清华大学理论力学机械振动专题课件.PPT

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1、机械振动基础机械振动基础 引引引引 言言言言 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 单自由度系统的无阻尼受迫振动单自由度系统的无阻尼受迫振动单自由度系统的无阻尼受迫振动单自由度系统的无阻尼受迫振动 单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的有阻尼受迫振动 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论

2、1 引引 言言 振动振动振动振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置附是一种运动形态，是指物体在平衡位置附是一种运动形态，是指物体在平衡位置附是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作近作近作近作往复运动往复运动往复运动往复运动。物理学知识的深化和扩展物理学知识的深化和扩展物理学知识的深化和扩展物理学知识的深化和扩展物理学中研究质物理学中研究质物理学中研究质物理学中研究质点的振动；工程力学研究研究系统的振动，以点的振动；工程力学研究研究系统的振动，以点的振动；工程力学研究研究系统的振动，以点的振动；工程力学研究研究系统的振动，以及工程构件和工程结构的振动。及工程构件和工程结构的振动。及工程构件和工

3、程结构的振动。及工程构件和工程结构的振动。振动属于动力学第二类问题振动属于动力学第二类问题振动属于动力学第二类问题振动属于动力学第二类问题已知主动力求已知主动力求已知主动力求已知主动力求运动。运动。运动。运动。2 振动问题的研究方法振动问题的研究方法与分析其他动与分析其他动力学问题相类似：力学问题相类似：选择合适的广义坐标；选择合适的广义坐标；选择合适的广义坐标；选择合适的广义坐标；分析运动；分析运动；分析运动；分析运动；分析受力；分析受力；分析受力；分析受力；选择合适的动力学定理；选择合适的动力学定理；选择合适的动力学定理；选择合适的动力学定理；建立运动微分方程；建立运动微分方程；建立运动微

4、分方程；建立运动微分方程；求解运动微分方程，利用初始条件确定求解运动微分方程，利用初始条件确定求解运动微分方程，利用初始条件确定求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。积分常数。积分常数。积分常数。3 振动问题的研究方法振动问题的研究方法振动问题的研究方法振动问题的研究方法与分析其他动力学问与分析其他动力学问与分析其他动力学问与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下，题不同的是：一般情形下，题不同的是：一般情形下，题不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作都选择平衡位置作都选择平衡位置作都选择平衡位置作为广义坐标的原点。为广义坐标的原点。为广义坐标的原点。为广义坐标的原点。研究振动问题所用的

5、动力学定理：研究振动问题所用的动力学定理：矢量动力学基础中的矢量动力学基础中的矢量动力学基础中的矢量动力学基础中的 动量定理；动量定理；动量定理；动量定理；动量矩定理；动量矩定理；动量矩定理；动量矩定理；动能定理；动能定理；动能定理；动能定理；达朗贝尔原理。达朗贝尔原理。达朗贝尔原理。达朗贝尔原理。分析动力学基础中的分析动力学基础中的分析动力学基础中的分析动力学基础中的 拉格朗日方程。拉格朗日方程。拉格朗日方程。拉格朗日方程。4 按激励特性划分：按激励特性划分：按激励特性划分：按激励特性划分：振动问题的分类振动问题的分类 自由振动自由振动自由振动自由振动没有外部激励，或者外部激励除去后，没有外

6、部激励，或者外部激励除去后，没有外部激励，或者外部激励除去后，没有外部激励，或者外部激励除去后，系统自身的振动。系统自身的振动。系统自身的振动。系统自身的振动。参激振动参激振动参激振动参激振动激励源为系统本身含随时间变化的参数激励源为系统本身含随时间变化的参数激励源为系统本身含随时间变化的参数激励源为系统本身含随时间变化的参数，这种激励所引起的振动。，这种激励所引起的振动。，这种激励所引起的振动。，这种激励所引起的振动。自激振动自激振动自激振动自激振动系统由系统本身运动所诱发和控制的激系统由系统本身运动所诱发和控制的激系统由系统本身运动所诱发和控制的激系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下发生

7、的振动。励下发生的振动。励下发生的振动。励下发生的振动。受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动系统在作为时间函数的外部激励下发生系统在作为时间函数的外部激励下发生系统在作为时间函数的外部激励下发生系统在作为时间函数的外部激励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。5 按系统特性或运动微分方程类型划分：按系统特性或运动微分方程类型划分：按系统特性或运动微分方程类型划分：按系统特性或运动微分方程类型划分：线性振动线性振动线性振动线性振动系统的运动微分方程为线性方程的振动。系统的运

8、动微分方程为线性方程的振动。系统的运动微分方程为线性方程的振动。系统的运动微分方程为线性方程的振动。非非非非线性振动线性振动线性振动线性振动系统的刚度呈非线性特性时，将得到非系统的刚度呈非线性特性时，将得到非系统的刚度呈非线性特性时，将得到非系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。按系统的自由度划分：按系统的自由度划分：按系统的自由度划分：按系统的自由度划分：单自由度单自由度单自由度单自由度振动振动振动振动一个

9、自由度系统的振动。一个自由度系统的振动。一个自由度系统的振动。一个自由度系统的振动。多自由度多自由度多自由度多自由度振动振动振动振动两个或两个以上自由度系统的振动。两个或两个以上自由度系统的振动。两个或两个以上自由度系统的振动。两个或两个以上自由度系统的振动。连续系统连续系统连续系统连续系统振动振动振动振动连续弹性体的振动。这种系统具有无连续弹性体的振动。这种系统具有无连续弹性体的振动。这种系统具有无连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多个自由度。穷多个自由度。穷多个自由度。穷多个自由度。619-1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动l l0 0m mk kk kx xO Ox xl

10、l0 0st stF FWW1.1.自由振动微分方程自由振动微分方程自由振动微分方程自由振动微分方程l l0 0弹簧原长；弹簧原长；弹簧原长；弹簧原长；k k弹簧刚性系数；弹簧刚性系数；弹簧刚性系数；弹簧刚性系数；st st弹簧的静变形；弹簧的静变形；弹簧的静变形；弹簧的静变形；取静平衡位置为坐标原点，取静平衡位置为坐标原点，取静平衡位置为坐标原点，取静平衡位置为坐标原点，x x 向下为正，则有：向下为正，则有：向下为正，则有：向下为正，则有：7 A A振幅；振幅；振幅；振幅；n n固有频率；固有频率；固有频率；固有频率；（n n+）相位；相位；相位；相位；初相位。初相位。初相位。初相位。8

11、单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程物理学基础的扩展物理学基础的扩展这一方程，可以扩展为广义坐标的形式这一方程，可以扩展为广义坐标的形式这一方程，可以扩展为广义坐标的形式这一方程，可以扩展为广义坐标的形式910例例例例 题题题题 1 1m mv v 提升重物系统中，钢丝绳的横截提升重物系统中，钢丝绳的横截提升重物系统中，钢丝绳的横截提升重物系统中，钢丝绳的横截面积面积面积面积A A2.892.8910104 4mm2 2，材料的弹性材料的弹性材料的弹性材料的弹性模量模量模量模量E

12、 E200GPa200GPa。重物的质量重物的质量重物的质量重物的质量m m6 6000kg000kg，以匀速以匀速以匀速以匀速 v v 0.25m/s 0.25m/s 下降。下降。下降。下降。当重物下降到当重物下降到当重物下降到当重物下降到 l l 25m25m 时，钢丝绳时，钢丝绳时，钢丝绳时，钢丝绳上端突然被卡住。上端突然被卡住。上端突然被卡住。上端突然被卡住。l l求求求求：（：（：（：（1 1）重物的振动规律重物的振动规律重物的振动规律重物的振动规律；（2 2）钢丝绳承受的最大张力。）钢丝绳承受的最大张力。）钢丝绳承受的最大张力。）钢丝绳承受的最大张力。解解解解：钢丝绳重物系统可以简

13、化为：钢丝绳重物系统可以简化为：钢丝绳重物系统可以简化为：钢丝绳重物系统可以简化为弹簧物块系统弹簧物块系统弹簧物块系统弹簧物块系统,弹簧的刚度为弹簧的刚度为弹簧的刚度为弹簧的刚度为11m mk k静平衡位置静平衡位置静平衡位置静平衡位置O Ox x 设钢丝绳被卡住的瞬时设钢丝绳被卡住的瞬时设钢丝绳被卡住的瞬时设钢丝绳被卡住的瞬时t t0 0，这时重物的位置为初始平衡位置这时重物的位置为初始平衡位置这时重物的位置为初始平衡位置这时重物的位置为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移；以重物在铅垂方向的位移；以重物在铅垂方向的位移；以重物在铅垂方向的位移x x作为作为作为作为广义坐标，则系统的振动方程

14、为广义坐标，则系统的振动方程为广义坐标，则系统的振动方程为广义坐标，则系统的振动方程为方程的解为方程的解为方程的解为方程的解为利用初始条件利用初始条件利用初始条件利用初始条件求得求得求得求得12m mk k静平衡位置静平衡位置静平衡位置静平衡位置O Ox xm mx xWWF FT T（2 2）钢丝绳承受的最大张力。）钢丝绳承受的最大张力。）钢丝绳承受的最大张力。）钢丝绳承受的最大张力。取重物为研究对象取重物为研究对象取重物为研究对象取重物为研究对象13l l固定端固定端固定端固定端 均质等截面悬臂梁，长度为均质等截面悬臂梁，长度为均质等截面悬臂梁，长度为均质等截面悬臂梁，长度为 l l,弯曲

15、刚度为弯曲刚度为弯曲刚度为弯曲刚度为EIEI。梁的自由端放置梁的自由端放置梁的自由端放置梁的自由端放置一质量为一质量为一质量为一质量为m m的物块。若不计梁的的物块。若不计梁的的物块。若不计梁的的物块。若不计梁的质量。试写出梁物块系统的运质量。试写出梁物块系统的运质量。试写出梁物块系统的运质量。试写出梁物块系统的运动微分方程。动微分方程。动微分方程。动微分方程。例例例例 题题题题 2 2m mEIEIl l固定端固定端固定端固定端y yst stO Oy y 考察梁和物块所组成的考察梁和物块所组成的考察梁和物块所组成的考察梁和物块所组成的系统。以物块铅垂方向的系统。以物块铅垂方向的系统。以物块

16、铅垂方向的系统。以物块铅垂方向的位移作为广义坐标位移作为广义坐标位移作为广义坐标位移作为广义坐标 q=yq=y,坐坐坐坐标原点标原点标原点标原点O O设在梁变形后的设在梁变形后的设在梁变形后的设在梁变形后的平衡位置，这一位置与变平衡位置，这一位置与变平衡位置，这一位置与变平衡位置，这一位置与变形前的位置之间的距离，形前的位置之间的距离，形前的位置之间的距离，形前的位置之间的距离，即为物块静载作用下的挠即为物块静载作用下的挠即为物块静载作用下的挠即为物块静载作用下的挠度，亦即静挠度，用度，亦即静挠度，用度，亦即静挠度，用度，亦即静挠度，用y yst st表表表表示。示。示。示。14 分析物块运动

17、到任意位分析物块运动到任意位分析物块运动到任意位分析物块运动到任意位置置置置(坐标为坐标为坐标为坐标为y y)时时时时，物块的受，物块的受，物块的受，物块的受力：应用牛顿第二定律力：应用牛顿第二定律力：应用牛顿第二定律力：应用牛顿第二定律WW=m=mg gF F 分析物块运动到任意位置分析物块运动到任意位置分析物块运动到任意位置分析物块运动到任意位置(坐标为坐标为坐标为坐标为y y)时时时时，梁的自由端位移梁的自由端位移梁的自由端位移梁的自由端位移与力之间的关系与力之间的关系与力之间的关系与力之间的关系EIEIl l固定端固定端固定端固定端FFy yy yst stm mEIEIl l固定端固

18、定端固定端固定端O Oy y15此即梁物块的运动微分方程此即梁物块的运动微分方程此即梁物块的运动微分方程此即梁物块的运动微分方程16串联弹簧与并联弹簧的等效刚度串联弹簧与并联弹簧的等效刚度串联弹簧与并联弹簧的等效刚度串联弹簧与并联弹簧的等效刚度k k1 1k k2 2m mg gk k1 1m mg gk k2 21.1.串串串串 联联联联17k k1 1k k2 2m mk k1 1k k2 2m mm mg gF F1 1F F2 22.2.并并并并 联联联联18k k4 4k k3 3k k2 2k k1 1m m 图示系统中有四根铅直弹簧，它图示系统中有四根铅直弹簧，它图示系统中有四根

19、铅直弹簧，它图示系统中有四根铅直弹簧，它们的刚度系数分别为们的刚度系数分别为们的刚度系数分别为们的刚度系数分别为 k k1 1、k k2 2 、k k3 3 、k k4 4 且且且且k k1 1=2=2 k k2 2 =3=3 k k3 3=4=4 k k4 4。假设质量为的物假设质量为的物假设质量为的物假设质量为的物块被限制在光滑铅直滑道中作平动。块被限制在光滑铅直滑道中作平动。块被限制在光滑铅直滑道中作平动。块被限制在光滑铅直滑道中作平动。例例例例 题题题题 3 3试求此系统的固有频率。试求此系统的固有频率。试求此系统的固有频率。试求此系统的固有频率。解解解解：（：（：（：（1 1）计算）

20、计算）计算）计算3 3、4 4的等效刚度的等效刚度的等效刚度的等效刚度（2 2）计算）计算）计算）计算2 2、3 3、4 4的等效刚度的等效刚度的等效刚度的等效刚度19k k4 4k k3 3k k2 2k k1 1m m解解解解：（：（：（：（1 1）计算）计算）计算）计算3 3、4 4的等效刚度的等效刚度的等效刚度的等效刚度（2 2）计算）计算）计算）计算2 2、3 3、4 4的等效刚度的等效刚度的等效刚度的等效刚度（3 3）计算系统的等效刚度）计算系统的等效刚度）计算系统的等效刚度）计算系统的等效刚度（4 4）计算系统的固有频率）计算系统的固有频率）计算系统的固有频率）计算系统的固有频率

21、20？1m mk kO O在图中，当把弹簧原长在中点在图中，当把弹簧原长在中点在图中，当把弹簧原长在中点在图中，当把弹簧原长在中点O O 固定后，固定后，固定后，固定后，系统的固有频率与原来的固有频率的比系统的固有频率与原来的固有频率的比系统的固有频率与原来的固有频率的比系统的固有频率与原来的固有频率的比值为值为值为值为 。k kk km ml l 在图中，当物块在中点时其系统的固有在图中，当物块在中点时其系统的固有在图中，当物块在中点时其系统的固有在图中，当物块在中点时其系统的固有频率为频率为频率为频率为 n0n0，现将物块改移至距上端处，则现将物块改移至距上端处，则现将物块改移至距上端处，

22、则现将物块改移至距上端处，则其固有频率其固有频率其固有频率其固有频率=n0 n0。？221m mk ka al l例例例例 题题题题 4 4 图示结构中，杆在水平位置图示结构中，杆在水平位置图示结构中，杆在水平位置图示结构中，杆在水平位置处于平衡，若处于平衡，若处于平衡，若处于平衡，若k k、m m、a a、l l 等均等均等均等均为已知。为已知。为已知。为已知。求：求：求：求：系统微振动的固有频率系统微振动的固有频率系统微振动的固有频率系统微振动的固有频率m mg gF F解：解：解：解：取静平衡位置为其坐标原点，取静平衡位置为其坐标原点，取静平衡位置为其坐标原点，取静平衡位置为其坐标原点，

23、由动量矩定理，得由动量矩定理，得由动量矩定理，得由动量矩定理，得在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有22m mk ka al lm mg gF F在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有2319-2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法m mk k静平衡位置静平衡位置静平衡位置静平衡位置O Ox x物块的动能为物块的动能为物块的动能为物块的动能为取静平衡位置为零势能点，有取静平衡位置为零势能点，有取静平衡位置为零势能点，有取静平衡位置为零势能点，有在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有在静平衡位置处，有24

24、物块在平衡位置处，其动能最大物块在平衡位置处，其动能最大物块在平衡位置处，其动能最大物块在平衡位置处，其动能最大物块在偏离平衡位置的极端处，其势能最大物块在偏离平衡位置的极端处，其势能最大物块在偏离平衡位置的极端处，其势能最大物块在偏离平衡位置的极端处，其势能最大无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒25m mk ka al l 解：解：解：解：设设设设OAOA杆作自由振动时，杆作自由振动时，杆作自由振动时，杆作自由振动时，其摆角其摆角其摆角其摆角

25、的变化规律为的变化规律为的变化规律为的变化规律为系统的最大动能为系统的最大动能为系统的最大动能为系统的最大动能为系统的最大势能为系统的最大势能为系统的最大势能为系统的最大势能为由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有例例例例 题题题题 5 5由能量法解由能量法解由能量法解由能量法解 例题例题例题例题4 426例例 题题 6 半径为半径为半径为半径为r r、质量为质量为质量为质量为 m m的均质的均质的均质的均质圆柱体，在半径为圆柱体，在半径为圆柱体，在半径为圆柱体，在半径为 R R 的刚性的刚性的刚性的刚性圆槽内作纯滚动圆槽内作纯滚动圆槽内作纯滚动圆槽内作纯滚动

26、 。求：求：求：求：1 1、圆柱体的运动微分方程；、圆柱体的运动微分方程；、圆柱体的运动微分方程；、圆柱体的运动微分方程；2 2、微振动固有频率。、微振动固有频率。、微振动固有频率。、微振动固有频率。RCO27RCO 解：解：解：解：取摆角取摆角取摆角取摆角 为广义坐标为广义坐标为广义坐标为广义坐标由运动学可知：由运动学可知：由运动学可知：由运动学可知：系统的动能系统的动能系统的动能系统的动能系统的势能系统的势能系统的势能系统的势能拉氏函数为拉氏函数为拉氏函数为拉氏函数为28RCO 29RCO 30RCO例例例例 题题题题 7 7由能量法求固有频率由能量法求固有频率由能量法求固有频率由能量法求

27、固有频率 解：解：解：解：设摆角设摆角设摆角设摆角 的变化规律为的变化规律为的变化规律为的变化规律为系统的最大动能为系统的最大动能为系统的最大动能为系统的最大动能为取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为31RCO 由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有3219-3 单自由度系统有阻尼自由振动单自由度系统有阻尼自由振动 阻尼阻尼阻尼阻尼系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑系统中存

28、在的各种阻力：干摩擦力，润滑表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的阻力。阻力。阻力。阻力。物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系C C粘性阻尼系数或粘阻系数粘性阻尼系数或粘阻系数粘性阻尼系数或粘阻系数粘性阻尼系数或粘阻系数1.1.阻阻阻阻 尼尼尼尼332.2.振动微分方程振动微分方程振动微分方程振动微分方程m mk km mc cO Ox xF F Fk

29、 kkF F Fc ccv v取平衡位置为坐标原点，在建取平衡位置为坐标原点，在建取平衡位置为坐标原点，在建取平衡位置为坐标原点，在建立此系统的振动微分方程时，立此系统的振动微分方程时，立此系统的振动微分方程时，立此系统的振动微分方程时，可以不再计入重力的影响。可以不再计入重力的影响。可以不再计入重力的影响。可以不再计入重力的影响。物块的运动微分方程为物块的运动微分方程为物块的运动微分方程为物块的运动微分方程为34本征方程本征方程本征方程本征方程本征值本征值本征值本征值本征值与运动微分方程的通解的形式与阻尼比有关。本征值与运动微分方程的通解的形式与阻尼比有关。本征值与运动微分方程的通解的形式与

30、阻尼比有关。本征值与运动微分方程的通解的形式与阻尼比有关。设其解为设其解为设其解为设其解为其通解为其通解为其通解为其通解为353.3.小阻尼情形小阻尼情形小阻尼情形小阻尼情形 当当当当 n n 11)情形情形情形情形临界阻尼临界阻尼临界阻尼临界阻尼(1 1)情形情形情形情形 这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减衰减衰减衰减11x xO Ot t3819-4 单自由度系统无阻尼受迫振动单自由度系统无阻尼受迫振动km0e受迫振动受迫振动受迫振动受迫

31、振动系统在外界激励下产生的振动系统在外界激励下产生的振动系统在外界激励下产生的振动系统在外界激励下产生的振动。激励形式激励形式激励形式激励形式 外界激励一般为时间的函数，可以是周期外界激励一般为时间的函数，可以是周期外界激励一般为时间的函数，可以是周期外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。函数，也可以是非周期函数。函数，也可以是非周期函数。函数，也可以是非周期函数。简谐激励是最简单的激励。一般的周期性简谐激励是最简单的激励。一般的周期性简谐激励是最简单的激励。一般的周期性简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。激励可以通过傅里叶级

32、数展开成简谐激励的叠加。激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。39F F Fk kkF F F1.1.振动微分方程振动微分方程振动微分方程振动微分方程m mO Ox xx x振动微分方程振动微分方程振动微分方程振动微分方程40微分方程的解为：微分方程的解为：微分方程的解为：微分方程的解为：将将将将 x x2 2 代入微分方程，得代入微分方程，得代入微分方程，得代入微分方程，得解得解得解得解得412.2.受迫振动的振幅受迫振动的振幅受迫振动的振幅受迫振动的振幅幅频幅频特性曲线特性曲线423.3.共振现象共振现象共振现象共振现象当当当当 n n 时

33、时时时，激振力，激振力，激振力，激振力频率等于系统频率等于系统频率等于系统频率等于系统的固有频率时，振幅在理论上应趋于的固有频率时，振幅在理论上应趋于的固有频率时，振幅在理论上应趋于的固有频率时，振幅在理论上应趋于无穷大，这种现象称为无穷大，这种现象称为无穷大，这种现象称为无穷大，这种现象称为共振共振共振共振。这表明无阻尼系统发生共振时，这表明无阻尼系统发生共振时，这表明无阻尼系统发生共振时，这表明无阻尼系统发生共振时，振幅将随时间无限地增大。振幅将随时间无限地增大。振幅将随时间无限地增大。振幅将随时间无限地增大。4319-5 单自由度系统有阻尼受迫振动单自由度系统有阻尼受迫振动F F Fk

34、km mc cF F Fm mO Ox xF F Fk kkF F Fc cc 这一微分方程的全解等于这一微分方程的全解等于这一微分方程的全解等于这一微分方程的全解等于齐次方程的全解与非齐次方齐次方程的全解与非齐次方齐次方程的全解与非齐次方齐次方程的全解与非齐次方程的特解之和。程的特解之和。程的特解之和。程的特解之和。44有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解代入微分方程，解得代入微分方程，解得代入微分方程，解得代入微分方程，解得45运动微分方程的通解为：运动微分方

35、程的通解为：运动微分方程的通解为：运动微分方程的通解为：在简谐激励的作用下，有阻尼系统的总响应由二部分组成：在简谐激励的作用下，有阻尼系统的总响应由二部分组成：在简谐激励的作用下，有阻尼系统的总响应由二部分组成：在简谐激励的作用下，有阻尼系统的总响应由二部分组成：第一部分是第一部分是第一部分是第一部分是衰减振动衰减振动衰减振动衰减振动；第二部分是；第二部分是；第二部分是；第二部分是受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动。引入：引入：引入：引入：464748幅频特性与相频特性幅频特性与相频特性幅频特性与相频特性幅频特性与相频特性1 1、0 0的附近区域的附近区域的附近区域的附近区域(低频区或弹性控制区

36、低频区或弹性控制区低频区或弹性控制区低频区或弹性控制区)，1 1，0 0，响应与激励同相；对于不同的响应与激励同相；对于不同的响应与激励同相；对于不同的响应与激励同相；对于不同的 值，曲线密集，阻尼影响不值，曲线密集，阻尼影响不值，曲线密集，阻尼影响不值，曲线密集，阻尼影响不大。大。大。大。2 2、11的区域的区域的区域的区域(高频区或惯性控制区高频区或惯性控制区高频区或惯性控制区高频区或惯性控制区)，0 0，响响响响应与激励反相；阻尼影响也不大。应与激励反相；阻尼影响也不大。应与激励反相；阻尼影响也不大。应与激励反相；阻尼影响也不大。49幅频特性与相频特性幅频特性与相频特性幅频特性与相频特性

37、幅频特性与相频特性 在低频区和高频区，当在低频区和高频区，当在低频区和高频区，当在低频区和高频区，当 11时，时，时，时，B/a B/a 1 1 。因此，设计时因此，设计时因此，设计时因此，设计时应当使测振仪具有比较低应当使测振仪具有比较低应当使测振仪具有比较低应当使测振仪具有比较低的固有频率，才能有比较的固有频率，才能有比较的固有频率，才能有比较的固有频率，才能有比较大的大的大的大的 值值值值。被测频率愈高，测量精被测频率愈高，测量精被测频率愈高，测量精被测频率愈高，测量精度也高；被测频率低，测度也高；被测频率低，测度也高；被测频率低，测度也高；被测频率低，测量精度便低。量精度便低。量精度便

38、低。量精度便低。对于同一对于同一对于同一对于同一 值，阻尼较值，阻尼较值，阻尼较值，阻尼较大时，大时，大时，大时，B/a B/a 趋趋趋趋近于近于近于近于1 1。55例例例例 题题题题 9 9工作台工作台工作台工作台c ck km mx xe e已知已知已知已知：m m、k k、c c,x xe e=a asinsin t t 试分析：试分析：试分析：试分析：仪器的稳态响应。仪器的稳态响应。仪器的稳态响应。仪器的稳态响应。解解解解：假设观察者在不动的假设观察者在不动的假设观察者在不动的假设观察者在不动的地面上观察仪器的运动，仪地面上观察仪器的运动，仪地面上观察仪器的运动，仪地面上观察仪器的运动

39、，仪器在铅垂方向的位移器在铅垂方向的位移器在铅垂方向的位移器在铅垂方向的位移 x x 作为作为作为作为广义坐标，以平衡位置为广广义坐标，以平衡位置为广广义坐标，以平衡位置为广广义坐标，以平衡位置为广义坐标的原点。义坐标的原点。义坐标的原点。义坐标的原点。仪器的运动方程为仪器的运动方程为仪器的运动方程为仪器的运动方程为O Ox x56 激励由两部分组成：一部分是弹簧的运动激励，其幅值激励由两部分组成：一部分是弹簧的运动激励，其幅值激励由两部分组成：一部分是弹簧的运动激励，其幅值激励由两部分组成：一部分是弹簧的运动激励，其幅值与激励频率无关；另一部分是阻尼的运动激励，其幅值与与激励频率无关；另一部

40、分是阻尼的运动激励，其幅值与与激励频率无关；另一部分是阻尼的运动激励，其幅值与与激励频率无关；另一部分是阻尼的运动激励，其幅值与缴励频率成正比，且相位比弹簧激励超前缴励频率成正比，且相位比弹簧激励超前缴励频率成正比，且相位比弹簧激励超前缴励频率成正比，且相位比弹簧激励超前/2/2。根据叠加。根据叠加。根据叠加。根据叠加原理，稳态响应也由两部分叠加而成原理，稳态响应也由两部分叠加而成原理，稳态响应也由两部分叠加而成原理，稳态响应也由两部分叠加而成:对于仅有弹簧的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差对于仅有弹簧的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差对于仅有弹簧的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差对于仅

41、有弹簧的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差57 对于仅有阻尼的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差对于仅有阻尼的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差对于仅有阻尼的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差对于仅有阻尼的运动激励，稳态响应幅值和滞后相位差5859幅幅幅幅频频频频特特特特性性性性和和和和相相相相频频频频特特特特性性性性曲曲曲曲线线线线60 本例所研究的实际上是隔振问题将外界振源尽本例所研究的实际上是隔振问题将外界振源尽本例所研究的实际上是隔振问题将外界振源尽本例所研究的实际上是隔振问题将外界振源尽可能与研究对象隔离（称为被动隔振）。为取得隔可能与研究对象隔离（称为被动隔振）。为取得隔可能与研究

42、对象隔离（称为被动隔振）。为取得隔可能与研究对象隔离（称为被动隔振）。为取得隔振效果，即仪器振幅振效果，即仪器振幅振效果，即仪器振幅振效果，即仪器振幅B B小于振源振幅小于振源振幅小于振源振幅小于振源振幅 a a，应当如何设应当如何设应当如何设应当如何设计隔振层的刚度计隔振层的刚度计隔振层的刚度计隔振层的刚度 k k？对于隔振效果，阻尼大一点好还对于隔振效果，阻尼大一点好还对于隔振效果，阻尼大一点好还对于隔振效果，阻尼大一点好还是小一点好？是小一点好？是小一点好？是小一点好？关于本例的讨论关于本例的讨论61 单自由度线性系统单自由度线性系统 的受迫振动的受迫振动 受迫振动中的能量关系受迫振动中

43、的能量关系受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系 惯性力、阻尼力、弹性恢复力和激励力在一个周期内惯性力、阻尼力、弹性恢复力和激励力在一个周期内惯性力、阻尼力、弹性恢复力和激励力在一个周期内惯性力、阻尼力、弹性恢复力和激励力在一个周期内怎样作功？又有怎样的能量关系呢？怎样作功？又有怎样的能量关系呢？怎样作功？又有怎样的能量关系呢？怎样作功？又有怎样的能量关系呢？无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由振动 系统机械能守恒，既无能量的损耗又无外界能量的输系统机械能守恒，既无能量的损耗又无外界能量的输系统机械能守恒，既无能量的损耗又无外界能量的输系统机械能守恒，既无能量的损耗又无外界能

44、量的输入，一个周期内仅有系统动能和势能的转换。入，一个周期内仅有系统动能和势能的转换。入，一个周期内仅有系统动能和势能的转换。入，一个周期内仅有系统动能和势能的转换。有阻尼自由振动有阻尼自由振动有阻尼自由振动有阻尼自由振动 阻尼不断耗散能量，而外界又无能量补充，因此振动阻尼不断耗散能量，而外界又无能量补充，因此振动阻尼不断耗散能量，而外界又无能量补充，因此振动阻尼不断耗散能量，而外界又无能量补充，因此振动幅值随时间衰减。幅值随时间衰减。幅值随时间衰减。幅值随时间衰减。受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动62 单自由度线性系统单自由度线性系统 的受迫振动的受迫振动 受迫振动中的能量关系受迫振动中的能

45、量关系受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系根据力在根据力在根据力在根据力在d dt t时间内所作之元功时间内所作之元功时间内所作之元功时间内所作之元功d dWW=Fvdt 当力和速度同相位时，每一时刻都作正功；而当力和速度当力和速度同相位时，每一时刻都作正功；而当力和速度当力和速度同相位时，每一时刻都作正功；而当力和速度当力和速度同相位时，每一时刻都作正功；而当力和速度反相位时，每一时刻都作负功。反相位时，每一时刻都作负功。反相位时，每一时刻都作负功。反相位时，每一时刻都作负功。阻尼力和速度反相阻尼力和速度反相阻尼力和速度反相阻尼力和速度反相，因此始终作负功，在一个周期内所作，因此始终作负

46、功，在一个周期内所作，因此始终作负功，在一个周期内所作，因此始终作负功，在一个周期内所作的负功为的负功为的负功为的负功为63 单自由度线性系统单自由度线性系统 的受迫振动的受迫振动 受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系 若力与速度相位相差若力与速度相位相差若力与速度相位相差若力与速度相位相差/2/2 ，则力在一个周期内作功等于，则力在一个周期内作功等于，则力在一个周期内作功等于，则力在一个周期内作功等于零。零。零。零。惯性力和弹性恢复力的相位都与速度相位相差惯性力和弹性恢复力的相位都与速度相位相差惯性力和弹性恢复力的相位都与速度相位相差惯性力和弹性恢

47、复力的相位都与速度相位相差/2/2 ，因，因，因，因此，惯性力与弹性恢复力在一个周期内所作之功都作功等此，惯性力与弹性恢复力在一个周期内所作之功都作功等此，惯性力与弹性恢复力在一个周期内所作之功都作功等此，惯性力与弹性恢复力在一个周期内所作之功都作功等于零。于零。于零。于零。64 单自由度线性系统单自由度线性系统 的受迫振动的受迫振动 受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系 激励力超前位移激励力超前位移激励力超前位移激励力超前位移 相位，可将其分解为与速度和位移同相位，可将其分解为与速度和位移同相位，可将其分解为与速度和位移同相位，可将其分解为与速度和

48、位移同相位的两部分。相位的两部分。相位的两部分。相位的两部分。对于微分方程简谐激励力对于微分方程简谐激励力对于微分方程简谐激励力对于微分方程简谐激励力 第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为65 单自由度线性系统单自由度线性系统 的受迫振动的受迫振动 受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系受

49、迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系 第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为 这表明，稳态受迫振动一个周期内激励力所作之功等于阻这表明，稳态受迫振动一个周期内激励力所作之功等于阻这表明，稳态受迫振动一个周期内激励力所作之功等于阻这表明，稳态受迫振动一个周期内激励力所作之功等于阻尼力耗散的能量

50、。这就可以解释为什么有阻尼系统受迫振动尼力耗散的能量。这就可以解释为什么有阻尼系统受迫振动尼力耗散的能量。这就可以解释为什么有阻尼系统受迫振动尼力耗散的能量。这就可以解释为什么有阻尼系统受迫振动的稳态响应有一个稳定的振幅。的稳态响应有一个稳定的振幅。的稳态响应有一个稳定的振幅。的稳态响应有一个稳定的振幅。根据稳态响应幅值的表达式有根据稳态响应幅值的表达式有根据稳态响应幅值的表达式有根据稳态响应幅值的表达式有66 单自由度线性系统单自由度线性系统 的受迫振动的受迫振动 受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系受迫振动中的能量关系 因为在一个周期内激励力所作因为在一个周期内激励