国民经济建设生产投资等关系的数学建模与分析-数学建模竞赛.docx

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1、基于国民经济建设、生产、投资等关系的探讨摘要随着社会主义市场经济的发展，中国地位不断提升，其中自身的国民经济的快速增长，大大提高了全国经济总量。近二十年来，人均收入明显上升，人民生活水平逐渐提高。因此加大力度对国民经济的发展调整，有助于我国实现现代化经济建设，扩大就业率和提高人民生活质量。本文主要通过对国民经济建设、生产、投资等关系的研究分析，确定影响经济重要因素，为未来中国经济的发展方向提供一定的参考资料。为此我们建立两个数学模型即回归模型和灰色时间序列模型。对于未来中国GDP、CPI、M0等指标数据的分析、预测和控制，我们首先的问题就是要对这些指标数据进行具体的分析，了解它们之间的相互关系

2、、影响。在获得各个指标数据方面，我们最终选取了较为权威准确的中国统计局网站，年度统计年鉴等发布机构中所需要的指标数据。并在获取数据后，对其进行了标准化转换处理，克服了各类数据单位不统一、数量级相差大的问题是分析过程更加直接，简便。文中对国民经济建设、生产、投资等关系的探讨所用模型即以上述标准化数据为基础数据。模型一是基于回归分析方法的回归模型，本文中采用了一元线性回归分析和多元线性分析。其中一元线性回归分析是通过Excel软件进行，首先在Excel中输入基本数据，然后通过Excel作出散点图,利用普通最小二乘估计求出回归方程和相关系数，最后根据相关系数来确定个指标间的相关关系。多元线性回归分析

3、是运用Matlab软件建立回归方程，找出依赖变量和多个解释变量的关系。模型二是基于灰色时间序列的预测模型。通过对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，从而预测事物发展的趋势状况。结合Matlab预测分析未来几年经济的发展情况。 关键词：国民经济 回归分析 统计回归模型 灰色预测时间序列模型、 问题重述随着社会主义市场经济的发展，人民生活水平逐渐提高，如何调整国民经济的建设、生产、投资等关系，有助于我国现代化经济建设、扩大就业率和提高人民生活质量。本文通过对国民经济建设、生产、投资等进行数学建模，为未来中国经济的分析、预测和控制提供一定的参考资料。、 模型假设2.

4、1假设一：影响经济因素是多重的，可以通过生产、投资和GDP、M0、CPI、工农业生产总值进行单独分析。2.2假设二：所收集的数据是相对准确的，通过多元回归分析法进行走势预测。2.3假设三：假定在没有严重突发事件的影响下，经济稳定发展。III、模型符号符号 符号说明 x 自变量y 因变量R 相关系数 随机误差x1 流通中的现金值M0x2 工业生产总值x3 农业生产总值x4 国内生产总值GDP0 回归常数i 回归系数(i=1,2,3,4) 随机误差n 年份数目；m 自变量数目b 回归系数的点估计值brit 回归系数置信区间r 残差列向量rint 区间矩阵F 统计量p 与F对应的概率S2 方差 发展

5、灰数 内生控制灰数、 模型的建立及应用4.1模型一：回归模型4.1.1. 一元线性概述一元线性回归模型的模型假设：假设因变量y的观察值是自变量x的线性函数加上随机误差则，即y =0+1x+并假设随机误差服从正态分布N(0, 2)，相互独立，同方差。经过相关分析后，在直角坐标系中将大量数据绘制成散点图，这些点不在一条直线上，但可以从中找到一条合适的直线，使各散点到这条直线的纵向距离之和最小，这条直线就是回归直线，这条直线的方程叫作直线回归方程。注意：一元线性回归方程与函数的直线方程有区别，一元线性回归方程中的自变量X对应的是因变量Y的一个取值范围。4.1.2模型建立及求解利用excel然后通过E

6、xcel作出散点图,得出普通最小二乘估计求出回归方程和相关系数，最后根据相关系数来确定个指标间的相关关系。图4-1图4-2图4-3图4-4图4-54.1.3模型结果分析由模型我们可以看出，GDP与CPI、M0、工业生产总值、农业生产总值、进出口量的相关系数分别为0.99、0.9973、0.9971、0.9684、0.9313，相关系数均接近1，说明回归模型的拟合精确程度很高，即自变量对因变量的影响显著，GDP分别与CPI、M0、工业生产总值、农业生产总值、进出口量均成简单相关。4.2 多元线性回归模型对经济的影响及验证模型42.1多元线性回归模型概述因变量的变化受几个重要因素的影响，需要用两个

7、或两个以上的影响因素作为自变量来解释因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。 设y为因变量X1,X2Xk为自变量，并且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为: y =0+1x1+2x2+4x4+其中，0为常数项，X1,X2Xk为回归系数，1为X1,X2Xk固定时，x1每增加一个单位对y的效应，即x1对y的偏回归系数；同理2为X1,X2Xk固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即，x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： y =0+1x1+2x2

8、+4x4+建立多元性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果，应首先注意自变量的选择，其准则是： (1)自变量对因变量必须有显著的影响，并呈密切的线性相关； (2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的； (3)自变量之彰应具有一定的互斥性，即自变量之彰的相关程度不应高于自变量与因变量之因的相关程度； (4)自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。4.2.2模型建立及求解认为与因变量CPI有关联的自变量有GDP、工农业生产总值、M0等，则考虑用最小二乘准则建立多元回归线性模型。则有如下线性关系式y =0+1x1+2x2+3x3+4x4+, N(0, 2)

9、如果对变量y与自变量x1，x2，x3，x4同时作13次观察，得13组观察值，采用最小二乘估计求得回归方程=0+1x1+2x2+3x3+4x4建立以CPI与流通中的现金M0指标x1、工业生产总值指标x2、农业生产总值指标x3、国内生产总值GDP指标x4之间的散点图，如以下四个图形可以看出这些点大致分布在一条直线旁边，因此有较好的线性关系，可以采用线性回归。 图4-6 CPI与各指标间的散点图利用Matlab统计工具箱得到初步的回归方程下面表格为对初步回归模型的计算结果得到初步回归方程：=425.788-0.0053x1+0.0007x2-0.0001x3+0.0006x4由结果对模型的判断 F检

10、验法：F统计量很大，F=773.3364F1-(4,8)=3.8379,输入命令finv（0.95，4，8）计算，则认为因变量y与自变量x1，x2，x3，x4之间有显著地有线性相关关系； P值检验：p=0.05（为预定显著水平）说明因变量与自变量之间显著地有线性相关关系； 相关系数R的评价：相关系数R绝对值在0.81范围内，可判断回归自变量与因变量具有较强的线性相关性；相关系数十分接近1，说明回归模型的拟合精确程度很高。以上三种统计推断方法推断结果是一致的，说明因变量y与自变量之间显著地有线性相关关系，所得线性回归模型可用。4.2.3模型的分析残差分析 它是线性回归模型中误差的估计值。N(0,

11、 2)即有零均值和常值方差，利用残差这种特性反过来考察原模型的合理性就是残差分析的基本思想。利用Matlab进行残差分析则是通过残差图或时许残差图。残差图是指以残差为纵坐标，以其指定的量为横坐标的散点图。以观测时间为横坐标，残差为纵坐标所得到的散点图为时序残差图，画出时序残差图的Matlab语句为rcoplot（r，rint）见下图图4-7 时序残差图从图中，可以清楚看到残差大部分分布在零点附近，因此还是比较好的。 4.3灰色时间序列预测模型4.3.1灰色预测概念灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行

12、生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。其用等时距观测到的反应预测对象特征的一系列数量值构造灰色预测模型，预测未来某一时刻的特征量，或达到某一特征量的时间。4.3.2模型建立（GM (1,1）模型）令 x(0)=(x，x，x(n) 作一次累加生成， k x(k)= x(m) 消除数据的随机性和波动性m=1 有 x=(x，x，x(n) =(x，x+x，x(n-1)+x(n) x可建立白化方程：dx/dt+ax=u 即gm(1,1).该方程的解为： x(k+1)=(x-u/a)e+u/a4.3.3模型的求解 用MATLA

13、B作灰色时间序列预测GM（1，1）模型，其中选取GDP和农业生产总值进行预测，4-8 GDP拟合效果图4-9 工业生产总值拟效果合图4.3.4模型分析及说明从拟合图可以看出，原序列和预测模型拟合度很高，用此模型进一步对20132016这四年进行预测。红色三角形代表的是20002012的已知量，蓝色星号为预测值。4.4.4预测结果、模型评价及优缺点分析5.1回归模型5.1.1优点分析1、回归分析法在分析多因素模型时，更加简单和方便；2、运用回归模型，只要采用的模型和数据相同，通过标准的统计方法可以计算出唯一的结果，但在图和表的形式中，数据之间关系的解释往往因人而异，不同分析者画出的拟合曲线很可能

14、也是不一样的；3、回归分析可以准确地计量各个因素之间的相关程度与回归拟合度的高低，提高预测方程式的效果；在回归分析法时，由于实际一个变量仅受单个因素的影响的情况极少，要注意模式的适合范围，所以一元回归分析法适用确实存在一个对因变量影响作用明显高于其他因素的变量是使用。多元回归分析法比较适用于实际经济问题，受多因素综合影响时使用。5.1.2缺点分析：1有时候在回归分析中，选用何种因子和该因子采用何种表达式只是一种推测，这影响了用电因子的多样性和某些因子的不可测性，使得回归分析在某些情况下受到限制。2.由于条件限制，所收集到的数据太少，一些数据也可能不太精确，可能会对所预测的结果产生一定的影响。5

15、.1.3模型合理性分析虽然模型是完全客观准确的，但在应用于实际问题上也会存在一些可行性问题。在实际问题中，各因素对GDP、CPI等的贡献权重往往不是一成不变，而应该是时变的值，同时，由于收集到的数据较少，定量分析上会存在一定的片面性。5.2灰色时间序列预测模型5.2.1优点分析1. 根据时间序列，易于预测未来近期的数据；2. 时间序列分析预测法是根据市场过去的变化趋势预测未来的发展，它的前提是假定事物的过去会同样延续到未来。事物的现实是历史发展的结果，而事物的未来又是现实的延伸，事物的过去和未来是有联系的。经济预测的时间序列分析法，正是根据客观事物发展的这种连续规律性，运用过去的历史数据，通过

16、统计分析，进一步推测未来经济的发展趋势。经济预测中，事物的过去会同样延续到未来，其意思是说，未来经济不会发生突然跳跃式变化，而是渐进变化的。5.2.2缺点分析1. 时间序列预测法因突出时间序列暂不考虑外界因素影响，因而存在着预测误差的缺陷，当遇到外界发生较大变化，往往会有较大偏差，时间序列预测法对于中短期预测的效果要比长期预测的效果好。因为客观事物，尤其是经济现象，在一个较长时间内发生外界因素变化的可能性加大，它们对市场经济现象必定要产生重大影响。如果出现这种情况，进行预测时，只考虑时间因素不考虑外界因素对预测对象的影响，其预测结果就会与实际状况严重不符。2. 这种分析假设过去的模式在将来仍能

17、够继续存在。然而分析中考虑到的变量对分析结果也会发生变化，并且分析师无法预测到规则事件的发生。VI模型的改进和推广本文仅针对部分影响经济增长的因素进行讨论，但在实际经济发展过程中，影响经济发展存在不确定性因素的影响。7.1 模型的改进引入更多的自变量，建立多因变量和多影响因素的模型。分析其影响的大小，能够更加准确的预测。7.2模型的推广本文通过对影响经济建设、生产和投资等关系分析建立回归模型和灰色时间序列预测模型，具有很好的预测和拟合效果，在经济建设发展过程中，发挥着重要的意义。参考文献：1 李志林，数学建模及其典型案例分析，北京：化学工业出版社，2006；2 章绍辉，数学建模，北京：科学出版社，2010；3 刘振航，数学建模，北京：中国人名大学出版社，2004；4 中华人民共和国国家统计局，5严喜祖，数学建模及其实验，北京：科学出版社，2009；6邓聚龙，灰色理论基础，武汉：华中科技大学出版社，2007附录：1， 原始数据：2、多元线性回归方程程序：3、计算F（4,8）值程序：finv(0.95,4,8)ans = 3.83794、GDP灰色预测程序16