初高中数学衔接教材.pdf

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1、初中升高中数学教材变化分析初中升高中数学教材变化分析目录第一章第一章数与式数与式1.1数与式的运算数与式的运算1.1.1绝对值1.1.2乘法公式1.1.3二次根式1.1.4分式1.2分解因式分解因式第二章第二章二次方程与二次不等式二次方程与二次不等式2.1一元二次方程一元二次方程2.1.1根的判别式2.1.2根与系数的关系2.2二次函数二次函数2.2.1二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质2.2.2二次函数的三种表达方式2.2.3二次函数的应用2.3方程与不等式方程与不等式2.3.1二元二次方程组的解法第三章第三章相似形、三角形、圆相似形、三角形、圆3.1相似形相似形3.1.1平行线分

2、线段成比例定理3.1.2相似三角形形的性质与判定3.2三角形三角形3.2.1三角形的五心3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用3.3圆圆3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理3.3.2点的轨迹3.3.3四点共圆的性质与判定3.3.4直线和圆的方程（选学）21.11.1 数与式的运算数与式的运算1.1绝对值绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即,0,|0,0,0.aaaaa a绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离两个数的差的绝对值的几何意义：ba 表示在数轴上，数a和数b之间的距离例

3、1 解不等式：13xx4解法一：由01x，得1x；由30 x，得3x；若1x，不等式可变为(1)(3)4xx，即24x4，解得 x0，又 x1，x0；若12x，不等式可变为(1)(3)4xx，即 14，不存在满足条件的 x；若3x，不等式可变为(1)(3)4xx，即24x4，解得 x4又 x3，x4综上所述，原不等式的解为x0，或 x4解法二：如图 111，1x表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点 A之间的距离|PA|，即|PA|x1|；|x3|表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离|PB|，即|PB|x3|所以，不等式13xx4 的几何意义即为|PA|PB

4、|4由|AB|2，可知点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点D(坐标为 4)的右侧x0，或 x413ABx04CDxP|x1|x3|图 1113练习1填空：（1）若5x，则 x=_；若4x，则 x=_.（2）如果5 ba，且1a，则 b_；若21c，则 c_.2选择题：下列叙述正确的是（）（A）若ab，则ab（B）若ab，则ab（C）若ab，则ab（D）若ab，则ab 3化简：|x5|2x13|（x5）1.1.2.乘法公式乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式22()()ab abab；（2）完全平方公式222()2abaabb我们还可以通过证明得到下列

5、一些乘法公式：（1）立方和公式2233()()ab aabbab；（2）立方差公式2233()()ab aabbab；（3）三数和平方公式2222()2()abcabcabbcac；（4）两数和立方公式33223()33abaa babb；（5）两数差立方公式33223()33abaa babb对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明例例 1计算：22(1)(1)(1)(1)xxxxxx解法一：解法一：原式=2222(1)(1)xxx=242(1)(1)xxx=61x 解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)xxxxxx=33(1)(1)xx=61x 例 2已知4abc，4abbca

6、c，求222abc的值解：2222()2()8abcabcabbcac练习1填空：（1）221111()9423abba（）；（2）(4m22)164(mm)；(3)2222(2)4(abcabc)2选择题：（1）若212xmxk是 一 个 完 全 平 方 式，则k等 于（）4（A）2m（B）214m（C）213m（D）2116m（2）不 论a，b为 何 实 数，22248abab的 值（）（A）总是正数（B）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.1.3二次根式二次根式一般地，形如(0)a a 的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如232aa

7、bb，22ab等是无理式，而22212xx，222xxyy，2a等是有理式1分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母分母（子子）有理化有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如2与2，3 a与a，36与36，2 33 2与2 33 2，等等一般地，a x与x，a xby与a xby，a xb与a xb互为有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化

8、简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式(0,0)a bab ab；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式2二次根式2a的意义2aa,0,0.aaa a例 1 将下列式子化为最简二次根式：（1）12b；（2）2(0)a b a；（3）64(0)x y x 解：（1）122 3bb；（2）2(0)a baba b a；（3）633422(0)x yxyxy x 例例 2计算：3(33)解法一：3(33)33353(33)(33)(33)3 33933(31)

9、6312解法二解法二：3(33)33333(31)13131(31)(31)312例 3试比较下列各组数的大小：（1）1211和1110；（2）264和2 26.解：（1）1211(1211)(1211)11211112111211，1110(1110)(1110)11110111101110，又12111110，12111110（2）2 26(2 26)(2 26)22 26,12 262 26+又 42 2，64 62 2，2642 26.例 4化简：20042005(32)(32)解：20042005(32)(32)20042004(32)(32)(32)2004(32)(32)(32)

10、20041(32)32例 5化简：（1）94 5；（2）2212(01)xxx解：（1）原式54 5422(5)2 252 2(25)2552（2）原式=21()xx1xx，01x，11xx，所以，原式1xx例 6已知3232,3232xy，求22353xxyy的值 6解：223232(32)(32)103232xy，323213232xy，22223533()113 1011289xxyyxyxy 练习1填空：（1）1313_；（2）若2(5)(3)(3)5x xxx，则x的取值范围是_ _；（3）4 246 543 962 150_；（4）若52x，则11111111xxxxxxxx _2

11、选择题：等式22xxxx成立的条件是（）（A）2x（B）0 x（C）2x（D）02x3若22111aaba，求ab的值4比较大小：2 35 4（填“”，或“”）1.1.分式1分式的意义形如AB的式子，若 B 中含有字母，且0B，则称AB为分式分式当 M0 时，分式AB具有下列性质：AA MBBM；AAMBBM上述性质被称为分式的基本性质2繁分式像abcd，2mnpmnp这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式繁分式例 1若54(2)2xABx xxx，求常数,A B的值解：(2)()2542(2)(2)(2)ABA xBxAB xAxxxx xx xx x，75,24,ABA解得2,3AB

12、例 2（1）试证：111(1)1n nnn（其中 n 是正整数）；（2）计算：1111 22 39 10；（3）证明：对任意大于1 的正整数n，有11112 33 4(1)2n n（1）证明：11(1)11(1)(1)nnnnn nn n，111(1)1n nnn（其中 n 是正整数）成立（2）解：由（1）可知1111 22 39 1011111(1)()()2239101110 910（3）证明：1112 33 4(1)n n111111()()()23341nn1121n，又 n2，且 n 是正整数，1n1一定为正数，1112 33 4(1)n n12例 3设cea，且 e1，2c25ac

13、2a20，求 e 的值解：在 2c25ac2a20 两边同除以 a2，得2e25e20，(2e1)(e2)0，e121，舍去；或 e2e2练习1填空题：对任意的正整数 n，1(2)n n(112nn)；2选择题：若223xyxy，则xy（）（A）（B）54（C）45（D）653正数,x y满足222xyxy，求xyxy的值4计算1111.1 22 33 499 100习题习题 11A组组81解不等式：(1)13x；(2)327xx；(3)116xx已知1xy，求333xyxy的值3填空：（1）1819(23)(23)_；（2）若22(1)(1)2aa，则a的取值范围是_；（3）11111122

14、3344556_B组组1填空：（1）12a，13b，则2223352aabaabb_；（2）若2220 xxyy，则22223xxyyxy_；2已知：11,23xy，求yyxyxy的值C组组1选择题：（1）若2ababba ，则（）（A）ab（B）ab（C）0ab（D）0ba（2）计算1aa等于（）（A）a（B）a（C）a（D）a2解方程22112()3()10 xxxx 3计算：11111 32 43 59 114试证：对任意的正整数 n，有1111 2 32 3 4(1)(2)n nn 141.21.2 因式分解因式分解因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另

15、外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例 1分解因式：（1）x23x2；（2）x24x12；（3）22()xab xyaby；（4）1xyxy 解：（1）如图 111，将二次项 x2分解成图中的两个 x 的积，再将常数项92 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x23x2 中的一次项，所以，有x23x2(x1)(x2)说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 111 中的两个 x 用 1 来表示（如图 112 所示）（2）由图 113，得x24x12(x2)(x6)（3）由图 114，得22()xab xyaby()()xay xby（4）1xy

16、xy xy(xy)1(x1)(y+1)（如图 115 所示）课堂练习一、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）652xx_。（2）652xx_。（3）652xx_。（4）652xx_。（5）axax12_。（6）18112xx_。（7）2762xx_。（8）91242mm_。（9）2675xx_。（10）22612yxyx_。2、3 42xxxx3、若422xxbaxx则 a，b。二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）1、在多项式（1）672 xx（2）342 xx（3）862 xx（4）1072 xx（5）44152xx中，有相同因式的是（）A、只有（1）（2）B、只有（3）（4）

17、C、只有（3）（5）D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）2、分解因式22338baba得（）A、3 11aaB、baba3 11C、baba3 11D、baba3 113、2082baba分解因式得（）A、2 10babaB、4 5babaC、10 2babaD、5 4baba12xx图 1111211图 1122611图 113aybyxx图 11411xy图 115104、若多项式axx32可分解为bxx5，则a、b的值是（）A、10a，2bB、10a，2bC、10a，2bD、10a，2b5、若bxaxmxx 102其中a、b为整数，则m的值为（）A、3或9B、3C、9D、3

18、或9三、把下列各式分解因式1、3211262pqqp2、22365abbaa3、6422 yy4、8224 bb2提取公因式法例 2分解因式：（1）baba552（2）32933xxx解：（1）baba552=)1)(5(aba（2）32933xxx=32(3)(39)xxx=2(3)3(3)xxx=2(3)(3)xx或32933xxx32(331)8xxx3(1)8x33(1)2x22(1)2(1)(1)22 xxx 2(3)(3)xx课堂练习：一、填空题：1、多项式xyzxyyx42622中各项的公因式是_。2、yxxynyxm_。3、222yxxynyxm_。4、zyxxzynzyxm_

19、。5、zyxzyxzyxm_。6、523623913xbaxab分解因式得_。7计算99992=二、判断题：（正确的打上“”，错误的打上“”）1、baababba24222（）2、bammbmam（）3、5231563223xxxxxx11（）4、111xxxxnnn（）3：公式法例 3分解因式：（1）164a（2）2223yxyx解：(1)164a=)2)(2)(4()4)(4()(4222222aaaaaa(2)2223yxyx=)32)(4()23)(23(yxyxyxyxyxyx课堂练习一、222baba，22ba，33ba 的公因式是_。二、判断题：（正确的打上“”，错误的打上“”）

20、1、1.032 1.0321.03201.094222xxxx（）2、babababa43 4343892222 （）3、bababa45 4516252（）4、yxyxyxyx 2222（）5、cbacbacba 22（）五、把下列各式分解1、229nmnm2、3132x3、22244xx4、1224 xx4分组分解法例 4（1）xyxyx332（2）222456xxyyxy（2）222456xxyyxy=222(4)56xyxyy=22(4)(2)(3)xyxyy=(22)(3)xyxy或222456xxyyxy=22(2)(45)6xxyyxy12=(2)()(45)6xy xyxy=(

21、22)(3)xyxy课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）byaxbayx222222（2）91264422bababa5关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a0)的因式分解若关于若关于 x 的方程的方程20(0)axbxca的两个实数根是的两个实数根是1x、2x，则二次三项式，则二次三项式2(0)axbxc a就可分解为就可分解为12()()a xxxx.例 5把下列关于 x 的二次多项式分解因式：（1）221xx；（2）2244xxyy解：（1）令221xx=0，则解得112x ，212x ，221xx=(12)(12)xx =(12)(12)xx （2）令2244xxyy=0，则解

22、得1(22 2)xy ，1(22 2)xy ，2244xxyy=2(12)2(12)xy xy练习1选择题：多项式22215xxyy的一个因式为（）（A）25xy（B）3xy（C）3xy（D）5xy2分解因式：（1）x26x8；（2）8a3b3；（3）x22x1；（4）4(1)(2)xyy yx习题习题 121分解因式：（1）31a；（2）424139xx；（3）22222bcabacbc；（4）2235294xxyyxy2在实数范围内因式分解：（1）253xx；（2）22 23xx；（3）2234xxyy；（4）222(2)7(2)12xxxx3ABC三边a，b，c满足222abcabbcc

23、a，试判定ABC的形状4分解因式：x2x(a2a)5.（尝试题）已知 abc=1，a+b+c=2，a+b+c=，求1-cab1+1-abc1+1-bca1的值.132.12.1一元二次方程一元二次方程2.1.1 根的判别式根的判别式情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根（如求方程的根（1）0322 xx(2)0122 xx(3)0322 xx我们知道，对于一元二次方程 ax2bxc0（a0），用配方法可以将其变形为2224()24bbacxaa因为 a0，所以，4a20于是（1）当 b24ac0 时，方程的右

24、端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x1，2242bbaca；（2）当 b24ac0 时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x1x22ba；（3）当 b24ac0 时，方程的右端是一个负数，而方程的左边2()2bxa一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根由此可知，一元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的情况可以由 b24ac来判定，我们把 b24ac 叫做一元二次方程 ax2bxc0（a0）的根的判别式根的判别式，通常用符号“”来表示综上所述，对于一元二次方程对于一元二次方程 ax2bxc0（a0），有，有（1）当当0 时，方程有两个不相等的实数根时，方程有两个不相等的

25、实数根 x1，2242bbaca；（2）当）当0 时，方程有两个相等的实数根时，方程有两个相等的实数根 x1x22ba；（3）当）当0 时，方程没有实数根时，方程没有实数根例 1判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x23x30；（2）x2ax10；（3）x2ax(a1)0；（4）x22xa0解：（1）3241330，方程没有实数根（2）该方程的根的判别式a241(1)a240，所以方程一定有两个不等的实数根2142aax，2242aax（3）由于该方程的根的判别式为a241(a1)a24a4(a2)2，14所以，当 a2 时，0，所以

26、方程有两个相等的实数根x1x21；当 a2 时，0，所以方程有两个不相等的实数根x11，x2a1（3）由于该方程的根的判别式为2241a44a4(1a)，所以当0，即 4(1a)0，即 a1 时，方程有两个不相等的实数根111xa，211xa；当0，即 a1 时，方程有两个相等的实数根x1x21；当0，即 a1 时，方程没有实数根说明说明：在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分分类讨论类讨论分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题2.1.

27、2根与系数的关系（韦达定理）根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程 ax2bxc0（a0）有两个实数根2142bbacxa，2242bbacxa，则有2212442222bbacbbacbbxxaaaa ；2222122244(4)42244bbacbbacbbacaccx xaaaaa 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果如果 ax2bxc0（a0）的两根分别是）的两根分别是 x1，x2，那么，那么 x1x2ba，x1x2ca这一关系也被称为韦达定理韦达定理特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2pxq0，若 x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1x2p，x1x2q

28、，即p(x1x2)，qx1x2，所以，方程 x2pxq0 可化为 x2(x1x2)xx1x20，由于 x1，x2是一元二次方程 x2pxq0 的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程 x2(x1x2)xx1x20因此有15以两个数以两个数 x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是）是x2(x1x2)xx1x20例 2已知方程2560 xkx的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出 k 的值，再由方程解出另一个根但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二

29、次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出 k 的值解法一：2 是方程的一个根，522k260，k7所以，方程就为 5x27x60，解得 x12，x235所以，方程的另一个根为35，k 的值为7解法二：设方程的另一个根为 x1，则2x165，x135由（35）25k，得 k7所以，方程的另一个根为35，k 的值为7例 3已知关于 x 的方程 x22(m2)xm240 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的方程，从而解得 m 的值但在解题中需要特别注

30、意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零解：设 x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得x1x22(m2)，x1x2m24x12x22x1x221，(x1x2)23 x1x221，即2(m2)23(m24)21，化简，得m216m170，解得m1，或 m17当 m1 时，方程为 x26x50，0，满足题意；当 m17 时，方程为 x230 x2930，302412930，不合题意，舍去综上，m17说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值，取满足条件的 m 的值即可（

31、1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式是否大于或大于零因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根例 4已知两个数的和为 4，积为12，求这两个数分析：我们可以设出这两个数分别为 x，y，利用二元方程求解出这两个数 也16可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解解法一：设这两个数分别是 x，y，则xy4，xy12由，得y4x，代入，得x(4x)12，即x24x120，x12，x26112,6,xy 或226,2.xy 因此，这两个数是2 和 6解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x24x120 的两个根解这个方程，得 x12，x26所以，这两个数是2 和

32、6说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷例 5若 x1和 x2分别是一元二次方程 2x25x30 的两根（1）求|x1x2|的值；（2）求221211xx的值；（3）x13x23解：x1和 x2分别是一元二次方程 2x25x30 的两根，1252xx，1232x x （1）|x1x2|2x12+x222 x1x2(x1x2)24 x1x2253()4()22 2546494，|x1x2|72（2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24xxxxx xxxxxx x （3）x13x23(x1

33、x2)(x12x1x2x22)(x1x2)(x1x2)23x1x2(52)(52)23(32)2158说明：一元二次方程的两根之差的绝对值两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设 x1和 x2分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0），则2142bbacxa，2242bbacxa，|x1x2|2224424222bbacbbacbacaaa 1724|bacaa于是有下面的结论：若若 x1和和 x2分别是一元二次方程分别是一元二次方程 ax2bxc0（a0），则则|x1x2|a（其其中中b24ac）今后，在求一元二次方程的两

34、根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论例 6若关于 x 的一元二次方程 x2xa40 的一根大于零、另一根小于零，求实数 a 的取值范围解：设 x1，x2是方程的两根，则x1x2a40，且(1)24(a4)0由得a4，由得a174a 的取值范围是 a4练习1选择题：（1）方程222 330 xkxk的根的情况是（）（A）有一个实数根（B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根（2）若关于 x 的方程 mx2(2m1)xm0 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）（A）m14（B）m14（C）m14，且 m0（D）m14，且 m02填空:（1）若方程 x23x10

35、 的两根分别是 x1和 x2，则1211xx（2）方程 mx2x2m0（m0）的根的情况是（3）以3 和 1 为根的一元二次方程是3已知2816|1|0aab，当 k 取何值时，方程 kx2axb0 有两个不相等的实数根？4已知方程 x23x10 的两根为 x1和 x2，求(x13)(x23)的值习题习题 2.1A组组1选择题:（1）已知关于 x 的方程 x2kx20 的一个根是 1，则它的另一个根是（）（A）3（B）3（C）2（D）2（2）下列四个说法：18方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为7；方程 x22x70 的两根之和为2，两根之积为 7；方程 3 x270 的两根之和为

36、0，两根之积为73；方程 3 x22x0 的两根之和为2，两根之积为 0其中正确说法的个数是（）（A）1 个（B）2 个（C）3 个（D）4 个（3）关于 x 的一元二次方程 ax25xa2a0 的一个根是 0，则 a 的值是（）（A）0（B）1（C）1（D）0，或12填空:（1）方程 kx24x10 的两根之和为2，则 k（2）方程 2x2x40 的两根为，则22（3）已知关于 x 的方程 x2ax3a0 的一个根是2，则它的另一个根是（4）方程 2x22x10 的两根为 x1和 x2，则|x1x2|3试判定当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程 m2x2(2m1)x10 有两个不相等的

37、实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x27x10 各根的相反数B组组1选择题:若关于 x 的方程 x2(k21)xk10 的两根互为相反数，则 k 的值为()（A）1，或1（B）1（C）1（D）02填空:（1）若 m，n 是方程 x22005x10 的两个实数根，则 m2nmn2mn 的值等于（2）如果 a，b 是方程 x2x10 的两个实数根，那么代数式 a3a2bab2b3的值是3已知关于 x 的方程 x2kx20（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为 x1和 x2，如果 2(x1x2)x1x2，求实数 k 的取值范围4一

38、元二次方程 ax2bxc0（a0）的两根为 x1和 x2求：（1）|x1x2|和122xx；（2）x13x235 关于 x 的方程 x24xm0 的两根为 x1，x2满足|x1x2|2，求实数 m 的值C组组1选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x28x70 的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（）（A）3（B）3（C）6（D）919（2）若 x1，x2是 方 程 2x2 4x 1 0 的 两 个 根，则1221xxxx的 值 为（）（A）6（B）4（C）3（D）32（3）如果关于 x 的方程 x22(1m)xm20 有两实数根，则的取值范围为（）（A）12（B）12（

39、C）1（D）1（4）已知 a，b，c 是ABC 的三边长，那么方程 cx2(ab)x4c0 的根的情况是()（A）没有实数根（B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）有两个异号实数根2填空：若方程 x28xm0 的两根为 x1，x2，且 3x12x218，则 m3 已知 x1，x2是关于 x 的一元二次方程 4kx24kxk10 的两个实数根（1）是否存在实数 k，使(2x1x2)(x12 x2)32成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由；（2）求使1221xxxx2 的值为整数的实数 k 的整数值；（3）若 k2，12xx，试求的值4已知关于 x 的方程22(2)04

40、mxmx（1）求证：无论 m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根 x1，x2满足|x2|x1|2，求 m 的值及相应的 x1，x25若关于 x 的方程 x2xa0 的一个大于 1、零一根小于 1，求实数 a 的取值20范围2 22 2二次函数二次函数2.2.1二次函数二次函数 yax2bxc 的图的图象象和性质和性质情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图（1）2xy(2)2xy(3)322xxy问题 1函数 yax2与 yx2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出 y2x2，y12x2，y2x2的图象，通过这些函数图象

41、与函数 yx2的图象之间的关系，推导出函数 yax2与 yx2的图象之间所存在的关系先画出函数 yx2，y2x2的图象先列表：x3210123x294101492x2188202818从表中不难看出，要得到 2x2的值，只要把相应的 x2的值扩大两倍就可以了再描点、连线，就分别得到了函数 yx2，y2x2的图象（如图 21 所示），从图 21 我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数 y2x2的图象可以由函数 yx2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y12x2，y2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数 yx2的图象之间的关系通过上面的研究，我们可以

42、得到以下结论：二次函数二次函数 yax2(a0)的图象可以由的图象可以由 yx2的图象各点的纵坐标变为原来的的图象各点的纵坐标变为原来的 a倍得到在二次函数倍得到在二次函数 yax2(a0)中，二次项系数中，二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小同一个坐标系中的开口的大小问题 2函数 ya(xh)2k 与 yax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系同学们可以作出函数 y2(x1)21与 y2x2的图象（如图 22 所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数 y2x2的图象向左平移一

43、个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数 y2(x1)21 的图象这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点类似地，还可以通过画函数 y3x2，y3(x1)21的图象，研究它们图象之间的相互关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数二次函数 ya(xh)2k(a0)中中，a 决定了二次函数图象决定了二次函数图象的开口大小及方向；的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而决定了二次函数图象的左右平移，而图 2.2-2xyO1y2x2y2(x1)2y2(x1)2121且且“h 正左移，正左移，h 负右移负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且决定了二次函数图象

44、的上下平移，而且“k 正上移正上移，k 负下移负下移”由上面的结论，我们可以得到研究二次函数 yax2bxc(a0)的图象的方法：由于 yax2bxca(x2bxa)ca(x2bxa224ba)c24ba224()24bbaca xaa，所以，yax2bxc(a0)的图象可以看作是将函数 yax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数 yax2bxc(a0)具有下列性质：（1）当）当 a0 时，函数时，函数 yax2bxc 图象开口向上；顶点坐标为图象开口向上；顶点坐标为24(,)24bacbaa，对称轴为直线对称轴为直线 x2ba；当当 x2ba时时，y 随着随着 x 的增大而减小

45、的增大而减小；当当 x2ba时时，y 随着随着 x 的增大而增大的增大而增大；当当 x2ba时时，函数取最小值函数取最小值 y244acba（2）当当 a0 时，函数时，函数 yax2bxc 图象开口向下；顶点坐标为图象开口向下；顶点坐标为24(,)24bacbaa，对称轴为直线对称轴为直线 x2ba；当当 x2ba时时，y 随着随着 x 的增大而增大的增大而增大；当当 x2ba时时，y 随着随着 x 的增大而减小的增大而减小；当当 x2ba时时，函数取最大值函数取最大值 y244acba上述二次函数的性质可以分别通过图 223 和图 224 直观地表示出来因此，在今后解决二次函数问题时，可以

46、借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题例 1求二次函数 y3x26x1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象解：y3x26x13(x1)24，函数图象的开口向下；yx2y2x2图 2.2-1xOyxyOx2baA24(,)24bacbaa图 2.2-3xyOx2baA24(,)24bacbaa图 2.2-4xOyx1A(1,4)D(0,1)BC图 2.2522对称轴是直线 x1；顶点坐标为(1，4)；当 x1 时，函数 y 取最大值 y4；当 x1 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x1

47、 时，y 随着 x 的增大而减小；采用描点法画图，选顶点 A(1，4)，与 x 轴交于点 B2 33(,0)3和C2 33(,0)3，与 y 轴的交点为 D(0，1)，过这五点画出图象（如图 25 所示）说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确函数函数y yaxax2 2bxbxc c图象图象作图要领：（1）确定开口方向：由二次项系数 a 决定（2）确定对称轴：对称轴方程为abx2（3）确定图象与 x 轴的交点情况，若0 则与 x 轴有两个交点，可由方程x x2 2bxbxc c=0=0求出求出若=0 则与 x

48、 轴有一个交点，可由方程x x2 2bxbxc c=0=0求出求出若0 则与 x 轴有无交点。（4）确定图象与 y 轴的交点情况,令 x=0 得出 y=c，所以交点坐标为（0，c）（5）由以上各要素出草图。练习：作出以下二次函数的草图（1）62xxy(2)122xxy(3)12xy例 2某种产品的成本是 120 元/件，试销阶段每件产品的售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间关系如下表所示：x/元130150165y/件705035若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？分析：由于每天的利润日销售量

49、 y(销售价 x120)，日销售量 y 又是销售价 x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价 x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值解：由于 y 是 x 的一次函数，于是，设 ykx（B）将 x130，y70；x150，y50 代入方程，有70130,50150,kbkb解得k1，b200yx200设每天的利润为 z（元），则z(x+200)(x120)x2320 x24000(x160)21600，23当 x160 时，z 取最大值 1600答：当售价为 160 元/件时，每天的利润最大，为 1600 元例 3把二次函数

50、yx2bxc 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 yx2的图像，求 b，c 的值解法一：yx2bxc(x+2b)224bc，把它的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到22(4)224bbyxc的图像，也就是函数 yx2的图像，所以，240,220,4bbc解得 b8，c14解法二：把二次函数 yx2bxc 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4个单位，得到函数 yx2的图像，等价于把二次函数 yx2的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数 yx2bxc 的图像由于把二次函数 yx2的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个