数学：辽宁省瓦房店市第八初级中学《11.2 三角形全等的判定》课件（人教版八年级上）.ppt

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1、一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕坏了，如图，你能制作一个与原来同样大小的新了，如图，你能制作一个与原来同样大小的新教具吗？怎样才能保证制作的新教具与原来的教具吗？怎样才能保证制作的新教具与原来的全等呢？全等呢？怎么办？怎么办？可以帮帮可以帮帮我吗？我吗？新课导入新课导入CBEAD1了解三角形的稳定性；了解三角形的稳定性；2掌握三角形全等的条件：边边边、边角掌握三角形全等的条件：边边边、边角边、角边角、角角边；边、角边角、角角边；3能运用全等三角形的条件，解决简单的能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题推理证明问题知识与能力知识与能力教学目标教学目标

2、1培养空间观念，推理能力，发展有培养空间观念，推理能力，发展有条理地表达能力；条理地表达能力；2经历探索三角形全等条件的过程，经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程体会利用操作、归纳获得数学结论的过程过程与方法过程与方法1经历和体验数学活动的过程以及数学经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的应用，树立学好数学的信心；在现实生活中的应用，树立学好数学的信心；2通过课堂学习培养敢于实践，勇于发通过课堂学习培养敢于实践，勇于发现，大胆探索，合作创新的精神；现，大胆探索，合作创新的精神；3在探索直角三角形全等条件及其运用在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够

3、进行有条理的思考并进行简的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理单的推理情感态度与价值观情感态度与价值观1运用直角三角形全等的条件解决一些实运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题；际问题；2三角形全等的条件三角形全等的条件重点重点教学重难点教学重难点1寻求三角形全等的条件；寻求三角形全等的条件；2灵活运用三角形全等条件；灵活运用三角形全等条件；3熟练运用直角三角形全等的条件解决一熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题些实际问题难点难点 1 1一个条件一个条件（1）有一条边对应相等的三角形？）有一条边对应相等的三角形？不一定不一定全等全等三角形全等的探究三角形全等的探究判断两个三角

4、形全等的推理过程，叫做判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等证明三角形全等（2）有一个角对应相等的三角形？）有一个角对应相等的三角形？一个条件，并不能保证三一个条件，并不能保证三角形全等角形全等不一定不一定全等全等结论结论不一定不一定全等全等（1）三角形的一个角和一条边对应三角形的一个角和一条边对应相等的三角形？相等的三角形？2 2两个条件两个条件（2）三角形的两条边对应相等的）三角形的两条边对应相等的三角形三角形不一定不一定全等全等有有两个条件对应相等也不两个条件对应相等也不能保证三角形全等能保证三角形全等结论结论已知已知ABC，画一个，画一个DEF，使，使 DE=AB，EF=BC

5、，DF=AC1画线段画线段DE=AB；2分别以分别以D、E为圆心，线段为圆心，线段AC、BC为半径画弧，两弧交于点为半径画弧，两弧交于点F；3连接线段连接线段DF、EFDEABCF（1）三角形的三条边分别三角形的三条边分别对应相等的三角形？对应相等的三角形？3 3三个条件三个条件知识要知识要点点三角形全等的条件：三角形全等的条件：三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等.即：即：“边边边边边边”或或“SSS”AB=ABAB=ABBC=BCBC=BCAC=ACAC=AC（SSSSSS）ABCABC在在在在ABCABC和和和和ABCABC中中中中ABC ABC ABCABC用用用用

6、符号语言表达为：符号语言表达为：符号语言表达为：符号语言表达为：证明：证明：D是是BC的中点，的中点，BD=CD在在ABD和和ACD中，中，AB=AC，AD=AD（公共边），（公共边），BD=CD，ABDACD（SSS）ABCD例例1 已知已知ABC是一个钢架，是一个钢架，AB=AC，AD是连结点是连结点A与与BC中点中点D的支架求证：的支架求证：ABDACD.在在ABC中，中，AB=AC，D是是BC中点，中点，点点E在在AD上找出图上找出图中全等的三角形，并说中全等的三角形，并说明它们为什么是全等的明它们为什么是全等的？D想一想想一想BCAE1已知：如图，已知：如图，ABAD，CB=CD 求

7、证：求证：B=D在在ABC和和ADC中，中，ABC ADC（SSS）B=D（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）证明：连结证明：连结AC，BCDAABAD，CBCD，ACAC（公共边），（公共边），练一练一练练证明：证明：BE=CF（已知），（已知），即即 BC=EF在在ABC和和DEF中，中，AB=DE（已知），（已知），AC=BF（已知），（已知），BC=EF（已证），（已证），ABC DEF（SSS）A=D（全等三角形对应角相等）（全等三角形对应角相等）FABECD BE+EC=CF+EC，2如图，已知点如图，已知点B、E、C、F在同一条直线在同一条直线 上，上，AB=DE

8、，AC=DF，BE=CF求证：求证：A=D（2）三角形的两条边和它们的夹角三角形的两条边和它们的夹角对应相等的三角形对应相等的三角形?已知已知ABC，画一个，画一个 ABC，使，使 AB=AB，BC=BC，B=BABC1画画B=B；2在射线在射线BO上截取上截取BC=BC，在射线在射线BF上截取上截取BA=BA3连接连接AC以点以点B为圆心，任意长为半径画弧，为圆心，任意长为半径画弧，分别交分别交BA、BC于点于点M、N；画一条射线画一条射线BO，以点，以点B为圆心，为圆心，BM长为半径画弧，交长为半径画弧，交BO 于点于点P；以点以点P为圆心，为圆心，MN长为半径画弧，长为半径画弧，与上步骤

9、所画的弧交于点与上步骤所画的弧交于点Q；过点过点Q画射线画射线BF，则，则OBF=BABCABCMNOPQF知识要知识要点点“边角边边角边”或或“SAS”两边和它们的夹角对应相等的两个两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等三角形全等三角形全等的条件：三角形全等的条件：用用用用符号语言表达为：符号语言表达为：符号语言表达为：符号语言表达为：在在在在ABCABC与与与与DEFDEF中，中，中，中，AB=DEAB=DE，A=A=D D，AC=DFAC=DF，ABCABCDEFDEF（SASSAS）.ABC（DEF（例例2如图，有一池塘，要测池塘两端如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平

10、地上取一个可以直接到达的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和和B的点的点C，连接，连接AC并延长到并延长到D，使，使CD=CA连接连接BC并延长到并延长到E，使，使CE=CB连接连接DE，那么量出，那么量出DE的长就是的长就是A、B的距离为什么？的距离为什么？ABCDE证明：证明：在在ABC和和DEC中，中，CA=CD，ACB=DCE，CB=CE，ABCDEC（SAS），），AB=DE证明：证明：在在ABC 和和ADC中，中，AB=AD（已知），（已知），CB=CD（已知），（已知），AC=AC（公共边）（公共边）ABC ADC（SSS），），BAO=DAO（全等三角形的对应角（全等三角形

11、的对应角相等）相等）如右图，已知：如右图，已知：AB=AD，CB=CD求证：求证：ACBD练一练一练练ACBDO在在ABO 和和ADO中，中，AB=AD（已知），（已知），BAO=DAO（已证），（已证），AO=AO（公共边），（公共边），ABO ADO（SAS），），AOB=AOD（全等三角形的对应角（全等三角形的对应角相等）相等）AOB=AOD=90 ACBD（垂直定义）（垂直定义）又又AOB+AOD=180（邻补角定义），（邻补角定义），知识要知识要点点因为全等三角形的对应角相等，对因为全等三角形的对应角相等，对因为全等三角形的对应角相等，对因为全等三角形的对应角相等，对应边相等，所以，

12、证明分别属于两个三应边相等，所以，证明分别属于两个三应边相等，所以，证明分别属于两个三应边相等，所以，证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常角形的线段相等或角相等的问题，常常角形的线段相等或角相等的问题，常常角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明两个三角形全等来解决通过证明两个三角形全等来解决通过证明两个三角形全等来解决通过证明两个三角形全等来解决（3）三角形的两个边和其中一个）三角形的两个边和其中一个边的对角对应相等的三角形？边的对角对应相等的三角形？两个边和其中一个边的对角对两个边和其中一个边的对角对应相等的三角形不一定全等应相等的三角形不一定全等结论结论（4）三角形的三

13、个角对应相等的）三角形的三个角对应相等的三角形？三角形？三个内角对应相等的三角三个内角对应相等的三角形不一定全等形不一定全等306030606030结论结论两两两两种种种种情情情情况况况况两个角及这两个角及这两角的夹边分两角的夹边分别对应相等别对应相等两个角及其两个角及其中一角的对边中一角的对边分别对应相等分别对应相等（5）三角形的两角和一条边对应三角形的两角和一条边对应相等的三角形相等的三角形已知：任意已知：任意ABC，画一个，画一个ABC，使，使AB=AB，A=A，B=B画法：画法：1画画AB=AB，2在在AB的同旁画的同旁画DAB=A，E BA=B，AD、BE交于点交于点CABC就是所要

14、画的三角就是所要画的三角形形ABCABCDE两个角及这两角的夹边分别对应两个角及这两角的夹边分别对应相等相等的三角形？的三角形？知识要知识要点点“角边角角边角”或或“ASA”有两角和它们夹边对应相等的两个有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等三角形全等三角形全等的条件：三角形全等的条件：用用符号语言表达为：符号语言表达为：在在ABC与与DEF中，中，AB=DE，A=D，B=E，ABCDEF（ASA）ABDECF两个角及其中一角的对边分别对两个角及其中一角的对边分别对应相等应相等的三角形的三角形证明：证明：在在ABC中，中，C=180AB在在DEF中，中，F=180-D-E又又 A=D，B=E

15、，C=F在在ABC和和DEF中，中，B=E，BC=EF，C=F，ABC DEF（ASA）ABDECF知识要知识要点点“角角边角角边”或或“AAS”有两个角及其中一角的对边分别对有两个角及其中一角的对边分别对应相等的两个三角形全等应相等的两个三角形全等三角形全等的条件：三角形全等的条件：用用用用符号语言表达为：符号语言表达为：符号语言表达为：符号语言表达为：在在在在ABCABC与与与与DEFDEF中，中，中，中，AB=DEAB=DE，A=A=D D，C=C=F F，ABCABCDEFDEF（AASAAS）ABDECF AD=AE（全等三角形的对应边相等），（全等三角形的对应边相等），又又 AB=

16、AC（已知（已知），），AB AD=AC AE即：即：BD=CEABEOCD证明：在证明：在ABE 和和ACD中中 A=A（公共角），（公共角），AB=AC（已知已知），），B=C（已知已知），），ABEACD（ASA），），例例3 已知：点已知：点D在在AB上，点上，点E在在AC上，上，BE和和CD相交于点相交于点O，AB=AC，B=C求证：求证：BD=CEDCBAEF1已知：如图，点已知：如图，点B，F，C，E在同一条直在同一条直 线，线，FB=CE，ABED，ACFD，求证：求证：AB=DE，AC=DF练一练一练练 证明：证明：FB=CE（已知），（已知），BC=EF ABED，ACFD

17、（已知），（已知），B=E，ACB=DFE（两直线平行，（两直线平行，内错角相等）内错角相等）在在ABC与与DEF中中，BC=EF（已证），（已证），B=E（已证），（已证），ACB=DFE（已证），（已证），ABCDEF（ASA），），AB=DE，AC=DF（全等三角形对应边相（全等三角形对应边相等）等）DCBAEF2已知：如右图，已知：如右图，AB、CD相交于点相交于点O，ACDB，OC=OD，E、F为为 AB上两上两 点，且点，且AE=BF求证：求证：CE=DFODBACEF证明：在证明：在AOC 和和BOD中，中，ACDB，A=B（两直线平等，内两直线平等，内错角相等错角相等）又又 A

18、OC=BOD（对顶角相等），（对顶角相等），A=B（已证已证），），OC=OD（已知），（已知），AOC BOD（AAS）AC=BD在在AEC 和和BFD中，中，AC=BD（已证），（已证），A=B（已证），（已证），AE=BF（已知），（已知），AEC BFD（ASA），），CE=DFODBACEF3已知：已知：AB DE，AB=DE，1=2 求证：求证：BG=DF （中考题）（中考题）ABFEDGC12提示：证提示：证ABF和和EDG全等全等一同学不小心打破了一块三角形的一同学不小心打破了一块三角形的玻璃，如图：他应该拿哪一块回玻璃店玻璃，如图：他应该拿哪一块回玻璃店做一块与原玻璃一模一样

19、的？做一块与原玻璃一模一样的？想一想想一想判定一般三角形全等的方法有哪几种？判定一般三角形全等的方法有哪几种？若这两个三角形是直角三角形，那么这些判若这两个三角形是直角三角形，那么这些判定方法适用吗？判定直角三角形全等有特殊定方法适用吗？判定直角三角形全等有特殊方法吗？方法吗？答：答：SSS，SAS，ASA，AAS想一想想一想ABCRtABC RtABC 画法：画法：1画画MCN=902在射线在射线CM上取上取BC=BC3以为以为B圆心，圆心，AB为半径画弧，为半径画弧，交射线交射线CN于点于点A4连接连接ABABCMN一条直角边和斜边对应相等的直一条直角边和斜边对应相等的直角三角形全等吗？角

20、三角形全等吗？知识要知识要点点“斜边、直角边公理斜边、直角边公理”或或“HL”斜边和一直角边对应相等的两个直斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等角三角形全等直角三角形全等的条件：直角三角形全等的条件：用用用用符号语言表达为：符号语言表达为：符号语言表达为：符号语言表达为：在在在在RtRtABCABC与与与与RtRtDEFDEF中，中，中，中，AC=DFAC=DF，BC=EFBC=EF，RtRtABCABC RtRtDEFDEF（AASAAS）BACDEF如图，具有下列条件的如图，具有下列条件的RtABC与与RtDEF（其中（其中CF90）是否全等，）是否全等，在（）里填写理由；如果不全等

21、，在（）在（）里填写理由；如果不全等，在（）里打里打“”：（1）ACDF，AD （）（2）ACDF，BCEF（）（3）ABDE，BE （）（4）AD，BE （）ASASASAAS想一想想一想ACBDEF1直角三角形是特殊的三角形，所以不直角三角形是特殊的三角形，所以不仅可以应用一般三角形判定全等的方法，还仅可以应用一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特殊的判定方法有直角三角形特殊的判定方法“HL”公公理理2使用使用“HL”公理时，必须先得出两个公理时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等等注注意意4直角三角形全等的判定方法有五项直

22、角三角形全等的判定方法有五项依据：依据：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”其中，其中，“HL”公理只适用公理只适用于判定直角三角形全等于判定直角三角形全等3两个直角三角形中，由于有直角相等两个直角三角形中，由于有直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只须找的条件，所以判定两个直角三角形全等只须找两个条件（两个条件中至少有一个条件是一对两个条件（两个条件中至少有一个条件是一对边相等）边相等）三边对应相等三边对应相等 （SSS）一锐角和它的邻边对应相等一锐角和它的邻边对应相等（ASA）一锐角和它的对边对应相等一锐角和它的对边对应相等（AAS）两直角边对应相等两直角边对应相

23、等 （SAS）斜边和一条直角边对应相等斜边和一条直角边对应相等 （HL）判断判断三角三角形全形全等的等的条件条件课堂小结课堂小结ABCDABCDCB (SSS)1如图，如图，AB=CD，AC=BD，ABC和和DCB 是否全等？试说明理由是否全等？试说明理由 解：解：ABCDCB理由如下：在理由如下：在ABC和和DCB中，中，AB=CD，AC=DB，BC=CB，随堂练习随堂练习2如图，如图，D、F是线段是线段BC上的两点，上的两点，AB=EC，AF=ED，要使，要使ABFECD，还需要条，还需要条 件件_BF=CD 或或 BD=CFAEBDCF3已知：如图，已知：如图，AB=CB，ABD=CBD

24、 问问AD=CD，BD 平分平分ADC吗？吗？ABCD证明：在证明：在ABD与与CBD中，中，AB=CB，ABD=CBD，BD=BD，ABDCBD（SAS）AD=CD，ADB=CDB，即，即BD平平分分ADC4如图，点如图，点E、F在在BC上，上，BE=CF，AB=DC，B=C，求证：，求证：A=D证明：证明：BF=BE+EF，CE=CF+FE，而而BE=CF，BF=CE在在ABF和和DCE中，中，BF=CE，B=C，AB=DC，BADBAC（SAS），），A=DADBEFC5如图，如图，B点在点在A点的正北方向两车从路段点的正北方向两车从路段 AB的一端的一端A出发，分别向东、向西进行相出发

25、，分别向东、向西进行相 同的距离，到达同的距离，到达C、D两地此时两地此时C、D到到B 的距离相等吗？的距离相等吗？BDAC证明：证明：在在BAD和和BAC中，中，BA=BA，BAD=BAC，AD=AC，则则BADBAC（SAS）BD=BC，C、D到到B的距离相等的距离相等6已知：如图，在已知：如图，在ABC和和ABC中，中，CD、CD分别是高，并且分别是高，并且AC=AC，CD=CD，ACBACB 求证：求证：ABCABCC A DBC A DB证明：证明：CD、CD分别是高，分别是高，ADC=ADC=90在在Rt ADC与与Rt ADC中，中，ACAC，CDCD，Rt ADCRt ADC（

26、HL），），A A在在ABC与与ABC中，中，A A，ACAC，ACBACB，ABCABC（ASA）C A DBC A DB7如图：已知如图：已知ABCA1B1C1，AD、A1D1分分 别是别是BAC和和B1 A1 C1的角平分线求证：的角平分线求证：AD=A1D1 证明：证明：ABCA1B1C1，AB=A1B1，B=B1，BAC=B1A1C1（全等三角形的性质）（全等三角形的性质）又又 AD、A1D1分别是分别是BAC和和B1 A1 C1的的角平分线，角平分线，BAD=B1A1C1在在BAD和和B1A1D1中，中，B=B1，AB=A1B1，BAD=B1A1C1，BADB1A1D1（ASA），

27、），AD=A1D1A1B1D1C1ABDC证明：证明：ABCD（已知）（已知）,B=D（两直线平行，内错角相（两直线平行，内错角相等）等）.在在ABE和和CDF中中,B=D（已证）（已证）,AB=CD（已知）（已知）,A=C（已知）（已知）,ABECDF（ASA）,AB=AD.8如图，已知：如图，已知：ABCD，AB=CD，点，点B、E、F、D在同一直线上，在同一直线上，A=C，求证：求证：AE=CFBAEFDC9如图，如图，ABBC，ADDC，1=2，求证：求证：AB=AD证明：证明：ABBC，ADDC（已知）（已知）,B=D=90.在在ABC和和ADC中中,1=2,B=D,AC=AC（公共

28、边）（公共边）,ABCADC（AAS）,AB=AD.ABCD（1 210如图，如图，C是路段是路段AB的中点，两人从的中点，两人从C同同 时出发，以相同的速度分别沿着两条直时出发，以相同的速度分别沿着两条直 线行走，并同时到达线行走，并同时到达D、E 两地两地DA AB，EBAB D、E与路段与路段AB的距离的距离 相等吗？为什么？相等吗？为什么？ADCBE证明证明 DAAB，EBABA=B=90在在RtACD与与 RtBCE 中中 AC=BC CD=CE RtACD RtBCE（HL）AD=BE即即D、E与路段与路段AB的距离相等的距离相等1在在ABC和和ACD中，中，AB=AD，CB=CD

29、，AC=AC，ABCADC（SSS）习题答案习题答案2C是是AB的中点，的中点，AC=CB 在在ACD和和CBE中，中，AC=CB，AD=CE，CD=BE，ACDCBE（SSS）3可先证明可先证明ABEACD4只要测量只要测量AB证明证明AOB AOB5可先证明可先证明ABCABD6可先证明可先证明ACDBCE7可先证明可先证明ABDACD8可先证明可先证明ABCDCB，得，得ABC =DCB；再证；再证ABD=ACD9可先证明可先证明ABCDEF10可先证明可先证明AOBCOD，得，得 B=D11 可先证明可先证明ABCDEF12可先证明可先证明ADECFE13ABDACD，ABEACE，BDECDE