2020年普通高等学校招生全国统一考试(数学)试题及参考答案(1).docx

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1、2020年普通高等学校招生全国统一考试（数学）试题及答案绝密启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 冋答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。冋答1F选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交冋。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小踐给出的四个选项中.只 有一项是符合题目要求的。L 设集合/=x|lWxW3, B = x2x4,则=A. x|2xW3 B. x|2W.t

2、W3 C. x|lWx4 D. （x|lx炬边检为2的正六边形ABCDEF内的-点，则AP AB的取值范围是A. (-2.6)B. (-6,2)C. (-2,4)D. (-4.6)8-若定义在R的奇函数/(x)在(-。的 x的取值范围是A.B. -3.-lU0,lC. -I.OUl.+)D. -1,OJU1,3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小顕给出的选项中，有多项 符合题目要求,全部选对的得5分.有选错的得0分.部分选对的得3分.9. 已知曲线G m?+=l.A. 若mn0,则C是椭圆，其焦点在*轴上B. 若m = ”0,则C是圆，其半径为由C. 若mn0.則C是两条直线

3、10. 右图足函数y = sin(wx + (p)的部分图像,则sin(flx + ) =A. sin(x +j)B. sin(-2x)|/ 30 A c. os(2x+-)16 vy36D. cos( - 2x)611. 已知a0, b0,且a + b = ,则A. / +胪B. 2-4l22C. logj a + log, -2D. -Ja +b12. 信息炳是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所冇可能的取值为1,2,，”，且P(X = i) = p, 0(/ = 1,2,-,). p, =1，定义 X 的信息炳/(*) =-p, log： p,.4-1t-lA. 若n = I,则ff(

4、J)=0B. 若” = 2,则/(X)随着p,的増大而增大C. 若p, =-0 = 1. 则H(X)随看的增大而增大nD. 若n = 2m,随机变量*所冇可能的取值为1,2,./,且P(阵丿人乃+小宀(丿= 1,2,.m),则三、填空題：本题共4小踱，每小題5分.共20分。13. 斜率为A的直线过抛物线C：P=4x的焦点，且与C交T-A . B两点,则AB=. 14. 将数列2n-1与3”-2的公共项从小到大排列得到数列0,则叵的前项和为. 15. 某中学开展劳动实习，学生加:制作零件，零件的截而如图所示.。为圆孔及轮廓圆弧 所在例的圆心，4是圆弧AB与直线4G的切 点，B是圆弧13与直线BC

5、的切点，四边形DEFG为矩形，BC1DG .垂足为C ,tanZODC = - , BHIIDG , EF = 12cm ,5DE = 2cm.彳到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,则图中阴影 部分的面积为 cm：.16. 已知直四棱柱ABCD-AC的棱检均为2, BAD = W.以。为球心，打为 半径的球面与侧面BCC也的交线长为 .数学试题第3页(共5页)四、解答题：本题共6小题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （10 分）在act csin= 3,心用这1个条件中任选-个，补充在卜而问题中, 若问题中的三角形存在，求c的值；若问硏的三角形不存在，说明理

6、血问题：是否存在左ABC .它的内角X, B, C的对边分别Mb, c ,且si/屈顽 C = ：,注：如果选择多个条件分别解笹，按第亠个解答计分.18. （12 分）己知公比大丁 1的等比数列0满足a1 + a,=2Q,务=8.（1）求杞“的通项公式：（2）記如为%部间（0,冲（me N*）中的项的个数，求数州如的前100项和品.19. （12 分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽 表了100大空气中的PM2.5和SO,浓度（单位：ng/m3）,得卜表:so,PM2.50,50(50,150(150,4750.3532184(35,756812(75.

7、1153710（I）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且$0：浓度不超过150”的概率：（2）根据所给数据，完成卜而的2x2列联表:so2PM2.5(0.150(150.4750,75(75,115（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把捉认为该市一天空气中PM2.5浓 度SO,浓度有关？niad-bc)1 P(K，幻 0.0500.0100.001(a + DXc + dm + cW + d) k?841 6635IW820. （12 分）如图，四棱維PIBCD的底面为正方形，PD丄底面 ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为/.(1) 证明：，丄平面PDC；(2

8、) 已知FD = SD = I,。为，上的点，求PC平面工力所 成角的正弦值的最大值.21. (12 分)已知函数/(.r) = ae -Inx + lna .当a = e时，求曲线y = f(x)/E点(IJ(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积:(2)若/(x)L求。的取值范围.22. (12 分)已知椭圆C： 十 = I (a / 0)的离心率为尖，且过点XQ1) .a h2(1) 求C的方程；(2) 点M, N在C h, d AM AN , AD A. MN ,。为垂足.证明：存在定点。, 使得1。1为定值.数学试恩第5页(共5页)数学试题参考答案第丨页（共5页）绝密启用前2020

9、年普通高等学校招生令国统考试数学试题参考答案-、选择题I. c2. D4. B5. C6. B7. A8. D二、选择题9. ACD11. ABD12. AC三 填空题四、解答题17. 解：方案f选条件.由牛評余弦定理得崎土亭由sin J = sin 5及正弦定理得a = 3b . 丁是迎华二艺=档，由此可得b = c.由ac = y/3 ,解得a = Vi, b-c = .因此,选条件时问题中的三角形存在，此时c = 1. 方案二：选条件.lab 2由C =：和余弦定理得 d =虽.6由sin /I = 0sin 8及正弦定理得a =画. 孙*#由此可得宀药 由 csin= 3,所以 c=b

10、 = 2。, a-6.囚此，选条件时问题中的二角形存在，此时c = 2占. 方案三：选条件.由c=7和余弦定理得矿6lab 2由sin J = sin B及正弦定理得a = V3b .丁.是 3/r丰,由此b = ；2屈2由c = 43b I与8 = c矛盾.因此，选条件时问题中的三角形不存在.18. 解；（1）设S”的公比为q.由题设得a,q+=20, al?2=8.解得9 （舍去），7 = 2.由题设得a产2.所以的通项公式为a. =2”.（2）由题设及（1）知4=。，且当2m2*0l. b,=n.所以Sm =4 +（4+姐+（九+4 +底）+（妇+奴+如）+（妇+4oo） = 0 + 1

11、x2 + 2x22+3 x 2,+4 x 2+5 x 2+ 6x（100 - 63）= 480.19. 解：（1）根据抽査数据，该市100天的空气中PM2.5浓度不超过75, H沧浓度不超 过150的天数为32 +18 + 6 + 8 = 64,因此，该市一天空气中PM2S浓度不超过75,且SO： 浓度不超过150的概率的佔计值为=0.64 .100（2）根据抽查数据,可得2x2列联表:(3) 根据(2)的列联表得宀1。，(6侦。小Xi。)、虬80w207426由于7.484 6.635,故仃99%的把握认为该小一天空气中PM2.5浓度。$0：浓度有关.20. 解：(1) 因为PD丄底面ABC

12、D,所以PDLAD. 乂底面ABCD为正方形，所以 ADLDC.圍此如)丄平fiiPDC.AD/IBC , AD平面 PBC . |Li 已知ill/AD .因此/丄平面PDC.(2) 以D为坐标原点，归的方向为x轴正方向，建旦如图所示的空间宜角坐标系D-xyz.则)(0.0.0), C(O,l.O), 8(1,1,0), P(O.O.l),庁= (0.1.0), PB = (A-).由可设0切),则DQ=(a,0,).设=(x.y.r)是平面QCD的法向W.则n -DQ = 0,即(ar + z = 0,n DC = 0,1.v = 0可取n = (-l,0,a).n . PBI a所以 c

13、os”. PB) = .n-PB 刷+ a设PB勺平面QCD所成角为。,则 sinO = *数学试题参考答案第4页（共5页）且仅,I a = I时等号成立，所以8与平面0CD所成角的正弦值的最大值为21. 解:/(x)的定义域为(0,+), f(x) = ae-.X当ge时,/(x) = ex-lnx + l, /(l) = e-l,曲线Kx)在点(IJ)处的 切线方程为y-(e + l)=(e-IXT)，即 y = (e-l)x + 2.直线y = (e-l)x + 2在x轴,夕轴上的截距分别为三，2.e-1因此所求三角形的面积为二e-1(2) .当0sl 时,/0)=o+lnfll.当 a

14、 = 1 时，/(X)= ei - In x ,，(x)=产-；当 x e (0.1)时，(x) 0.所以当x = l时,/(x)取得最小值,最小值为/(1)=1,从而/(沪1,当aI时,f(x) = ac -Inx + lnae-1 -Inxl.综上，的取值范围是1,何).22. 解:(1) 由题设得4+i = l. 竺二丄，解得fl2 =6. b2=3.a b a 2所以c的方程为4+4=-6 3m,代入+=1得6 3(2) 设M(c), N(xlty2).若真线MV与x轴不垂直.设直线枷的方程为y = kx +(1 十 2尸)x: + 4kmx + 2nr -6 = 0 .是4饥 2m2

15、 - 6X. + X* =T，寻心=T .* + 2亍1 - 1 + 2/由 AM 1A N 知 AM-AN = Q,故(占-2Xw-2) + (,-1)(为-1) = 0，可得(k2 + l)x,x3 +(km-k-2Xx, + x：) + (m_ 1) + 4 = 0 .将代入上式可徊(*: +1)丑匸-(km-k-2)圣，+仞-1)； + 4 = 0 . 1 + 21-1 + 24整理得(2L + 3m + |)(2* + /n-1) = 0.因为彳(2,1)不在直线MV上，所以2。+旷1莉，故2* + 3e + 1 = 0, 3.于是MN的方程为y =心-：)-：伏引).所以直线MN过若直线枷与x轴垂宜，可得Mxp-y,).由 AMAN=O 得(丐-2X-2) +(凹-咋少 T) = 0.乂 + = 1,可得3-8j,+4 = 0.解得玉=2 (舍去)，=；.6 33此时直线则过点令0为AP的中点，即。(：日).若DjP不重合，则由题设知AP RtAJDP的斜边，故DQ=LAp=k.若顷重合，则DQ=AP.综上，存在点。(%!)，使得IQ0为定值.