【岩土结构基础结构力学】第5讲静定结构位移计算.pdf

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1、网络授课课后视频及时答疑专有题库岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495262019年张工培训注册勘察设计岩土结构基础班第5讲：静定结构位移计算主讲：黄老师2岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495262注册土木工程师（岩土）基础考试大纲十四、结构力学与结构设计（12题）14.1.3 静定结构位移广义力与广义位移；虚功原理；单位荷载法；荷载下静定结构的位移计算 图乘法；支座位移和温度变化引起的位移；互等定理及其应用十四、结构力学与结构设计（12题）14.1.3 静定结构位移广义力与广义位移；虚功原理；单位荷载法；荷载下静定结构的位移计算 图乘法；支座位移和温

2、度变化引起的位移；互等定理及其应用一级注册结构工程师基础考试大纲十五、结构力学（15题）15.3 静定结构的位移广义力与广义位移 虚功原理 单位荷载法 荷载下静定结构的位移计算 图乘法 支座位移和温度变化引起的位移 互等定理及其应用十五、结构力学（15题）15.3 静定结构的位移广义力与广义位移 虚功原理 单位荷载法 荷载下静定结构的位移计算 图乘法 支座位移和温度变化引起的位移 互等定理及其应用3岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495263一、位移计算概述1.结构位移的基本概念静定结构在荷载、温度变化、支座移动以及制造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产生静定结构在荷

3、载、温度变化、支座移动以及制造误差等因素作用下，结构的某个截面通常会产生水平线位移水平线位移、竖向线位移竖向线位移以及以及角位移角位移。(1)绝对位移(1)绝对位移桁架受荷载作用刚架受荷载作用桁架受荷载作用刚架受荷载作用BxAPFByBCABCPFcycxc4岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495264ABxAxBxqABAxBx（2）相对位移（2）相对位移：通常把两个截面的相对水平位移、相对竖向位移以及相对转角叫做：通常把两个截面的相对水平位移、相对竖向位移以及相对转角叫做广义位移广义位移。两个方向相反（相同）的同类位移之和（之差）。两个方向相反（相同）的同类位移之和（之

4、差）。CDAB两点相对水平位移AByByAyPFAyByABA、B两点相对竖向位移AVBVABl AlBAVBVAB杆转角5岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495265位移计算的目的：位移计算的目的：1）验算结构的刚度保证其在使用或施工过程中不发生过大变形。保证其在使用或施工过程中不发生过大变形。2）为超静定结构计算做准备求解超静定结构时，只利用平衡条件不能求得内力或位移的唯一解，还要补充位移条件。求解超静定结构时，只利用平衡条件不能求得内力或位移的唯一解，还要补充位移条件。引入B点竖向位移为零的条件，才能唯一确定结构内力引入B点竖向位移为零的条件，才能唯一确定结构内力12

5、kN7.5kN.m9kN.m2m2mABkNFyB75.36岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495266FP1FP2112212荷载由零增大到F荷载由零增大到FP P1 1，其作用点的位移也由零增大到，其作用点的位移也由零增大到1111，对线弹性体系F，对线弹性体系FP P与成正比。与成正比。FP11FP1元功：再加F元功：再加FP P2 2，F FP P2 2在自身引起的位移在自身引起的位移2222上作的功为：在上作的功为：在1212过程中，F过程中，FP P1 1的值不变：（的值不变：（1212与F与FP P1 1无关）无关）dWOAB12112PWF2.位移计算所采用

6、的理论虚功原理2222212PWF1111112PWdWFPdWFd 虚功：力在由其它原因产生的位移上所做的功。虚功：力在由其它原因产生的位移上所做的功。112212WWWW实功实功（恒为正）虚功虚功（力与位移同向时为正、反向时为负）7岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952673.静定结构的位移类型(1)(1)刚体位移：刚体位移：支座移动、制造误差引起的位移。支座移动、制造误差引起的位移。刚体虚力原理刚体虚力原理(2)(2)变形体位移：变形体位移：荷载作用和温度改变产生的位移。荷载作用和温度改变产生的位移。变形体虚力原理变形体虚力原理虚功原理的内容：虚功原理的内容：(1)

7、(1)刚体系刚体系 处于平衡状态的充要条件是外力所做虚功总和为零，即处于平衡状态的充要条件是外力所做虚功总和为零，即WW外外=0=0。(2)。(2)变形体系变形体系 处于平衡状态的充要条件是外力所做虚功总和等于各微段上的内力在其变形范围里所做的内虚功总和，即处于平衡状态的充要条件是外力所做虚功总和等于各微段上的内力在其变形范围里所做的内虚功总和，即WW外外=W=W内内。(2)。(2)虚力原理虚力原理 实际待分析的协调位移状态，实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将位移计算化为平衡问题来求解虚设的平衡力状态，将位移计算化为平衡问题来求解。(1)。(1)虚位移原理虚位移原理 实际待分析的平

8、衡力状态，虚设的协调位移状态，将平衡问题化为几何问题来求解。实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将平衡问题化为几何问题来求解。虚功原理的两个应用：虚功原理的两个应用：8岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495268cFvFuFMRQNddd3.单位荷载法此式适用于任何材料的静定或超静定结构。这种通过虚设单位荷载作用下的平衡状态，利用虚力原理求结构位移的方法，称为单位荷载法。该方法适用于结构小变形情况。vFuFMFdddQNP虚平衡力系实位移状态虚力方程9岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495269静定结构在发生支座位移时不引起内力，杆件只有刚体位移

9、而不产生微段变形，即d=d=du=0，代入一般公式得：RF c 二、支座移动产生的位移计算利用刚体虚力原理推导支座移动引起的位移计算公式利用刚体虚力原理推导支座移动引起的位移计算公式10岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952610RF c 式中，c 支座位移。FR虚拟状态中与c对应的支反力。乘积的正负号规定为：当虚拟状态的支座反力与实际支座位移式中，c 支座位移。FR虚拟状态中与c对应的支反力。乘积的正负号规定为：当虚拟状态的支座反力与实际支座位移C C的方向一致时取正号，相反时取负号。注意：式中负号不可漏掉！的方向一致时取正号，相反时取负号。注意：式中负号不可漏掉！11

10、岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952611abABC1c?FP=1ABCab1RF（2）列虚功方程，求未知量解：）列虚功方程，求未知量解：(1)设虚力状态，求虚反力设虚力状态，求虚反力10,CRbMFa 1110,RFc1cab例已知例已知c1，求，求求解步骤求解步骤（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；（）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；（3）解方程得）解方程得RkkFc 定出方向。（定出方向。（2）建立虚功方程）建立虚功方程10RkkFc12岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952612【例】图示简支梁支座B产生竖向位移【例】图示简支梁支

11、座B产生竖向位移B B=0.03m，试求杆端A处的转角。=0.03m，试求杆端A处的转角。ABA6mB(a)【解】在杆端A处加一单位力偶，求得B支杆的支反力，如图b所示，则【解】在杆端A处加一单位力偶，求得B支杆的支反力，如图b所示，则（）（）AB11/6F=R(b)R1()(0.03)0.0056ABFrad 13岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952613【例】结构的支座位移如图所示，求铰C 的竖向位移【例】结构的支座位移如图所示，求铰C 的竖向位移CVCV。ABCB16m6m0.06mC18m0.04mCV(a)【解】在C点加一单位力,求出支座位移处的支反力,如图(

12、b)所示。【解】在C点加一单位力,求出支座位移处的支反力,如图(b)所示。)(21138(b)V13(0.040.06)0.042528Cmm 14岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952614解：解：(1)在在C点加竖直方向单位荷载，求出虚设力状态支反力（如图点加竖直方向单位荷载，求出虚设力状态支反力（如图b），则：例：如图所示结构发生了支座移动，求），则：例：如图所示结构发生了支座移动，求C点的竖直方向位移点的竖直方向位移cy及两侧截面的相对转角位移及两侧截面的相对转角位移c(2 0.01 0 0.01)0.02()cyRkkFcm （b）FP=1021（c）M=11/

13、21/22(2)在在C点两侧截面加一对单位力矩，求出虚设立状态支反力（如图点两侧截面加一对单位力矩，求出虚设立状态支反力（如图c），则：），则：1(2 0.010.01)0.0152cRkkFcrad （）（）（a）15岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952615三、力的虚设方法单位荷载法单位荷载法：通过虚设单位荷载，利用虚力原理求结构位移的方法。：通过虚设单位荷载，利用虚力原理求结构位移的方法。力的准确虚设是关键，具体方法如下：力的准确虚设是关键，具体方法如下：(1)力的大小(1)力的大小：单位荷载。：单位荷载。(2)力的位置(2)力的位置：需求位移的点及方向上。：需求

14、位移的点及方向上。(3)力的方向(3)力的方向：任意假设，若求出位移为正，说明与假设的方向一致；若是负的，说明与假设方向相反。：任意假设，若求出位移为正，说明与假设的方向一致；若是负的，说明与假设方向相反。(4)力的性质(4)力的性质：求线位移虚设单位集中力；求线位移虚设单位集中力；求转角虚设单位力矩；求转角虚设单位力矩；求两点的相对水平位移或竖向位移加一对相反方向相反的集中力；求两点的相对水平位移或竖向位移加一对相反方向相反的集中力；求两点的相对转角则加一对单位力矩。求两点的相对转角则加一对单位力矩。16岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952616常见位移的力虚设方法：

15、常见位移的力虚设方法：(a)C点竖直位移(a)C点竖直位移(b)B点水平位移(b)B点水平位移(c)C点转角位移(c)C点转角位移(d)A、B两点相对竖向位移(d)A、B两点相对竖向位移(e)A、B两点相对水平位移(e)A、B两点相对水平位移(f)C点两侧截面相对转角位移(f)C点两侧截面相对转角位移(g)CD杆的转角位移(g)CD杆的转角位移17岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952617四、制造误差产生的位移计算例5-4-1例5-4-1 图示桁架，杆DC比设计的短了2cm，杆FE比设计的长了3cm，求C点的竖直方向位移。图示桁架，杆DC比设计的短了2cm，杆FE比设计

16、的长了3cm，求C点的竖直方向位移。解：解：(1)在在C点加竖直方向单位荷载，求出虚设力状态点加竖直方向单位荷载，求出虚设力状态DC和和FE杆的轴力（如图杆的轴力（如图b）。）。1/45/16511=32164Cy(2)列方程：解得：列方程：解得：7()16Cycm-218岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952618温度变化时位移计算的一般公式为如图示结构截面温度变化时位移计算的一般公式为如图示结构截面K K的竖向位移的竖向位移。ds1t1tt2K(a)实际状态sdPF=1K(b)虚拟状态QNdddMFFu五、温度作用时的位移计算19岩土基础免费群283982936公共基

17、础免费群2484952619实际状态中任一微段dsds上的变形：sddst2ddudt1s1ttt21h2hhd=0 （1）du=tds（2）2112thhthht221hhh221ttt若杆件截面对称于形心轴若杆件截面对称于形心轴,即即温度改变时结构不产生剪切变形20岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952620（3）（3）1212dsds()dsdsdttttthhh21tttsddst2ddudt1s1ttt21h2hh21岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952621NNdMlttM xFtlAFtlhhtdsFdshtMNQNMdF dF du

18、22岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952622正负号规定:温差tt采用绝对值，若弯矩图中杆件的弯曲变形与温度变化引起的弯曲变形方向一致，则乘积取正号，反之取负号。MAht对于桁架，在温度变化时，其位移计算公式为NFtl23岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952623【例】图示刚架施工时温度为20，试求夏季当外侧温度为30，内侧温度为20时A点的水平位移【例】图示刚架施工时温度为20，试求夏季当外侧温度为30，内侧温度为20时A点的水平位移AHAH和转角A。已知l=4m，a=10和转角A。已知l=4m，a=10-5-5，各杆均为矩形截面，高度h=0.

19、4m。，各杆均为矩形截面，高度h=0.4m。Allt2=0=10t1=101t24岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952624温变引起杆件的弯曲方向为虚线。温变引起杆件的弯曲方向为虚线。52010221ttt【解】外侧温度变化为t【解】外侧温度变化为t1 1=30-20=10,内侧温度变化为t=30-20=10,内侧温度变化为t2 2=20-20=0，故有t=t=20-20=0，故有t=t1 1-t-t2 2=10=1033.610m=3.6 mm ()=3.6 mm ()52225H111010()(11)4105 2 4220.4Atlltllh A1lM11NF25

20、岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952625Allt2=0=10t1=101t(a)1AM1(c)NF1l5104214.01010)1()21(55lltlhtA45.510rad（）26岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952626例例 求图示刚架内侧温度升高10求图示刚架内侧温度升高10o o时C点的竖向位移（各杆截面为相同矩形）。时C点的竖向位移（各杆截面为相同矩形）。llC C解：解：(1)在在C点加竖直方向单位荷载，求出虚设力状态轴力和弯矩图（如图点加竖直方向单位荷载，求出虚设力状态轴力和弯矩图（如图b和和c）。）。FPFPlMN（b）（c

21、）00010052t0010010t 201033551()2CyNMtlltllhhh (2)利用公式计算位移：利用公式计算位移：27岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952627六、荷载作用下的位移计算重点在于解决荷载作用下应变的表达式。重点在于解决荷载作用下应变的表达式。、1）计算公式推导）计算公式推导(1)在荷载作用下建立在荷载作用下建立 MP、FNP、FQP的方程，可经由荷载内力应力应变过程推导应变表达式。的方程，可经由荷载内力应力应变过程推导应变表达式。QPNPPFFMkEIEAGA(2)荷载作用下的位移计算公式荷载作用下的位移计算公式QQPNNPPkF FF

22、FMMdsdsdsEIEAGAk-为截面形状系数为截面形状系数1.29101AA变形引起的结构位移计算公式变形引起的结构位移计算公式0NQM dsFdsFds 微段的变形微段的变形d、d、du均由实际状态中的荷载引起。均由实际状态中的荷载引起。28岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952628(a)实际状态(b)虚拟状态FQMACsdBM1FQFNNFsdCFPABsdMPMPddsFQPFQPNPFNPFddsud29岩土基础免费群283982936公共基础免费群24849526292）正负号规则：(1)不规定和MP的正负号，只规定乘积的正负。MPMM若和MP使杆件同一侧

23、纤维受拉，则乘积为正，反之为负。M正MMP正MMP负MMP(2)和以拉力为正，压力为负；NFNPF(3)和的正负号见下图。QFQPFQFQFQFQF30岩土基础免费群283982936公共基础免费群24849526303）各类结构的位移计算公式）各类结构的位移计算公式(1)梁与刚架：(1)梁与刚架：dsEIMMP(2)桁架：(2)桁架：NNPNNPNNPF FF FF F ldsdsEAEAEA (3)组合结构：(3)组合结构：NNPPF FMMdsdsEIEA (4)三铰拱：(4)三铰拱：NNPNNPPF FF F lMMdsdsEIEAEA 拉杆轴向变形拉杆轴向变形拱轴接近压力线或扁平拱拱

24、轴接近压力线或扁平拱忽略拱轴曲率影响时只考虑弯曲变形忽略拱轴曲率影响时只考虑弯曲变形重点掌握重点掌握31岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952631例例 求简支梁中点竖向位移求简支梁中点竖向位移 CyCy，并讨论剪切变形对位移的影响。，并讨论剪切变形对位移的影响。qAMPFQPql/2xxAMQF0.5ABqCl/2l/2FP=1ABCl/2l/2解：解：1）在）在C点加竖直方向的单位集中力，虚设力状态。点加竖直方向的单位集中力，虚设力状态。1()(0/2)21(0/2)2PQPMqx lxxlFqlqxxl1(02)21(02)2QMxxlFxl2）写出弯矩、剪力表达式

25、（因结构及荷载对称，写一半即可）写出弯矩、剪力表达式（因结构及荷载对称，写一半即可）32岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952632CVCMCQ/2/223004341112()()222115()()()23242384llPCMMMqdsxqx lx dxlxx dxEIEIEIqllqllEIEI/2/200221 112()()2 221()()()22228llQQPCQkF Fkkqdsqlqx dxlx dxGAGAGAkq lllkqlGAGA3）利用荷载作用下的结构位移计算公式进行计算）利用荷载作用下的结构位移计算公式进行计算讨论：讨论：若杆截面为矩形，

26、则若杆截面为矩形，则k=1.2；又；又=1/3，则，则E/G=2(1+)=8/3，I/A=h2/12。2224221.2384460.818111.522.56()8540312CQCMqlEIEIhhGAqlGAlll若若h/l=1/10，则，则CQ/CM=2.56%，可忽略剪切变形。若，可忽略剪切变形。若h/l=1/2，则，则CQ/CM=64%，剪切变形的影响是不能忽略的。，剪切变形的影响是不能忽略的。普通梁普通梁深梁深梁33岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952633例例 求图示刚架求图示刚架C点的转角位移点的转角位移 CC。解：解：1）在）在C点加单位集中力矩，虚

27、设力状态。点加单位集中力矩，虚设力状态。2/21PMqxM 2）写出弯矩表达式）写出弯矩表达式BC杆：2/21PMqLM AB杆：22003(1)(/2)(1)(/2)2()3PCLLMMdsEIqxqLdxdxEIEIqLEI 顺时针3）利用位移公式计算）利用位移公式计算积分常可用图形相乘来代替xxxx34岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952634dPEAdPdPEABv2)1)(12221222)2(1EAPd83.6【例】解：求桁架结点B的竖向位移。dddddABCDEPP实际荷载作用下的内力图P2PP0P20PABCDE1F虚设单位荷载作用下的内力图222122

28、1222221iiiPiiAElNN*（）35岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952635七、用图乘法计算受弯结构的位移图乘法是一种求积分的简化计算方法，它把求积分的运算转化为求几何图形的面积与竖标的乘积的运算。1.图乘法基本公式为方便讨论起见，把积分改写成dsEIMMPsikM MdEI。36岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952636表示对各杆或各杆段分别图乘再相加。图乘法的应用条件：表示对各杆或各杆段分别图乘再相加。图乘法的应用条件：a）直杆；）直杆；b）EI=常数；常数；c）两个弯矩图至少有一个是直线。竖标）两个弯矩图至少有一个是直线。竖标y

29、0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。面积取在直线图形中，对应另一图形的形心处。面积与竖标与竖标y0在杆的同侧，在杆的同侧，y0取正号，否则取负号。取正号，否则取负号。MiMi=xtgyxMkdxxy0 x0注注：y0=x0tg0PyMMdxEIEI ikM MdsEIikM MdxEI直杆1EIikM M dxEI为常数BA1EIiMkxtg M dx是直线BA1EIktgxM dx01EItgx0EIyAB37岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952637几种常见图形的几种常见图形的面积和形心面积和形心的位置：的位置：l/32l/3直角三角形直角三角形=hl/2lhl

30、/2l/2h二次抛物线二次抛物线=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线二次抛物线=hl/3二次抛物线二次抛物线=2hl/3h顶点顶点顶点顶点顶点顶点标准抛物线？！标准抛物线？！38岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952638当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a）曲杆或）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积分法求位移；）时，只能用积分法求位移；b）当）当EI分段为常数或分段为常数或FPl/2l/2EIABm=11/2FPl/4EIlFllFEIPPB162142112ql2/2MMPMPFP=1lMEIqlllqlE

31、IB843231142例例5-7-1：求梁：求梁B点转角位移。例点转角位移。例5-7-2：求梁：求梁B点竖向线位移。点竖向线位移。3l/4M、MP均非直线时，应分段图乘再叠加。均非直线时，应分段图乘再叠加。lqAB39岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952639FPFPaaa例例5-7-3：求图示梁中点的挠度。：求图示梁中点的挠度。FPaFPaMPFP=13a/4MEIaFaFaaaaFEIPPaaP24232222232213432a/2a/2aFaaEIP343211FPl/2l/2C例例5-7-4：求图示梁：求图示梁C点的挠度。点的挠度。MPFPlCFP=1l/2M

32、l/6l6EIFPl123=FPlEIC212=EIFPl4853FPl65llEIyC222105FPl/6？40岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952640非标准图形乘直线形非标准图形乘直线形a）直线形乘直线形）直线形乘直线形abdcl/3l/3l/312y1y2bcadbdacl226dc323bl2dc332al2yydxMMki2211MiMk各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。S=9/6（2622+2 433+6 3+42）=111（1）3264

33、941岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952641S=9/6（262+2033+6302）=9S=9/6（262243+6342）=15S=9/6（262+2436342）=332364（3）9（2）32649（4）236942岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952642labdch+bah232dchl226bcadbdaclSb)非标准抛物线乘直线形非标准抛物线乘直线形ql2/83ql2/2MP例例5-7-5：求：求B点竖向位移。点竖向位移。1EIqllqllllqlEIBV241128323223211422lMqllEIB43岩土基础免费群2

34、83982936公共基础免费群2484952643qlBACl例例5-7-6：求图示刚架：求图示刚架B点的水平位移。点的水平位移。ql2/2MP3ql2/8NP=0qlql/2FP=1lM1N0N111ql/244岩土基础免费群283982936公共基础免费群248495264423 ly3221yly12832323qllql 42212321qllql8321232432414222EIqllqllqllqlEI1332211MyyyEIlqlql2/2ql2/8MP123BNP=0900193434832101222122423 lhbhMNlhbhlAlIEIqlEAql（）（）qlq

35、l/2ql/2FP=1ly1y2y3M1N0N1112122 PNEAqlEAlqlEAlNN（）（）刚架位移计算不计轴力作用刚架位移计算不计轴力作用45岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952645qFP=1MPql2/2 ll/2A B2EIEIl/2M例例5-7-7：求：求B点的竖向位移。点的竖向位移。EIql256174lllqlEI25.023232212lqllqllqllqllEI8222822265.0212222lqlEIlB432831122EIqlllqlEIB843231142ylqlEIB283312102？ql2/8l/2？ql2/32y046岩

36、土基础免费群283982936公共基础免费群24849526466kN6m3m3mAB常数常数D36189MPFP=1FP=163MEI-7563322318EI6436363112639632EI618336318263626619 9 99CD例5-7-8：求AB两点的相对水平位移。例5-7-8：求AB两点的相对水平位移。47岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952647八、线性变形体系的互等定理八、线性变形体系的互等定理应用条件：1)应力与应变成正比;2)变形是微小的。即:线性变形（弹性）体系。应用条件：1)应力与应变成正比;2)变形是微小的。即:线性变形（弹性）体系

37、。P1P2P1P2N1M1Q1GAkQEIMEAN2022222GAkQEIMEAN1011111N2M2 Q2功的互等定理功的互等定理功的互等定理功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态的外力在状态的位移上作的功在任一线性变形体系中，状态的外力在状态的位移上作的功W12等于状态的外力在状态的位移上作的功等于状态的外力在状态的位移上作的功W21。即：。即：W12=W21 PW12dsQMN0212121dsGAQkQEIMMEANN212121 PW21dsQMN0121212dsGAQkQEIMMEANN12121248岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952648位移互

38、等定理位移互等定理P1P2位移互等定理位移互等定理：在任一线性变形体系中，由荷载：在任一线性变形体系中，由荷载P1所引起的与荷载所引起的与荷载P2相应的位移影响系数相应的位移影响系数21等于由荷载等于由荷载P2所引起的与荷载所引起的与荷载P1相应的位移影响系数相应的位移影响系数12。称为位移影响系数，等于称为位移影响系数，等于Pj=1所引起的与所引起的与Pi相应的位移。相应的位移。注意注意：1）这里荷载可以是广义荷载，位移是相应的广义位移。）这里荷载可以是广义荷载，位移是相应的广义位移。2）12与与21不仅数值相等，量纲也相同。不仅数值相等，量纲也相同。2112112221PP122211PP

39、 ijijjP 49岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952649反力互等定理反力互等定理c1c2R11R21R22R12jijijcRr cRcR212121RcR221120cRR221110称为反力影响系数，等于称为反力影响系数，等于cj=1所引起的与所引起的与ci相应的反力。相应的反力。反力互等定理：反力互等定理：在任一线性变形体系中，由位移在任一线性变形体系中，由位移c1所引起的与位移所引起的与位移c2相应的反力影响系数相应的反力影响系数r21等于由位移等于由位移c2所引起的与位移所引起的与位移c1相应的反力影响系数相应的反力影响系数r12。注意：。注意：1）这里

40、支座位移可以是广义位移，反力是相应的广义力。）这里支座位移可以是广义位移，反力是相应的广义力。2）反力互等定理仅用于超静定结构。）反力互等定理仅用于超静定结构。2112rr50岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952650FPl/2l/23FPl/16CAC例例5-8-1：已知图结构的弯矩图求同一结构由于支座已知图结构的弯矩图求同一结构由于支座A的转动引起的转动引起C点的挠度。解：点的挠度。解：W12=W21W21=0W12=FPC3FPl/16 0C=3l/16例例5-8-2：图示同一结构的两种状态，求图示同一结构的两种状态，求=？FP=1m=1m=1AB=A+BBA51

41、岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952651例例5-8-3 已知图已知图a梁支座梁支座C上升上升0.02m引起的引起的D=0.03m/16，试图，试图b结构的结构的M图图.FPFRc(b)aa/2a/2ABCDD0.02m(a)Wab=0=Wba=FPD+FRC CFRC=-3FP/323FPa/3252岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952652小结小结一、虚功原理一、虚功原理We=Wi力：满足平衡位移：变形连续力：满足平衡位移：变形连续虚设位移虚设位移虚位移原理（求未知力）虚功方程等价于平衡条件虚位移原理（求未知力）虚功方程等价于平衡条件虚力原理

42、（求未知位移）虚功方程等价于位移条件虚力原理（求未知位移）虚功方程等价于位移条件虚设力系虚设力系NNPPF FMMdslEIEA 二、单位荷载法二、单位荷载法（虚设广义单位荷载，利用虚力原理推导位移计算公式）（虚设广义单位荷载，利用虚力原理推导位移计算公式）刚架、梁桁架刚架、梁桁架1.支座移动支座移动组合结构、拱组合结构、拱RkkFc 0NMtth 2.非均匀温度变化非均匀温度变化3.荷载作用下荷载作用下53岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952653四、互等定理四、互等定理W12=W212112 r12=r21三、图乘法求受弯结构的位移三、图乘法求受弯结构的位移PEIy

43、dxEIMM0 图乘法求位移的适用条件图乘法求位移的适用条件 y0的取法的取法 标准图形的面积和形心位置标准图形的面积和形心位置 非标准图形乘直线形的处理方法非标准图形乘直线形的处理方法适用条件：线性变形体适用条件：线性变形体内容：内容：54岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952654CqABxl/2l/2(a)(2)加相应单位力，求M（0 x ）xM212/l(3)计算?CV2P()2qMlxx当0 x2/lPV2dCCAMMxEI【例】求简支梁在均布荷载q作用下跨中截面C的竖向位移(即挠度)CV，已知抗弯刚度EI为常数。【解】(1)建立x坐标，求荷载作用下的MPCAB

44、1x(b)/2240215()d()22384lqxlxxxqlEIEI55岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952655【例】求图示简支梁A端的转角及跨中截面C的挠度【例】求图示简支梁A端的转角及跨中截面C的挠度CVCV。EI为常数。EI为常数。ACqB/2l/2l(a)56岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952656【解】先作M【解】先作MP P图，如图(b)所示。图，如图(b)所示。(1)求求A1ql28(b)图MP11(c)图M1/4l(d)图M(2)求(2)求CVCV)(EIqllqlEIA2421)8132(132（）42V121552()

45、()38284384CllqlqlEIEI57岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952657【例】求图示刚架中A、B两点间的相对线位移【例】求图示刚架中A、B两点间的相对线位移ABAB。各杆EI为常数。各杆EI为常数。q21ql8l/2lACDB(a)11/2l/2ll/2(b)422412)8132(1qlEIllqlEIAB)(58岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952658桁架桁架的位移计算在结点荷载作用下，桁架中各杆只有轴力，且同一杆件的的位移计算在结点荷载作用下，桁架中各杆只有轴力，且同一杆件的F FNPNP、NF及及EAEA沿杆长沿杆长l

46、l均为常数：均为常数：F FNPNP：荷载引起的桁架轴力。受拉为正，受压为负。：荷载引起的桁架轴力。受拉为正，受压为负。NNPNNPNNPdsdsF FF FF FlEAEAEA：单位力引起的桁架轴力。受拉为正，受压为负。：单位力引起的桁架轴力。受拉为正，受压为负。NF59岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952659注意：当要求桁架中某杆的角位移时，不能直接在杆上施加单位力偶，而应将其转换为等效的结点集中荷载。如求BCBC杆的角位移时的单位力偶设置方法。1d1ddACB求桁杆转角时的虚拟状态求桁杆转角时的虚拟状态60岩土基础免费群283982936公共基础免费群2484952660