概率论与数理统计知识点总结.docx

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1、 第 1 章 随机事件及其概率(1) 随 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果机试 验 不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称和随 机 这种试验为随机试验。在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质:每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；wW一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合.通常用大wWA，B，C，表示事件，它们是 的子集。W为必然事件， 为不可能事件.W不可能事件（）的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事

2、件.BAB（3)事 如果事件 A 的组成部分也是事件 的组成部分,( 发生必有事件件的 关 发生）：A B A B，则称事件 与事件 等价,或称 等于 ：A B B AA=B。A、B 中至少有一个发生的事件：A B A B，或者 + 。1 属于 而不属于 的部分所构成的事件，称为A与B的差,记为A-B，AA-ABA B或者 ，它表示 发生而 不发生的事件.ABA、BA BAB，或者 .A B= ,则表示 A 与 B 不可能同II时发生，称事件 A 与事件 B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的.-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 。它表示WAA 不发生的事件。互斥未必

3、对立.结合率：A（BC)=（AB）C A（BC）=（AB）C分配率：（AB）C=(AC)（BC） (AB）C=（AC)(BC）德摩根率：ii设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数 P（A）,WAAAA12U iii=1A12w ,w LwW =12n1P(w )= P= P(w ) L (w )=12nnw ,w Lw 组成的,则有A12mP(A） =( ) ( )( )w U w ULU w(w )(w ) L (w )+ + PP+ P12m12m1 n若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随

4、机试验为几何概型.对任一事件 A，P（A+B）=P（A）+P（B)P(AB）（7）加 当 AB 不相容 P（AB）0 时，P（A+B)=P(A）+P（B）法公式 当 AB 独立，P(AB）=P（A)P（B), P（A+B)=P(A)+P（B)P（A）P（B）当 B A 时，P（AB)=P（A)-P（B)B定义 设 A、B 是两个事件，且 P（A)0,则称 ( ) 为事件 A 发生P ABP AB条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。B更一般地，对事件 A ，A ,A ,若 P（A A A )0，则有12nn-1A ) = P(A )P(A | A )P(A | A A )12n

5、121312n12，则称事件 、 是相互独立的。A BP(AB) = P(A)P(B)若事件 、 相互独立，且 ，则有P(A) 0AB1 =P(A)P(A)若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互ABABWP(AB）=P(A）P（B)；P（BC)=P（B)P（C）；P(CA）=P（C）P(A）12，P(B ) 0(i = 1,2,L,n)i12nnUA BiP(A) = P(B )P(A | B ) + P(B )P(A | B ) +L + P(B )P(A | B )1122nn全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题，全概率公式的题型:将试验可看成分为两步做，如果要求

6、第二步某事件的概率,就用全概率公式;12Bni=12Un2则i1 iiinjjj=1， ，2ni）,通常称为后验概率.贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并iin作出了“由果朔因”的推断。将试验可看成分为两步做,如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用贝叶斯公式。nAAnAu 每次试验是独立的，即每次试验 发生与否与其他次试验 发AAn表pAAP (k)nk(0 k n)nA，k= 0,1,2,L,n.P (k) = C k p qknn第二章 随机变量及其分布设离散型随机变量 的可能取值为 X （k=1，2，）且取各个值的（ 1 ）离 散型 随机 变量 的分 布律Xk概率，即事

7、件（X=X )的概率为 P（X=x ）=p ，k=1，2,，kkk则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律.有时也用分XX|12kP(X = x ) p , p ,L, p ,Lk12k= 1。p（1），1,2,L , （2）k=p 0kkk=11 设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数Xxx则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数，fXX( ) = 1。f x dxf (x)dx12214、P(x=a）=0，a 为常数，连续型随机变量取个别值的概率为 01 Xx可以得到 X 落入区间 的概率。分布函P(a X b) = F(b) - F(a)(a,b；0

8、 F(x) 1, - +x是单调不减的函数，即 时，有x x1212FFx-x+F(x + 0) = F(x)F(x)P(X = x) = F(x) - F(x - 0);pF(x) =kx xkx.F(x) = f (x)dx-分布 二项分 在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生nApAXX，P(X = k) = P (k) = C p qq = 1- p,0 p 1,k = 0,1,2,L,nkknn则 称 随 机 变 量 服 从 参 数 为 , 的 二 项 分 布 。 记 为Xn pX B(n, p)= 0.1，这就是（ 0-1）分布 ,所kn =1以（01)分布是二项分

9、布的特例。1 泊松分 设随机变量 的分布律为XkP(X = k) = e0 k = 0,1, 2-k!或者lX p(l)Xl设随机变量 的值只落在a，b内，其密度函数 在a，Xaxb则称随机变量 在a，b上服从均匀分布,记为 XU（a，X0，xb。当 ax x b 时，X 落在区间（ ）内的概率为1212212, 0, 0l1 X1(x-m)2x2ps 0、 的m正态分布或高斯（Gauss）分布，记为x =m1mx =f2X= 2 1psedt22时的正态分布称为标准正态分布，记为=1= 021x2p12x是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用.-（-x)1（x）且（0) 1 。N( 0

10、,1)m sX2smmP(x X x ) = F - F21ss12mama(7) 函 离散型数 的分 布Xx , x ,L, , LxX12nP(X = x ) pY = g(X ), p , L, p , L12n的i分布列（互不相等）如下：y= g(x )Lii，Y12n若有某些 p 相等,则应将对应的1 2n相加作为 的概率。i)piii先利用 X 的概率密度 f (x)写出 Y 的分布函数 F （y)XYP(g(X）y）,再利用变上下限积分的求导公式求出 f (y）。Y1 第三章 二维随机变量及其分布（1）联 离散型 如果二维随机向量 （X,Y）的所有可能取值为至多可列xx，且事,

11、称xijxijP(X ,Y) = (x , y ) = p (i, j =1,2,L)ij为 =（X，Y）的分布律或称为 X 和 Y 的联合分布律.联xYy12jp111121jxp221222jMMMMMxppii1ijMMMMMp这里 具有下面两个性质:ijpij=1.pijij1 , 如 果 存 在 非 负 函 数= (X ,Y)，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域 D,即 D=（X，Y）axb，cyd有D则称 为连续型随机向量；并称 f（x,y）为 =（X，Y）（1） f（x,y）0；(2） + + f (x, y)dxdy = 1.- -1 2 联 合 设（X，Y)为二维随

12、机变量，对于任意实数 x，y,二元函数F(x, y) = PX x,Y y称为二维随机向量（X,Y) 的分布函数，或称为随机变量 X 和 Y 的联合分布函数。分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域 ， 以 事 件的概率为函数值的一个实值函数 .(w ,w ) | - X (w ) x,- 12,12, , ).m m s s r12,由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍, ), ().m sm s2Y N112,(X，Y）未必是二维正态分布.)2Y N11Z+Z-）。m m ,s s+12n 个相互独立的正态分布的线性组合,仍服从正态分布。mms2

13、2iiiiii相 互 独 立 , 其 分 布 函 数 分 别 为12n,X ,X )的分F (x) F xF x2nxn1F (x) F (x) F (x)LF (x)=2maxxnX ）F (x) = 1-1- F (x)1- F (x)L1- F (x)nminx1x2xn第四章 随机变量的数字特征1 设 X 是离散型随机 设 X 是连续型随机变量，其概率密X = x+E(X ) = xf (x)dxkknE(X ) = x pkkk=1+nEkkk=1+D(X ) = x - E(X ) f (x)dx2kkk2（3） E(X+Y)=E(X)+E（Y)， nniiiii=1i=1（4）

14、E(XY）=E（X） E(Y),充分条件：X 和 Y 独立;充要条件：X 和 Y 不相关。1 （3)方 （1） D(C）=0；E(C）=C2222（5） D（XY）=D(X）+D（Y），充分条件：X 和 Y 独立；充要条件：X 和 Y 不相关。D（XY)=D（X)+D(Y) 2E（XE（X）)(YE（Y）),无条件成立。而 E（X+Y)=E（X）+E(Y),无条件成立.B(1, p)p(1- p)npB(n, p)np(1- p)ll211N(m,s )21 +n( ) =E Xxf x dx( )iiXi=1-+njYj=1-+ijij +iiD(X ) = x - E(X ) f (x)dx2iXp2jj+2为 X 与XYsm=XY11与记号s别记为s相对应，X 与 Y 的方差 D(X）与 D（Y）也可分XYXX与 。sYY1 相 关 对于随机变量 X 与 Y，如果 D（X）0， D（Y）0，则称rXY 1,当| =1 时，称 X 与 Y 完 全相关：rr正相关，当r = 1时(a 0)，负相关，当r = -1时(a 0 )，完全相关= 0XY1212XYm , m ,s ,s , r222121相关则 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 和 Y 不相关.1