高等数学第七版下册复习纲要资料整理.pptx

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1、微微分分方方程程一、微分一、微分方方程的相关概程的相关概念念1.微分方程的阶数：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.2.微分方程的解：使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.通解：所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为微分方程的通解.特解：确定了任意常数的通解称为微分方程的特解.3.特解与通解的关系：可通过初始条件确定通解中的常数而得到满足条件的特解；也可通过方程的表达式直接观察得到特解，因此特解不总包含在通解中.二、微分二、微分方方程的常程的常见类见类型及型及其其解解法法1.可分离变量的微分方程及其解法 (1).方程的形式：g(y)dy f(x)dx.(2).方程

2、的解法：分离变量法(3).求解步骤.分离变量，将方程写成g(y)dy f(x)dx 的形式；.两端积分：g(y)dy f(x)dx，得隐式通解G(y)F(x)C；.将隐函数显化.2.齐次方程及其解法 x dx(1).方程的形式：dy y .(2)方程的解法：变量替换法(3)求解步骤引进新变量u y，有 y ux 及 dy u x du；xdxdx代入原方程得：u x du(u)；dx1分离变量后求解，即解方程(u)uxdu dx；变量还原，即再用 y 代替u.x3.一阶线性微分方程及其解法(1).方程的形式：dy P(x)y Q(x).dx一阶齐次线性微分方程:dy P(x)y 0.dx一阶非

3、齐次线性微分方程:dy P(x)y Q(x)0.dx(2).一阶齐次线性微分方程 dy P(x)y 0 的解法:分离分离变变量量法法.dx通解为 y Ce P(x)d x,(C R).(公式公式)(3).一阶非齐次线性微分方程 dy P(x)y Q(x)0 的解法:常数常数变变易法易法.dx对方程 dy P(x)y Q(x)，设 y u(x)e P(x)d x 为其通解，其中u(x)为未知函数，dx从而有dy u(x)e P(x)d x u(x)P(x)e P(x)d x，dx代入原方程有u(x)e P(x)d x u(x)P(x)e P(x)d x P(x)u(x)e P(x)d x Q(x

4、)，整理得u(x)Q(x)e P(x)d x，2两端积分得u(x)Q(x)e P(x)d xdx C，再代入通解表达式，便得到一阶非齐次线性微分方程的通解y e P(x)d x(Q(x)e P(x)d xdx C)Ce P(x)d x e P(x)d x Q(x)e P(x)d xdx，(公式公式)即非非齐齐次次线线性性方程通方程通解解=齐齐次次线线性性方方程通解程通解+非非齐齐次次线线性性方程特解方程特解.第八章：第八章：空空间间解析几何与向解析几何与向量量代代数数一、向量a (xa,ya,za),b (xb,yb,zb),c (xc,yc,zc)1.向量a (xa,ya,za)与b (xb

5、,yb,zb)的数量积：a b a b cos xa xb xb yb za zb；ijk2.向量a (xa,ya,za)与b (xb,yb,zb)的向量积：a b xayaza.xbybzb a b a b sin的几何意义为以a,b 为邻边的平行四边形的面积.3.向量r (x,y,z)的方向余弦：yyxx2 y 2 z 2x2 y 2 z 2x2 y 2 z 2,cos,coscos，cos2 cos2 cos2 1；sin 2 sin 2 sin 2 2.aaabbb4.向量 (x,y,z)与b (x,y,z)垂直的判定：aa b a b 0 xa xb xb yb za zb 0.aa

6、abbb5.向量 (x,y,z)与b (x,y,z)平行的判定：axaxbzaa/b a b 0 a kb,k 0 k.xbybzb6.三向量共面的判定：k mb n 0 ,b,共面.acacaaaa bb ba baaabbbaax2 y 2 z 27.向量a (x,y,z)在b (x,y,z)上的投影：Pr j b a bx x x y z z.二、平面1.过点P(x0,y0,z0)，以n (A,B,C)为法向量的平面的点法式方程：A(x x0)B(y y0)C(z z0)0.2.以向量n (A,B,C)为法向量的平面的一般式方程：Ax By Cz D 0.11 1A2 B2 C 233.

7、点M(x,y,z)到平面 Ax By Cz D 0 的距离d Ax1 By1 cz1 D.4.平面1 :A1 x B1 y C1 z D1 0 与2:A2 x B2 y C2 z D2 0 平行的判定：222212ABCD/ABCDn1 /n2 1 1 1 1.5.平面1 :A1 x B1 y C1 z D1 0 与2:A2 x B2 y C2 z D2 0 垂直的判定：121 21 21 2 n1n2 A A B B C C 0.6.平面1 :A1 x B1 y C1 z D1 0 与2:A2 x B2 y C2 z D2 0 的夹角：A2 B2 C 2 A2 B2 C 2 111222A1

8、 A2 B1B2 C1C2cos000z z tp00三、直线1.过点P(x0,y0,z0)，以s (m,n,p)为方向向量的直线的点向式(对称式、标准)方程：x x0 y y0 z z0 .mnpx x0 tm2.过点P(x,y,z)，以s (m,n,p)为方向向量的直线的参数式方程：y y tn.222 2 A x B y C z D 03.直线的一般式方程：A1 x B1 y C1 z D1 0sn1n2.方向向量为 .4.直线方程之间的转化：i)点向式 参数式ii)一般式 点向式 第一步：找点sn1n2第二步：找方向向量 1111111pmn5.直线L:x xy yz z2222222

9、pmn与L:x xy yz z平行的判定：22212mnpmnpL /L s1 /s2 1 1 1.1111111pnm6.直线L:x xy yz z24222222pnm与L:x xy yz z垂直的判定：121 21 21 2L L m ms1s2n n p p 0.1111111pnm7.直线L:x xy yz z2222222pmn与L:x xy yz z的夹角：m2 n2 p 2 m2 n2 p 2 111222m1m2 n1n2 p1 p2cos.lm8.直线L:x x0 y y0 z z0 与平面:Ax By Cz D 0 垂直的判定：ABCnlmnL S/N.lm9.直线L:x

10、 x0 y y0 z z0 与平面:Ax By Cz D 0 平行的判定：nL/S N Al Bm Cn 0.10.直线L:x x0 y y0 z z0 与平面:Ax By Cz D 0 的夹角：lmnA2 B2 C 2 m2 n2 p2Am Bn Cpsin.00011.点P(x,y,z)到直线222 21111A x B y C z D 0 A x B y C z D 0sPM s的距离：d，其中M 是直线上任意一点，n n.s12四、曲线、曲面1.yoz 平面上的曲线C：f(y,z)0 绕z 轴旋转一周所得的旋转曲面为S：f(x2 y 2,z)0.5G(x,y,z)02.空间曲线C：F(

11、x,y,z)0 关于xoy 平面上的投影柱面方程为：H(x,y)0；z 0在xoy 平面上的投影曲线为C：H(x,y)0.第九章：第九章：多多元函数微分法及元函数微分法及其其应应用用一、平面点集1.内点一定在点集内，但点集内的点未必是点集的内点，还有孤立点；2.聚点可以是点集的边界点，也可以是点集的内点，但不可以是点集的外点和点集内 的孤立点；3.开集和闭集内的所有点都是聚点.二、二元函数的极限、连续性的相关知识点1.二元函数 f(x,y)在(x0,y0)点的二重极限：limf(x,y)A.(x,y)(x0,y0)2.二元函数 f(x,y)在(x0,y0)点的连续性：(x,y)(x0,y0)l

12、imf(x,y)f(x0,y0).3.二元初等函数在其定义区域内连续.二、二元函数的偏导数的相关知识点xy1.函数z f(x,y)对自变量x,y 的偏导数：z 及z.x2y 2xyyx2.函数z f(x,y)对自变量x,y 的二阶偏导数：z、z、z、z2222xyyx注：若二阶混合偏导数 2 z 与 2 z 连续，则二者相等.三、二元函数的全微分：dz z dx z dyxy四、二元函数连续性、偏导数存在性以及全微分存在性三者之间的关系1.函数连续性与偏导数存在性的关系：二者没有任何的蕴涵关系.2.偏导数存在性与全微分存在性的关系：全微分存在，偏导数存在；反之未必.(偏导数不存在，全微分一定不

13、存在)偏导数连续，全微分存在，反之未必.3.连续性与全微分存在性的关系：全微分存在，函数一定连续；(函数不连续，全微分一定不存在)函数连续，全微分未必存在.五、二元复合函数的偏(全)导数1.中间变量为两个，自变量为一个的复合函数的全导数：z f(u,v),u(t),v(t),z f(t),(t)，6dz z du z dv dtu dtv dt2.中间变量为两个，自变量为两个的复合函数的偏导数：z f(u,v),u(x,y),v(x,y),z f(x,y),(x,y)，z z u z v,z z u z vxu xv x yu xv x六、隐函数微分法1.由一个方程确定的隐函数微分法：F(x,

14、y,z)0 确定隐函数z f(x,y)，x dxy dxz x直接对方程左右两端关于自变量求偏导数，即F dx F dy F z 0，即1 0 FFF zxyz x 0，解得zF F xzxG(x,y,u,v)0v v(x,y)2.由方程组确定的隐函数组微分法：F(x,y,u,v)0 确定隐函数u u(x,y)，0 x dxy dxu xv xG dxG dyG uG v x dxy dxu xv x直接对方程组左右两端关于自变量求偏导数，即F dx F dy F u F v 0，即 0 xu xv xGG uG vF F u F v 0 xu xv xx x，可以解出u,v.z (t)七、偏

15、导数的几何应用1.曲线的切线方程和法平面方程x(t),00001).以参数式方程 y(t),表示的曲线在t t 对应的点M(x,y,z)的切线方程：x x0 y y0 z z0 (t)(t)(t)000法平面方程：(t)(x x)(t)(y y)(t)(z z)00000007G(x,y,z)00002).以一般式方程F(x,y,z)0 表示的曲线在点M(x,y,z)的切线和法平面方程：G(x,y,z)0z g(x)dx dx先用方程组F(x,y,z)0 确定的隐函数组 y f(x)微分法求出 dy,dz，然后得到切线的方00,x xx xdz dxdy dx向向量n 1,切线方程：x x0

16、y y0 z z01f (x)g (x)00法平面方程：x x0 f (x0)(y y0)g(x0)(z z0)02.曲面的切平面方程和法线方程1).以一般式方程F(x,y,z)0 表示的曲面在点M(x0,y0,z0)的切平面和法线方程：切平面线方程：F (M)(x x)F (M)(y y)F (M)(z z)0 x0y0z0F (M)F (M)F (M)xxz y y0 z z0法方程：x x02).以特殊式方程z f(x,y)表示的曲面在点M(x0,y0,z0)的切平面和法线方程：令F(x,y,z)f(x,y)z 0，有曲面在点M(x0,y0,z0)的切平面的法向量N (F (M),F (

17、M),F (M)(f (x,y),f (x,y),1)xyzx00y00切平面线方程：f (x,y)(x x)f (x,y)(y y)(z z)0 x000y0000法方程：f (x ,y)f (x ,y)1x x0y y0 z z0 x00 x00.l3.方向导数与梯度：1).方向导数：f lim f(x x,y y)f(x.y)02)方向导数存在条件：可微分函数z f(x,y)在一点沿任意方向l 的方向导数都存在，并且f z cos z cos，其中cos,cos 是方向l 的方向余弦.lxy3)梯度：函数 f(x,y,z)在点M(x0,y0,z0)处的梯度grad f(x0,y0,z0)

18、fx(x0,y0,z0)i f y(x0,y0,z0)j fz(x0,y0,z0)k().84).方向导数与梯度的关系：.函数 f(x,y,z)在点M(x0,y0,z0)处增加最快的方向是其梯度 grad f(x0,y0,z0)的方向，减小最快的方向是 grad f(x0,y0,z0)的方向.函 数 f(x,y,z)在 点 M(x0,y0,z0)沿 任 意 方 向 的 方 向 导 数 的 最 大 值 为grad f(x0,y0,z0).八、极值、条件极值1.函数z f(x,y)的极值点和驻点的关系：函数z f(x,y)的极值在其驻点或不可偏导点 取得.2.求函数极值的步骤：9f(x,y)0f

19、(x,y)0y(1).对函数z f(x,y)求偏导数，解方程组 xii，得所有驻点(x,y).(2)对每一个驻点(x,y)，求出二阶偏导数的值 A f (x,y),B f (x,y),C f (x,y).iixxiixyiiyyii(3)计算B2 AC，根据B2 AC 以及 A 的符号判定 f(x,y)是否是极值：ii若B 2 AC 0,A 0，则 f(x,y)是极小值；ii若B 2 AC 0,A 0，则 f(x,y)是极大值；ii若B 2 AC 0,，则 f(x,y)不是极小值；ii若B2 AC 0,，则 f(x,y)是否是极值不能判定，需其他方法验证.ii3.求函数z f(x,y)在附加条

20、件(x,y)0 下的条件极值的方法：做拉格朗日函数F(x,y)f(x,y)(x,y)，对自变量x,y 求偏导，建立方程组F(x,y)yyyxx xf(x,y)(x,y)0F(x,y)f(x,y)(x,y)0与附加条件联立的方程组 F(x,y)yyyxxx(x,y)0F (x,y)f (x,y)(x,y)0f(x,y)(x,y)0，解出的 x,y 就是函数 z f(x,y)的可能极值点.第十章：第十章：重重积积分分10D一、二重积分的相关性质1.有界闭区域上的连续函数 f(x,y)在该区域D 上二重积分D f(x,y)d存在；2.若函数 f(x,y)在有界闭区域D 上二重积分存在D f(x,y)

21、d，则 f(x,y)在该区域上有界；3.中值性：若函数 f(x,y)在有界闭区域D 上连续，区域D 的面积为，则在D 上至少存 在一点(),，使得D f(x,y)d f(x,y).4.1d ，区域D 的面积为.二、二重积分的计算1.利用平面直角坐标计算二重积分1).先对 y 后对x 积分，由于积分区域D:a x b；1 (x)y 2(x)，有baD2(x)1 (x)f(x,y)d dxf(x,y)dy.2).先对x 后对 y 积分，由于积分区域D:c y d；1 (y)x 2(y)，有dcD2(y)1 (y)f(x,y)d dyf(x,y)dx.dcba3).积分换序：dx22f(x,y)dy

22、 f(x,y)dD(y)1 (y)(x)1 (x)dyf(x,y)dx.2.利用极坐标计算二重积分令x cos12 y sin，由于积分区域D:；()x ()，有()21 ()f(x,y)ddDf(cos,sin)d.三、三重积分的相关性质：1dV V，区域的体积为V.四、三重积分的计算1.利用直角坐标计算三重积分积分区域V：a x b；y1(x)y y2(x)；z1(x,y)z z2(x,y)，有11z2(x,y)z(x,y)bay2(x)y(x)f(x,y,z)dzf(x,y,x)dV dxdy第十一章第十一章：曲曲线积线积分分 曲面曲面积积分分一、曲线积分的计算1.第一型曲线积分的计算：

23、01 y(t),若曲线C 的参数方程是：x (t),t t t，则第一型曲线积分t1Ct022(t)(t)(t)dtf(x,y)ds f(t),2.第二型曲线积分的计算：若曲线C 的参数方程是：y(t),x(t),t0 t t1，t0 t A,t1 tB 分别对应曲线的两个端点，则第一型曲线积分1tCt0(t),(t)dt(t)(t),(t)Q(t)P(x,y)dx Q(x,y)dy P(3.格林公式(联系曲线积分和二重积分)设有界闭区域 D由分段光滑曲线 C所围成，C取正向，函数P(x,y),Q(x,y)在 D上具有一阶连续偏导数，则有格林公式CDx QP Pdx Qdy y dxdy.D2

24、 C注：1.可用第二型曲线积分计算该曲线所围成区域的面积：设有界闭区域 D由取正向的光滑曲线 C所围成，则区域 D的面积为 dxdy 1 ydx xdy.2.函数P(x,y),Q(x,y)在区域 D上连续.二、曲面积分的计算1.第一型曲面积分的计算：若曲面S 的方程是：z z(x,y)具有连续偏导数，且在xoy 平面上的投影区域为Dxy，函数f(x,y,z)在S 上连续，则第一型曲面积分xy11xySDf(x,y,z)dS f z,y,z(z,y)1 z 2 z 2 dxdy2.第二型曲面积分的计算：若正向曲面S 的方程是：z z(x,y)，且在xoy 平面上的投影区域为Dxy，函数R(x,y

25、,z)在S 上连续，则第二型曲面积分S R(x,y,z)dxdy D Rx,y,z(x,y)dxdy，xy同理可得 S P(x,y,z)dydz D Rx(y,z),y,z)dydz；yzS Q(x,y,z)dzdx D Qx,y(z,x),z)dzdxzx3.高斯公式(联系曲面积分和三重积分)若函数P(x,y,z),Q(x,y,z)在空间有界闭区域及其光滑边界曲面 S 上具有连续偏导数，则Sxy PQR 有高斯公式：Pdydz Qdzdx Rdxdy z dxdydz.S3注：设空间有界闭区域由光滑封闭曲面 S 所围成，则区域的体积为V 1 xdydz ydzdx zdxdy.4.斯托克斯公

26、式(联系曲面积分和三重积分)若函数P(x,y,z),Q(x,y,z)在光滑曲面 S 及其光滑的边界曲线 C 上具有连续偏导数，则有斯托克斯公式LDxyR QP zxyz RQ PPdx Qdy Rdz dydz dzdx dxdy.三、曲线积分与路径无关的条件(1)曲线积分C(A,B)P(x,y)dx Q(x,y)dy 与路径无关；(2)C P(x,y)dx Q(x,y)dy 0；(3)存在函数u(x,y)，使得du P(x,y)dx Q(x,y)dy；(4).xy12Q P第十二章第十二章：无无穷级穷级数数一、级数敛散性的相关性质n1 n k 11.an 敛散 Sn ak 敛散n1nnn2.

27、a 收敛 lim a 0nnn1n3.lim a 0 a 发散4.正项级数ni1nnnni1a 的部分和数列S 有界 级数a 收敛5.nni1a 收敛nni1a 收敛.二、级数敛散性判别1.正项级数敛散性判别 (1).比较判别法；(2).比值判别法；(3).根值判别法.2.交错级数收敛性判别法：莱布尼兹判别法3.任意项级数敛性判别法：绝对收敛判别法4.两种常用级数收敛和发散的条件(1).等比级数 aqn1 收敛条件是 q 1；发散条件是 q 1.n1(2).p级数npni 11收敛条件是 p 1；发散条件是 p 1.二、幂级数的相关概念1.收敛域的求法n0nan13a11lim n1n(1).对标准幂级数 an x，先求其收敛半径R n0n，再判断级数 an R 以及n0n na(R)的敛散性，最后确定收敛域是(R,R)、(R,R、R,R)以及R,R 中的哪一个.n0 n(2).对非标准幂级数a(x)，先求极限liman(x)an1(x)n14(x)，当(x)1时，an(x)绝对n0n0n nn0n n收敛，解出x (a,b)，再判断级数a a 以及a b 的敛散性，最后确定收敛域是(a,b)、(a,b、a,b)以及a,b 中的哪一个.2.和函数的求法：利用和函数的性质(1).连续性；(2).逐项可微分；(1).逐项可积分.3.函数的幂级数展开式.