数学：辽宁省瓦房店市第八初级中学《15.4.2 公式法》课件（人教版八年级上）.ppt

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1、 运用提公因式法分解因式的步骤运用提公因式法分解因式的步骤是什么？是什么？你能将你能将a2b2分解因式吗？你是分解因式吗？你是如何思考的？如何思考的？新课导入新课导入旧知旧知回顾回顾 观察平方差公式观察平方差公式(ab)(ab)=a2b2的项、的项、指数、符号有什么特点？指数、符号有什么特点？（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反两项的符号相反（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两）右边是两个多项式的积，一个因式是两 数的和，另一个因式是这两数的差数的和，另一个因式是这两数的差（3）在乘法公式中，）在乘法公式中，“平方差平方差”是计算结果，

2、是计算结果，而在分解因式，而在分解因式，“平方差平方差”是得分解因是得分解因 式的多项式式的多项式 由此可知如果多项式是两数差的形式，并由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式个多项式可以运用平方差公式分解因式 1运用平方差公式分解因式；运用平方差公式分解因式；2用完全平方公式分解因式；用完全平方公式分解因式；3用分组法分解因式；用分组法分解因式；4用十字交叉法分解因式用十字交叉法分解因式知识与能力知识与能力教学目标教学目标 1能较熟练地应用平方差公式、完全平能较熟练地应用平方差公式、

3、完全平方公式分解因式；方公式分解因式；2能较熟练地应用分组法、十字交叉法能较熟练地应用分组法、十字交叉法分解因式分解因式过程与方法过程与方法 1通过综合运用提公因式法，公式法，通过综合运用提公因式法，公式法，分组法和十字交叉法分解因式，进一步培养分组法和十字交叉法分解因式，进一步培养观察和联想能力；观察和联想能力；2通过知识结构图培养归纳总结的能力通过知识结构图培养归纳总结的能力情感态度与价值观情感态度与价值观1应用平方差公式分解因式；应用平方差公式分解因式；2用完全平方公式分解因式；用完全平方公式分解因式；3会用分组法分解因式；会用分组法分解因式；4会用十字交叉法分解因式会用十字交叉法分解因

4、式重点重点教学重难点教学重难点 1灵活应用公式法分解因式，并理解因灵活应用公式法分解因式，并理解因式分解的要求；式分解的要求；2灵活应用分组法和十字交叉法分解因灵活应用分组法和十字交叉法分解因式；式；3如何确定公因式以及提出公因式后如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式的另外一个因式 难点难点知识要知识要点点平方差公式平方差公式 把整式乘法的平方差公式把整式乘法的平方差公式把整式乘法的平方差公式把整式乘法的平方差公式(a(ab)(ab)(ab)=ab)=a2 2b b2 2反过来，就得到反过来，就得到反过来，就得到反过来，就得到a a2 2b b2 2=(a=(ab)(ab)(ab)b)

5、，即两个数的平方差，等于，即两个数的平方差，等于，即两个数的平方差，等于，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积这两个数的和与这两个数的差的积这两个数的和与这两个数的差的积这两个数的和与这两个数的差的积 在边长为在边长为a的正方形中挖掉一个边长为的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形，的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是（则这个等式是（）Aa2b2=(ab)(ab)B(ab)2=a2+2ab+b2 C(ab)2=a22abb2 D(a+2b)(ab)=a2+a

6、b2b2A Aabba例例1 把下列各式因式分解：把下列各式因式分解：（1）(x+z)-(y+z)（2）4(a+b)-25(a-c)（3）4a-4a（4）(xy+z)(xyz)（5）9(m+n)2(m-n)2（6）5x3y(x-y)-10 x4y3(y-x)2（4）原式）原式=(x+y+z)+(x-y-z)(x+y+z)-(x-y-z)=2x(2y+2z)=4x(y+z)（3）原式）原式=4a(a-1)=4a(a+1)(a-1)解：（解：（1）原式）原式=(x+z)+(y+z)(x+z)-(y+z)=(x+y+2z)(x-y)（2）原式）原式=4(a+b)-25(a-c)=2(ab)5(a-c

7、)2(ab)-5(a-c)=(7a2b5c)(3a2b5c)（5）原式）原式=3(m+n)2(m-n)2=3(m+n)+(m-n)3(m+n)-(m-n)=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)=(4m+2n)(2m+4n)=4(2m+n)(m+2n)（6）原式）原式=5x3y(x-y)-10 x4y3(x-y)2 =5x3y(x-y)1-2xy2(x-y)=5x3y(x-y)(1-2x2y2+2xy3)例例2 若若n是整数，证明是整数，证明(2n+1)2-(2n-1)2是是8的倍数的倍数证明：证明：(2n+1)2-(2n-1)2 =（2n12n-1）（）（2n1-2n1）=4n2 =8

8、n因为因为n是整数，所以原式是是整数，所以原式是8的倍数的倍数（1）652-642 （2）5.42-4.62解：解：652-642 =(65+64)(65-64)=1291 =129解：解：5.42-4.62 =(5.4+4.6)(5.4-4.6)=100.8 =80例例3 计算下列各式的值：计算下列各式的值：(3x+2y)(3-2y)=41.5=69x2-4y2=6解解1：例例4 已知已知x和和y满足方程组满足方程组 ，求求9x24y2的值？的值？3x+2y=46x-4y=33x+2y=43x-2y=1.53x+2y=46x-4y=3由由得：得：(x+2y)(x-2y)=5 将将代入代入得：

9、得：x+2y=5+得：得：x=3代入代入得：得：y=1解：解：（2006年莆田）解方程组：年莆田）解方程组：x24y2=5，x2y=1 所以，原方程组的解为：所以，原方程组的解为：x=3，y=1练一练一练练已知，已知，x+y=7，x-y=5，求代数式，求代数式 x2-y2-2y+2x的值的值解：解：x2y22y+2x =x2y2（2x2y）=（x+y）（）（x y）2（xy）=（x y）（）（x y 2）=59=45完全平方公式完全平方公式完全平方公式完全平方公式a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2=(a+b)=(a+b)2 2a a2 2-2ab+b-2ab+b2 2=(a-b)=(a

10、-b)2 2知识要知识要点点 如果一个多项式能写成两个数的平如果一个多项式能写成两个数的平如果一个多项式能写成两个数的平如果一个多项式能写成两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两方和，加上（或减去）这两个数的积的两方和，加上（或减去）这两个数的积的两方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，那么就可以运用完全平方公式把它因倍，那么就可以运用完全平方公式把它因倍，那么就可以运用完全平方公式把它因倍，那么就可以运用完全平方公式把它因式分解，它等于这两个数的和（或差）的式分解，它等于这两个数的和（或差）的式分解，它等于这两个数的和（或差）的式分解，它等于这两个数的和（或差）的平方平方平方平方

11、观察图形，根据图形的面积关系，不需观察图形，根据图形的面积关系，不需要其他的线，便可以得到一个用来分解因式要其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是的公式，这个公式是_a a2 2+2ab+b+2ab+b2 2=(a+b)=(a+b)2 2（1）x4-2x2+1解：原式解：原式=（x2-1)2 =(x+1)(x-1)2 =(x+1)2(x-1)2（2）(x2+y2)2-4x2y2解：原式解：原式=（x2+y2)2-(2xy)2 =(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=(x+y)2(x-y)2例例5 分解因式分解因式（3）3abx2+6abxy+3aby2解：原式解：原式=

12、3ab（x22xyy2）=3ab(x+y)2（4）（）（m+n）2-4m（m+n）+4m2 解：原式解：原式=（m+n）2-22m（m+n）+（2m)2 =（mn2m）2 =（mn）2(x+2)(x+1)x2+3x+2(x-2)(x+1)x2-x-2(x-2)(x-1)x2-3x+2(x+2)(x-1)x2+x-2(x+2)(x+3)x2+5x+6(x+2)(x-3)x2-x-6(x-2)(x+3)x2+x-6(x-2)(x-3)x2-5x+6(x+a)(x+b)x2+(a+b)x+ab=12345678=利用十字交叉线来分解系数，把二次三利用十字交叉线来分解系数，把二次三利用十字交叉线来分解

13、系数，把二次三利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法项式分解因式的方法叫做十字相乘法项式分解因式的方法叫做十字相乘法项式分解因式的方法叫做十字相乘法 用十字相乘法把形如用十字相乘法把形如用十字相乘法把形如用十字相乘法把形如x x2 2+px+q+px+q的的的的二次三二次三二次三二次三项式分解因式：项式分解因式：项式分解因式：项式分解因式：当当当当q0q0时，时，时，时，q q分解的因数分解的因数分解的因数分解的因数a a、b b（）当当当当q0q0q0时，时，时，时，a a、b b同号，且同号，且同号，且同号，且a a、b b的符号与的符号与的符号与的符号与p p

14、的符号相同；的符号相同；的符号相同；的符号相同；当当当当q0q0时，时，时，时，a a、b b异号，且绝对值较大的异号，且绝对值较大的异号，且绝对值较大的异号，且绝对值较大的因数与因数与因数与因数与p p的符号相同的符号相同的符号相同的符号相同 3 3书写格式：竖分横积书写格式：竖分横积书写格式：竖分横积书写格式：竖分横积注注意意知识要知识要点点分组分解法分解因式：分组分解法分解因式：分组分解法分解因式：分组分解法分解因式：如果一个多项式适当分组，使分组如果一个多项式适当分组，使分组如果一个多项式适当分组，使分组如果一个多项式适当分组，使分组后各组之间有公因式或可应用公式，那后各组之间有公因式

15、或可应用公式，那后各组之间有公因式或可应用公式，那后各组之间有公因式或可应用公式，那么这个多项式就可以用分组的方法分解么这个多项式就可以用分组的方法分解么这个多项式就可以用分组的方法分解么这个多项式就可以用分组的方法分解因式。因式。因式。因式。mx+my-nx-ny ，两组，得（两组，得（mx+my）-（nx+ny）解解1：原式：原式=（mx+my）-（nx+ny）=m(x+y)-n(x+y)=(x+y)(m-n)，两组，得（两组，得（mx-nx）+(my-ny)解解2：原式：原式=（mx-nx）+(my-ny)=x(m-n)+y(m-n)=(m-n)(x+y)练一练一练练（1 1）分组时小组

16、内能提公因式要保证组与组）分组时小组内能提公因式要保证组与组）分组时小组内能提公因式要保证组与组）分组时小组内能提公因式要保证组与组 之间还有公因式可以提之间还有公因式可以提之间还有公因式可以提之间还有公因式可以提（2 2）分组添括号时要注意符号的变化）分组添括号时要注意符号的变化）分组添括号时要注意符号的变化）分组添括号时要注意符号的变化（3 3）要）要）要）要将将将将分解到底，不同分组的结果应该是分解到底，不同分组的结果应该是分解到底，不同分组的结果应该是分解到底，不同分组的结果应该是 一样的一样的一样的一样的注注意意把把下列各式因式分解：下列各式因式分解：练一练一练练（1）x2+2xy+

17、y2-z2 （2）ab+a+b+1解：（解：（1）原式）原式=（x2+2xy+y2)-z2 =(x+y)2-z2 =(x+y+z)(x+y-z)（2）原式）原式=(ab+a)+(b+1)=a(b+1)+(b+1)=(b+1)(a+1)（3）9a4-4a2+4a-1解：解：9a4-4a2+4a-1=9a4-(4a2-4a+1)=9a4-(2a-1)2=(3a2+2a-1)(3a2-2a+1)=(a+1)(3a-1)(3a2-2a+1)（4）(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24解：解：(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24=(x2+x-2)(x2+x-12)+24=(x2+x)2

18、-14(x2+x)+48=(x2+x-6)(x2+x-8)=(x+3)(x-2)(x2+x-8)（2007年株洲市）年株洲市）分解因式分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10 解：令解：令x4+x2=m，则原式可化为，则原式可化为 (m-4)(m+3)+10 =m2-m-12+10 =m2-m-2 =(m-2)(m+1)=(x4+x2-2)(x4+x2+1)=(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)=(x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1)如果如果a+b=0，求，求a3 2b3+a2b 2ab2的值的值 原式原式=a3+a2b-(2b3+2ab2)=a2(a+b)-2b2

19、(a+b)=(a+b)(a2-2b2)练一练一练练=0解：解：4x4+1 =4x4+4x2+1-4x2 =（2x2+1）2-（2x）2 =（2x2+1+2x）（）（2x2+1-2x）因式分解：因式分解：4x4+1 因式分解是多项式乘法的逆运算在多因式分解是多项式乘法的逆运算在多因式分解是多项式乘法的逆运算在多因式分解是多项式乘法的逆运算在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项合并为一项，或将两个仅符号相

20、反的同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零在对某些多项式分解因式项相互抵消为零在对某些多项式分解因式项相互抵消为零在对某些多项式分解因式项相互抵消为零在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者在多项式中添上两个仅符合相反

21、的项，前者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的者称为拆项，后者称为添项拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分目的是使多项式能用分组分解法进行因式分目的是使多项式能用分组分解法进行因式分目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解解解解 注注意意多多项项式式二项式二项式立方和差立方和差添项添项三项式三项式完全平方式完全平方式十字相乘法十字相乘法拆项法拆项法多于三项的多项式多于三项的多项式分组分解分组分解分组后提公因式分组后提公因式分组后运用公式分组后运用公式分组后十字相乘分组后十字

22、相乘提取公因式提取公因式平方差平方差课堂小结课堂小结2(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)=_3(a+b)2+2(a+b)-15=_4-1-2a-a2=_5x2-6x+9-y2=_6x2-4y2+x+2y=_79x2+6xy+y2+3x+y=_89x2+6xy+y2+3x+y-2=_1a3-ab2=_a(a+b)(a-b)2x(a-b)(a+b+5)(a+b-3)-(a+1)2(x-3+y)(x-3-y)(x+2y)(x-2y+1)(3x+y)(3x+y+1)(3x+y+2)(3x+y-1)随堂练习随堂练习一、分解因式一、分解因式二、分解因式二、分解因式172-2(13x-7)228a2

23、b2-2a4b-8b3解：解：72-2(13x-1)2解：解：8a2b2-2a4b-8b3=262-(13x-7)2=2(6+13x-7)(6-13x+7)=2(13x-1)(-13x+13)=-26(13x-1)(x-1)=2b(4a2b-a4-4b2)=-2b(a4-4a2b+4b2)=-2b(a2-2b)2三、因式分解三、因式分解(x+2)(x-3)1x2-x-6=(x+2)(x-5)2x2-3x-10=(x-7)(x+4)3x2-3x-28=(x-1)(x-3)4x2-4x+3=(x+2)(x+3)(x-3)(x+7)5x2+5x+6=6x2+4x-21=(y+12)(y-3)7y2+

24、9y-36=(y-7)(y+16)(y+16)(y+3)8y2+9y-112=9y2+19y+48=4若若a+b=4，a2+b2=10 求求a3+a2b+ab2+b3的值的值解：原式解：原式=(a3+a2b)+(ab2+b3)=a2(a+b)+b2(a+b)=(a+b)(a2+b2)a+b=4，a2+b2=10 原式原式=410=405已知已知(x+y)2-2x-2y+1=0，求，求2x2+4xy+2y2的值的值解：由题意：解：由题意：(x+y)2-2(x+y)+1=0 (x+y-1)2=0即即x+y-1=0 x+y=1 2x2+4xy+2y2=2(x+y)2 =212=21（1）5a2(3a

25、2)；（2）3bc(4ac)；（3）2(pq)(3p2q)；（；（4）(a3)(m2)2（1）(16b)(16b)；（2）3(2xy)(2xy)；（3）(0.7p12)(0.7p12)；（；（4）3(xy)(xy)3（1）(15t)2；（；（2）(m7)2；（3）(y1/2)2；（4）(mn)2；（；（5）(5a8)2；（；（6）(abc)2习题答案习题答案4（1）原式）原式=3.14（21+62+17）=314；（2）原式）原式=（758+258）（）（758258）=1016500=508 0005（1）（）（ab）2；（；（2）(p+2)(p2)；（3）y(2xy)2；（；（4）3a(xy)(xy)6（1）V=I(R1+R2+R3)，代入，代入R1，R2，R3的的 值，得值，得V=2207所求面积所求面积S=R24r2=（R2r）（）（R 2r），代入），代入R，r的数值后得的数值后得S=175.84cm2822x22=4(x1)或或x2(x2)2=4(x1)9m=1210(2n1)2n21=2n1222n11=(2n11)2