岩土工程渗流03 第3章 地下水渗流微分方程.pptx

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1、地下水渗流力学地下水渗流力学 第第3 3章章 地下水渗流微分方程地下水渗流微分方程 2第第3 3章章 地下水地下水渗流微分方程渗流微分方程 3.1 渗流连续性方程渗流连续性方程3.2 承压水运动微分方程承压水运动微分方程3.3 半承压水运动微分方程半承压水运动微分方程3.4 潜水运动潜水运动微分方程微分方程3.5 定解条件定解条件3.6 描述地下水运动的数学模型及其解法描述地下水运动的数学模型及其解法33.1 3.1 渗流连续性方程渗流连续性方程n达西定律方程中有两个未知数达西定律方程中有两个未知数v和和H，需另一个方程，需另一个方程来求解，即连续性方程。来求解，即连续性方程。n从从质量守恒原

2、理质量守恒原理出发建立渗流连续性方程。出发建立渗流连续性方程。1.由单元体内平衡推导由单元体内平衡推导（土木、水利）（土木、水利）2.用积分方式推导用积分方式推导（石油）（石油）4单元体内质量平衡单元体内质量平衡n单元体边长单元体边长 n渗流分速度渗流分速度 n单位面积的水流质量单位面积的水流质量 沿沿x轴方向轴方向流入和流出单元体流入和流出单元体的质量差的质量差（流入为正）（流入为正）流入与流出单元体流入与流出单元体总的质量差总的质量差 土力学中，太沙基的推导过程以a点为中心，与本教材不同，但结果相同。5单元体内质量平衡单元体内质量平衡单元内液体随时间的变化单元内液体随时间的变化（增加为正）

3、（增加为正）根据根据质量守恒质量守恒原理，上述两个量应该相等原理，上述两个量应该相等此式为此式为渗流连续性方程渗流连续性方程，可改写为，可改写为 6积分方式推导积分方式推导渗流场中控制体渗流场中控制体，表面积，表面积，通过面元通过面元 d的渗流速度为的渗流速度为v，则流出，则流出表面表面的流体的流体质量质量为为质量守恒质量守恒：用奥用奥-高公式高公式奥斯特罗格拉茨基Ostrograski,Mikhail Vasilievich 控制体控制体内的内的流体质量增加量为流体质量增加量为渗流连续性方渗流连续性方程的讨论程的讨论1)稳定渗流：稳定渗流：渗流场不随时间变化时，右端项为渗流场不随时间变化时，

4、右端项为0通常情况通常情况：土层难以压缩，土层难以压缩，Es较大，体积较大，体积Vb变化小变化小渗透性渗透性很大，很大，K较大，左端数值较大较大，左端数值较大水头变化缓慢，右端小水头变化缓慢，右端小8渗流连续性方渗流连续性方程的讨论程的讨论2）一般情况的方程）一般情况的方程右端项：右端项：第一项第一项第二项第二项汇总得：汇总得：压缩为正压缩为正 不考虑垂向压缩（侧限），不限于承压水比较（3.2.3）9孔压替换孔压替换成水头成水头n忽略密度随位置变化的影响，提出来。忽略密度随位置变化的影响，提出来。比较（3.2.9）103.2 3.2 承压水运承压水运动微分方程动微分方程n将达西定律代入，再按一

5、定的假设条件，可得到各种将达西定律代入，再按一定的假设条件，可得到各种常用的渗流微分方程常用的渗流微分方程各向同性达西定律各向同性达西定律将水头换为孔压，并忽略液体压缩将水头换为孔压，并忽略液体压缩这是这是比奥固结比奥固结方程之一，不受方程之一，不受侧限条件侧限条件控制控制11侧限条件下的渗流连续性方程侧限条件下的渗流连续性方程侧限侧限条件条件整理得：整理得：若若竖竖向总应力向总应力不变：不变：非稳定渗流、太沙基一维固结非稳定渗流、太沙基一维固结右端第二项：右端第二项：12侧限条件下的渗流侧限条件下的渗流基本微分方程基本微分方程n侧限条件，垂直方向总应力不变侧限条件，垂直方向总应力不变将达西定

6、律代入，替换渗流速度将达西定律代入，替换渗流速度s为为贮水率贮水率或单位贮存量，或单位贮存量，量纲量纲L-1稳定渗流稳定渗流Laplace方程方程13二维问题简化式二维问题简化式n含水层厚含水层厚M，忽略垂直方向，忽略垂直方向渗流，则渗流，则导水系数导水系数T：T=KM；贮水系数贮水系数*：*=Ms，当水头降低一个单位时，从当水头降低一个单位时，从单位面积、厚度为单位面积、厚度为M的柱体中释放出来的水量。的柱体中释放出来的水量。14（严格的推导）：（严格的推导）：对（对（3.2.9）沿）沿z方向由底面向上积分方向由底面向上积分15有水补充的情况有水补充的情况如上表面补水，则如上表面补水，则（v

7、z向上为正，向上为正，W向下补水为正，抽水为负）向下补水为正，抽水为负）注意书中的注意书中的（3.2.17）式存在概念问题：式存在概念问题：单位时间从单位时间从单位体积含水层流入或流出单位体积含水层流入或流出是不可能的，只是不可能的，只能在某种能在某种边界条件边界条件中出现。中出现。16柱坐标形式柱坐标形式的渗流连续性方程的渗流连续性方程 一维变形条件下，直角坐标的渗流连续性方程一维变形条件下，直角坐标的渗流连续性方程 直角坐标直角坐标柱坐标转换关系：柱坐标转换关系：17柱坐标形式的常见方程柱坐标形式的常见方程1)轴对称轴对称问题：（井、砂井、塑料排水板固结）问题：（井、砂井、塑料排水板固结）

8、2)均匀均匀井井问题：问题：（非稳定抽水）（非稳定抽水）3)对对稳定井稳定井：183.3 3.3 半承压水运动渗流方程半承压水运动渗流方程W为越流补给强度为越流补给强度 有越流补给的渗流方程有越流补给的渗流方程二维简化时二维简化时应用的公式应用的公式对各向同性介质对各向同性介质越流因素：越流因素：教材中教材中（3.3.2）（3.3.4）是推导越流补给）是推导越流补给量的过程量的过程193.4 3.4 潜水运动微分方程潜水运动微分方程n1.用裘布依（用裘布依（Dupuit）假设推导）假设推导n2.由连续性方程积分导出由连续性方程积分导出有自由水面变动的渗流微分方程有自由水面变动的渗流微分方程20

9、3.4.1 裘布依（裘布依（Dupuit）假设推导）假设推导 Dupuit假设假设:潜水面任意点潜水面任意点P渗透速度方向与潜水面相切渗透速度方向与潜水面相切 由于坡角由于坡角很小，很小，用用 代替代替 这是达西定律的这是达西定律的潜水潜水版。版。当底面水平，当底面水平，z以底面为原点，则近似有以底面为原点，则近似有h=H21 在在Dupuit假设下建立的，只适用于缓变运动，在假设下建立的，只适用于缓变运动，在vz大大的地段不适用。的地段不适用。例如在有入渗的潜水分水岭地段，渗出面附近和铅例如在有入渗的潜水分水岭地段，渗出面附近和铅直的隔水边界附近。直的隔水边界附近。条件为条件为i21。223

10、.4.2 潜水流的基本微分方程潜水流的基本微分方程（布西涅斯克方程）（布西涅斯克方程）n自由面压强自由面压强p=0，不计土体压缩性。，不计土体压缩性。n流入、流出的水量差（含垂直补给）等于潜水面上升所流入、流出的水量差（含垂直补给）等于潜水面上升所吸收的水量（吸收的水量（为给水度为给水度）n二维情况推导类似二维情况推导类似23潜水流的基本微分方程潜水流的基本微分方程 n当隔水底板水平时，将当隔水底板水平时，将高程基准高程基准设在设在底板面，底板面，h=H，方程变为：，方程变为：n也可以从三维渗流方程直接推出也可以从三维渗流方程直接推出24补充：补充：由连续性方程积分导出由连续性方程积分导出n三

11、维的连续性方程三维的连续性方程,忽略忽略弹性释水，弹性释水，s0，即，即 含水层底板、潜水表面高程、过水断面厚度含水层底板、潜水表面高程、过水断面厚度沿沿z方向从方向从z1到到z2积分：积分：25积分结果的讨论积分结果的讨论若顶面有渗入，或水面随时间涨落变化，若顶面有渗入，或水面随时间涨落变化，n当顶面没有渗入，且水面不随时间变化时当顶面没有渗入，且水面不随时间变化时 26 在在Dupuit假设下建立的，只适用于缓变运动，在假设下建立的，只适用于缓变运动，在vz大大的地段不适用。的地段不适用。例如在有入渗的潜水分水岭地段，渗出面附近和铅例如在有入渗的潜水分水岭地段，渗出面附近和铅直的隔水边界附

12、近。直的隔水边界附近。条件为条件为i21。上述约束条件将大为放宽。按断面平均流速和平均水上述约束条件将大为放宽。按断面平均流速和平均水头考虑，头考虑，(a)和和(c)可照常使用，可照常使用，(b)在一定条件下可用在一定条件下可用 27注意三个系数的异同：注意三个系数的异同：s 贮水率贮水率、单位贮存量。、单位贮存量。*贮水系数贮水系数。无量纲。无量纲 当潜水面上升时为当潜水面上升时为饱和差饱和差，潜水面下降，潜水面下降时为时为给水度给水度（与有效孔隙率（与有效孔隙率ne相关）无量纲相关）无量纲 弹性释水弹性释水283.5 定解条件定解条件定解条件包括定解条件包括边界条件边界条件和和初始条件初始

13、条件。1边界条件边界条件 渗流区域几何边界上的水力性质。渗流区域几何边界上的水力性质。（边界并不一定是外边界！）（边界并不一定是外边界！）2初始条件初始条件 给定给定(t=0)时刻的渗流场内各点的水头值时刻的渗流场内各点的水头值 293.5.1边界条件边界条件n第一类边界条件第一类边界条件(Dirichlet条件条件)，给定水头给定水头边界。边界。n边界上某一部分各点的每时刻的水头值已知。边界上某一部分各点的每时刻的水头值已知。如地表水体如地表水体(河流、湖泊河流、湖泊)；泉水出口；抽水井，注；泉水出口；抽水井，注水井；或疏干巷道等。水井；或疏干巷道等。n一般三维区域边界一般三维区域边界 n二

14、维区域边界二维区域边界应当注意，应当注意，给定水头给定水头边边界不是界不是定水头定水头边界。边界。狄利克雷303.5.1边界条件边界条件n第二类边界条件第二类边界条件(Neumann条件条件)，给定流量给定流量边界。边界。n边界边界(S2或或2)单位面积单位面积(二维的为单位宽度二维的为单位宽度)上流上流入入(流出时为负值流出时为负值)的流量的流量q，或势函数，或势函数(水头函数水头函数)的法向导数。的法向导数。n一般三维区域边界一般三维区域边界 n二维区域边界二维区域边界313.5.1边界条件边界条件n第三类边界条件第三类边界条件，混合边界，混合边界n给定流量和水头的组合给定流量和水头的组合

15、。32边界条件示例边界条件示例n水头水头H在各边界上必须在各边界上必须适合的条件为：适合的条件为：n上游边界上游边界Cln浸润曲线浸润曲线(潜水面与垂潜水面与垂直剖面的交线直剖面的交线)C2n渗出面渗出面C3n下游边界即井壁下游边界即井壁C4n隔水边界隔水边界C533343.5.2初始条件初始条件n给定给定(t=0)时刻的渗流场内各点的水头值时刻的渗流场内各点的水头值n稳定渗流不需要稳定渗流不需要n一般三维区域初值一般三维区域初值 n二维区域初值二维区域初值353.6.1地下水流问题的数学模型地下水流问题的数学模型n（1）用确定模型来描述渗流问题时必须具备下列）用确定模型来描述渗流问题时必须具

16、备下列条件：条件：1)有能描述渗流规律的微分方程。确定的渗流范围、有能描述渗流规律的微分方程。确定的渗流范围、参数值。参数值。2)给出定解条件，表现研究区的初始状态和它与周给出定解条件，表现研究区的初始状态和它与周围的联系。围的联系。需要识别模型、校正模型步骤需要识别模型、校正模型步骤n（2）解是存在的；解是唯一的；模型的解是稳定）解是存在的；解是唯一的；模型的解是稳定的。的。3637383.6.2 求解数学模型的方法求解数学模型的方法n通常有三种方法：解析法；数值法；实通常有三种方法：解析法；数值法；实验模拟法。验模拟法。1解析法解析法 2.数值法数值法 3.实验模拟方法实验模拟方法391解

17、析法解析法n用数学物理方法，如分离变量法、积分变用数学物理方法，如分离变量法、积分变换、保角变换等方法求解析解。换、保角变换等方法求解析解。n解析解可将描述渗流的各种物理量（水头、解析解可将描述渗流的各种物理量（水头、水量及各种参数）反映在一个表达式中，水量及各种参数）反映在一个表达式中，就可研究各个量相互联系与相互制约的内就可研究各个量相互联系与相互制约的内在规律。因此，在可能条件下尽量应用。在规律。因此，在可能条件下尽量应用。401解析法解析法n解析解方法有很大的局限性，只适用于含水解析解方法有很大的局限性，只适用于含水层几何形状规则，方程式简单，边界条件较层几何形状规则，方程式简单，边界

18、条件较单一的情况。单一的情况。均质各向同性，等厚含水层，渗流区域是圆均质各向同性，等厚含水层，渗流区域是圆形或矩形或者无限；有定水头补给等等。形或矩形或者无限；有定水头补给等等。n实际问题往往比这复杂得多，即使对定解条实际问题往往比这复杂得多，即使对定解条件作了相当的概化假设，往往因解析解中包件作了相当的概化假设，往往因解析解中包含复杂的积分项及一些特殊函数，而限制该含复杂的积分项及一些特殊函数，而限制该法的应用。法的应用。412.数值法数值法n用数值方法求得的解称为数值解。它是一用数值方法求得的解称为数值解。它是一种近似解。种近似解。n有限元法、有限差分法、边界元法、解析有限元法、有限差分法

19、、边界元法、解析元素法、混合方法元素法、混合方法n数值法可以很方便地处理前面解析法碰到数值法可以很方便地处理前面解析法碰到的难以解决的困难。事实上，它对任何复的难以解决的困难。事实上，它对任何复杂的地下水流问题都能给出有足够精度的杂的地下水流问题都能给出有足够精度的解。解。423.实验模拟方法实验模拟方法n实验方法是渗流力学中重要的方法。对一实验方法是渗流力学中重要的方法。对一些复杂的渗流问题，解析法是很难求解的，些复杂的渗流问题，解析法是很难求解的，这就得用数值法和实验模拟方法，也称为这就得用数值法和实验模拟方法，也称为模拟法。模拟法。n利用渗流和一些物理现象相似的原理，用利用渗流和一些物理现象相似的原理，用相似模型再现渗流过程和渗流的流态，得相似模型再现渗流过程和渗流的流态，得到渗流规律。到渗流规律。n常见有电模拟法、电阻网法常见有电模拟法、电阻网法