高中数学函数值域的求法.doc

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1、例说函数值域求法 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1 求函数y = 的值域 解： x 0 ， 0 显然函数的值域是：（ -，0 ）（0 ，+）。

2、例2 求函数y = 3 -的值域。 解： 0 - 0 3- 3故函数的值域是： -，3 2 、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3 、求函数y=-2x+5，x-1，2的值域。 解：将函数配方得：y=（x-1）+4， x -1，2， 由二次函数的性质可知： 当x = 1时，y = 4 当x = - 1，时 = 8 故函数的值域是： 4 ，8 3 、判别式法 例4 求函数y = 的值域。 解：原函数化为关x的一元二次方程（y-1 )+（y - 1 ）x= 0 （1）当y1时， xR , = (-1)-4(y-1)(y-1) 0 解得：y（2）当y=1，时，x = 0,而1 , 故

3、函数的值域为， 例5 求函数y=x+的值域。 解：两边平方整理得：2-2（y+1）x+y=0 （1） xR，=4（y+1）-8y0解得：1-y1+但此时的函数的定义域由x（2-x）0，得：0x2。由0，仅保证关于x的方程：2-2（y+1）x+y=0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为，。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 0x2，y=x+ 0，=0，y=1+代入方程（1），解得：=0，2，即当=时，原函数的值域为：0，1+。注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，

4、应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6 求函数y=值域。 解：由原函数式可得：x = 则其反函数为：y = 其定义域为：x 故所求函数的值域为：（- ，） 5 、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例7 求函数y = 的值域。 解：由原函数式可得：= 0，0 解得：- 1y1。 故所求函数的值域为( - 1 , 1 ) . 例8 求函数y = 的值域。 解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y 可化为： sinx（x+）=3y 即 sinx

5、（x+）= xR，sinx（x+）-1，1。即-11 解得：-y 故函数的值域为-，。 6 、函数单调性法 例9 求函数y = （2x10）的值域 解：令y= ，= ，则 y ， 在 2， 10 上都是增函数。 所以y= y +在 2 ，10 上是增函数。 当x = 2 时，y = += ， 当x = 10 时， = +=33。 故所求函数的值域为： ，33。 例10 求函数y= -的值域。 解：原函数可化为： y= 令y = ，= ，显然y ，在1，+）上为无上界的增函数，所以y= y +在1，+）上也为无上界的增函数。 所以当x = 1时，y=y +有最小值，原函数有最大值= 。 显然y0

6、，故原函数的值域为( 0 , 。 7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例11 求函数y = x + 的值域。 解：令x-1=t，（t0）则x=+1 y=+t+1=+，又t0，由二次函数的性质可知 当t=0时，y= 1， 当t 0时，y +。 故函数的值域为 1 ，+）。 例12 求函数y =x+2+的值域 解：因1-0 ，即1 故可令x+1=cos， 0 ， 。 y=cos+1+=sin+cos+1 =sin（+/ 4 ）+1 0，0 +/45/4 - sin（

7、+/4）1 0 sin（+/4）+11+。 故所求函数的值域为0，1+。 例13 求函数 y=的值域 解：原函数可变形为：y=- 可令x=tg，则有=sin2，=cos2 y=-sin2 cos2= -sin4 当= k/2-/8时，=。 当= k/2+/8时，y= - 而此时tg有意义。 故所求函数的值域为-， 。 例14 求函数y=（sinx+1）（cosx+1），x-/12/2的值域。 解：y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1 令sinx+cosx=t，则sinxcosx=（-1） y = （-1）+t+1= 由t=sinx+cosx=sin（x

8、+/4）且x- /12，/2 可得：t 当t=时，=+，当t=时，y=+ 故所求函数的值域为+ ，+ 。 例15 求函数y=x+4+的值域 解：由5-x0 ，可得x 故可令x =cos，0， y=cos+4+sin=sin（+/4）+ 4 0 ， /4+/45/4 当=/4时，=4+，当=时，y=4-。故所求函数的值域为：4-，4+。 8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例16 求函数y=+的值域。 解：原函数可化简得：y=x-2+x+8 上式可以看成数轴上点P（x ）到定点A（

9、2 ），B（- 8 ）间的距离之和。 由上图可知：当点P在线段AB上时， y=x-2+x+8=AB=10 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时， y=x-2+x+8AB=10 故所求函数的值域为：10，+） 例17 求函数y= + 的值域 解：原函数可变形为：y=+ 上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2 ，-1 ）的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时， y=AB= =， 故所求函数的值域为，+）。 例18 求函数y= -的值域 解：将函数变形为：y= -上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0 ）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之差。即：

10、y=AP-BP 由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P，则构成ABP，根据三角形两边之差小于第三边， 有 AP-BPAB= = 即：-y （2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时， 有 AP-BP= AB= 。 综上所述，可知函数的值域为：（-，-。 注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A ，B在x轴的同侧。 如：例17的A，B两点坐标分别为：（3 ，2 ），（- 2 ，- 1 ），在x轴的同侧； 例18的A，B两点坐标分别为：（3 ，2 ），（2 ，- 1 ），在x轴的同侧。 9 、不等式

11、法利用基本不等式a+b2，a+b+c3（a，b，c），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例19 求函y=（sinx +1/sinx）+（cosx+1/cosx）的值域 解：原函数变形为： y=（+）+1/+1/ = 1+ + = 3+ 3 + 2 =5 当且仅当tgx=ctgx，即当x=k/4时（kz），等号成立。 故原函数的值域为： 5，+）。 例20 求函数y=2sinxsin2x的值域解：y=2sinxsinxcosx =4cosx=16=8（2-2）8（+2- ）=8（+2- ）/3=当且当=2-

12、2，即当=时，等号成立。由，可得：-y故原函数的值域为：-，）。10、多种方法综合运用例21 求函数y=的值域解：令t= （t0），则x+3=+1（1） 当t0时，y=， 当且仅当t=1，即x=-1时取等号所以0y。（2） 当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：0，。注：先换元，后用不等式法。 例 22 求函数y=的值域。 解：y=+=+令x=tg，则=，=sin，y=+sin=-+ sin+1 =-+当sin=时，=。当sin=-1时，y=-2。此时tg都存在，故函数的值域为：，。注：此题先用换元法。后用配方法，然后再运用sin的有界性。例23（用导数求函数的极值及最值）、求函数在区间上的最大值与最小值。解：先求导数，得令0即解得导数的正负以及，如下表X2（2，1）1（1，0）0（0，1）1（1，2）2y/000y1345413从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值4总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。忽略此处.