自动控制原理-第五章-频域分析法.ppt

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1、第五章第五章频域分析法频域分析法频率法频率法基本要求基本要求 1.正确理解正确理解频率特性频率特性的概念。的概念。2.熟练掌握熟练掌握典型环节的频率特性典型环节的频率特性，熟记其，熟记其幅相特性曲幅相特性曲线及对数频率特性曲线线及对数频率特性曲线。3.熟练掌握熟练掌握由系统开环传递函数绘制系统的开环对数由系统开环传递函数绘制系统的开环对数幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线幅频渐近特性曲线及开环对数相频曲线的方法。的方法。4.熟练掌握由熟练掌握由具有最小相位性质的系统具有最小相位性质的系统开环对数幅频开环对数幅频特性曲线求开环传递函数的方法。特性曲线求开环传递函数的方法。5.熟练掌握熟练掌握Ny

2、quist稳定判据稳定判据和对数频率稳定判据。和对数频率稳定判据。6.熟练掌握熟练掌握稳定裕度稳定裕度的概念及计算稳定裕度的方法。的概念及计算稳定裕度的方法。7.理解理解闭环频率特性的特征量闭环频率特性的特征量与控制系统阶跃响应的与控制系统阶跃响应的定性关系。定性关系。8.理解理解开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段开环对数频率特性与系统性能的关系及三频段的概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分的概念，会用三频段的分析方法对两个系统进行分析与比较。析与比较。频率特性法频率特性法是经典控制理论中对系是经典控制理论中对系统进行分析与综合的又一重要方法。统进行分析与综合的又一重要方法。J与时

3、域分析法和根轨迹法与时域分析法和根轨迹法不同不同；J频域性能指标与时域性能指标之间有频域性能指标与时域性能指标之间有内在联系内在联系；J频率特性法可以根据系统的开环传递函数采用频率特性法可以根据系统的开环传递函数采用解解析的方法析的方法得到系统的频率特性，也可以用得到系统的频率特性，也可以用实验的方实验的方法法测出稳定系统或元件的频率特性；测出稳定系统或元件的频率特性；J频率特性分析系统对频率特性分析系统对正弦信号的稳态响应正弦信号的稳态响应；频率法的五个特点频率法的五个特点51 频率特性频率特性一、基本概念一、基本概念输入信号：输入信号：其拉氏变换式：其拉氏变换式：控制系统在正弦信号作用下的

4、稳态输出控制系统在正弦信号作用下的稳态输出频率特性频率特性分析系统对正弦信号的稳态响应。分析系统对正弦信号的稳态响应。输出：输出：拉氏反变换得：拉氏反变换得：其中：其中：同理：同理：将将B、D代入代入c(t)，则，则:式中：式中：结论：结论：线性定常系统在正弦信号作用下，输出线性定常系统在正弦信号作用下，输出稳态分量是和输入同频率的正弦信号。稳态分量是和输入同频率的正弦信号。二、频率特性的定义及求取方法二、频率特性的定义及求取方法 线性定常系统，在正弦信号作用下，线性定常系统，在正弦信号作用下，输出输出的稳态分量与输入的复数比的稳态分量与输入的复数比，称为系统的，称为系统的频率频率特性特性（即

5、为幅相频率特性，简称幅相特性）。（即为幅相频率特性，简称幅相特性）。频率特性表达式为：频率特性表达式为：例子例子 以以RC网络为例网络为例其传递函数其传递函数正弦稳态输出正弦稳态输出稳态输出幅值：稳态输出幅值：稳态输出相位：稳态输出相位：对于任何线性系统都可以采用这种方法分析。对于任何线性系统都可以采用这种方法分析。幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：取：取：显然，显然，G(jw)能够完整描述网络在正弦信号作用下能够完整描述网络在正弦信号作用下稳态输出的稳态输出的幅值和相角与输入信号频率幅值和相角与输入信号频率之间的规律。之间的规律。G(jw)即为即为系统的频率特性系统的频率特性。RC网络

6、网络v其传递函数其传递函数v频率特性频率特性该结论适用任何线性系统！该结论适用任何线性系统！三、频率特性的几种表示方法三、频率特性的几种表示方法1 1、幅频特性、相频特性、幅相特性、幅频特性、相频特性、幅相特性为为系系统统的的 幅幅频频特性特性 。为为系系统统的的 相相频频特性特性 。RC RC 网络的幅频特性和相频特性网络的幅频特性和相频特性RCRC网网络络的的幅幅相相特特性性曲曲线线2 2、对数频率特性、对数频率特性v对数频率特性曲线又称对数频率特性曲线又称伯德（伯德（Bode)图图，包括，包括对数幅频和对数相频对数幅频和对数相频两条曲线。两条曲线。对数幅频特性：对数幅频特性：对数相频特性

7、对数相频特性:对数相频特性曲线：对数相频特性曲线：横坐标为角频率仍采用对数分横坐标为角频率仍采用对数分度度，纵坐标采用线性分度用角度表示纵坐标采用线性分度用角度表示。对数幅频特性曲线：横坐标对数幅频特性曲线：横坐标 采用对数分度，取采用对数分度，取10为底的对数为底的对数 ，纵坐标采用，纵坐标采用线性分度用分贝数线性分度用分贝数(dB)表示。表示。对数坐标刻度图对数坐标刻度图注意：注意：纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横纵坐标是以幅值对数分贝数刻度的，是均匀的；横 坐标坐标按频率对数标尺刻度按频率对数标尺刻度，但标出的是实际的值，但标出的是实际的值，是不均匀的。是不均匀的。这种坐标系

8、称为这种坐标系称为半对数坐标系半对数坐标系。在横轴上，对应于频率每增大在横轴上，对应于频率每增大10倍的范围，称为倍的范围，称为十十 倍频程倍频程(dec)，如，如1-10，5-50，而，而轴上所有十倍频程轴上所有十倍频程 的长度都是相等的长度都是相等的。的。为了说明对数幅频特性的特点，引进为了说明对数幅频特性的特点，引进斜率斜率的概念，的概念，即即横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐横坐标每变化十倍频程（即变化）所对应的纵坐 标分贝数的变化量标分贝数的变化量。以以角频率为参变量角频率为参变量，横坐标是相位，单位采用角度；纵坐，横坐标是相位，单位采用角度；纵坐标为幅值，单位采用分贝。标为

9、幅值，单位采用分贝。对数幅相频率曲线（尼柯尔斯图）对数幅相频率曲线（尼柯尔斯图）p幅值的乘除简化为加减；幅值的乘除简化为加减；p可以用叠加方法绘制可以用叠加方法绘制BodeBode图；图；p可以用简便方法近似绘制可以用简便方法近似绘制BodeBode图；图；p扩大研究问题的范围；扩大研究问题的范围；p便于用实验方法确定频率特性对应的传递函数。便于用实验方法确定频率特性对应的传递函数。BodeBode图的优点图的优点对数坐标系对数坐标系52 典型环节的频率特性典型环节的频率特性一、比例环节（放大环节）一、比例环节（放大环节）幅频特性幅频特性相频特性相频特性对数幅相特性对数幅相特性比例环节的频率特

10、性曲线比例环节的频率特性曲线二、积分环节幅相特性幅相特性传递函数传递函数相频特性是一常值相频特性是一常值积分环节的幅频积分环节的幅频/相频、幅相特性曲线相频、幅相特性曲线对数频率特性对数频率特性三、微分环节幅相特性幅相特性传递函数传递函数相频特性是一常值相频特性是一常值微分环节的幅频微分环节的幅频/相频、幅相、对数特性曲线相频、幅相、对数特性曲线四、惯性环节（一阶系统）传递函数传递函数幅相特性幅相特性惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线惯性环节的幅频、相频、幅相特性曲线对数频率特性对数频率特性 当当当当惯性环节的对数频率特性曲线惯性环节的对数频率特性曲线图示：当图示：当T=0.5（s）时，系统的

11、极坐标图、伯德图）时，系统的极坐标图、伯德图对数幅频特性的渐近线的近似方法：对数幅频特性的渐近线的近似方法：在频率很低时，对数幅频曲线可用在频率很低时，对数幅频曲线可用0分贝线近似。分贝线近似。在图中在图中 T=0.5,1/T=2(rad/sec)当频率很高时，对数幅频曲线可用一条直线近似，直当频率很高时，对数幅频曲线可用一条直线近似，直线斜率为线斜率为-20dB/dec，与零分贝线相交的角频率为，与零分贝线相交的角频率为 1/T。惯惯性性环环节节的的对对数数幅幅频频特特性性曲曲线线近近似似为为两两段段直直线线。两两直直线线相交，交点处频率相交，交点处频率 ，称为，称为转折频率转折频率。两两直

12、直线线实实际际上上是是对对数数幅幅频频特特性性曲曲线线的的渐渐近近线线，故故又又称称为为对数幅频特性渐近线。对数幅频特性渐近线。用用渐渐近近线线代代替替对对数数幅幅频频特特性性曲曲线线，最最大大误误差差发发生生在在转转折折频率处，即频率处，即 处。处。惯性环节的误差曲线惯性环节的误差曲线 误差的最大值发生在角频率为误差的最大值发生在角频率为1/T处，这时处，这时误差最大值为误差最大值为-3dB。用渐近线近似产生的误差曲线用渐近线近似产生的误差曲线五、一阶微分环节六、振荡环节（二阶系统）传递函数传递函数频率频率特性特性令无因次频率令无因次频率 为参变量为参变量若若振荡环节的幅相特性曲线（极坐标图

13、）振荡环节的幅相特性曲线（极坐标图）振荡环节的幅频、相频特性曲线振荡环节的幅频、相频特性曲线幅频特性的谐振峰值和谐振角频率：幅频特性的谐振峰值和谐振角频率：幅频特性的谐振幅频特性的谐振角频率角频率和谐振和谐振峰值峰值：谐振频率谐振频率谐振峰值谐振峰值振荡环节的对数频率特性振荡环节的对数频率特性低频渐近线是零分贝线。低频渐近线是零分贝线。高频段是一条斜率为高频段是一条斜率为-40/dB的直线，和零分的直线，和零分贝线相交于贝线相交于 ，振荡环节的交接频率为，振荡环节的交接频率为 。特征点特征点：振荡环节的伯德图振荡环节的伯德图渐近线对数幅频特性引起的误差：渐近线对数幅频特性引起的误差：振荡环节的

14、幅相特性振荡环节的幅相特性振荡环节的对数幅频渐进特性振荡环节的对数幅频渐进特性七、二阶微分环节二阶微分环节的对数频率特性二阶微分环节的对数频率特性八、一阶不稳定环节非最小相位环节定义：传递函数中有右极点、右零点的环节定义：传递函数中有右极点、右零点的环节（或系统），称为（或系统），称为非最小相位环节非最小相位环节（或系统）。（或系统）。一阶不稳定环节的幅频与惯性环节的幅频完全一阶不稳定环节的幅频与惯性环节的幅频完全相同，但是相频大不一样。相位的绝对值大，相同，但是相频大不一样。相位的绝对值大，故故一阶不稳定环节又称非最小相位环节一阶不稳定环节又称非最小相位环节。九、延迟环节延迟环节输入输出关系

15、为延迟环节输入输出关系为53 系统的开环频率特性系统的开环频率特性设系统开环传递函数由若干典型环节串联设系统开环传递函数由若干典型环节串联开环频率特性开环频率特性一、开环幅相特性曲线一、开环幅相特性曲线系统开环幅频与相频分别为系统开环幅频与相频分别为1、开环幅相特性曲线、开环幅相特性曲线（1）当）当 系统开环传递函系统开环传递函数不包含数不包含积分环节积分环节和和微分环节微分环节。系统开环幅相特性曲线系统开环幅相特性曲线（2）当）当取取m=1,n=3时系统开环幅相特时系统开环幅相特性曲线性曲线 系统开环传递系统开环传递函数分子有一阶微函数分子有一阶微分环节，其开环幅分环节，其开环幅相特性曲线出

16、现相特性曲线出现凹凹凸凸。（3）当）当含有积分环节时的开环幅相特性曲线含有积分环节时的开环幅相特性曲线 开环传递函数有积分环节时，频率趋于零时，开环传递函数有积分环节时，频率趋于零时，幅值趋于无穷大。幅值趋于无穷大。2.系统开环幅相的特点系统开环幅相的特点当频率当频率 0 时，其开环幅相特性完全由时，其开环幅相特性完全由比比例环节和积分环节例环节和积分环节决定。决定。当频率当频率 时，若时，若nm，G(j)|=0相角为相角为(m-n)/2。若若G(s)中分子含有中分子含有s因子环节，其因子环节，其G(j)曲线随曲线随 变化时发生弯曲。变化时发生弯曲。G(j)曲线与负实轴的交点，是一个关键点。曲

17、线与负实轴的交点，是一个关键点。系统开环传函的频率特性称为系统开环传函的频率特性称为开环频率特性。开环频率特性。控制系统一般总是由若干环节组成的控制系统一般总是由若干环节组成的,设其开环设其开环传递函数为传递函数为 ：G(s)=G1(s)G2(s)Gn(s)系统的开环频率特性为：系统的开环频率特性为：二、开环对数频率特性曲线的绘制二、开环对数频率特性曲线的绘制或或 得得则系统的开环对数频率特性为则系统的开环对数频率特性为 其中其中,Li()=20lgAi(),(i=1,2,n)。系统开环对数幅频等于各环节的对数幅频之和，系统开环对数幅频等于各环节的对数幅频之和，相频等于各环节相频之和。相频等于

18、各环节相频之和。系统开环对数幅频与对数相频表达式为系统开环对数幅频与对数相频表达式为系统开环对数幅频与对数相频表达式为系统开环对数幅频与对数相频表达式为:例例 5-15-1 绘制开环传递函数为绘制开环传递函数为 的零型系统的伯德图。的零型系统的伯德图。解解 系统开环对数幅频特性和相频特性分别为系统开环对数幅频特性和相频特性分别为 例例 5-1 5-1 的伯德图的伯德图 实实际际上上,在在熟熟悉悉了了对对数数幅幅频频特特性性的的性性质质后后,不不必必先先一一一一画画出出各各环环节节的的特特性性,然然后后相相加加,而而可以采用更简便的方法。可以采用更简便的方法。由由上上例例可可见见,零零型型系系统

19、统开开环环对对数数幅幅频频特特性性的的低低频频段段为为20lg20lgK K的的水水平平线线,随随着着的的增增加加,每每遇遇到到一一个个交交接接频频率率,对对数数幅幅频频特特性性就就改改变变一一次斜率次斜率。例例 5-2 设设型系统的开环传递函数为型系统的开环传递函数为 试绘制系统的伯德图。试绘制系统的伯德图。系统的伯德图如图所示。系统的伯德图如图所示。解解 系统开环对数幅频特性和相频特性分别为系统开环对数幅频特性和相频特性分别为 例例 5-2的伯德图的伯德图 此系统对数幅频特性的低频段斜率为此系统对数幅频特性的低频段斜率为20 dB/dec,它在它在=1 处与处与L1()=20 lgK的水平

20、线相交。的水平线相交。在交接频在交接频率率=1/T处处,幅频特性的斜率由幅频特性的斜率由20 dB/dec 变为变为40 dB/dec。通过以上分析通过以上分析,可以看出系统开环对数幅频特性有可以看出系统开环对数幅频特性有如下特点如下特点:低频段的斜率为低频段的斜率为2020dB/dec,dB/dec,为开环系统中所包为开环系统中所包含的积分环节的数目。含的积分环节的数目。低频段在低频段在1 1处的对数幅值为处的对数幅值为20lg20lgK K。在在典型环节的交接频率处典型环节的交接频率处,对数幅频特性渐近线的斜对数幅频特性渐近线的斜率要发生变化率要发生变化,变化的情况取决于典型环节的类型。变

21、化的情况取决于典型环节的类型。u遇遇到到G(s)(1+Ts)-1的的环环节节,交交接接频频率率处处斜斜率率改变改变-20dB/dec;u遇遇到到G(s)(1+Ts)的的环环节节,交交接接频频率率处处斜斜率率改改变变+20dB/dec;u遇到二阶振荡环节遇到二阶振荡环节,交交接接频频率率处斜率改变处斜率改变40dB/dec。综上所述综上所述,可以将绘制对数幅频特性的步骤归可以将绘制对数幅频特性的步骤归纳如下纳如下:(1)将将开开环环传传函函分分解解,写写成成典典型型环环节节相相乘乘的的形形式式;(2)求求出出各各典典型型环环节节的的交交接接频频率率,将将其其从从小小到到大大排排列列为为1,2,3

22、,并标注在并标注在轴上轴上;(3)绘绘制制低低频频渐渐近近线线(1左左边边的的部部分分),这这是是一一条条斜斜率率为为-20dB/dec(为为开开环环系系统统中中所所包包含含的的积积分分环环节节的的数数目目)的的直直线线,它它或或它它的的延延长长线线应应通通过过(1,20lgK)点点;(4)随随着着的的增增加加,每每遇遇到到一一个个典典型型环环节节的的交交接接频频率率,就改变一次斜率就改变一次斜率;对对数数相相频频特特性性可可以以由由各各个个典典型型环环节节的的相相频频特特性性相相加而得加而得,也可以利用相频特性函数也可以利用相频特性函数()直接计算。直接计算。例例5-35-3 系统开环传递函

23、数系统开环传递函数试绘制开环对数频率特性。试绘制开环对数频率特性。解解:系统开环频率特性为系统开环频率特性为系统由系统由5个典型环节串联组成：个典型环节串联组成：比例环节比例环节积分环节积分环节 对数幅频特性渐近线在对数幅频特性渐近线在 时穿越时穿越0dB线，其斜线，其斜率为率为-20dB/dec。转折频率转折频率 ，对数幅频特性渐近线曲，对数幅频特性渐近线曲线在转折频率前为线在转折频率前为0dB0dB线，转折频率后为一条斜率为线，转折频率后为一条斜率为-20dB/dec-20dB/dec的直线。的直线。对称于点对称于点 。惯性环节惯性环节惯性环节惯性环节 转折频率转折频率 ，对数幅频特性渐近

24、线，对数幅频特性渐近线类似于类似于 ，相频特性类似于，相频特性类似于 。一阶微分环节一阶微分环节 转折频率转折频率 ，对数幅频特性渐近线，对数幅频特性渐近线在在 之前为之前为0 0分贝线，在分贝线，在 之后为一条斜率之后为一条斜率为为20dB/dec20dB/dec的直线。的直线。相相频频特特性性 在在转转折折频频率率处处为为4545，低低频频段段为为0 0，高高频频段段为为9090，且且曲曲线线对对称称于于点点 。将以上个环节的将以上个环节的对数幅频特性渐近线对数幅频特性渐近线和相频特性曲线绘制和相频特性曲线绘制出，在同一频率下相出，在同一频率下相加即得到系统的开环加即得到系统的开环对数幅频

25、特性渐近线对数幅频特性渐近线及相频特性，如图所及相频特性，如图所示。示。Bode图图例例54 系统开环传递函数系统开环传递函数绘制系统开环对数幅频与相频特性曲线。绘制系统开环对数幅频与相频特性曲线。解：解：开环由三个典型环节组成，每个环节的对数幅开环由三个典型环节组成，每个环节的对数幅频与相频特性均是已知的。将各环节的对数幅频与频与相频特性均是已知的。将各环节的对数幅频与相频曲线绘出后，分别相加即得系统的开环对数幅相频曲线绘出后，分别相加即得系统的开环对数幅频及相频。频及相频。例例5 55 551234五个基本环节五个基本环节绘制开环系统的波特图绘制开环系统的波特图将写成典型环节之积；将写成典

26、型环节之积；找出各环节的转角频率；找出各环节的转角频率；画出各环节的渐近线；画出各环节的渐近线；在转角频率处在转角频率处修正渐近线修正渐近线得各环节曲线；得各环节曲线；将将各环节曲线相加各环节曲线相加即得波特图。即得波特图。一般规则：一般规则：具有最小相位传递函数的系统具有最小相位传递函数的系统,称为最小相位系统称为最小相位系统;具有非最小相位传递函数的系统具有非最小相位传递函数的系统,则称为非最小相位系统。则称为非最小相位系统。三、最小相位系统三、最小相位系统 若系统传递函数的极点和零点都位于若系统传递函数的极点和零点都位于s平面的左平面的左半部半部,这种传递函数称为这种传递函数称为最小相位

27、传递函数最小相位传递函数;否则否则,称为称为非最小相位传递函数非最小相位传递函数。对于幅频特性相同的系统对于幅频特性相同的系统,最小相位系统的相位最小相位系统的相位迟后是最小的迟后是最小的,而非最小相位系统的相位迟后必大于而非最小相位系统的相位迟后必大于前者。前者。例如有一最小相位系统例如有一最小相位系统,其频率特性为：其频率特性为：另有一非最小相位系统另有一非最小相位系统,其频率特性如下其频率特性如下:(T2T10)这两个系统的对数幅频特性完全相同这两个系统的对数幅频特性完全相同 相频特性不同：相频特性不同：前一系统的相角前一系统的相角 角度变化范围角度变化范围 0负角度值负角度值 0；后一

28、系统的相角后一系统的相角 角度变化范角度变化范围围 0-180。它们的它们的Bode图如图图如图3-22所示。所示。对对于于最最小小相相位位系系统统，对对数数幅幅频频特特性性与与相相频频特特性性之之间间存存在在着着唯唯一一的的对对应应关关系系。根根据据系系统统的的对对数数幅幅频频特特性性，可可以以唯唯一一地地确确定定相相应应的的相相频频特特性性和和传传递递函函数数,反反之之亦亦然然。但但是是，对对于于非非最最小小相相位系统，就不存在上述的这种关系。位系统，就不存在上述的这种关系。由最小相位系统的对数幅频特性确定其传递函数的步骤：由最小相位系统的对数幅频特性确定其传递函数的步骤：（1）由低频段确

29、定系统传函的型别：由低频段确定系统传函的型别：-20dB/dec(为传函中包为传函中包含的积分环节数含的积分环节数)（2）确定传函增益确定传函增益K 0 0型：型：20lgK=L1 型：低频段或其延长线交频率轴于型：低频段或其延长线交频率轴于 点点 0，K=0 型：低频段或其延长线交频率轴于型：低频段或其延长线交频率轴于 点点 0，K=02 L()L1 1（3）串联环节的确定：串联环节的确定：交接频率交接频率 1处，处，斜率改变斜率改变-20dB/dec，串，串 斜率改变斜率改变+20dB/dec，串，串 斜率改变斜率改变-40dB/dec，串串 斜率改变斜率改变+40dB/dec，串，串最小

30、相位系统幅频、相频对应关系最小相位系统幅频、相频对应关系环环 节节幅幅 频频相相 频频-20dB/dec-20dB/dec0dB/dec-20dB/dec0dB/dec-40dB/dec0dB/dec20dB/dec0dB/decn(-20)dB/dec0dB/decm(+20)dB/dec例例5-6 已知最小相位系统的对数幅频特性图如下：已知最小相位系统的对数幅频特性图如下：-20 -40 L()1 c 0试求系统的传递函数。试求系统的传递函数。解：解：系统传递函数为系统传递函数为其中，其中，或或54 稳定判据及稳定裕度稳定判据及稳定裕度一、奈奎斯特稳定判据一、奈奎斯特稳定判据反馈控制系统反

31、馈控制系统开环传递函数开环传递函数闭环传递函数闭环传递函数令令将将F(s)写成零、极点形式，则：写成零、极点形式，则：辅助函数辅助函数F(s)具有如下特点：具有如下特点：其零点和极点分别是闭环和开环的特征根。其零点和极点分别是闭环和开环的特征根。其零点的个数与极点的个数相同。其零点的个数与极点的个数相同。辅助函数与系统开环传递函数只差常数辅助函数与系统开环传递函数只差常数1。1.幅角原理幅角原理 如果封闭曲线如果封闭曲线 内有内有Z个个F(s)的零点，有的零点，有P个个F(s)的极点，则的极点，则 s 依依 顺时针转一圈时，在顺时针转一圈时，在F(s)平面上，平面上，F(s)曲线绕原点反时针转

32、的圈数曲线绕原点反时针转的圈数N为为P和和Z之差，即之差，即NPZ 若若N为负，表示为负，表示F(s)曲线绕原点顺时针转过的曲线绕原点顺时针转过的圈数。圈数。N=P-Z 也可写成也可写成:Z=P-N s为复变量，以为复变量，以 s 复平面上的复平面上的 s=+j 来表示。来表示。F(s)为复变函数，以为复变函数，以F(s)复平面上的复平面上的F(s)=u+j v表示。点表示。点映射关系、映射关系、s平面与平面与F(s)平面的曲线映射关系，如图所示。平面的曲线映射关系，如图所示。点映射关系点映射关系s平面与平面与F(s)平平面的映射关系面的映射关系 如如果果在在s平平面面上上任任取取一一条条封封

33、闭闭曲曲线线Cs，且且要要求求Cs曲曲线线满足下列条件满足下列条件:1)曲线曲线Cs不通过不通过F(s)的的奇点奇点（即（即F(s)的零点和极点）；的零点和极点）；2)曲线曲线Cs包围包围F(s)的的Z个零点和个零点和P个极点。个极点。s、F(s)平面上的封闭曲线平面上的封闭曲线Cs、Cs如图所示如图所示 复变函数复变函数F(s)，当，当s1（封闭曲线（封闭曲线Cs上任一点上任一点）沿）沿闭合曲线闭合曲线Cs顺时针转动一圈时，其顺时针转动一圈时，其矢量总的相角增量矢量总的相角增量记为记为F(s)。由由 式式中中，P和和Z分分别别是是被被封封闭闭曲曲线线Cs包包围围的的特特征征方方程程函函数数F

34、(s)的的极极点点数数和和零零点点数数。当当s平平面面上上的的试试验验点点s1沿沿封封闭闭曲曲线线Cs顺顺时时针针方方向向绕绕行行一一圈圈时时，F(s)平平面面上上对对应应的的封闭曲线将按逆时针方向包围坐标原点（封闭曲线将按逆时针方向包围坐标原点（P-Z）圈。）圈。例：例：NPZ=-1 即即F(s)曲线绕原点顺时针转一圈。曲线绕原点顺时针转一圈。2.2.奈式判据奈式判据 若若开环传函开环传函 在在s s的右半平面有的右半平面有p p个极个极点点，则为使闭环系统稳定，当，则为使闭环系统稳定，当 从从变化时，变化时，的轨迹必逆时针包围的轨迹必逆时针包围GHGH平平面上的面上的 点点 次。即：次。即

35、：z闭环传递函数在闭环传递函数在s右半平面的极点数。右半平面的极点数。（F(s)在在s右平面的零点数）右平面的零点数）p开环传函在开环传函在s右半平面的极点数。右半平面的极点数。N 绕绕 点逆时针转的次数。点逆时针转的次数。若若N为顺时针旋转圈数，则有为顺时针旋转圈数，则有 为将映射定理与控制系统为将映射定理与控制系统稳定性分析联系起来，稳定性分析联系起来，适当适当选择选择s平面的封闭曲线平面的封闭曲线Cs：由：由整个虚轴和半径为整个虚轴和半径为的右半的右半圆组成，试验点按顺时针方圆组成，试验点按顺时针方向移动一圈，该封闭曲线称向移动一圈，该封闭曲线称为为Nyquist轨迹（路径）轨迹（路径）

36、。Nyquist轨迹在轨迹在F(s)平面上平面上的映射也是一条封闭曲线，的映射也是一条封闭曲线，称为称为Nyquist曲线曲线。s平面上的平面上的Nyquist轨迹轨迹Nyquist轨迹及其映射轨迹及其映射 Nyquist轨迹轨迹Cs由两部分组成，由两部分组成，一部分沿虚轴由一部分沿虚轴由下而上移动下而上移动，试验点，试验点s=js=j在整个虚轴上的移动，在在整个虚轴上的移动，在F 平面上的映射就是曲线平面上的映射就是曲线F(j)(由由-+)。F(j)=1+G(j)H(j)Nyquist轨迹轨迹Cs的的另一部分另一部分为为s平面上半径为平面上半径为的右半圆的右半圆，映射到映射到F(s)平面上为

37、平面上为 F()=1+G()H()根据映射定理可得，根据映射定理可得，s平面平面上的上的Nyquist轨迹在轨迹在F平面上的平面上的映射映射F(j)，(从从-+)F F平面上的平面上的NyquistNyquist曲线曲线F平面上的平面上的Nyquist曲线曲线ZF(s)位位于于右右半半平平面面的的零点数，即闭环右极点个数；零点数，即闭环右极点个数；PF(s)位位于于右右半半平平面面的的极点数，即开环右极点个数；极点数，即开环右极点个数；NNyquist曲曲线线逆逆时时针针包围坐标原点的次数。包围坐标原点的次数。F(s)=1+G(s)H(s)闭环系统稳定的条件为闭环系统稳定的条件为系统的闭环极点

38、均在系统的闭环极点均在s平面平面的左半平面的左半平面。即。即 Z=0 或或 N=P。由由幅角定理幅角定理可得可得F(s)逆时逆时针包围坐标原点的次数针包围坐标原点的次数N为为N=P-Z Nyquist稳定判据一稳定判据一 由由G(j)H(j)的的Nyquist曲曲线线(从从0+)判判别别闭闭环环系系统统稳稳定定性性的的Nyquist判判据据为为G(j)H(j)曲曲线线(：0+)逆时针包围逆时针包围(-1，j0)的次数为的次数为 。当系统的当系统的开环传递函数开环传递函数G(s)H(s)在在s平面的原点及平面的原点及虚轴上无极点虚轴上无极点时，时，Nyquist稳定判据可表示为：稳定判据可表示为

39、：当当从从-+变化时变化时G(j)H(j)的的Nyquist曲线逆曲线逆时针包围时针包围(-1，j0)点的次数点的次数N，等于系统，等于系统G(s)H(s)位于位于右半右半s平面的极点数平面的极点数P，即，即N=P，则闭环系统稳定，则闭环系统稳定,否否则则(NP)闭环系统不稳定闭环系统不稳定。极坐标图极坐标图例例 已已知知单单位位反反馈馈系系统统，开开环环极极点点均均在在s平平面面的的左左半半平平面面，开开环环频频率率特特性性极极坐坐标标图图如如图图所所示示，试试判判断断闭闭环系统的稳定性。环系统的稳定性。解解 ：系统开环稳定，即系统开环稳定，即P=0 0；从图中看到从图中看到由由-+变化时，

40、变化时，G(j)H(j)曲线不包曲线不包围围(-1-1，j0 0)点，即点，即N=0 0；Z=P-N=0 0；所以，闭环系统是稳定的。所以，闭环系统是稳定的。作作出出=0+变变化化时时G(j)H(j)曲曲线线如如图图所所示示，镜镜像像对对称称得得：-0变变化化时时G(j)H(j)如如图图中中虚虚线线所示。所示。系系统统开开环环不不稳稳定定，有有一一个个位位于于s平平面面的的右右极极点点，即即P=1。例例 单位反馈系统，其开环传递函数为单位反馈系统，其开环传递函数为试判断闭环系统的稳定性。试判断闭环系统的稳定性。解解 系统开环频率特性为系统开环频率特性为极极坐坐标标图图 从从G(j)H(j)曲曲

41、线线看看出出，当当K1时时，Nyquist曲曲线线逆逆时时针针包包围围(-1，j0)点点一一圈圈，即即N=1，Z=N-P=0则则闭闭环环系系统是稳定的。统是稳定的。当当K1时，随着时，随着M值的增大，等值的增大，等M圆半径愈来圆半径愈来愈小，最后收敛于（愈小，最后收敛于（-1,j0）点）点，且这些圆均在，且这些圆均在M=1直线的左侧；直线的左侧；当当M1时，随着时，随着M值的减小，值的减小，M圆半径也愈来圆半径也愈来愈小愈小，最后，最后收敛于原点收敛于原点，而且这些圆都在，而且这些圆都在M=1直线直线的右侧；的右侧；当当M=1时，它是时，它是通过（通过（-1/2，0j）点平行于虚点平行于虚轴的

42、一条直线轴的一条直线。等。等M圆既对称于圆既对称于M=1的直线，又对的直线，又对称于实轴。称于实轴。分析分析等等N N圆（等相角轨迹）圆（等相角轨迹）令令整理得：整理得：定义：定义：闭环频率特性的相角闭环频率特性的相角 为：为：G(j)=p()+j()=x+j y 等等N圆圆分析分析 等等N圆实际上是圆实际上是等相角正切等相角正切的圆，当相角增加的圆，当相角增加180时，其时，其正切相同正切相同，因而在同一个圆上；，因而在同一个圆上；当给定当给定N值值(等等N值值)时，上式为圆的方程，圆时，上式为圆的方程，圆心心在在 处，半径为处，半径为 ,称为称为等等N圆圆。所有等所有等N圆均通过圆均通过原

43、点原点和和（-1，j0）点；点；对于等对于等N圆，并不是一个完整的圆，而只是圆，并不是一个完整的圆，而只是一一段圆弧段圆弧；利用等利用等M M圆和等圆和等N N圆求单位反馈系统的闭环频率特性圆求单位反馈系统的闭环频率特性意义：有了等意义：有了等M圆和等圆和等N圆图，就可由开环圆图，就可由开环频率特性求单位反馈系统的闭环幅频特性和相频率特性求单位反馈系统的闭环幅频特性和相频特性。频特性。将开环频率特性的极坐标图将开环频率特性的极坐标图G(j)叠加在等叠加在等 M圆线上圆线上，如图，如图(a)所示。所示。G(j)曲线与等曲线与等M圆圆相交于相交于1，2，3.。（a）等）等M圆圆（b）等）等N圆圆

44、在在=1 处，处，G(j)曲线与曲线与M=1.1的等的等M圆相交表明圆相交表明在在1频率下，闭环系统的幅值为频率下，闭环系统的幅值为M(1)=1.1依此类推依此类推 从图上还可看出，从图上还可看出，M=2的等的等M圆正好与圆正好与G(j)曲线曲线相切，切点处的相切，切点处的M值最大，即为值最大，即为闭环系统的谐振峰值闭环系统的谐振峰值Mr，而切点处的频率即为而切点处的频率即为谐振频率谐振频率r。此外，此外，G(j)曲线与曲线与M=0.707的等的等M圆交点处的频率圆交点处的频率为闭环系统的截止频率为闭环系统的截止频率b，0b 称为称为闭环系统的闭环系统的频带宽度频带宽度。将开环频率特性的极坐标

45、图将开环频率特性的极坐标图G(j)叠加叠加在等在等N圆线上，如图圆线上，如图(b)所示。所示。G(j)曲线与曲线与等等N圆相交于圆相交于1，2，3.如如=1处，处，G(j)曲线与曲线与-10的等的等N圆圆相交，表明在这个频率处，闭环系统的相角相交，表明在这个频率处，闭环系统的相角为为-10，依此类推得闭环相频特性。，依此类推得闭环相频特性。一、等一、等M M圆图和等圆图和等N N圆图的应用圆图的应用根据开环幅相曲线，应用等根据开环幅相曲线，应用等M圆图，可以作圆图，可以作出闭环幅频特性曲线，应用等出闭环幅频特性曲线，应用等N圆图，可以圆图，可以作出闭环相频特性曲线。作出闭环相频特性曲线。令令M

46、为为常数，常数，得到等得到等M圆图圆图因此因此 令令N为为常数，常数，得到等得到等N圆图圆图二、尼科尔斯图（二、尼科尔斯图（N.b.Nichols)如果将开环频率特性表示为如果将开环频率特性表示为:则则做变换得做变换得由等由等M线和等线和等 线组成的图，称为线组成的图，称为尼科尔斯图尼科尔斯图。如图所示。如图所示。尼科尔斯图尼科尔斯图三、利用闭环幅频特性分析和估算系统的性能三、利用闭环幅频特性分析和估算系统的性能闭环幅频特性曲线闭环幅频特性曲线 在已知闭环系在已知闭环系统稳定的条件下，统稳定的条件下，可以只根据系统闭可以只根据系统闭环幅频特性曲线，环幅频特性曲线，对系统的动态响应对系统的动态响

47、应过程进行定性分析过程进行定性分析和定量估算。和定量估算。定性分析定性分析零频的幅值零频的幅值 反映系统在阶跃信号作用下反映系统在阶跃信号作用下是否存在静差。是否存在静差。谐振峰值谐振峰值 反映系统的平稳性。反映系统的平稳性。带宽频率带宽频率 反映系统的快速性。反映系统的快速性。闭环幅频闭环幅频 在在 处的斜率反映系统抗高处的斜率反映系统抗高频干扰的能力。频干扰的能力。开环频率特性与开环频率特性与时域响应的关系时域响应的关系开环频率特性与时域响应的关系通常分为三个频段加开环频率特性与时域响应的关系通常分为三个频段加以分析，下面介绍以分析，下面介绍“三频段三频段”的概念。的概念。低频段低频段 低

48、频段通常指低频段通常指 的渐近线在第一个转的渐近线在第一个转折频率以前的频段，这一段特性完全由折频率以前的频段，这一段特性完全由积分环节和开积分环节和开环放大倍数环放大倍数决定。决定。开环开环四、用频率特性分析系统品质四、用频率特性分析系统品质低频段低频段中频段中频段中频段中频段 特性集中反映了系统的平稳性特性集中反映了系统的平稳性和快速性。和快速性。高频段高频段 系统开环对数幅频在系统开环对数幅频在高频段高频段的幅值，直接反映的幅值，直接反映了系统对输入高频干扰信号的抑制能力。高频特性了系统对输入高频干扰信号的抑制能力。高频特性的分贝值越低，系统抗干扰能力越强。的分贝值越低，系统抗干扰能力越

49、强。三个频段的划分并没有严格的确定准三个频段的划分并没有严格的确定准则，但是三频段的概念，为直接运用开则，但是三频段的概念，为直接运用开环特性判别稳定的闭环系统的动态性能环特性判别稳定的闭环系统的动态性能指出了原则和方向。指出了原则和方向。系统开环对数幅频渐近特性曲线系统开环对数幅频渐近特性曲线 对于二阶系统，其频域对于二阶系统，其频域性能指标和时域性能指标之性能指标和时域性能指标之间有着严格的数学关系间有着严格的数学关系 。二阶系统的闭环传递函数为：二阶系统的闭环传递函数为：系统的闭环频率特性为：系统的闭环频率特性为：闭环闭环 系统的闭环幅频特性为系统的闭环幅频特性为 系统的闭环相频特性为系

50、统的闭环相频特性为谐振峰值谐振峰值Mr和时域超调量和时域超调量Mp之间的关系之间的关系 二阶系统的超调量二阶系统的超调量Mp 谐振峰值谐振峰值Mr 由此可看出，谐振峰值由此可看出，谐振峰值Mr仅与阻尼比仅与阻尼比有关，超有关，超调量调量Mp也仅取决于阻尼比也仅取决于阻尼比 越小，越小，MrMr增加的越快，这时超调量增加的越快，这时超调量MpMp也很大，也很大，超过超过40%40%，一般这样的系统不符合瞬态响应指标的，一般这样的系统不符合瞬态响应指标的要求；要求；当当0.4 0.4 0.707 0.707 0.707时，无谐振峰值，时，无谐振峰值，MrMr与与MpMp的对应关的对应关系不再存在，