数理金融复习题.doc

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1、1. 假设组合的收益为rp，组合中包含n种证券，每种证券的收益为ri，它在组合中的权重是wi，则组合的投资收益的期望和方差为,例：假设两个资产收益率的均值为0.12，0.15，其标准差为0.20和0.18，占组合的投资比例分别是0.25和0.75，两个资产协方差为0.01，则组合收益的期望值和方差为例：假设某组合包含n种股票。投资者等额地将资金分配在上面，即每种股票占总投资的1/n，每种股票的收益也是占总收益的1/n。设若投资一种股票，其期望收益为r，方差为2，且这些股票之间两两不相关，求组合的收益与方差。2. 解马克维茨的均值-方差（Mean-variance）模型:解: 构造拉格朗日函数由

2、于方差-协方差矩阵正定，二阶条件自动满足，故只要求一阶条件由(1)得到 (4)(4)代入(2)可得(5)把（4）代入（3） （6）为简化，定义将（5）和（6）改写为解得可解得给定收益条件下的最优权重向量为3. 分离定理：投资者对风险的喜好程度与该投资者风险资产组合的最优构成是无关的。4. 市场弱有效假设：信息集仅包含价格或收益的历史记录信息；现在的市场价格反映了有关该证券的所有历史记录中的信息半强有效：信息集包括所有公开的，投资者共知的所有信息；现在的市场价格不仅反映了该证券过去的信息，而且还反映了有关该证券的所有公布于众的信息强有效：信息集包括任何市场参与者所掌握的一切信息；现在的市场不仅反

3、映了有关该证券过去的信息和公布于众的信息，而且还反映任何交易者掌握的私人信息5. CAPM模型若市场投资组合是有效的，则任一资产i的期望收益满足6. 系统风险及其因素的特征a) 系统性风险由共同一致的因素产生。b) 系统性风险对证券市场所有证券都有影响，包括某些具有垄断性的行业同样不可避免，所不同的只是受影响的程度不同。c) 系统性风险不能通过投资分散化达到化解的目的。d) 系统风险与预期收益成正比关系，市场只对系统风险进行补偿。 7. 非系统性风险a) 非系统风险可以通过组合投资予以分散，因此，投资者可以采取措施来规避它，所以，在定价的过程中，市场不会给这种风险任何酬金。b) 对单个证券而言

4、，由于其没有分散风险，因此，其实际的风险就是系统风险加上特有风险8. APT与CAPM的公式的形式一样内在的经济含义不同CAPM是在市场均衡的条件得到的APT是在无套利条件得到的两者之间的关系是：均衡的市场里一定没有套利机会无套利机会并不意味着市场是均衡的 9. 已知一项资产的买价为p，而以后的售价为q，q为随机的，则可推出例：某项目未来期望收益为1000万美元，由于项目与市场相关性较小，=0.6，若当时短期国债的平均收益为10，市场组合的期望收益为17，则该项目最大可接受的投资成本是多少？10. CAPM的NPV评估法:将确定性等价贴现后与投资额p比较，得到净现值，即11. 企业将选择NPV

5、最大的项目某基金下一年的投资计划是：基金总额的10投资于收益率为7的无风险资产，90投资于一个市场组合，该组合的期望收益率为15。若该基金=0.9，基金中的每一份代表其资产的100元，年初该基金的售价为107美元，请问你是否愿意购买该基金？为什么？(无答案)12. 下表给出预期的市场组合和两支股票的收益率。市场组合()激进型股票()防守型股票()5-26253812如果市场组合的收益5和25是等可能的，则两只股票的预期收益率是多少？(无答案)13. 多因素模型: 假设证券收益率受K个共同因素F1，F2，FK的普遍影响.用多元线性回归，建立如下的证券i的收益率与K个因素的关系式 期望收益率 方差

6、或因素风险 证券间协方差 14. 套利组合需要满足的3个条件第一，不增加额外资金。第二，套利不承担风险。第三，套利提供正利润。 即15. 工业产值为单因素投资者拥有3种证券，每种证券的当前市值均为4 000 000元,总资金12 000 000元。3种证券预期回报率和敏感性如下表 证券 预期回报率(%)敏感性 证券1 证券2 证券315 21 120.9 3.0 1.8期望和敏感性的改状态，是否可以引起存在套利？解: 套利方程组为x1x2x300.9x13.0x21.8x30 15x121x212x30解不唯一。给x1赋予一个值，例如0.1,x20.075，x3-0.175旧组合的收益率为16

7、.000%,风险11.000%套利组合的收益率为0.975% ,风险几乎没有新组合的收益率为16. 975%,风险仍然为11.000%16. 如果风险证券收益率由K因素模型给定，那么，存在的实数0，1，K，使得17. APT与CAPM的公式的形式一样两者之间的关系是：均衡的市场里一定没有套利机会无套利机会并不意味着市场是均衡的 内在的经济含义不同:CAPM是在市场均衡的条件得到的APT是在无套利条件得到的CAPM依赖于1个因素，维数1APT多维模型 18. 看涨期权（call option）：又称买入期权、敲入期权，它是给予期权的持有者在规定的时间以规定的价格购买某项标的资产的权利的一种法律合

8、同。一个施权价为X，标的资产的市场价格为St的看涨期权在执行日的内在价值为：看跌期权（put option）：卖出又称期权、敲出期权，它是给予期权的持有者在规定的时间以规定的价格出售某项标的资产的权利的一种法律合同。一个施权价为X，标的资产的市场价格为St的看跌期权在执行日的内在价值为： 19. 期权与期货的区别：前者只享有权利，后者既享受权利，又要履行义务。 20. 实值期权看涨期权 看跌期权 平均期权无论看跌看涨都有 虚值期权 看涨期权 看跌期权21. 欧式期权只有在到期日当天或在到期日以前某一规定的时间可以行使权利； 美式期权从它一开始购买直到到期日以前任何时刻都可以行使权利，美国的期权

9、交易一般都是美式期权； 帽式期权只能在到期日前某一规定的时间内才可以行使权利，但如果在到期日之前期权价值已达到了规定的上限，则期权被自动执行。22. 证明看涨期权和看跌期权平价公式证明:假设t时刻投资者同时以C的价格出售和P的价格购入一单位具有相同标的资产、施权价、到期日的看涨和看跌期权，以S的价格购入一单位标的股票，并以利率r借入一笔借期为t的现金，金额为.不考虑交易成本与税收，不管施权日股价如何变化，该投资组合的价值均为零，则该组合为无风险组合。 在市场均衡状态下，不存在无风险套利，于是该组合期初的价值也必然为零，即 ： 例:对于有效期为三个月，施权价为40的看涨期权价格C为3，同样的看跌

10、期权的价格P为2，标的资产市价为40，利率为5%.由看涨和看跌期权平价公式，P应为 出售一单位看涨期权（3），购买一单位看跌期权（-2），买入一单位标的资产（-40），并按5的利率借入现金（39.35）。 当前的现金流为：324039.350.35，该组合在到期日的价值恒等于零，即为无风险组合。而此时投资着的现金流为0.35。于是投资者这要构造该投资组合，就可以无风险获利0.35元。 23. 如一投资者在某年3月初预期长期国债期货的价格将有小幅下跌，于是，他卖出一份6月份到期、协定价格为86的长期国债期货期权合约，收取期权费2000美元。该投资者该如何灵活操作 ?解:若到6月份时，长期国债期货

11、的市场价格为86或更低，则该看涨期权的出售者将获利2000美元。这是因为在市场价格没有上涨或者反而下跌的情况下，看涨期权的购买考将放弃他所拥有的权利； 若到6月份时，长期国债期货的市场价格上涨为，看涨期权的购买者要求履约，则看涨期权的出售者将获利美元；在期权合约到期日前，长期国债期货的市场价格出现较大幅度的上升至S88美元，而与此同时，该看涨期权的期权费涨至Y2000美元，则该投资者应以Y美元的期权费买进一张同样的期权合约。 这样做，他虽仍难免损失Y-2000美元，但至少可挽回一部分损失。更重要的是，假如市场价格还将继续上涨，则这样做后可避免进一步的损失。24. 某投资者在1月份时预期德国马克

12、对美元的汇率将下跌，所以，他买进一张3月份到期的欧洲式德国马克期权合约、协定汇率为0.5300，期权价格为0.0200。分析投资者可能的盈亏情况 解:在到期日，市场汇率为0.5300或更高，则该投资者将放弃期权，而损失期权费1250美元(0.020062500)在到期日，市场汇率跌至0.5100，投资者履约，获利1250美元,正好抵补他所支付的期权费，从而既无盈利，也无亏损。 在到期日，市场汇率跌至0.4800，投资者履约，获毛利3125美元，扣除期权费1250美元，可获净利1875美元。 在到期日，汇率跌为0.0000，投资者履约，获毛利33，125美元，扣除他所支付的期权费，可获净利3l，875美元。 25. 影响期权（以股票期权为例）价值的因素主要有以下几个： 股票的市场价格（S）越高，看涨期权的价值越高，看跌期权的价值低。执行价格（X）越高看涨期权的价值越低，看跌期权的价值越高。 期权的价值随股票价值的波动（）变化范围的增大而升高。 距到期日时间距离的影响（T-t ）利率（r）越高，看涨期权价值越高；利率越高，看跌期权价值越低。26. ITO定理假设某随机变量x的变动过程可由ITO过程表示为令f(x,t)为随机变量x以及时间t的函数,则27. Black-Scholse微分方程假设标的资产价格变动过程满足 则