规则 对对于于任任意意一一个个逻逻辑辑函函数数，将将其其运运算算符符“

21、”换换成成“+”，“+”换换成成“”，常常量量“0”换换成成“1”，“1”换换成成“0”，原原变变量量换换成成反反变变量量，反反变变量量换换成成原原变变量量，则则所所得得到到的的结结果果就就是是原原函函数数的的反反函函数数，运运用用它它可可以以简便地求出一个函数的反函数。简便地求出一个函数的反函数。注注意意：运运算算顺顺序序是是按按“先先与与后后或或”。原原式式的的与与运运算算变变或或运运算算后后，或或表表达达式式用用括括号号括起来，保证运算次序在变换前后不变。括起来，保证运算次序在变换前后不变。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部“长长”非号不变非号不变，里面的表达式作变化里面的表达式作

22、变化。若若则则若若则则例2：用反演规则求反函数第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 3.对偶规则对偶规则 对对于于任任何何一一个个逻逻辑辑函函数数，如如果果将将其其表表达达式式F中中所所有有的的算算符符“”换换成成“+”,“+”换换成成“”，常常量量“0”换换成成“1”，“1”换换成成“0”，而而变变量量保保持持不不变变，则则得得出出的的逻逻辑函数式就是辑函数式就是F的对偶式，记为的对偶式，记为F(或或F*)。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部必必须须注注意意，与与反反演演规规则则相相同同，由由原原式式求求对对偶偶式式时时，运运算算的的顺顺序序不不能能改改变变，且且式式中的中的”长长

23、”非号也保持不变。非号也保持不变。通通过过对对偶偶规规则则，可可以以将将或或与与式式转转变变为为与或式与或式。对偶规则满足还原律对偶规则满足还原律 第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部例3 用对偶规则求反函数第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部2.2.3 化简必用公式化简必用公式 吸收律吸收律 1 在在逻逻辑辑代代数数中中，如如果果两两个个乘乘积积项项只只包包含含一一个个互互补补的的因因子子（变变量量），而而其其它它因因子子都相同都相同，那么这两个乘积项称为，那么这两个乘积项称为相邻项相邻项。吸吸收收律律1说说明明，两两个个相相邻邻项项可可以以合合并并为为一项，一项，消去互补量。消去互

24、补量。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部例4：消去互补变量请问是不是相邻项？第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 吸收律吸收律 2 A+AB=A 该该公公式式说说明明，在在一一个个与与或或表表达达式式中中，如如果果某某一一乘乘积积项项的的部部分分因因子子(如如AB项项中中的的A)恰恰好好等等于于另另一一乘乘积积项项(如如A)的的全全部部，则则该乘积项该乘积项(AB)是多余的。是多余的。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部例5：第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部吸收律吸收律 3该该公公式式说说明明，在在一一个个与与或或表表达达式式中中，如如果果一一个个乘乘积积项项(如如 )取

25、取反反后后是是另另一一个个乘乘积积项项(如如 ）的因子，则此因子的因子，则此因子 是多余的。是多余的。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部在公式法化简中，常常要合并一些乘积项，在括号内化简。例6：第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部代入规则例7：第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部吸收律吸收律 4 证：推论：证：第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 该该公公式式及及推推论论说说明明，在在一一个个与与或或表表达达式式中中，如如果果两两个个乘乘积积项项中中的的部部分分因因子子互互补补(如如AB项项和和AC项项中中的的A和和A)，而而这这两两个个乘乘积积项项中中的的其其余余因因子子(

26、如如B和和C)都都是是第第三三个个乘乘积项中的积项中的因子，因子，则这个则这个第三项第三项是多余的。是多余的。出出现现冗冗余余因因子子的的项项，可可能能为为其其他他某某两两个乘积项的第三项。个乘积项的第三项。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部根据吸收律4推论反演律代入规则去掉“长”非号，得到一般与或式吸收律4例8：第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部例9:吸收律4之配项法 吸收律4配项吸收律3吸收律4吸收第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部吸收律4配项吸收律4吸收吸收律4吸收操作要领：对乘积项都是操作要领：对乘积项都是“短小精干短小精干”或者没有明或者没有明显的可以合并或吸收的式

27、子考虑用配项法。先增加显的可以合并或吸收的式子考虑用配项法。先增加一个第三项，用第三项吸收其他乘积项，起到以退一个第三项，用第三项吸收其他乘积项，起到以退为进的目的。为进的目的。例10：第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部公式法化简的基本策略：公式法化简的基本策略：视野开阔，首先利用吸收律视野开阔，首先利用吸收律1合并相邻项合并相邻项（变量数相同变量数相同的两个乘积项）或者利用吸收律的两个乘积项）或者利用吸收律2，3寻求用寻求用变量数少变量数少的乘积项吸收的乘积项吸收变量数多变量数多的的乘积项；其次用乘积项；其次用分配律分配律合并尽可能多的乘积项，合并尽可能多的乘积项，在在括号内部化简括号

28、内部化简。第三考虑用吸收律。第三考虑用吸收律4直接直接吸吸收收或者或者先配项后吸收先配项后吸收。如果情况复杂，先从某个点入手试探性化如果情况复杂，先从某个点入手试探性化简几步，发现做不下去或者没有进一步化简的简几步，发现做不下去或者没有进一步化简的可能，寻求其他途径。可能，寻求其他途径。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部2.6 逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数的卡诺图化简 2.6.1 从真值表到卡诺图的转化从真值表到卡诺图的转化 如如果果将将真真值值表表转转换换为为方方格格的的形形式式，将将输输入入变变量量分分为为两两组组（按按循循环环码码规规则则排排列列）分分别别确确定定方方格格的的列列取

29、取值值和和行行取取值值，这这种种方方格格图图称称卡卡诺诺图图。卡卡诺诺图图中中的的方方格格对对应应一一个个最最小小项项。方方格格的的取取值值即即为为原原真真值值表表中中该该最最小小项项对对应应的的函函数数。卡卡诺诺图图较较真真值值表表能能够够清清楚楚地地反反映映出出最最小小项项之之间间的的逻逻辑辑相邻相邻,可以方便的进行函数的化简可以方便的进行函数的化简。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101101011循环码11111000第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部三变量三变量K图图 第2章 逻辑

30、代数及其简化 信号基础教学部四变量四变量K图图 第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部2.6.2 逻辑函数的卡诺图表示法逻辑函数的卡诺图表示法 1.逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式在在卡卡诺诺图图上上，将将最最小小项项对对应应的的方方格格填填1，其余的方格填，其余的方格填0(或不填或不填)。反反之之任任何何一一个个逻逻辑辑函函数数都都等等于于其其卡卡诺诺图上填图上填1的那些方格所对应的最小项之和的那些方格所对应的最小项之和。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部例例11：用卡诺图表示函数用卡诺图表示函数00011110第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部1111111100

31、000000第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 2.给出逻辑函数的最大项表达式给出逻辑函数的最大项表达式在在卡卡诺诺图图上上，将将最最大大项项对对应应的的方方格填格填0，其余的方格填，其余的方格填1(或不填或不填)。反反之之任任何何一一个个逻逻辑辑函函数数都都等等于于其其卡诺图上填卡诺图上填0的那些方格最大项之积的那些方格最大项之积。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部10101011第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 K图具有如下特点：图具有如下特点：n变变量量的的卡卡诺诺图图有有2n个个方方格格，对对应应表表示示2n个最小（大）项。个最小（大）项。卡卡诺诺图图中中任任何何几

32、几何何位位置置相相邻邻的的2n个个最最小（大）项小（大）项，在逻辑上都是，在逻辑上都是相邻相邻的。的。所所谓谓几几何何相相邻邻，一一是是相相接接，即即紧紧挨挨着着；二二是是相相对对，即即任任意意一一行行或或一一列列的的两两头头；三三是相重，是相重，即对折起来位置重合。即对折起来位置重合。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部卡诺图中卡诺图中最小项的合并规则最小项的合并规则 在在卡卡诺诺图图上上将将几几何何位位置置相相邻邻的的最最小小项项圈圈（1的的格格子子）起起来来称称为为卡卡诺诺圈圈。卡卡诺诺圈圈中中的最小项可以合并的最小项可以合并。两两个个相相邻邻最最小小项项合合并并为为一一项项，消消去

33、去一一个个互互补补变变量量。合合并并后后的的与与项项由由圈圈内内没没有有变变化化的的那那些些变变量量按按照照1为为原原变变量量、0为为反反变变量量所组成。所组成。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部在原函数的卡洛图中，最小项由为1的小方格代替。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部四四个个相相邻邻最最小小项项合合并并为为一一项项，消消去去了了两两个个变变量量，合合并并后后的的与与项项由由圈圈内内没没有有变变化化的的那那些些变变量量按按照照1为为原原变变量量、0为为反反变量所组成。变量所组成。八八个个相相邻邻最最小小项项合合并并为为一一项项，消消去去了了三三个个变变量量，合合并并后后的的与

34、与项项由由圈圈内内没没有有变变化化的的那那些些变变量量按按照照1为为原原变变量量、0为为反反变量所组成。变量所组成。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部00101010001001011）相对位置的的相邻项最容易忽略卡洛图中寻找相邻最小项的注意事项1110101100100111第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部0001110000001000000111000001100000111100000110001.相邻项的个数必须是相邻项的个数必须是2n个个2.只有满足相接，相对只有满足相接，相对/相重才相重

35、才能称为几何相邻。能称为几何相邻。3.相邻项满足传递性：即任意一相邻项满足传递性：即任意一项与其余两项相邻。项与其余两项相邻。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 综上所述：综上所述：任任何何一一个个合合并并圈圈(即即卡卡诺诺圈圈)所所含含的的方格数为方格数为2n个。个。必必须须按按照照相相邻邻规规则则画画卡卡诺诺圈圈，几几何何位位置置相相邻邻包包括括三三种种情情况况：一一是是相相接接，即即紧紧挨挨着着的的方方格格相相邻邻；二二是是相相对对，即即一一行行(或或一一列列)的的两两头头、两两边边、四四角角相相邻邻；三三是是相相重重，即即以以对对称称轴轴为为中中心心对对折折起起来来重重合合的的位

36、位置相邻。置相邻。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 2m个方格合并，消去个方格合并，消去m个变量。个变量。合合并圈越大，消去的变量数越多。并圈越大，消去的变量数越多。最小项的合并规则，对最大项的合并最小项的合并规则，对最大项的合并同样是适用的。只是最大项的合并时将卡同样是适用的。只是最大项的合并时将卡诺图中相邻诺图中相邻的的0格圈在一起。格圈在一起。合并后的合并后的或或项项由圈内没有变化的那些变量按照由圈内没有变化的那些变量按照0为原为原变量、变量、1为反变量所组成。为反变量所组成。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 3.给出逻辑函数的一般

37、给出逻辑函数的一般与或与或式式 把把使使与与或或式式中中的的乘乘积积项项为为1的的各各变变量量取取值值组组合合所所对对应应的的方方格格填填1其其余余的的填填0(或或不不填填)，就就可可以以得得到到原原函函数数的的卡卡诺诺图图。（某某些些项项重复，填一次即可。）重复，填一次即可。）把把能能让让与与或或式式中中的的乘乘积积项项为为1的的各各变变量量取取值值组组合合所所对对应应的的方方格格填填0其其余余的的填填1(或或不不填填)，就就可可以以得得到到反反函函数数的的卡卡诺诺图图。（某某些些项重复，填一次即可。）项重复，填一次即可。）第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部10010111110110

38、011 0 1 X0 0 1 XX X X 1使两个乘积项为1第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部10010111110110010110100000100110第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部3.给出逻辑函数的一般给出逻辑函数的一般或与或与式式 使每一个和项为使每一个和项为0的各变量取值组合的各变量取值组合所对应的方格填所对应的方格填0其余的填其余的填1(或不填或不填)，就，就可以得到该函数的卡诺图。（某些项重可以得到该函数的卡诺图。（某些项重复，填一次即可。）复，填一次即可。）第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部01001000100110000 1 0 010XX 1X1

39、X XX1X第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部2.6.4 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数 1.求最简与或式求最简与或式先先将将逻逻辑辑函函数数用用卡卡诺诺图图表表示示，在在卡卡诺诺图图上上按按最最小小项项的的合合并并规规则则合合并并所所有有1的的方方格，就可以求得逻辑函数的最简与或式。格，就可以求得逻辑函数的最简与或式。如如果果合合并并所所有有0的的方方格格，化化简简得得到到反反函数的最简与或式函数的最简与或式 第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部先从一个最小项圈，先从一个最小项圈，K圈（卡洛圈）应圈（卡洛圈）应尽量大尽量大(对应与项中变量数最少对应与项中变量数最少)，“圈

40、圈2找找4，圈，圈4找找8”。找另一个从未被圈过的找另一个从未被圈过的最小项最小项重复重复的的步骤，直到不能找出新的从未被圈过的步骤，直到不能找出新的从未被圈过的最小项为止。最小项为止。任何一个任何一个最小项最小项可以多次被圈用，但可以多次被圈用，但如果在某个如果在某个K圈中所有圈中所有最小项最小项均已被别均已被别的的K圈圈过，则该圈为多余圈。圈圈过，则该圈为多余圈。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 化简化简K圈得到与项，并将它们相或，圈得到与项，并将它们相或，便得到最简与或式。便得到最简与或式。为了保证最简要求，需要以最少为了保证最简要求，需要以最少的卡诺圈数和尽可能大的卡诺圈覆盖所

41、的卡诺圈数和尽可能大的卡诺圈覆盖所有填有填1的方格。的方格。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部10101101011010011010110101101001例例12 求求 的最简与或式的最简与或式。函数的最简式可能有不同形式，但与项数和每个与项的变量数应该相同，两者是等价的。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部例例13 求求 的最简的最简与或与或式。式。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部0011011001011100例14：求该卡洛图对应当简与或式。多余卡洛圈第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 2.求最简或与式求最简或与式要要求求出出某某函函数数的的最最简简或或与与式

42、式，可可以以在在该该函函数数的的卡卡诺诺图图上上按按照照最最大大项项的的规规则则合合并并那那些些0格格的的相相邻邻项项。这这种种方方法法简简称称为为圈圈0合合并并，其其化化简简步步骤骤及及化化简简原原则则与与圈圈1合并类同。合并类同。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部例例15 求求 的最简或与式的最简或与式。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部例例16 求求 的最简的最简或非或非或非或非式。式。求函数的与非与非式，先得到与或式，取两次反得到。求函数的与非与非式，先得到与或式，取两次反得到。求函数的求函数的或非或非或非或非式，先得到式，先得到或与或与式，取两次反得到。式，取两次反得到。

43、第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部卡诺图上，对卡诺图上，对“0”方格对应的所有相方格对应的所有相邻最大项合并，得到原函数的邻最大项合并，得到原函数的最简或与式最简或与式。对对“0”方格对应的所有相邻最小项合并，方格对应的所有相邻最小项合并，得到反函数的得到反函数的最简与或式最简与或式。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部2.7 具有任意项的逻辑函数的化简具有任意项的逻辑函数的化简 2.7.1 非完全描述的逻辑函数非完全描述的逻辑函数 逻逻辑辑问问题题分分为为完完全全描描述述和和非非完完全全描描述述两两种。种。如如果果对对于于n输输入入变变量量的的所所有有2n组组取取值值，逻逻辑辑函函

44、数数都都有有确确定定的的值值，则则称称这这类类函函数数为为完完全描述逻辑函数。全描述逻辑函数。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部如果对于如果对于n输入变量的输入变量的2n取值组合中取值组合中有有m组取值逻辑函数值组取值逻辑函数值不确定不确定，函数值可，函数值可以为以为0，也可以为，也可以为1。那么这。那么这类函数称为类函数称为非完全描述的逻辑函数。非完全描述的逻辑函数。这这m组取值组合所对应的最小项称为组取值组合所对应的最小项称为任意项任意项，或约束项。，或约束项。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部在逻辑表达式中，用等于在逻辑表达式中，用等于0的条件表的条件表达式表示约束项。达式表

45、示约束项。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部非完全描述逻辑函数一般用以下方法表示：非完全描述逻辑函数一般用以下方法表示：在真值表或在真值表或K图中填图中填或或，表示函，表示函数值为数值为0或或1均可。均可。在逻辑表达式中添加约束条件。在逻辑表达式中添加约束条件。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部表表 2-14 非完全描述逻辑函数非完全描述逻辑函数真值表真值表A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1000011第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 非完全描述逻辑函数非完全描述逻辑函数卡卡诺图诺图第2章 逻辑代数及其简化 信号基础

46、教学部也可简写为也可简写为 非完全描述逻辑函数非完全描述逻辑函数第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部 2.7.2 非完全描述逻辑函数的化简非完全描述逻辑函数的化简 采采用用卡卡诺诺图图化化简简函函数数时时，可可以以借借助助任任意意项项取取为为0或或1来来扩扩大大卡卡诺诺圈圈。但但卡卡诺诺圈圈不不需要包含所有的无关项。需要包含所有的无关项。公公式式法法化化简简时时，将将约约束束项项带带入入表表达达式式增加乘积项。增加乘积项。例例 化简上述交通停车逻辑化简上述交通停车逻辑函数函数。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部例17：分别用卡洛图法和公式法化简

47、：1X000XX11100X01X第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部约束项=0第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部例18 试试用用卡卡洛洛图图化化简简逻逻辑辑函函数数，并并用用与与或或非非门实现电路。门实现电路。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部画出逻辑电路，如图所示。画出逻辑电路，如图所示。求函数的与非与非式，先得到与或式，取两次反得到。求函数的与非与非式，先得到与或式，取两次反得到。求函数的求函数的或非或非或非或非式，先得到式，先得到或与或与式，取两次反得到。式，取两次反得到。求函数的与或非式，先得到反函数的与或式，取一次反。求函数的与或非式，先得到反函数的与或式，取一次反

48、。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部课堂练习用公式法化简最简与或式用公式法化简最简与或式第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部课堂练习用公式法化简最简与或式用公式法化简最简与或式第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部用卡图化简为最简与或表达式。用卡图化简为最简与或表达式。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部用卡图化简为最简与或表达式。用卡图化简为最简与或表达式。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部化简为最简或与表达式。化简为最简或与表达式。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部9.采用或非门设计组合逻辑电路，实现下采用或非门设计组合逻辑电路，实现下列逻辑函数。列逻辑函数。第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部1 当4变量逻辑函数的一个最小项的值为1时，则变量ABCD的取值组合为 填空题1010第2章 逻辑代数及其简化 信号基础教学部第一次家庭作业第一次家庭作业1 课堂练习课堂练习F19；2 书上例书上例1-1647题题,26题除外；题除外；