初高中数学衔接知识点+配套练习.pptx

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1、第第一一讲讲 数数与与式式的的运算运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数 式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式代数式中 有整式（多项式、单项式）、分式、根式它们具有实数的属性，可以进行运算 在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平 方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的 运算简便由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运 算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平 方公式、立方和、立方差公式在根式的运算中，我们已学过被 开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到 被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要

2、补 充基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容一、乘法公式【公公式式 1】(a b c)2 a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ca证证明明：(a b c)2 (a b)c2 (a b)2 2(a b)c c 2 a2 2ab b2 2ac 2bc c2等式成立3【例例 1】计算：(x 2 2x 1)23解解：原式=x 2 (2x)1233312222 x 193 x 4 2 2x3 8 x 2 232x)(x 2)2 (2x)()2x(2)x 2x 2 1 2 1 (说说明明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列【公公式式 2】(a b)(a 2 ab b 2)a 3

3、b3(立立方方和和公公式式)证证明明:(a b)(a 2 ab b 2)a 3 a 2 b ab 2 a 2 b ab 2 b3 a 3 b3说说明明:请同学用文字语言表述公式 2.【例例 2】计算：(a b)(a 2 ab b 2)解解：原式=a (b)a 2 a(b)(b)2 a 3 (b)3 a 3 b3我们得到：【公公式式 3】(a b)(a 2 ab b 2)a 3 b3(立立方方差差公公式式)请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式 1、2、3 均称为乘乘法法公式公式【例例 3】计算：（1）(4 m)(16 4m m 2)5225104（2）1(m 1 n)(1 m 2 1

4、mn 1 n 2)（3）(a 2)(a 2)(a 4 4a 2 16)（4）(x 2 2xy y 2)(x 2 xy y 2)2解解：（1）原式=43 m3 64 m332152（2）原式=11 m3 1 n312583(m)(n)（3）原式=(a 2 4)(a 4 4a 2 42)(a 2)3 43 a 6 64（4）原式=(x y)2(x 2 xy y 2)2 (x y)(x 2 xy y 2)2(x3 y 3)2 x 6 2x3 y 3 y 6说说明明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数 式的结构是否满足乘法公式的结构（2）为了更好地使用乘法公式，记住 1、2、3、4、20

5、 的平方数和 1、2、3、4、10 的立方数，是非常有好处的【例例 4】已知 x 2 3x 1 0，求x3 1 的值xx3解解：x 2 3x 1 0 x 0 x 1 3x 2xxx原式=(x 1)(x 2 1 1)(x 1)(x 1)2 3 3(32 3)18说说明明：本题若先从方程 x 2 3x 1 0 中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算请注意整体代换法本题 的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举【例例 5】已知a b c 0，求 a(1 1)b(1 1)c(1 1)的值bccaab解解

6、：a b c 0,a b c,b c a,c a b原式=a b c b a c c a bbcacab a(a)b(b)c(c)a 2 b 2 c 2bcacababcabc a 3 b3 (a b)(a b)2 3ab c(c 2 3ab)c3 3abc a 3 b3 c3 3abc，把代入得原式=3abc 3说说明明：注意字母的整体代换技巧的应用引引申申：同学可以探求并证明：a 3 b3 c3 3abc (a b c)(a 2 b 2 c 2 ab bc ca)二二、根式根式式子 a(a 0)叫做二次根式，其性质如下：(1)(a)2 a(a 0)(2)a2|a|3(3)ab a b(a

7、0,b 0)(4)b ab(a 0,b 0)a【例例 6】化简下列各式：(3 2)2 (3 1)2(1)(2)(1 x)2 (2 x)2(x 1)解解：(1)原式=|3 2|3 1|2 3 3 1 1(2)原式=|x 1|x 2|(x 1)(x 2)2x 3(x 2)(x 1)(x 2)1(1 x 2)说说明明：请注意性质 a2|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论【例例 7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)32 3(2)1 1ab(3)2x 2x3 8x解解：(1)原式=3(2 3)6 3 322 33(2 3)(2 3)(2 3)(2

8、)原式=a b a 2b ab2 abab(3)原式=22xx x2 2 22 x 2 x x x 2 2 x 3 2 x x x2 2说说明明：(1)二次根式的化简结果应满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式 (2)二次根式的化简常见类型有下列两种：被开方数是整数或 整式化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；分母中有根式(如32 3)或被开方数有分母(如22b24x)这时可将其化为 a 形式(如 x 可化为 x)，转化为“分母中有根式”的情况化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简(如32 3化为3

9、(2 3)(2 3)(2 3)，其中2 3 与2 3 叫做互为有理化因式)【例例 8】计算：(1)(a b 1)(1 a b)(a b)2(2)aaa aba ab解解：(1)原式=(1 b)2 (a)2 (a 2 ab b)2a 2 ab 2 b 1(2)原式=a11aa(a b)a(a b)a ba b(a b)(a b)2 aa b(a b)(a b)说说明明：有理数的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算【例例 9】设x 2 3,y 2 2 32 33，求x3 y3 的值2 3(2 3)2解解：x 7 4 3,y 7 4 3 x y 14,xy 12

10、 322 3原式=(x y)(x2 xy y 2)(x y)(x y)2 3xy 14(142 3)2702说说明明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直 接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代 入条件，有时整体代入可简化计算量三三、分式分式当分式 A 的分子、分母中至少有一个是分式时，A 就叫做繁BB分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1)利用除法法则；(2)5利用分式的基本性质【例例 10】化简xx 1 xx 1x解解法法一一：原式=xxxxxx2x x(x 1)x 1(1 x)xx2 x xx 1 xx x x 1x2 1(x 1)(x 1)x 1x解

11、解法法二二：原式=xxxxxx(x 1)x 1x2 x xx x (1 x)xx x(1 x)x 1x2 1(x 1)x x说说明明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质A A m 进行化简一般根据题目特点综合使用两种方法6xx 1BB m2【例例 11】化简 x 3x 9 x2 279x x26 2x解解：原式=x2 3x 96xx 116x 1(x 3)(x2 3x 9)x(9 x2)2(3 x)x 3(x 3)(x 3)2(x 3)2(x 3)12 (x 1)(x+3)x 2 3 2(x 3)(x 3)2(x 3)(x 3)说说

12、明明：(1)分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分 母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2)分式的计算 结果应是最简分式或整式6第第二二讲讲 因因式式分解分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是7相反方向的变形在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基本技能因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法 和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等一一、公公式式法法(立立方方和和、立立方方差差公公式式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差 公式：(a b)(a2 ab

13、b2)a3 b3(立方和公式)(a b)(a2 ab b2)a3 b3(立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘 法公式反过来写，就得到：a3 b3 (a b)(a2 ab b2)a3 b3 (a b)(a2 ab b2)这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解【例【例 1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1)8 x3(2)0.125 27b3分分析析：(1)中，8 23，(2)中0.125 0.53,27b3 (3b)3 解解：(1)8 x3 23 x

14、3 (2 x)(4 2x x2)(2)0.125 27b3 0.53 (3b)3 (0.5 3b)0.52 0.5 3b (3b)2 (0.5 3b)(0.25 1.5b 9b 2)说说明明：(1)在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用 幂的运算法则，如8a3b3 (2ab)3，这里逆用了法则(ab)n anbn；(2)在 运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号【例【例 2】分解因式：(1)3a3b 81b4(2)a7 ab6分分析析：(1)中应先提取公因式再进一步分解；(2)中提取公因 式后，括号内出现a6 b6，可看着是(a3)2 (b3)2 或(a2)3 (b2

15、)3 解解：(1)3a3b 81b4 3b(a3 27b3)3b(a 3b)(a2 3ab 9b2)(2)a7 ab6 a(a6 b6)a(a3 b3)(a3 b3)a(a b)(a 2 ab b2)(a b)(a 2 ab b2)a(a b)(a b)(a 2 ab b 2)(a 2 ab b 2)二二、分分组组分分解解法法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要 是二项式和三项式 而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb 既没有公式可用，也没有公因式可以提取因此，可以先将多项 式分组处理 这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法 分 组分解法的关键在于如何分组81分分

16、组组后后能能提提取取公公因式因式【例【例 3】把2ax 10ay 5by bx 分解因式分析分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两9组的项按x 的降幂排列，然后从两组分别提出公因式2a 与b，这时另一个因式正好都是x 5y，这样可以继续提取公因式 解：解：2ax 10ay 5by bx 2a(x 5 y)b(x 5 y)(x 5 y)(2a b)说说明明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式 分解，由此合理选择分组的方法 本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试【例【例 4】把ab(c2 d 2)(a2 b2)cd 分解因式分析分析：按照原先分组方式，无

17、公因式可提，需要把括号打开 后重新分组，然后再分解因式解：解：ab(c2 d 2)(a2 b2)cd abc2 abd 2 a2 cd b2 cd(abc2 a2 cd)(b2 cd abd 2)ac(bc ad)bd(bc ad)(bc ad)(ac bd)说说明：明：由例 3、例 4 可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律由此可以看出运算律在因式分解中所起的作 用2分分组组后后能能直直接接运运用用公公式式【例【例 5】把x2 y2 ax ay 分解因式分分析析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可 以运用平方差公

18、式分解因式，其中一个因式是x y；把第三、四 项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y.解：解：x2 y2 ax ay (x y)(x y)a(x y)(x y)(x y a)【例【例 6】把2x2 4xy 2 y2 8z2 分解因式分分析析：先将系数 2 提出后，得到x2 2xy y2 4z2，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式解：解：2x2 4xy 2 y2 8z2 2(x2 2xy y2 4z2)2(x y)2 (2z)2 2(x y 2z)(x y 2z)说说明明：从例 5、例 6 可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能

19、直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解 后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以 分组分解法来分解因式三三、十十字字相相乘乘法法1 x2 (p q)x pq 型型的的因因式式分解分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1)二次项系数是 1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项 系数是常数项的两个因数之和x2 (p q)x pq x2 px qx pq x(x p)q(x p)(x p)(x q)因此，x2 (p q)x pq (x p)(x q)运用这个公式，可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分 解因式【例【例 7】把下列各式因式分解：(1)x2 7x

20、6(2)x2 13x 36解解：(1)6 (1)(6),(1)(6)7 x2 7x 6 x (1)x (6)(x 1)(x 6)1011(2)36 4 9,4 9 13 x2 13x 36 (x 4)(x 9)说说明明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号 因数，它们的符号与一次项系数的符号相同【例【例 8】把下列各式因式分解：(1)x2 5x 24(2)x2 2x 15解解：(1)24 (3)8,(3)8 5 x2 5x 24 x (3)(x 8)(x 3)(x 8)(2)15 (5)3,(5)3 2 x2 2x 15 x (5)(x 3)(x 5)(x 3)说说明明：此例可以看出

21、，常数项为负数时，应分解为两个异号 的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同【例【例 9】把下列各式因式分解：(1)x2 xy 6y2(2)(x2 x)2 8(x2 x)12分分析析：(1)把 x2 xy 6y2 看成 x 的二次三项式，这时常数项是6 y2 ，一次项系数是 y，把 6 y2 分解成 3y 与 2 y 的积，而3y (2 y)y，正好是一次项系数(2)由换元思想，只要把x2 x 整体看作一个字母a，可不 必写出，只当作分解二次三项式a2 8a 12 解解：(1)x2 xy 6y2 x2 yx 62 (x 3y)(x 2y)(2)(x2 x)2 8(x2 x)12 (x

22、2 x 6)(x2 x 2)(x 3)(x 2)(x 2)(x 1)2一一般般二二次次三三项项式式ax2 bx c 型型的的因因式式分解分解大家知道，(a x c)(a x c)a a x 2 (a c a c)x c c 11221 21 22 11 2反过来，就得到：a a x2 (a c a c)x c c (a x c)(a x c)1 21 22 11 21122我们发现，二次项系数a 分解成a1a2，常数项c 分解成c1c2，1212把a,a,c,c 写成11aca2c2，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1 22 1a c a c，如果它正好等于 ax2 bx c 的一次项系数

23、b，那么ax2 bx c 就可以分解成(a x c)(a x c)，其中a,c 位于上一行，11221 1a2,c2 位于下一行这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因12式的方法，叫做十字相乘法必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法 分解5x2 6xy 8 y2【例【例 10】把下列各式因式分解：(1)12x2 5x 2(2)解解：(1)12x2 5x 2 (3x 2)(4x 1)4132(2)5x2 6xy 8 y2 (x 2 y)(5x 4 y)54 y1 2 y说说明明：用十字相乘法分解二次三项式很重要当

24、二次项系数不是 1 时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分 解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一 次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号四四、其其它它因因式式分分解解的的方方法法1配配方法方法【例【例 11】分解因式x2 6x 16解：解：x2 6x 16 x2 2 x 3 32 32 16 (x 3)2 52(x 3 5)(x 3 5)(x 8)(x 2)说说明明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方 后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解 当然，本题还有其它方法，请大家试验2拆拆、添添项项法法【例【例 12

25、】分解因式x3 3x2 4分析分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组 也不易进行 细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为 0 了，可考虑通 过添项或拆项解决解：解：x3 3x2 4 (x3 1)(3x2 3)(x 1)(x2 x 1)3(x 1)(x 1)(x 1)(x2 x 1)3(x 1)(x 1)(x2 4x 4)(x 1)(x 2)2说说明明：本解法把原常数 4 拆成 1 与 3 的和，将多项式分成两 组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条 件本题还可以将3x2 拆成x2 4 y2，将多项式分成两组(x3

26、 x2)和4x2 4 一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：13(1)如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3)如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；(4)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止第第三三讲讲 一一元元二二次次方方程程根根与与系系数数的的关关系系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应 用本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系

27、进行阐 述一一、一一元元二二次次方方程程的的根根的的判判别别式式一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)，用配方法将其变形为：24ac(x b)2 b2a4a2(1)当b2 4ac 0 时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实数根：2b 4acx b 2a(2)当b2 4ac 0 时，右端是零因此，方程有两个相等的实1,22a数根：x b(3)当b2 4ac 0 时，右端是负数因此，方程没有实数根14由于可以用b2 4ac 的取值情况来判定一元二次方程的根的情况因此，把b2 4ac 叫做一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的根 的判别式，表示为：b2 4ac【例【例 1】不解方程，判断

28、下列方程的实数根的个数：(1)2x2 3x 1 0(2)4 y2 9 12 y(3)5(x2 3)6x 0解解：(1)(3)2 4 2 1 1 0，原方程有两个不相等的 实数根(2)原方程可化为：4 y2 12 y 9 0 (12)2 4 4 9 0，原方程有两个相等的实数根(3)原方程可化为：5x2 6x 15 0 (6)2 4 5 15 264 0，原方程没有实数根 说说明明：在求判别式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式【例例 2】已知关于x 的一元二次方程3x2 2x k 0，根据下列 条件，分别求出k 的范围：(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根(3)

29、方程有实数根；(4)方程无实数根解：解：(2)2 4 3 k 4 12k3(1)4 12k 0 k 1；3(2)4 12k 0 k 1；3(3)4 12k 0 k 1；3【例例 3】已知实数x、y 满足x2 y2 xy 2x y 1 0，试求x、y15(4)4 12k 0 k 1 的值解解：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：x2 (y 2)x y2 y 1 0由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此：(y 2)2 4(y2 y 1)3 y2 0 y 0，代入原方程得：x2 2x 1 0 x 1 综上知：x 1,y 0二二、一一元元二二次次方方程程的的根根与与系系数数的的关系关系一元

30、二次方程ax2 bx c 0(a 0)的两个根为：2a2ab b2 4acb b2 4acx,x 2a2ab b2 4acb b2 4acb所以：x1 x2 ，a2a2a(2a)2b b2 4ac b b2 4ac(b)2 (b2 4ac)24accx1 x2 4a2a12定理：如果一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的两个根为x,x，那么：121 2ax x b,x x c a说说明明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”上述定理成立 的前提是 0 122【例例 4】若x,x 是方程x 2x 2007 0 的两个根，试求下列各式的值

31、：221212161xx(1)x x ；(2)1；(3)(x1 5)(x2 5)；(4)|x1 x2|分分析析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算这里，可以利用韦达定理来解答解解：由题意，根据根与系数的关系得：x1 x2 2,x1 x2 2007(1)x 2 x 2 (x x)2 2x x (2)2 2(2007)401812121 2(2)1 1 x1 x2 22x1x2x1 x220072007(3)(x1 5)(x2 5)x1 x2 5(x1 x2)25 2007 5(2)25 1972(4)12(x x)2 (x x)2 4 x x (2)2 4(200

32、7)2 2008 4 50212121 2|x x|说说明明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：x 2 x 2 (x x)2 2x x12121 2，x1x2x1 x21 1 x1 x2，(x x)2 (x x)2 4x x，12121 2|x x|(x x)2 4x x，x x 2 x 2 x x x(x x)，12121 21 2121 212x 3 x 3 (x x)3 3x x(x x)等等韦达定理体现了整体思12121 212想417【例例 5】已知关于x 的方程x2 (k 1)x 1 k 2 1 0，根据下列条件，分别求出k 的值(1)方程两实根的积为 5；(2)方

33、程 的 两 实 根 x1,x2 满 足|x1|x2 分析分析：(1)由韦达定理即可求之；(2)有两种可能，一是x1 x2 0，二是x1 x2，所以要分类讨论 解解：(1)方程两实根的积为 51314 (k 1)2 4(k 2 1)0 4 k,k 4 2x x k 2 1 51 2所以，当k 4 时，方程两实根的积为 5(2)由|x1|x2 得知：当 x1 0 时，x1 x2，所以方程有两相等实数根，故 0 k 3；2当x1 0 时，x1 x2 x1 x2 0 k 1 0 k 1，由于 0 k 3，故k 1不合题意，舍去221212综上可得，k 3 时，方程的两实根x,x 满足|x|x 说说明明

34、：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足 0 122【例例 6】已知x,x 是一元二次方程4kx 4kx k 1 0 的两个实数根12122(1)是否存在实数k，使(2x x)(x 2x)3 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请您说明理由(2)求使 x1x2x1x22 的值为整数的实数k 的整数值1212182解解：(1)假设存在实数k，使(2x x)(x 2x)3 成立 一元二次方程4kx2 4kx k 1 0 的两个实数根24k 0 (4k)4 4k(k 1)16k 0 k 0，12又x,x 是一元二次方程4kx2 4kx k

35、 1 0 的两个实数根4kx1 x2 1x x k 11 2(2x x)(x 2x)2(x 2 x 2)5x x 2(x x)2 9x x1212121 2121 2 k 9 3 k 9，但k 0 4k2512122不存在实数k，使(2x x)(x 2x)3 成立(2)222 124k4 1 2x2x1x xx x 2 (x x)2 4 4 12 x1 x2x1 x2k 1k 1要 使 其 值 是 整 数，只 需 k 1 能 被 4 整 除，故k 1 1,2,4，注意到k 0，要使 x1x2x1x22 的值为整数的实数k 的整数值为2,3,5 说说明明：(1)存在性问题的题型，通常是先假设存在

36、，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在(2)本题综合性较强，要学会对419k 1为整数的分析方法第第四四讲讲 二二次次函函数数的的最最值值问问题题二次函数 y ax2 bx c(a 0)是初中函数的主要内容，也是高 中学习的重要基础在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变2a量x 取任意实数时的最值情况(当a 0 时，函数在x b 处取得最小值4a4ac b2b，无最大值；当a 0 时，函数在x 2a 处取得最大值4a4ac b2，无最小值本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题同时还将学习二次函数的最值问题在 实际生活中的简单应用【例例 1】当2

37、 x 2 时，求函数 y x2 2x 3 的最大值和最小 值分分析析：作出函数及其对称轴在所给范围的草图，（注意：是所给范围的。在下面的图中，所给范围的有效图象是用实线标示的，虚线部分是无效部分）观察有效图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的 值解解：作出函数的图象 当x 1时，ymin 4，当x 2 时，ymax 5 20【例【例 2】当1 x 2 时，求函数 y x2 x 1 的最大值和最小值解解：作出函数的图象 当x 1时，ymax 1，当x 2 时，ymin 5 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段

38、 那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值根据二次函数对称轴的位置（主要是对称轴与所研究范围的 相对位置关系），函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异 下 面给出一些常见情况：【例【例 3】当x 0 时，求函数 y x(2 x)的取值范围解解：作出函数 y x(2 x)x 2 2x 在x 0 内的图象 可以看出：当x 1时，ymin 1，无最大值所以，当x 0 时，函数的取值范围是 y 1【例例 4】当t x t 1 时，求函数 y 1 x2 x 5 的最小值(其中t22为常数)分分析析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较 对称轴与其范围的相对位置

39、21解解：函数 y 1 x2 x 5 的对称轴为x 1画出其草图 22(1)当对称轴在所给范围左侧即t 1时：当x t时，min22y 1 t 2 t 5；(2)当对称轴在所给范围之间即t 1 t 1 0 t 1时：min22当x 1时，y 1 12 1 5 3；(3)当对称轴在所给范围右侧即t 1 1 t 0 时：min222当x t 1 时，y 1(t 1)2 (t 1)5 1 t 2 3 5 1 t 2 3,t 0 2综上所述：y 3,0 t 1 1 2 t t,t 1 22在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例例 5】某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中

40、发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价 x(元)满足一 次函数m 162 3x,30 x 54(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件销售价 x之间的函数关系式；(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定 为多少最合适？最大销售利润为多少？2223解解：(1)由已知得每件商品的销售利润为(x 30)元，那么m 件的销售利润为 y m(x 30)，又m 162 3x y (x 30)(162 3x)3x 2 252x 4860,30 x 54(2)由(1)知对称轴为x 42，位于x 的范围内，另抛物线开 口向下当x 42 时，ymax 3 42 252 42 4860 4322当每件商品的售价定为 42 元时每天有最大销售利润，最大销售利润为 432 元