【岩土结构基础结构力学】第4讲静定结构位移计算2.pdf

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1、网络授课课后视频及时答疑专有题库岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495262019年张工培训注册勘察设计岩土结构基础班第4讲：静定结构位移计算主讲：黄老师2岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495262注册土木工程师（岩土）基础考试大纲十四、结构力学与结构设计（12题）14.1.3 静定结构位移广义力与广义位移；虚功原理；单位荷载法；荷载下静定结构的位移计算 图乘法；支座位移和温度变化引起的位移；互等定理及其应用十四、结构力学与结构设计（12题）14.1.3 静定结构位移广义力与广义位移；虚功原理；单位荷载法；荷载下静定结构的位移计算 图乘法；支座位移和温

2、度变化引起的位移；互等定理及其应用3岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495263一级注册结构工程师基础考试大纲十五、结构力学（15题）15.3 静定结构的位移广义力与广义位移 虚功原理 单位荷载法 荷载下静定结构的位移计算 图乘法 支座位移和温度变化引起的位移 互等定理及其应用十五、结构力学（15题）15.3 静定结构的位移广义力与广义位移 虚功原理 单位荷载法 荷载下静定结构的位移计算 图乘法 支座位移和温度变化引起的位移 互等定理及其应用4岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495264位移计算一般公式没有支座位移的影响时（位移计算一般公式没有支座位移的

3、影响时（c c=0）微段的变形dq、dh、du均由实际状态中的荷载引起。=0）微段的变形dq、dh、du均由实际状态中的荷载引起。dcFduFdFMRNQlduFdFMNQd八、静定结构在荷载作用下的位移计算5岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495265(a)实际状态(b)虚拟状态FQMACsdBM1FQFNNFsdCFPABsdMPMPddsFQPFQPNPFNPFddsud6岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495266梁和刚架的位移计算梁和刚架的位移计算PdsMMEI1.梁和刚架2.桁架1.梁和刚架2.桁架EAlFFNPN3.组合结构3.组合结构QQ

4、PNNPPdsdsdsF FF FMMEIGAEAlsEIMMdEAlFFNPN正负号规定：MP与M1同侧受拉相乘为正，否则为负。D的方向确定：当D的计算结果为正时，其方向与单位力指向相同；D为负时，其方向与单位力指向相反。正负号规定：MP与M1同侧受拉相乘为正，否则为负。D的方向确定：当D的计算结果为正时，其方向与单位力指向相同；D为负时，其方向与单位力指向相反。7岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495267CqABxl/2l/2(a)(2)加相应单位力，求M（0 x ）xM212/l(3)计算?CV2P()2qMlxx当0 x2/lPV2dCCAMMxEI【例】求简支梁

5、在均布荷载q作用下跨中截面C的竖向位移(即挠度)CV，已知抗弯刚度EI为常数。【解】(1)建立x坐标，求荷载作用下的MPCAB1x(b)/2240215()d()22384lqxlxxxqlEIEI8岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495268桁架桁架的位移计算在结点荷载作用下，桁架中各杆只有轴力，且同一杆件的的位移计算在结点荷载作用下，桁架中各杆只有轴力，且同一杆件的F FNPNP、NF及及EAEA沿杆长沿杆长l l均为常数：均为常数：F FNPNP：荷载引起的桁架轴力。受拉为正，受压为负。：荷载引起的桁架轴力。受拉为正，受压为负。NNPNNPNNPdsdsF FF FF

6、 FlEAEAEA：单位力引起的桁架轴力。受拉为正，受压为负。：单位力引起的桁架轴力。受拉为正，受压为负。NF9岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495269注意：当要求桁架中某杆的角位移时，不能直接在杆上施加单位力偶，而应将其转换为等效的结点集中荷载。如求BCBC杆的角位移时的单位力偶设置方法。1d1ddACB求桁杆转角时的虚拟状态求桁杆转角时的虚拟状态10岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495261011岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952611组合结构组合结构的位移计算的位移计算EAlFFdsEIMMNPNP桁梁拱结构拱结构的

7、位移计算的位移计算一般拱一般拱的位移计算只要考虑弯曲变形的影响已足够精确，的位移计算只要考虑弯曲变形的影响已足够精确，扁平拱扁平拱fl/5需同时考虑弯曲变形和轴向变形的影响，即fl/5需同时考虑弯曲变形和轴向变形的影响，即dsEAlFFdsEIMMNPNP12岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952612计算计算梁和刚架梁和刚架在荷载作用下的位移时，常需利用公式适用条件杆段的在荷载作用下的位移时，常需利用公式适用条件杆段的EIEI为常数；杆段的轴线为直线；杆段的图和为常数；杆段的轴线为直线；杆段的图和M MP P图中至少有一个为直线图形。图中至少有一个为直线图形。MdsEI

8、MMP该公式在一定条件下可用图乘法简化计算。九、该公式在一定条件下可用图乘法简化计算。九、图乘法图乘法13岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952613BA图AOxyCxCBMdxMx图y形心AdMPCMP EIAysEIMMCdP式中，A 为一个弯矩图的面积；y式中，A 为一个弯矩图的面积；yC C为另一个直线弯矩图中与A图的形心对应的纵标。为另一个直线弯矩图中与A图的形心对应的纵标。14岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952614几点说明必须符合图乘法的适用条件。A与yC应取自不同的图形。它们位于杆件的几点说明必须符合图乘法的适用条件。A与yC应取

9、自不同的图形。它们位于杆件的同侧时相乘为正，同侧时相乘为正，否则为负否则为负。取yC的图形必须是直线图取yC的图形必须是直线图，不能是折线图或曲线图。若两者均为直线图，则从任一图中取yC（另一图则取A）均可。对于EI为分段常数的杆，应当分别对EI等于常数的各段图乘，然后叠加起来。当一个是曲线图形,而另一个是折线图时,应当分段图乘。，不能是折线图或曲线图。若两者均为直线图，则从任一图中取yC（另一图则取A）均可。对于EI为分段常数的杆，应当分别对EI等于常数的各段图乘，然后叠加起来。当一个是曲线图形,而另一个是折线图时,应当分段图乘。15岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495

10、2615CyA11Cy2A2图M图MP(a)Cy1A1图M2yCM 图P2AEI12EI(b)分段图乘222111111cccyAEIyAEIAyEI16岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952616记住以下常见图形的面积及其形心位置。二次抛物线2=Alh3(a)(b)(c)l12/3A=lhhhhll/32/3(l+a)/3+)bl(l=A2lh1abl/2/2l顶点l常见弯矩图形的面积及其形心位置常见弯矩图形的面积及其形心位置17岩土基础免费群283982936公共基础免费群24849526171=Alh3l/4l/43l 4/5/5l14三次抛物线A=lh(d)(e)

11、(f)hhhlll顶点顶点顶点=A3lh2二次抛物线l/853/8l二次抛物线常见弯矩图形的面积及其形心位置常见弯矩图形的面积及其形心位置18岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952618当取A的图形较复杂时，应将其分解为简单图形，再分别图乘后叠加起来。当取A的图形较复杂时，应将其分解为简单图形，再分别图乘后叠加起来。ababA12A1yCCy2yCA21yCCyyCaAb2abA1AAyC=A1yC1A2yC2AyC=A1yC1A2yC2abql8212ql81ab2Cy1AA23ACy31yC(a)(b)(c)(d)PM 图M 图AyCA1yC1+A2yC2-A3yC3

12、19岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952619复杂图形分解为简单图形复杂图形分解为简单图形(1)若弯矩图为梯形，可以把它分解为二个三角形，则有(1)若弯矩图为梯形，可以把它分解为二个三角形，则有)12211CCyAyAEI（A A2 2A A1 1C C2 2C C1 1)22(6bcadbdacEIl20岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952620)12211CCyAyAEI（cdbldcalEI3132213132211A2A1C2C121岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952621(2)若两个图形都是直线，但都含有不同符

13、号的两部分，如图所示，可将其中一个图形分解为ABD和ABC两个三角形，分别与另一个图形图乘并求和，即(2)若两个图形都是直线，但都含有不同符号的两部分，如图所示，可将其中一个图形分解为ABD和ABC两个三角形，分别与另一个图形图乘并求和，即)12211CCyAyAEI（cdbldcalEI3132213132211A2A1C1)22(6bcadbdacEIl22岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952622(3)若M图是由竖向均布荷载和杆端弯矩所引起的，可分解为一个梯形和一个抛物线形两部分，再将上述两图形分别乘求和。(3)若M图是由竖向均布荷载和杆端弯矩所引起的，可分解为一

14、个梯形和一个抛物线形两部分，再将上述两图形分别乘求和。ABABqaABCDdxdxaqABMBMA82ql82ql23岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952623图示M M图是由竖向均布荷载和杆端弯矩所引起的另外两种情况,可分别分解为三角形(或梯形)和抛物线形。24岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952624计算步骤作实际荷载弯矩图M MP P图；建立相应虚设状态,作单位弯矩图图；M用图乘法公式求位移。CAyEI25岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952625【例】求图示简支梁A端的转角及跨中截面C的挠度【例】求图示简支梁A端的

15、转角及跨中截面C的挠度CVCV。EI为常数。EI为常数。ACqB/2l/2l(a)26岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952626【解】先作M【解】先作MP P图，如图(b)所示。图，如图(b)所示。(1)求求A1ql28(b)图MP11(c)图M1/4l(d)图M(2)求(2)求CVCV)(EIqllqlEIA2421)8132(132（）42V121552()()38284384CllqlqlEIEI27岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952627【例】求图示刚架中A、B两点间的相对线位移【例】求图示刚架中A、B两点间的相对线位移ABAB。各杆E

16、I为常数。各杆EI为常数。q21ql8l/2lACDB(a)11/2l/2ll/2(b)422412)8132(1qlEIllqlEIAB)(28岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952628静定结构在发生支座位移时不引起内力，杆件只有刚体位移而不产生微段变形，即d d=d=d=du=0=du=0，代入一般公式得：十、静定结构在支座移动时的位移计算RF c 29岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952629RF c 式中，c 支座位移。FR虚拟状态中与c对应的支反力。乘积的正负号规定为：当虚拟状态的支座反力与实际支座位移式中，c 支座位移。FR虚拟状态中

17、与c对应的支反力。乘积的正负号规定为：当虚拟状态的支座反力与实际支座位移C C的方向一致时取正号，相反时取负号。注意：式中负号不可漏掉！的方向一致时取正号，相反时取负号。注意：式中负号不可漏掉！30岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952630【例】图示简支梁支座B产生竖向位移【例】图示简支梁支座B产生竖向位移B B=0.03m，试求杆端A处的转角。=0.03m，试求杆端A处的转角。ABA6mB(a)【解】在杆端A处加一单位力偶，求得B支杆的支反力，如图b所示，则【解】在杆端A处加一单位力偶，求得B支杆的支反力，如图b所示，则（）（）AB11/6F=R(b)R1()(0.0

18、3)0.0056ABFrad 31岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952631【例】结构的支座位移如图所示，求铰C 的竖向位移【例】结构的支座位移如图所示，求铰C 的竖向位移CVCV。ABCB16m6m0.06mC18m0.04mCV(a)【解】在C点加一单位力,求出支座位移处的支反力,如图(b)所示。【解】在C点加一单位力,求出支座位移处的支反力,如图(b)所示。)(21138(b)V13(0.040.06)0.042528Cmm 32岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952632温度变化时位移计算的一般公式为如图示结构截面温度变化时位移计算的一般公

19、式为如图示结构截面K K的竖向位移的竖向位移。ds1t1tt2K(a)实际状态sdPF=1K(b)虚拟状态QNdddMFFu十一、静定结构在温度变化时的位移计算十一、静定结构在温度变化时的位移计算33岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952633实际状态中任一微段dsds上的变形：sddst2ddudt1s1ttt21h2hhd=0 （1）du=tds（2）2112thhthht221hhh221ttt若杆件截面对称于形心轴若杆件截面对称于形心轴,即即温度改变时结构不产生剪切变形34岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952634（3）（3）1212dsd

20、s()dsdsdttttthhh21tttsddst2ddudt1s1ttt21h2hh35岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952635NNdMlttM xFtlAFtlhhtdsFdshtMNQNMdF dF du36岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952636正负号规定:温差tt采用绝对值，若弯矩图中杆件的弯曲变形与温度变化引起的弯曲变形方向一致，则乘积取正号，反之取负号。MAht对于桁架，在温度变化时，其位移计算公式为NFtl设桁架各杆长度的制造误差为 l(伸长为正，缩短为负)，则位移计算公式为:NFl37岩土基础免费群283982936公共基

21、础免费群2484952637【例】图示刚架施工时温度为20，试求夏季当外侧温度为30，内侧温度为20时A点的水平位移【例】图示刚架施工时温度为20，试求夏季当外侧温度为30，内侧温度为20时A点的水平位移AHAH和转角A。已知l=4m，a=10和转角A。已知l=4m，a=10-5-5，各杆均为矩形截面，高度h=0.4m。，各杆均为矩形截面，高度h=0.4m。Allt2=0=10t1=101t38岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952638温变引起杆件的弯曲方向为虚线。温变引起杆件的弯曲方向为虚线。52010221ttt【解】外侧温度变化为t【解】外侧温度变化为t1 1=3

22、0-20=10,内侧温度变化为t=30-20=10,内侧温度变化为t2 2=20-20=0，故有t=t=20-20=0，故有t=t1 1-t-t2 2=10=1033.610m=3.6 mm ()=3.6 mm ()52225H111010()(11)4105 2 4220.4Atlltllh A1lM11NF39岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952639Allt2=0=10t1=101t(a)1AM1(c)NF1l5104214.01010)1()21(55lltlhtA45.510rad（）40岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952640FP1

23、P2F21121221设第一状态为平衡力系状态，第二状态为位移状态，按照虚功原理得：设第一状态为平衡力系状态，第二状态为位移状态，按照虚功原理得：P11212Q12N12dddFMFFuQ1Q2N1N212P112dsdsdsF FF FM MFEIGAEA十二、线性弹性结构的互等定理十二、线性弹性结构的互等定理41岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952641反过来，设第二状态为平衡力系状态，第一状态为位移状态，按照虚功原理得：反过来，设第二状态为平衡力系状态，第一状态为位移状态，按照虚功原理得：功的互等定理功的互等定理在某线性弹性体上作用两组广义力，则第一组力在第二组力

24、引起的位移上所作的功，等于第二组力在笫一组力引起的位移上所作的功。在某线性弹性体上作用两组广义力，则第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于第二组力在笫一组力引起的位移上所作的功。212121PPFF故有：故有：P22121Q21N21dddFMFFuQ2Q1N2N121dsdsdsF FF FM MEIGAEA42岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952642(b)(a)1P1F212121P22F=1=1应用功的互等定理，得：应用功的互等定理，得：2112 1 12112位移互等定理位移互等定理第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力所

25、引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移。位移互等可能是两个线位移之间的互等、两个角位移之间的互等，也可能是线位移与角位移之间的互等。第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移。位移互等可能是两个线位移之间的互等、两个角位移之间的互等，也可能是线位移与角位移之间的互等。43岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952643左图表示两个角位移互等的情况；右图线位移和角位移在数值上相等的情况。左图表示两个角位移互等的情况；右图线位移和角位移在数值上相等的情况。44岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484

26、952644121=112k2112k=12(a)第一状态(b)第二状态112221kk应用功的互等定理，得：应用功的互等定理，得：2112kk反力互等定理反力互等定理约束1发生单位位移所引起的约束2的反力，等于约束2发生单位位移所引起的约束1的反力。k12与k21不仅数值上相等，量纲也相同。反力互等定理将在用位移法计算超静定结构中得到应用。约束1发生单位位移所引起的约束2的反力，等于约束2发生单位位移所引起的约束1的反力。k12与k21不仅数值上相等，量纲也相同。反力互等定理将在用位移法计算超静定结构中得到应用。45岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952645位移与反力互等位移与反力互等1212=-r=-r2121 同一线性弹性体系由单位荷载P同一线性弹性体系由单位荷载P1 1=1所引起的与位移C=1所引起的与位移C2 2相应的反力r相应的反力r2121在绝对值上等于由单位位移C在绝对值上等于由单位位移C2 2=1所引起的与荷载P=1所引起的与荷载P1 1相应的位移相应的位移1212但两者相差一个符号但两者相差一个符号46岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495264647岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952647