第一章概率论的基本概念.ppt

《第一章概率论的基本概念.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章概率论的基本概念.ppt（41页珍藏版）》请在沃文网上搜索。

1、随机现象随机现象：某人射击一次某人射击一次,考察命中情况考察命中情况;某人射击一次某人射击一次,考察命中环数考察命中环数;掷一枚硬币掷一枚硬币,观察向上的面观察向上的面;从一批产品中抽取一件从一批产品中抽取一件,考察其质量考察其质量;确定性现象确定性现象：抛一石块抛一石块,观察结局观察结局;导体通电导体通电,考察温度考察温度;异性电菏放置一起异性电菏放置一起,观察其关系观察其关系;第第1.1节节 引言引言第一章第一章 概率论的基本概念概率论的基本概念随机现象随机现象 在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不出现，呈现出不确定性，并且在每次观察

2、之前不能准出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。随机现象的统计规律性随机现象的统计规律性 在相同条件下多次重复某一实验或观察时，其各种结在相同条件下多次重复某一实验或观察时，其各种结果会表现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统果会表现出一定的量的规律性，这种规律性称之为统计规律性。计规律性。概率统计的研究对象概率统计的研究对象 概率统计是研究随机现象统计规律性的一门科学。随概率统计是研究随机现象统计规律性的一门科学。随机现象的普遍存在性决定了它的广泛应用性。机现象的普遍存在性决定了它的广泛应用性。第第

3、1.2节节 概率的统计定义概率的统计定义(频率频率)1.随机试验（随机试验（E E）对随机现象进行的实验与观察对随机现象进行的实验与观察.它具有三个特点：它具有三个特点：重复性重复性,明确性明确性 ,随机性随机性.2.随机试验的样本点随机试验的样本点随机试验的每一个可能结果随机试验的每一个可能结果.3.随机试验的样本空间（随机试验的样本空间（或或S）随机试验的所随机试验的所有样本点构成的集合有样本点构成的集合.4.基本事件基本事件的单元素子集，即每个样本点构成的单元素子集，即每个样本点构成的集合的集合.5.随机事件随机事件的子集，常用的子集，常用A、B、C表示表示.6.必然事件必然事件（）7.

4、不可能事件不可能事件（）课课 堂堂 练练 习习写出下列各个试验的样本空间写出下列各个试验的样本空间1 1 掷一枚均匀硬币，观察正面（掷一枚均匀硬币，观察正面（H H）反反 面（面（T T）出现的情况；出现的情况；2.2.将一枚硬币连抛三次，观察正反面出现将一枚硬币连抛三次，观察正反面出现 的情况；的情况；3.3.某袋子中装有某袋子中装有 5 5 个球，其中个球，其中 3 3 个红球，个红球，编号编号A A、B B、C C，有有 2 2 个黄球，编号个黄球，编号D D、F F，现从中任取一个球，观察颜色。现从中任取一个球，观察颜色。若是观察编号呢？若是观察编号呢？4.袋中有编号为袋中有编号为 1

5、，2，3，n 的球的球,从从 中任取一个，观察球的号码；中任取一个，观察球的号码；5.从自然数从自然数 1，2，3，N（N 3）中中 接连随意取三个接连随意取三个,每取一个还原后再每取一个还原后再 取取 下一个。若是不还原呢？若是一次就取下一个。若是不还原呢？若是一次就取 三个呢？三个呢？6.接连进行接连进行n次射击次射击,记录命中次数记录命中次数.若是记若是记 录录n次射击中命中的总环数呢？次射击中命中的总环数呢？7.观察某条交通干线中某天交通事故的次观察某条交通干线中某天交通事故的次 数。数。定义定义 (概率的统计定义概率的统计定义)在一定条件下在一定条件下,重复做重复做 次实验次实验,为

6、为 次实次实验中事件验中事件A发生的次数发生的次数,如果随着如果随着n逐渐增大逐渐增大,频率频率 逐渐稳定在某一数值逐渐稳定在某一数值p附近附近,则数值则数值p称为事件称为事件A在在该条件下发生的概率该条件下发生的概率,记作记作 .注注:(1)频率具有稳定性频率具有稳定性 (2)当试验次数当试验次数n较大时较大时,经常用频率代替概经常用频率代替概率率第第1.3节节 概率的古典定义概率的古典定义(比率比率)1.古典概型（古典试验）古典概型（古典试验）设设为试验为试验E的样本空间，若的样本空间，若（有限性有限性）只含有只含有限个样本点，限个样本点，（等概性等概性）每个基本事件出现的可能性相）每个基

7、本事件出现的可能性相等，则称等，则称E为为古典概型古典概型（或等可能概型）。（或等可能概型）。2.古典概率的定义古典概率的定义 设设E为古典概型，为古典概型，为为E的样本空间，的样本空间，A为任意一个事为任意一个事件，定义事件件，定义事件A的概率的概率 P(A)=P(A)=有利于有利于A A的基本事件数的基本事件数/试验的基本事件总数试验的基本事件总数 (或或=事件事件A A包含的基本结果数包含的基本结果数/试验的基本结果数试验的基本结果数）注注意意：古古典典概概型型的的判判断断方方法法，古古典典概概率率的的计计算算步步骤骤：弄弄清清试试验验与与样样本本点点数数清清样样本本空空间间与与随随机机

8、事事件件 中中的的样样本本点点数数 列列出出比比式式进进行行计计算算。二二.加法原理加法原理:完成某件事情有完成某件事情有n类办法类办法,在第一类方法中有在第一类方法中有m1种方法种方法,在第二类办法中有在第二类办法中有m2种方法种方法,依次类推依次类推,在第在第n类办法中有类办法中有mn种方法种方法,则完成这件事共有则完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法种不同的方法,其中各类办法彼此独立其中各类办法彼此独立.三三.乘法原理乘法原理:完成某件事情需先后分成完成某件事情需先后分成n个步骤个步骤,做第一步有做第一步有m1种方法种方法,第二步有第二步有 m2 种方法种方法,依次类推依次类推

9、,第第n步有步有mn种方法种方法,则完成这件则完成这件事共有事共有N=m1m2mn种不同的方法种不同的方法,特点是各个步骤连续完特点是各个步骤连续完成成.例题例题:1.4.1 两批产品各两批产品各50件件,其中次品各其中次品各5件件,从这两批产品中各抽取从这两批产品中各抽取1件件,(1)两件都不是次品的选法有多少种两件都不是次品的选法有多少种?(2)只有一件次品的选法有多少种只有一件次品的选法有多少种?解解:(1)用乘法原理，结果为用乘法原理，结果为(2)结合加法原理和乘法原理，得选法为结合加法原理和乘法原理，得选法为:例例 题题例例1.4.21.4.2（产（产 品品 的的 随机随机 抽抽 样

10、样 问问 题）题）例例1 箱箱 中中 有有 6 个个 灯泡，其灯泡，其 中中 2 个个 次次 品品4 个个 正正 品，有品，有 放放 回地回地 从从 中中 任任 取取 两两 次，次，每每 次次 取取 一个，试求下一个，试求下 列列 事事 件件 的的 概率：概率：（1）取取 到到 的的 两两 个个 都都 是是 次次 品，品，（2）取到的两个中正、次品）取到的两个中正、次品各一个各一个,（3）取到的两个中至少有一个正品取到的两个中至少有一个正品.解：设解：设A=取取 到到 的的 两两 个个 都都 是是 次次 品品，B=取到的两个中正、取到的两个中正、次品各一个次品各一个,C=取到的两个中至少有一个

11、正品取到的两个中至少有一个正品.（1）基本事件总数为基本事件总数为62，有利于事件，有利于事件A的基本事件数为的基本事件数为22，所以所以P（A）=4/36=1/9（2）有利于事件有利于事件B的基本事件数为的基本事件数为42+24=16，所以所以P（B）=16/36=4/9（3）有利于事件有利于事件C的基本事件数为的基本事件数为62-22=32，P（C）=32/36=8/9注意注意若改为无放回地抽取两次呢若改为无放回地抽取两次呢?若改为一次抽取两个呢若改为一次抽取两个呢？第第1.5节节 事件的关系与运算、加法公理事件的关系与运算、加法公理称在一次试验中事件称在一次试验中事件A出现（发生）当且仅

12、出现（发生）当且仅当此次试验出现了当此次试验出现了A中的样本点中的样本点.注意注意：1.在一次试验中，某个事件可能出现也可能在一次试验中，某个事件可能出现也可能不出现；不出现；2.在一次试验中，有且仅有一个基本事件在一次试验中，有且仅有一个基本事件出现出现.事件的关系与运算事件的关系与运算事件之间的关系与运算完全和集合之间事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与运算一致，只是术语不同而已。的关系与运算一致，只是术语不同而已。比如：概率论中的必然事件（样本空间）比如：概率论中的必然事件（样本空间）在集合论中是全集，概率论中的不可能在集合论中是全集，概率论中的不可能事件在集合论中是空集，概率论中

13、的事事件在集合论中是空集，概率论中的事件在集合论中是子集，概率论中的逆事件在集合论中是子集，概率论中的逆事件、和事件、积事件、差事件在集合论件、和事件、积事件、差事件在集合论中分别是余集、并集、交集、差集，等。中分别是余集、并集、交集、差集，等。记记 号号 概概 率率 论论 集集 合合 论论 S()样本空间样本空间,必然事件必然事件 空间空间,全集全集 不可能事件不可能事件 空集空集 样本点样本点 元素元素 A 事件事件 集合集合A是是B的子事件的子事件 A是是B的子集的子集A与与B是相等事件是相等事件 A与与B是相等集合是相等集合A与与B互斥互斥(互不相容互不相容)A与与B无相同元素无相同元

14、素A与与B的和的和(并并)事件事件 A与与B的并集的并集A与与B的积的积(交交)事件事件 A与与B的交集的交集A与与B的差事件的差事件 A与与B的差集的差集A的对立事件的对立事件(逆事件逆事件)A的余的余(补补)集集 课堂练习课堂练习1.设有事件设有事件A、B，用它们将必然事件用它们将必然事件 与和与和事件事件A+B表示为若干个互斥事件的和。表示为若干个互斥事件的和。2.若若A是是B的子事件，则的子事件，则A+B=()，AB=()3.设当事件设当事件A与与B同时出现时同时出现时C也出现也出现,则则()A+B是是C的子事件；的子事件；C是是A+B的子事件；的子事件；AB是是C的子事件；的子事件；

15、C是是AB的子事件。的子事件。4.设事件设事件A=甲种产品畅销，乙种产品滞销甲种产品畅销，乙种产品滞销，则则A的对立事件为（的对立事件为（）甲种产品滞销，乙种产品畅销；甲种产品滞销，乙种产品畅销；甲、乙两种产品均畅销；甲、乙两种产品均畅销；甲种产品滞销；甲种产品滞销；甲种产品滞销或者乙种产品畅销。甲种产品滞销或者乙种产品畅销。5.设设x表示一个沿数轴做随机运动的质点位表示一个沿数轴做随机运动的质点位 置，试说明下列各对事件间的关系置，试说明下列各对事件间的关系 A=|x-a|，B=x-a（0）A=x20，B=x20 A=x22，B=x196.设设A、B、C为任意三个事件为任意三个事件,试用试用

16、 它们表示下列事件它们表示下列事件:A出现，出现，B、C不出现；不出现；A、B出现，出现，C不出现；不出现；A、B、C都出现；都出现；A、B、C都不出现；都不出现；A、B、C中恰有一个出现；中恰有一个出现；A、B、C中至少有一个出现；中至少有一个出现；A、B、C中至多有一个出现；中至多有一个出现；A、B、C中不多于一个出现；中不多于一个出现；A、B、C中至少有两个出现；中至少有两个出现；A、B、C中最多有两个出现中最多有两个出现.7.接连进行三次射击，设事件接连进行三次射击，设事件 Ai=第第i次射击命中次射击命中 i=1，2，3，Bj=三次射击恰好命中三次射击恰好命中j次次 j=0，1，2，

17、3，Cr=三次射击至少击中三次射击至少击中r次次 r=0，1，2，3，用用Ai（i=1，2，3）表示表示Bj，Cr （j，r=0，1，2，3）用用Bj（j=0，1，2，3）表示表示Cr （r=0，1，2，3）概率的主要性质概率的主要性质(1)P()=0，P()=1，逆不一定成立逆不一定成立.(2)加法公式加法公式若若AB=,则则P(A+B)=P(A)+P(B),可推广可推广 到有限个互到有限个互斥斥 事件的情形事件的情形.即即:若若A1,A2,An两两互斥两两互斥,则则P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)(3)P(A-B)=P(A)-P(AB),P(-A)=1-P(A).

18、若若A是是B的子事件的子事件,则则P(B-A)=P(B)-P(A)；P(A)P(B);(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)可推广到有可推广到有 限个事件的情形限个事件的情形(多退少补原则多退少补原则)。得：得：P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2，例题1.5.1 AB=，P(A)=0.6，P(A+B)=0.8，求求 B的逆的逆事件的概率。事件的概率。所以，所以，P()=1-0.2=0.8解：由解：由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)思

19、考：在以上条件下，思考：在以上条件下，P(A-B)=？1.5.2.设事件设事件A发生的概率是发生的概率是0.6，A与与B都发生的概率是都发生的概率是0.1，A 与与B 都都 不发生不发生 的概率为的概率为 0.15,求求 A发生发生B不发生的概率；不发生的概率；B 发生发生A不发生的概率及不发生的概率及P(A+B).解：解：由已知得，由已知得，P（A）=0.6，P（AB）=0.1，P（）=0.15，则则 P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）=0.5 P（B-A）=P（B）-P（AB）P（A+B）=1-P（）=1-P（）=0.85又因为又因为P（A+B）=P（A）+P（B）-P（A

20、B），），所以，所以，P（B）=P（A+B）-P（A）+P（AB）=0.85-0.6+0.1=0.35从而，从而，P（B-A）=0.35-0.1=0.25课堂练习课堂练习(901)P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(A+B)=0.6，求求P(A-B).(915)P(A)=0.7，P(A-B)=0.3，求，求P(-AB)(921)P(A)=P(B)=P(C)=1/4，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=1/6，求，求A、B、C都不出现的概率。都不出现的概率。(941)A、B都出现的概率与都出现的概率与 A、B 都不出现的概率都不出现的概率相等，相等，P(A)=p，求，求P(B).解：(1

21、)P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.1,所以所以P(A-B)=P(A)-(AB)=0.3(2)P(-AB)=1-P(AB)=1-P(A)-P(A-B)=1-0.7+0.3=0.6(3)P()=P()=1-P(A+B+C)=7/12(4)P(AB)=P()=P()=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB),所以所以,P(B)=1-P(A)=1-p一、条件概率一、条件概率1、定义、定义 对于两个事件对于两个事件A、B，若，若P（A）0，则称则称P（B|A）=P（AB）/P（A）为事件为事件A出现出现的条件下，事件的条件下，事件B出现的条件概率。出现的条件概率。注意注意:

22、区别区别P（B|A）与）与P（AB）.例例 有有10个人个人,其中色盲者其中色盲者3人人,从这从这10人中每次任人中每次任取一人取一人,共取两次。共取两次。设设A第一次取出色盲第一次取出色盲 第二次取出色盲则第二次取出色盲则 P(B|A)/(A)=1/15 P()=3/10第第1.6节节 条件概率、全概率公式及贝叶斯公式条件概率、全概率公式及贝叶斯公式例例1.1 在在10个产品中有个产品中有7个正品，个正品，3个次品，个次品，按不放回抽样，每次一个，抽取两次，求按不放回抽样，每次一个，抽取两次，求 两次都取到次品的概率；两次都取到次品的概率；第二次才取到次第二次才取到次品的概率；品的概率；已知

23、第一次取到次品，第二次又已知第一次取到次品，第二次又取到次品的概率。取到次品的概率。若改为有放回抽样呢？若改为有放回抽样呢？（2）P（）=(73)/(10 9)=7/30 （3）P（B|A）=2/9=P（AB）/P（A)=(1/15)/(3/10)解：设解：设A=第一次取到次品第一次取到次品，B=第二次取到次品第二次取到次品，（1）P（AB）=(32)/(109)=1/15例例1.2（964）已知）已知 0P（B）1，且且 P(A1+A2)|B=P(A1|B)+P(A2|B)记记C=-B,则下列选项成立的是（则下列选项成立的是（）P(A1+A2)|C=P(A1|C)+P(A2|C)P(A1B+

24、A2B)=P(A1B)+P(A2B)P(A1+A2)=P(A1|B)+P(A2|B)P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)例例1.3（965）设事件）设事件A是是B的子事件的子事件1 P(B)0，则下列选项必然成立的是（则下列选项必然成立的是（）P(A)P(A|B)P(A)P(A|B)例例1.4 P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P(-B)|A)=0.4,则则 P(B)=().2、乘法公式、乘法公式对于两个事件对于两个事件A与与B，若若P(A)0,则有则有 P(AB)=P(A)P(B|A),若若P(B)0,则有则有 P(AB)=P(B)P(A|B),若若P(A)0

25、,P(B)0,则有则有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)推广情形推广情形对对 于于 n 个个 事事 件件 A1,A2,An,若若 P(A1A2An-1)0，则则 有有 P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An-1)特别特别：对事件对事件A，B，C，若，若P（AB）0，则有则有 P（ABC）=P（A）P（B|A）P（C|AB）注意：乘法法则一般用于计算几个事件同时发生的概率注意：乘法法则一般用于计算几个事件同时发生的概率B=B1+B2，P（B1）=0.2，P（A|）=0.3，P（B2|）=0.4，所以，所以，P（A）=P（A）

26、=P（）P（A|）=0.80.3=0.24，例例1.6.5 假设在空战中，若甲机先向乙机开火，击落乙机的概率是假设在空战中，若甲机先向乙机开火，击落乙机的概率是0.2；若乙机未被击落，进行还击击落甲机的概率为；若乙机未被击落，进行还击击落甲机的概率为0.3；若甲机亦；若甲机亦未被击落，再次进攻，击落乙机的概率是未被击落，再次进攻，击落乙机的概率是0.4，分别计算这几个回，分别计算这几个回合中甲、乙被击落的概率。合中甲、乙被击落的概率。解：设解：设A=甲机被击落甲机被击落，B=乙机被击落乙机被击落，B1=乙第一次被击落乙第一次被击落，B2=乙机第二次被击落乙机第二次被击落，由题意得：，由题意得：

27、B1.B2互斥，互斥，P（B2）=P（B2）=P（）P（|）P（B2|）=0.80.70.4=0.224P（B）=P（B1）+P（B2）=0.2+0.224=0.424二二、全概率公式和、全概率公式和Bayes公式公式1、全概率公式、全概率公式 A1,A2,An是两两互斥的正概率事件，是两两互斥的正概率事件，且且事件事件 A1+A2+An=,则则 对于任何一个事件对于任何一个事件B，有有 P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(An)P(B|An)注意：注意：（1）全概率公式中的事件组是完备事件组；）全概率公式中的事件组是完备事件组；（2）该公式一般用于：所求事件的概率可能有某些原因引发，）该

28、公式一般用于：所求事件的概率可能有某些原因引发，而这些原因又构成完备事件组；而这些原因又构成完备事件组；（3）在应用该公式时，必须先找出引发该事件的完备事件组。）在应用该公式时，必须先找出引发该事件的完备事件组。例例1.6.6（935）设）设10件产品中有件产品中有4件不合格品，从件不合格品，从 中中不放回取两次，每次一件，求第二件为不合格品的不放回取两次，每次一件，求第二件为不合格品的概概 率为多少？率为多少？解：设解：设A=第一次取得不合格品第一次取得不合格品，B=第二次取得第二次取得不不 合格品合格品，事件事件A和和A的对立的对立 事件构成完备事件组，由全概率事件构成完备事件组，由全概率

29、公式得公式得：=（4/10）（3/9）+（6/10）（4/9）=6/15例例1.6.7 市场上某种商品由三个厂家同时供获市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为其供应量为:甲甲 厂家是乙厂家的厂家是乙厂家的2倍倍,乙乙.丙两个厂家相等丙两个厂家相等,且各厂产品的次且各厂产品的次品品 率为率为2%,2%,4%,(1)求市场上该种商品的次品率求市场上该种商品的次品率.(2)若从市场上的商品中随机抽取一若从市场上的商品中随机抽取一 件件,发现是次品发现是次品,求它是甲求它是甲厂厂 生产的概率生产的概率?解：设解：设Ai表示取到第表示取到第i 个工厂产品，个工厂产品，i=1,2,3,B表示取到次品

30、表示取到次品,由题意由题意 得得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 由全概率公式得由全概率公式得:=0.025分析分析:所求为条件概率所求为条件概率P(A1|B)=P(A1B)/P(B).这也就是下面的这也就是下面的Bayes公式公式.设正概率事件A1，A2,.,An构成完备事件组,对于任何一个正概率事件B，有注意注意:1.A1,A2,.,An可以看作是导致事件可以看作是导致事件B发生的原因发生的原因;2.P(Aj|B)是在事件是在事件B发生的条件下发生的条件下,某个原因某个原因Aj发生的概率发生

31、的概率,称为称为 “后验概率后验概率”;Bayes公式又称为公式又称为“后验概率公式后验概率公式”或或“逆概公式逆概公式”;3.P(Aj)对应可以称为对应可以称为“先验概率先验概率”.2、贝叶斯（、贝叶斯（Bayes）公式公式P(Aj|B)=P(Aj B)/P(B)=P(Aj)P(B|Aj)/P（B）例例1.6.8 市场上某种商品由三个厂家同时供获市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应量为其供应量为:甲厂家是乙厂家的甲厂家是乙厂家的2倍倍,乙乙.丙两个厂家相等丙两个厂家相等,且各厂产品的次品率且各厂产品的次品率 为为2%,2%,4%,(1)求市场上该种商品的次品率求市场上该种商品的次品率.(

32、2)若从市场上的商品中随机抽取一 件,发现是次品,求它是甲厂 生产的概率?解：解：(2)设设Ai表示取到第表示取到第i 个工厂产品，个工厂产品，i=1,2,3,B表示取到次品表示取到次品,由题意得由题意得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25 P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04 由由Bayes公式得公式得:=0.4第第1.7节、事件的独立性节、事件的独立性定义定义 若事件若事件A与与B满足满足 P(AB)=P(A)P(B),则称则称A与与B相互独立，简称相互独立，简称A与与B独立。独立。推论推论1 A、B为两个事件，若为两个事件，若P(

33、A)0,则则 A与与B独立等价于独立等价于P(B|A)=P(B).证明：证明：A.B独立独立P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)P(B|A)=P(B)证明证明:不妨设不妨设A.B独立独立,则则其他类似可证其他类似可证 推论推论2 在在 A 与与 B，与与 B，A 与与 ，与与 这四对这四对 事件中，若有一对独立，则另外三对也相互独立事件中，若有一对独立，则另外三对也相互独立。说明：说明：推论推论3提供了一种判断两事件独立性提供了一种判断两事件独立性的直观方法，的直观方法，即对于两事件，即对于两事件，若其中任何若其中任何一个事件出现的概率不受另一个事件出现与一个事件出现的概率不受另

34、一个事件出现与否的影响，则可判断这两事件是独立的。否的影响，则可判断这两事件是独立的。推论推论3 设设0P(A)1,0P(B)1 则下面四个等式则下面四个等式 等价，等价，P(B|A)=P(B)，P(B|)=P(B)P(A|B)=P(A)，P(A|)=P(A)推广推广1 1（n n个事件的相互独立性）个事件的相互独立性）:设有设有n n个事件个事件A A1 1,A,A2 2,A,An n,若它们中任何一个事件的发生都不受其它若它们中任何一个事件的发生都不受其它事件的影响事件的影响,则称这则称这n n个事件相互独立个事件相互独立.性质性质:若若n n个事件相互独立，则个事件相互独立，则 它们积事

35、件的概率等于每个事件概率的积；反之不它们积事件的概率等于每个事件概率的积；反之不一定成立。一定成立。它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事件它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事件后，所得的后，所得的n n个事件也是相互独立的。个事件也是相互独立的。推广推广2 2 设设A A1 1，A A2 2，A An n为随机事件序列，若它们中为随机事件序列，若它们中的任何有限个事件都是相互独立的，的任何有限个事件都是相互独立的，则称该随机事件则称该随机事件序列是相互独立的。序列是相互独立的。注意注意：1.对对 于于 有有 放放 回回 抽抽 样，各样，各 次次 抽抽 取取 是是 相相 互互 独独

36、立立 的的。2.区区 别别 互互 斥斥 事事 件件（互互 不不 相相 容容 事事 件）、对件）、对 立立 事事 件件、独独 立立 事事 件件。3.当当 A、B 独独 立立 时时,计计 算算 P(AB)，P(A+B)，P(A-B).P(A1+A2+An)P(C)=P(A1A2An)当当 A1 A2 An 独独 立立 时时当当 A1 A2 An 不独立时不独立时当当A1 A2 An互斥时互斥时当当A1 A2 An独立时独立时一一 般般 情情 形形P(AB)=P(A)P(B);P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B);P(A-B)=P(A)-P(A)P(B)(有限可加性有限可加性)(广义加

37、法广义加法)(乘法法则乘法法则)例例1.7.1 三个元件串联的电路中三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的概率依次每个元件发生断电的概率依次为为0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立且各元件是否断电相互独立,求电路断电的概率是求电路断电的概率是多少多少?解解:设设A1,A2,A3分别表示第分别表示第1,2,3个元件断电个元件断电,A表示电路断表示电路断电电,则则A1,A2,A3相互独立相互独立,A=A1+A2+A3,P(A)=P(A1+A2+A3)=1-0.168=0.832例例1.7.2（891）甲、乙两人独立地对同一目标射）甲、乙两人独立地对同一目标射击一击一 次，其命中率分别

38、为次，其命中率分别为0.6和和0.5，现已知目标，现已知目标被击中，则它被击中，则它 是甲击中的概是甲击中的概 率为率为()解解:(1)设设A=甲中甲中,B=乙中乙中,C=目标被击中目标被击中,所求所求 P(A|C)=P(AC)/P(C)=P(A)/P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6/0.8=3/4例例1.7.3（944）设）设 0 P(A)1,0 P(B)1,P(A|B)+P(|)=1,则（则（）A和和B互不相容互不相容 A和和B互相对立互相对立 A和和B互不独立互不独立 A和和B相互独立相互独立(2)P(A|B)=1-P(|)=P(A|),所以所以A,B相互独立相互独立.第第1.

39、8节节 独立试验序列独立试验序列假若一串试验满足如下三条假若一串试验满足如下三条:1、每一次试验只有两个结果，一个记为、每一次试验只有两个结果，一个记为“成功成功”，一个记为，一个记为“失失 败败”，P成功成功=p,P失败失败=1-p=q;2、成功的概率成功的概率p在在每次试验中保持不变；每次试验中保持不变；3、试验与试验之间是相互独立的。、试验与试验之间是相互独立的。考察两种事件的概率考察两种事件的概率:(1)n 次次试验中恰有试验中恰有k次次“成功成功”的概率为的概率为(2)第第k次试验首次次试验首次“成功成功”的概率为的概率为第第1.9节、几何概率和概率的数学定义节、几何概率和概率的数学定义描述性定义描述性定义刻划某事件在一次试验刻划某事件在一次试验中出现的可能性大小的指标称为该事件中出现的可能性大小的指标称为该事件的概率。它是界于的概率。它是界于0与与1之间的一个实数。之间的一个实数。统计定义统计定义某事件在同一试验的大量某事件在同一试验的大量重复下出现的频率的稳定值称为该事件重复下出现的频率的稳定值称为该事件的概率。的概率。古典定义古典定义具有有限性、等可能性。具有有限性、等可能性。几何概率几何概率具有无限性、等可能性。具有无限性、等可能性。公理化定义公理化定义把满足把满足 非负性、规范性、非负性、规范性、可列可加性的事件的函数称为概率。可列可加性的事件的函数称为概率。