概率论与数理统计基本公式.docx

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1、 第 1 章 随机事件及其概率m!从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。n（1）排列组合公式m!从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。n加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由 mn 种方法来完成。重复排列和非重复排列（有序）（3）一些对立事件（至少有一个）常见排列顺序问题如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的

2、可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。w这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。W基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。w一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母WA，B，C，表示事件，它们是W 的子集。W为必然事件， 为不可能事件。不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为 1，而

3、概率为 1 的事件也不一定是必然事件。关系：如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分，（A 发生必有事件 B 发生）：A B B B A A B A B， ，则称事件 与事件 等价，或称 等于 ：U属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件，称为A 与 B 的差，记为A-B，也可表示为 A-AB或者 AB ，它表示 A 发生而 B 不发生的事件。IIA、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 WA-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。

4、运算：结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC)ii德摩根率：AU B = AI B AI B = A U B，W设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数P(A)，若满AA3 对于两两互不相容的事件A ，A ，有12 Uii常称为可列（完全）可加性。i=1则称P(A)为事件A 的概率。121w2 P( )ww= P( ) = LP( ) =。n12nA ，它是由 , L 组成的，则有( ) =P( ) P( )12m概型w U w ULU ww + w +L+ wP(A)= ( ) ( )12m12n基本

5、事件总数若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何（9）几何 概型。对任一事件A，概型。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。（11）减法 当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)公式当A= 时，P( )=1- P(B)B定义 设A、B是两个事件，且P(A)0，则称为事件A发生条件下，事（12）条件=概率件B发生的条件概率，记为P(B / A)。P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如 P(/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)B（13）乘法12n2A ) = P(

6、A )P(A | A )P(A | A A )公式12n121312n1A )。n - 1两个事件的独立性，则称事件 A 、B 是相互独立的。若事件 A 、 B 相互独立，且，则有=A B A B A B若事件 A 、B 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。（14）独立性多个事件的独立性设 ABC 是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么 A、B、C 相互独立。设事件12P(B ) 0(i = 1,2,L,n)，i112nnA BU公式i

7、2则有，i=11122nBB设事件 B ， ， 及 满足An12=n1，2， ，B1 B ， B ， 两两互不相容，12nUi，i=1P(B / A) =iinjj=1此公式即为贝叶斯公式。i = 1，（i = 1， ，n， ， ， ），通常叫先验概率。i），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了P(B ) ，（22in“由果朔因”的推断。n我们作了 次试验，且满足（17）伯努u 每次试验只有两种可能结果， A 发生或 A 不发生；利概型n次试验是重复进行的，即 A 发生的概率每次均一样；u 每次试验是独立的，即每次试验 A 发生与否与其他次试验 A 发生与否是互不影响

8、的。n这种试验称为伯努利概型，或称为 重伯努利试验。1- p = qP (k)pA，用表nk(0 k n)n示 重伯努利试验中 出现A次的概率，P (k) = C k p q=k 0,1, 2, ,nLk，。nn第二章 随机变量及其分布（1）离散型随 机变 件(X=X )的概率为X设离散型随机变量 的可能取值为 X (k=1,2,)且取各个值的概率，即事kkP(X=x )=p ，k=1,2,，kk则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形X式给出：|P(X = x ) p , p ,L, p ,L。k12k= 1,2,L， （2）k（1），。kk=1F(x)是随机变量 X

9、 的分布函数，若存在非负函数 f (x)x，对任意实数 ，有设xF(x) =f (x)dx，X称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面 4 个性质：1f (x) 0。积分元 f (x)dx 在连续型随机变量理论中所起的作用与在离kk散型随机变量理论中所起的作用相类似。 （4）分布设 为随机变量， x 是任意实数，则函数X函数F(x) = P(X x)称为随机变量 X的分布函数，本质上是一个累积函数。P(a X b) = F(b) - F(a) 可以得到 X 落入区间(a,b的概率。分布函数 F(x)表示随机变量落入区间（ ，x内的概率。分布函数具有如下性质： F(x) 1

10、, - +x；时，有 F(x ) F(x ) ；2 F(x)是单调不减的函数，即 x1212，F(+) = lim F(x) = 1；x-x+4 F(x + 0) = F(x)，即5 P(X。对于离散型随机变量，F(x)；kx xkx= f (x)dx对于连续型随机变量，F(x)。-分布二项分布在 n 重贝努里试验中，设事件 A 发生的概率为 p 。事件 A 发生的次数是随机变量，设为 X ，则 X 可能取值为0,1,2,L,n。P(X = k) = P (k) = C p q，其中kknnq = 1- p,0 p 1,k = 0,1,2,L,n ，则 称 随 机 变 量 X 服 从 参 数

11、为 n ， p 的 二 项 分 布 。 记 为X B(n, p) 。当 n= 1时， P(X = k) = p q1-k，k = 0.1，这就是（0-1）分k布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。 泊松分布kP(X = k) = e ，-k!则称随机变量 服从参数为 l 的泊松分布，记为 XX p(l)或者 P(l )。泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。超几何分布k,MCnN随机变量 X 服从参数为 n,N,M 的超几何分布，记为 H(n,N,M)。几何分布均匀分布随机变量 X 服从参数为 p 的几何分布，记为 G(p)。f (x)设随机变量 X 的值只落在a，b内，其密度函数1在

12、a，b上为常数，即b - a1,axb则称随机变量 X 在a，b上服从均匀分布，记为 XU(a，b)。分布函数为0，xa，,F(x) = f (x)dx =x1，当 ax x b 时，X 落在区间（21x - xP(x X x ) =21。b- a12 指数分布,xx 其中X 的分布函数为0,0,x0。记住积分公式：+ x e dxn0正态分布X设随机变量 的密度函数为1(x-m)2e ，- x 0其中 、 为常数，则称随机变量 服从参数为 、s的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为X N(。2mx=的图形是关于 对称的；1m(m) =2 当 时， fX N(2X(t-m)2若1 ，则 的分

13、布函数为-e。= 0=1、 时的正态分布称为标准正态分布，记为参数X N( 0,1)1，其密2度函数记为x-e22p，- x +，2x-t dt 。e22p-是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。1 (-x)1- (x)且 (0) 。2mX -(m,s )2 ，则smm x - x - P(x m )aa（7）函数 离散型分布X12n，P(X = x ) p, p , , p ,LLn12iY = g(X ) 的分布列（ y = g(x )互不相等）如下：iiY12n，P(Y = y )i若有某些 g12npg(x )相等，则应将对应的 相加作为 的概率。iii连续型先利用 X 的概率

14、密度 f (x)写出 Y 的分布函数 F (y)P(g(X)YXy)，再利用变上下限积分的求导公式求出 f (y)。Y第三章 二维随机变量及其分布（1）联合 离散型x如果二维随机向量 （X，Y）的所有可能取值为至多可列分布x个有序对（x,y），则称 为离散型随机量。(x , y )(i, j =1,2,L)设x =（X，Y）的所有可能取值为且事件x =(x , y )，ijij,ijP(X ,Y) = (x , y )= p (i, j =1,2,L)ijij为x =（X，Y）的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：YXxppp111121jMMMMp

15、ijMMMMMij（1）p 0（i,j=1,2,）；ijp=1.（2）ijij 连续型= (X ,Y)， 如 果 存 在 非 负 函 数f (x, y)(- x +,- y +) ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D=(X,Y)|axb,cyd有D则称x 为连续型随机向量；并称 f(x,y)为x =（X，Y）的分布（2）,F(x, y) = PX x,Y y称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X 和 Y 的联合分布函数。分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 ， 以 事 件(w ,w ) | - X (w ) x,- x 时，有 F

16、（x ,y）F(x ,y);当 y y 时，有 F(x,y ) F(x,y );1212122F(x, y) = F(x + 0, y), F(x, y) = F(x, y + 0);（5）对于 x1212F(x ，y ) - F(x ，y ) - F(x ，y ) + F(x ，y ) 0.22211211（4）离散型 与 连 续型的关系P(X = x，Y = y) P(x X x + dx，y 2)n - 2+n( )iiX-+nE(Y) = y pjY-征EG(X ,Y)EG(X ,Y)G(x , y ) p+ijijij方差+f (x)dxD(X ) =p2XiiiD(Y) = x -

17、 E(Y)p2+j( )f y dyY2j- 协方差对于随机变量 X与 Y，称它们的二阶混合中心矩m 为 X与 Y的协方11，即XYsm( )(=XY11与记号s 相对应，X与 Y的方差 D（X）与 D（Y）也可分别记为sXYXX。相关系数对于随机变量 X与 Y，如果 D（X）0, D(Y)0，则称r为 X与 Y的相关系数，记作XY| |1，当| |=1时，称 X与 Y完全相关：P(X = aY + b) =1rr正相关，当r =1时( 0)，a= 0以下五个命题是等价的：= 0；XYcov(X,Y)=0;对于随机变量 X 与 Y，如果有 E存在，则称之为 X 与 Y 的klk+l阶混合原点矩

18、，记为n ；k+l阶混合中心矩记为：klu = E(X - E(X ) (Y - E(Y) .klkl（6） (i) cov (X, Y)=cov (Y, X);协 方 (ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);差 的 (iii) cov(X +X , Y)=cov(X ,Y)+cov(X ,Y);1122性质 (iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y). （i）若随机变量 X 与 Y 相互独立，则 rm , m ,s ,s , r（ii）若（X，Y）N（2），121则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 和 Y 不相关。第五章 大数定律和中心极限定理（1）大数定

19、律X m切比雪 设随机变量 X ，X ，相互独立，均具有有限方差，且被同一21夫大数 常数 C 所界：D（X ）C(i=1,2,),则对于任意的正数 ，有定律1 nnlim PX - nniini=1i=1特殊情形：若X ，X ，具有相同的数学期望E（X ）= ，12I则上式成为nlim PX -m e =1. nini=1伯努利设 是 n 次独立试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 在大数定 每次试验中发生的概率，则对于任意的正数 ，有律mlim P - p e =1. nn伯努利大数定律说明，当试验次数n 很大时，事件A 发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即mlim P - p

20、 e = 0. nn这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。辛钦大 设 X ，X ，X ，是相互独立同分布的随机变量序列，且En12nnlim PX -m e =1. nini=1 （2）中心极限定 列维理 林德伯 相设随机变量 X，X，相互独立，服从同一分布，且具有21数同的学期望和方差：格定理m, ( ) ss=2k，则随机变量2X N(kknnn- mXkY =k=1nsn的分布函数 F(x)对任意的实数 x，有n21ek=1kx2ns2p-nnn此定理也称为独立同分布的中心极限定理。设随机变量 为具有参数 n, p(0p1)的二项分布，则对于棣莫弗拉普Xn拉斯定 任意实数 x,有理21

21、 Xe-t dt.22pp-（3）二项定理（4）泊松定理MN 时, p(n,k不变)若当Nn-kn-kMN -MkkCnnN，则kC p (1- p) ekkk!n二项分布的极限分布为泊松分布。第六章 样本及抽样分布（1）数 理 总体统 计 的 基本概念在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。 样本, x , , x称为样本。样本我们把从总体中抽取的部分样品 xL12n中所含的样品数称为样本容量，一般用 n 表示。在一般情况下，总是把样本看成是 n 个相互独立的

22、且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结, x , , x表示 n 个随机变量（样本）；在具体的一次果时，xL12n, x , , x表示 n 个具体的数值（样本值）。我们抽取之后，xL12n称之为样本的两重性。设 xL为总体的一个样本，称12n12njj为样本函数，其中 为一个连续函数。如果 中不包含任何未知参数，则称j （ xL）为一个统计量。12nn样本均值i样本方差1n (x - x) .22ii=11n= (x - x) .样本标准差S2inkkinMx x kkLkis 2，n) = s 2 ， E(S * ) =22n1 nn(X - X )

23、2 ，为二阶中心矩。ii=1 N(m,s )2 的一个样本，则样设 x为来自正态总体1n四大分布本函数mx -defN ( 0,1).unN(m,s )2 的一个样本，则样设 xL12n本函数defts / n其中 t(n-1)表示自由度为 n-1 的 t 分布。2m s( , )2 的一个样本，则样cx 为来自正态总体 Nn2本函数(n -1)S2c ( 1) ,2s2-其中2n表示自由度为 n-1 的 c 2 分布。F 分布设 xL2 的一个样本，而12n1Nm s( , )2 的一个样本，则样本12n2函数defFn12其中1 1 nn=1S =2(y - y) ;S22n -1n-1i

24、i1i=12i=1F(n -1,n -1) 表示第一自由度为 n -1 ，第二自由度为121总 体 下 分布的性质第七章 参数估计 q ,q , ,q，则其分布函数可以表成设总体 X 的分布中包含有未知数估计1mLm=L中也k12mkq ,q , ,qq qqL，即 v包含了未知参数x , x ,L, x 为总体 X 的 n 个样本值，其样本的 k 阶原点矩为。又设12mkk12m12nnknii=1这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有nv (q ,q , ,q )x,L112mii=11 nv (q ,q , ,q )x,L2212mnii=1L

25、LLLLLLLL1 n=x.Lmm12mnii=1由上面的 m 个方程中，解出的 m 个未知参数即为参数12mL（）的矩估计量。12mg(x) 为连续函数，则 g(q ) g( )若q 为q 的矩估计，为 q 的矩估计。 当 总 体 X 为 连 续 型 随 机 变 量 时 ， 设 其 分 布 密 度 为f (x;q ,q , ,q )， 其 中为 未 知 参 数 。 又 设1m1m22为总体的一个样本，称1n2n1mi1m22i=1为样本的似然函数，简记为 L.n当 总 体 X 为 离 型 随 机 变 量 时 ， 设 其 分 布 律 为PX = x= p(x;q ,q , ,q )，则称1m2

26、nq ,q , ,q )LL1n1mi1m222i=1为样本的似然函数。(x , x ,L, x ;q ,q ,L,q ) q ,q ,L,qm若似然函数 L在处取121n1m22LL的最大似然估计值，12m1m2=Lnqq =qiiig(x) 为单调函数，则g(q ) g( )为 q 的极大q q( , , , )= x x L xq q q为未知参数 的估计量。若E （ ）= ，则称设12nq 为q 的无偏估计量。准E（ ）=E（X）， E（S2）=D（X）X有效性q q ( , , , , ) q q ( , , , , )q=设和是未知参数有效。11212n12n(q ) D(q )q q比的两个无偏估计量。若D，则称1212